Chapter 6 Átomo de hidrógeno Este sistema está compuesto por dos partı́culas; el núcleo con masa mn , carga ~ y el electrón con masa me , carga −e y que Ze que se encuentra en la posición R se encuentra en ~re . Para este sistema, el hamiltoniano tiene la forma ! 1 (Ze)(−e) ~2 2 ~2 2 ~ ~re ) = EΨ(R, ~ ~re ) Ψ(R, (6.1) ∇ − ∇ + − ~ − ~re | 2mn R~ 2me ~re 4πǫ0 |R Por fortuna, aún cuando el sistema es de dos partı́culas éste se puede reducir al definir las variables ~ − ~re , ~s = R (6.2) y ~ ~ cm = mn R + me~re , R (6.3) mn + me Haciendo uso de esta nuevas variables la ecuación de Schroedinger del átomo de hidrógeno toma la forma ~2 2 1 Ze2 ~2 2 ~ cm , ~s) = EΨ(R ~ cm , ~s) ∇R~ − ∇~s − Ψ(R (6.4) − cm 2M 2µ 4πǫ0 |~s| Ası́, es natural ver al hamiltoniano como dos contribuciones ~ cm , ~s) = EΨ(R ~ cm , ~s), ĤR~ cm + Ĥ~s Ψ(R con ĤR~ cm = − y Ĥ~s = − ~2 2 ∇ 2M R~ cm ~2 2 1 Ze2 ∇~s − . 2µ 4πǫ0 |~s| (6.5) (6.6) (6.7) Esto permite desacoplar la ecuación de Schroedinger al proponer a la función de onda como ~ cm , ~s) = Φ(R ~ cm )ψ(~s), Ψ(R (6.8) 25 teniendo que resolver ahora dos ecuaciones diferenciales − ~2 2 ~ cm ) = Ecm Φ(R ~ cm ) Φ(R ∇ 2M R~ cm (6.9) y − ~2 2 1 Ze2 ∇~s − 2µ 4πǫ0 |~s| ψ(~s) = Es ψ(~s), (6.10) Ecm y Es son tales que E = Ecm + Es (6.11) Al igual que en el oscilador armónico, es conveniente hacer un escalamiento de la variable ~s, ası́ se propone ~s = α~r para obtener la ecuación diferencial 1 Ze2 ~2 2 ∇ − ψ(~r) = Es ψ(~r). (6.12) − 2µα2 ~r 4πǫ0 α|~r| La α es elegida de tal forma que e2 ~2 = = Ea , µα2 4πǫ0 α con lo que la ecuación diferencial queda de la forma Ea Ea − ∇~r2 − ψ(~r) = Es ψ(~r), 2 |~r| o también 1 1 − ∇~r2 − 2 |~r| ψ(~r) = (Es /Ea )ψ(~r), (6.13) (6.14) (6.15) Definiendo se obtiene E = Es /Ea (6.16) (6.17) 1 1 − ∇~r2 − 2 |~r| ψ(~r) = Eψ(~r). Por conveniencia el laplaciano no se etiqueta que depende de ~r 1 1 − ∇2 − ψ(~r) = Eψ(~r). 2 |~r| (6.18) El valor de α se obtiene de la ecuación 6.13 α= 4πǫ0 ~2 µe2 (6.19) Antes de evaluar a α es importante saber el valor de µ, de su definición µ= mn me mn + me (6.20) Jorge Garza Curso práctico de estructura electrónica es posible reducirla ya que mn >> me y por lo tanto µ ≈ me ası́ α tendrá la forma α= (6.21) 4πǫ0 ~2 me e2 (6.22) Los valores de las constantes fı́sicas involucradas para obtener el valor de α se encuentran en la siguiente tabla Cantidad fı́sica ǫ0 me e ~ Valor 8.8542 × 1012 C2 /(N m2 ) 9.1095×10−31 kg 1.6022×10−19 C 1.0546×10−34 J s Al sustituir estos valores en la expresión de α se encuentra que α = a0 = 5.2918 × 10−11 m (6.23) Lo primero que debemos de comentar sobre esta cantidad es que tiene unidades de longitud y por lo tanto ~r es adimensional. Además, es importante mencionar que el valor de α corresponde al valor de la primer órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno cuando se trata con las primeras ideas de cuantización. Naturalmente, con el valor de α se puede encontrar el valor de Ea , Ea = e2 = 4.3598 × 10−18 J. 4πǫ0 α (6.24) Es evidente que los valores de α y Ea son muy pequeños con lo que se propone manejar a la energı́a E y a la posición ~r en unidades de Ea y α respectivamente. Ası́ tendremos a la energı́a en múltiplos de Ea y a la distancia en múltiplos de a0 . La solución del átomo de hidrógeno se escribe como el producto de dos funciones, una función que depende de la parte angular (φ, θ) y otra que depende de la parte radial r (r = |~r|). Ası́, la solución de este problema tiene la forma ψk (r) = ψnk ,lk ,mk (r) = Rnk ,lk (r)Ylk ,mk (θ, φ). (6.25) En la ecuación anterior, Yl,m representa un armónico esférico y la parte radial, Rn,l (r), de la función de onda es escrita como Rn,l (r) = rl e−Zr/n n−l−1 X bj r j , (6.26) j=0 con bj+1 = 2Z (j + l + 1 − n) bj ; j ≥ 0. n (j + 1)(j + 2l + 2) (6.27) Z representa la carga nuclear de un átomo hidrogenoide, n al número cuántico principal, el cual puede tomar los valores n = 1, 2, 3, .., ∞. l y m son otros dos números cuánticos, que están asociados al operador de momento angular, con valores l = 0, 1, 2, .., n − 1 y m = −l, −l + 1, ..0, .., l − 1, l.