積分公式

積分公式
基本的な公式から応用的な公式まで無節操にのせておきます。ヒマなら自分で導いてみてください。
表記
C : 積分定数
log : 自然対数
| | : 絶対値
∇ : (
∂ ∂ ∂
,
,
)
∂x ∂y ∂z
A : 太字は 3 次元ベクトル
Γ(n) : ガンマ関数
∫
•
xa dx =
∫
•
(a ̸= −1)
1
dx = log |x| + C
x
∫
•
1
xa+1 + C
a+1
ax dx =
ax
+C
log a
∫
•
ex dx = ex + C
∫
•
eax dx =
1 ax
e +C
a
∫
•
log x dx = x log x − x + C
∫
•
log(ax + b)dx =
∫
•
xa log xdx =
∫
•
∫
•
(
)
1
(ax + b) log(ax + b) − 1 + C
a
xa+1
xa+1
log x −
+C
a+1
(a + 1)2
√
√
log x
√ dx = 2 x log x − 4 x + C
x
(log x)2
log x
dx =
+C
x
2
∫
∫
•
log(x2 + a2 )dx = x log(x2 + a2 ) − 2x + 2a2
x2
1
1
dx + C
+ a2
∫
•
x log(x2 + a2 )dx =
∫
•
∫
•
∫
•
∫
•
∫
•
1
1
x
dx = tan−1 + C
x2 + a2
a
a
1
x
2n − 1
dx = 2
+
2
2
n+1
2
2
n
(a ± x )
2a n(a ± x )
2a2 n
•
•
∫
(a2
x
1
dx = ∓
+C
(a2 ± x2 )n+1
2n(a2 ± x2 )n
•
1
1
x2
dx = 2 log 2
+C
2
±x )
2a
a ± x2
1
1
1
dx = − 2 ∓ 2
2
2
2
x (a ± x )
2a x a
∫
(a2
dx
+C
± x2 )
(sin−1 x = arcsin x)
√
3
1
x a2 − x2 dx = − (a2 − x2 ) 2 + C
3
∫ √
√
)
1( √
•
x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 log(x + x2 + a2 ) + C
2
∫
√
1
√
dx = log |x + x2 − a2 | + C
2
2
x −a
∫
√
1
√
dx = log |x + x2 + a2 | + C
x2 + a2
•
•
∫
•
∫
•
•
√
∞
−ax2
π
a
dx =
−∞
∞
(ガウス積分)
xe−ax dx = 0
2
−∞
∫
•
x
1
√
dx = sin−1
+C
2
2
|a|
a −x
e
∫
(n ̸= 0)
(n ̸= 0)
∫ √
1 √
x
a2 − x2 dx = (x a2 − x2 + a sin−1 ) + C
2
a
∫
dx
± x2 )n
x
1
dx = ± log |a2 ± x2 | + C
a2 ± x2
2
x(a2
∫
(tan−1 x = arctan x)
1
x−a
1
log |
|+C
dx =
x2 − a2
2a
x+a
∫
•
1 2
1
(x + a2 ) log(x2 + a2 ) − x2 + C
2
2
∞
√
2 −ax2
x e
−∞
dx =
π
4a3
2
∫
•
x2
dx =
∞
x2n+1 e−a
2
x2
(2n − 1)!!
2n
√
π
a4n+2
(n!! = n · (n − 2) · (n − 4) · · · )
dx = 0
∞
√
e−a
2
x2 +bx
e−a
2
x2 +ibx
dx =
−∞
∫
•
2
−∞
∫
•
x2n e−a
−∞
∫
•
∞
∞
√
dx =
−∞
∫
•
∞
xn e−ax dx =
0
∫
•
∞
1
2
x e
0
∫
•
∞
0
∫
•
∞
0
∫
•
∞
∫
0
b2
π
exp[− 2 ]
a
4a
Γ(n + 1)
an+1
1
dx =
2a
√
π
a
x
1 π
dx = ( )2
eax − 1
6 a
1 π 2
x
dx =
( )
eax + 1
12 a
x3
1 π 4
dx =
( )
−1
15 a
eax
0
•
−ax
π
b2
exp[ 2 ]
a
4a
∞
8 π 6
x5
dx =
( )
−1
63 a
eax
∫
•
sin x dx = − cos x + C
∫
•
cos x dx = sin x + C
∫
•
tan x dx = − log | cos x| + C
∫
•
∫
•
∫
•
∫
•
x
1
1 − cos x
1
dx = log | tan | + C =
log
+C
sin x
2
2
1 + cos x
1
1 + sin x
1
dx =
log
+C
cos x
2
1 − sin x
1
dx = log | sin x| + C
tan x
1
1
2 dx = − tan x + C
sin x
3
∫
•
∫
•
1
dx = tan x + C
cos2 x
1
1
−x+C
dx = −
tan x
tan2 x
∫
•
sin2 x dx =
1
1
x − sin 2x + C
2
4
cos2 x dx =
1
1
x + sin 2x + C
2
4
∫
•
∫
•
tan2 x dx = tan x − x + C
∫
•
sin3 x dx = − cos x +
∫
•
cos3 x dx = sin x −
∫
•
tan3 x dx =
sin ax cos ax dx =
sin2 ax
+C
2a
sin ax cos bx dx =
− cos[(a − b)x] cos[(a + b)x]
−
+C
2(a − b)
2(a + b)
∫
•
∫
•
∫
•
∫
•
∫
•
dx
1
=
log | tan ax| + C
sin ax cos ax
a
sin−1 x dx = x sin−1 x +
tan−1 x dx = x tan−1 x −
√
1 − x2 + C
(sin−1 x = arcsin x)
(cos−1 x = arccos x)
1
log(1 + x2 ) + C
2
eax sin bx dx =
eax
(a sin bx − b cos bx) + C
a2 + b2
eax cos bx dx =
eax
(a cos bx + b sin bx) + C
a2 + b2
∫
•
√
1 − x2 + C
cos−1 x dx = x cos−1 x −
∫
•
1
sin3 x + C
3
1
tan2 x + log | cos x| + C
2
∫
•
1
cos3 x + C
3
∫
•
sinh x dx = cosh x + C
4
∫
•
cosh x dx = sinh x + C
{
∫
•
sinh x cosh x dx =
∫
d
•
dx
•
•
1
2
1
2
cosh2 x + C
sinh2 x + C
x
f (y) dy = f (x)
(a：定数 )
a
∫
d
dx
∫
x
x
f (x, y) dy = f (x, x) +
a
∫
d
dx
a
u(x)
f (x, y) dy = f (x, u(x))
v(x)
∫
∂
f (x, y) dy
∂x
du
dv
− f (x, v(x))
+
dx
dx
∫
u(x)
v(x)
∂
f (x, y) dy
∂x
∫
•
∇ · F (x) d3 x =
V
F (x) · n dS
( ガウスの定理 )
S
V は 3 次元体積、S はそれを囲む閉曲面、n は閉曲面 S の単位法線ベクトル (外向きを正)。F (x) が閉曲面
S 上で 0 なら積分は 0。
∫
• a
b
∫
f (x) dx ≤
b
|f (x)| dx
a
5