"Teoría - K" 1. Objetivos y pre-requisitos. Se aspira a entender la

"Teoría - K"
1. Objetivos y pre-requisitos.
Se aspira a entender la geometría de los fibrados vectoriales, las operaciones entre ellos,
y sus clases características. A tal propósito se propone una construcción directa por medio de campos de matrices, para que la curvatura y el carácter de Chern aparezcan en
una forma clara y concreta.
En el necesario repaso de productos tensoriales, exteriores, formas diferenciales, etc.,
se ofrecen métodos tal vez novedosos, por ejemplo el concepto de la extensión supersimétrica de un anillo.
La meta final del curso sería el teorema de la periodicidad. Los estudiantes deberían
haber visto algo de topología y geometría diferencial, así también los cursos de álgebra
y análisis de una formación básica en la matemática.
2. Programa del curso
Fibrados vectoriales, sus sistemas de funciones de transición. Homomorfismos entre fibrados vectoriales.
El ejemplo del fibrado tangente de la dos-esfera S 2 : su estructura de fibrado complejo,
las proyecciones ortogonales sobre los planos tangentes.
La categoría MLA cuyos objetos y morfismos son matrices p, q, a cumpliendo p2 = p,
q 2 = q, a = paq. Sumas directas, productos tensoriales, algunos isomorfismos p = ab
q = ba.
Campos de proyecciones y sus fibrados vectoriales asociados. La construcción de un
campo de proyección para cualquier fibrado cuando el espacio base es compacto. El
functor P r(x) −→ V ect(x) una equivalencia de clases de isomorfismo.
Ejemplos de fibrados y campos sobre S 2 visto como espacio proyectivo complejo.
Estudio de la variedad M de las p = p2 , sus coordenadas locales, espacios tangentes y
normales, la aplicación exponencial, retracción sobre proyecciones ortogonales.
P r(x) como semianillo abeliano. El homomorfismo f ∗ : P r(Y ) −→ P r(X) dado por
f : X −→ Y. La igualdad f1∗ = f2∗ cuando f1 y f2 son homotópicas, deducida de p ∼
=q
cuando kp − qk 1.
La definición de KC (X) y K̃C (X). El ejemplo KR (S 1 ) y el cinturón de Möbius.
Un campo uniparámetro de proyecciones p(t), y su extensión canónica al "isomorfismo
interno estandar"p(s, t). Su aplicación en P r(S 2 ), donde cada punto en S 1 ⊂ S 2 da un
isomorfismo p(e) ∼
= p(−e), con e = el Polo Norte. La correspondencia entre P r(S 2 ) y las
funciones S 1 −→ GL(n, C).
La reducción al caso especial de las funciones afines. Cualquier campo en S 2 aparece
en una ecuación de sumas directas con el campo específico del espacio proyectivo.
La conexión canónica del fibrado vectorial dada por un campo de proyecciones, y su curvatura explícita. Su aplicación a los ejemplos de la curvatura Gaussiana de superficies y
a las subvariedades de Rn .
El manejo de las formas diferenciales, hecho en el contexto de la extensión supersimétrica de un anillo.
Las formas diferenciales cerradas que salen de la curvatura de un campo de proyecciones, presentadas como componentes en el carácter de Chern "ch.” El manejo de ch en
sumas y productos, y el homomorfismo dado por ch entre KC (X) y la cohomología de
Rham de X.
La igualdad de las integrales de ch cuando dos campos son isomorfos. De ahí la derivación del teorema de periodicidad en el caso básico de S 2 , y después en el caso general
si el tiempo alcanza.
3. Bibliografía básica
(a) K-Theory, lectures by M.F. Atiyah (Benjamin 1967)
(b) Lectures on K(X) by Raoul Bott (Harvard Fall 1963.)