MATE 1214 – PARCIAL III Profesor: Stefano Ferri Tiempo: 85`. (1.) (i

MATE 1214 – PARCIAL III
Profesor: Stefano Ferri
Tiempo: 85’.
(1.) (i.) Muestre que se tiene que:
sin(x) =
eix − e−ix
.
2i
(ii.) Calcule sin(i) y escribalo en la forma α + βi con α y β números reales.
(2.) Escriba la serie de Taylor de la función f (x) = (x − 1)ex centrata en x0 = 1 y determine su radio e
intervalo de convergencia. (N.B. No se pide demostrar que la función es igual a su serie de Taylor.)
(3.) Por medio de la sustitución y(x) = v(x) · x resuelva la siguiente ecuación diferencial: (x − y) · y ′ = x + y.
(4.) Resuelva la siguiente ecuación diferencial: y ′ + 2y = sin(x).
∞
X
x2n
es solución de la ecuación diferencial
(5.) (i.) Muestre que la funcion y(x) =
(2n)!
n=0
y ′′ − y = 0.
(ii.) Resuelva el siguiente problema de valor inicial:

 y ′′ − y = x2 + e;
y ′ (0) = 1;
 ′′
y (0) = 0.
Observación: Si utiliza la solución de (ii.) para contestar (i.) o la solución de (i.) para contestar
(ii.) explique bien.