Tema 7. Mecanica de Fluidos

Mecánica de Fluidos
1. Introducción.
2. Conceptos de densidad y presión.
3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos.
a) Principio de Pascal.
b) Presión manométrica y presión atmosférica.
c) Principio de Arquímedes.
4. Movimiento de fluidos en régimen estacionario.
a) Ecuación de continuidad.
b) Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones.
5. Flujo viscoso. Viscosidad.
6. Ley de Poiseuille.
7. Movimiento de sólidos en el seno de fluidos. Ley de Stokes.
1
1. Introducción.
Un fluido es una sustancia que no puede mantener su propia forma y, por ello, fluye
fácilmente bajo la influencia de fuerzas aplicadas. Los líquidos y los gases son fluidos.
A diferencia de los sólidos, en los que las fuerzas intermoleculares mantienen a los átomos
formando una estructura rígida, los fluidos experimentan fuerzas intermoleculares débiles.
En los líquidos, a diferencia de los sólidos, las fuerzas intermoleculares son lo
suficientemente fuertes para mantener a las moléculas en estrecho contacto, pero
son demasiado débiles para impedirles moverse fácilmente unas sobre otras.
En los gases las fuerzas intermoleculares son casi despreciables, y el gas se
mantiene unido esencialmente por fuerzas externas. Estas fuerzas provienen de las
paredes del recipiente o, en sistemas de tamaño astronómico, como las estrellas o
atmósferas de planetas, por la gravedad. En el caso del almacenamiento de los gases
en estado de plasma (gases de partículas cargadas) se utilizan fuerzas magnéticas.
Estudio de los Fluidos
• Estática de Fluidos
• Dinámica de Fluidos
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2. Concepto de densidad y presión (I).
La densidad másica o, simplemente, densidad de un fluido, que es uno de los factores que
determinan su comportamiento, (ρ), se define como la masa por unidad de volumen.
ρ=
m
V
La densidad en un punto concreto del fluido se define como:
ρ=
dm
dV
De acuerdo a su densidad los fluidos se pueden clasificar en compresibles e incompresibles.
• Un fluido compresible puede variar su volumen al ser sometido a fuerzas externas y,
consecuentemente, su densidad.
• Un fluido incompresible no varía su volumen cuando se le somete a fuerzas externas y,
por tanto, su densidad no varía.
Los líquidos son fluidos prácticamente incompresibles, no así los gases cuya densidad
puede ser alterada fácilmente por simple compresión (No obstante si ∆p es muy pequeña,
ρ puede ser considerada casi constante incluso en gases como el aire).
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2. Concepto de densidad y presión (II).
Se define la presión media pm como la fuerza normal (F) por unidad de área (A) que el
fluido ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene o sobre una región
adyacente de fluido.
pm =
F
A
Se define la presión p del fluido en un punto específico como:
∆F dF
=
∆A → 0 ∆A
dA
p = lim
La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal (1 Pa = 1 N/m2). En el
sistema CGS la unidad se llama baria (1 baria = 1 dina/cm2). Otras unidades de presión
son:
- El Bar o megabaria (Bar): 1 Bar = 106 barias = 105 Pa
- El milibar (mb): 1 mb = 10-3 Bar = 103 barias = 100 Pa
- La atmósfera (atm): 1 atm = 1,013·105 Pa = 1013 mb
- El mm de Hg (Torr): 760 Torr = 1 atm
- El kgf/cm2: 1 kgf/cm2 = 9,8 104 Pa ≈ 1 Bar
El aparato usado para medir la presión de un fluido se llama manómetro.
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3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos (I).
Si un fluido se encuentra en reposo la fuerza neta que se ejerce
sobre él debe ser cero. Cuando un fluido cumple esta condición, se
dice que se halla en equilibrio hidrostático.
Supongamos un fluido en equilibrio hidrostático sometido a la
acción de la gravedad. Consideremos una porción del mismo de
forma cilíndrica. Este cilindro se encontrará en equilibrio bajo la
acción de las diferentes fuerzas provenientes del resto del fluido
y del campo gravitatorio. Por tanto:*
∑F = 0
O bien:
⇒
⇒
m g = ( p0 − p ) A
z
y
Podemos escribir que:
ρ A g ∆z = ( p0 − p ) A
∆p
= −ρ g
∆z
F0 + P + F = 0
− p0 A − m g + p A = 0
Ya que: m = ρ V = ρ A ∆z
O bien:
∆z
⇒
{ ∆p = p − p }
0
⇒
Si ∆z tiende a cero se verifica
x
∆p = − ρ g ∆z
dp
= −ρ g
dz
* Por simetría, podemos asumir que la resultante de las fuerzas laterales (radiales) es nula.
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3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos (II).
La ecuación anterior se considera la ecuación fundamental de la estática de fluidos.
Téngase en cuenta que hemos considerado positivo el eje Z en el sentido de aumento de
altura (o de disminución de profundidad). Así, efectivamente, al aumentar la altura (o
disminuir la profundidad) la presión disminuye.
Si ρ es constante, como en el caso de los líquidos que son prácticamente incompresibles,
la integración de la ecuación fundamental de la estática de fluidos conduce a:
p = − ρ g z + Cte
La constante de integración dependerá de las condiciones iniciales. Así, considerando z = 0
en la superficie del líquido (ver Figura), tendremos que Cte = p0, siendo p0 la presión sobre
la superficie libre, que, normalmente, será la atmosférica.
p = p0 − ρ g z
Si llamamos
∆p = p − p0
∆p = − ρ g z
Esta ecuación constituye el Principio fundamental de la hidrostática: La diferencia de
presión entre dos puntos de un fluido incompresible equivale al peso de una columna de ese
fluido de sección unidad y de altura igual a la distancia vertical entre esos dos puntos.
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Ejemplo 1.
Calcular la altura de la atmósfera si la densidad del aire: a) fuese constante e igual a la
densidad a nivel del mar (ρ0), b) decreciera linealmente con la altura hasta llegar a cero.
Considérese la temperatura constante. DATOS: ρ0 = 1,29 kg/m3, patm = 1,023·105 Pa (a
nivel del mar).
a) Densidad del aire constante. Consideremos la ecuación:
0
∫p
atm
Sustituyendo valores:
h
dp = ∫ − ρ0 g dz
0
⇒
1, 013 ⋅ 105 = 1,29 ⋅ 9, 8 h
dp
= −ρ g
dz
− patm = − ρ0 g h
⇒
h = 8.013 m
b) Si la densidad decrece linealmente con la altura hasta llegar a cero, tenemos que:
ρ = ρ0 − k z
Donde la constante k debe tener un valor tal que se cumpla:
Es decir: k =
0
∫p
atm
h
ρ0
h
dp = ∫ − ρ0 g dz
0
patm =
Para z = 0 ⇒ ρ = ρ 0
Para z = h ⇒ ρ = 0
Por tanto:
⇒
1
ρ0 g h
2
− patm
⇒

h2 
= g ρ0 h −

2
h


ρ
= − ∫  ρ0 − 0 z  g dz
0 
h 
⇒
patm
1
1,29 ⋅ 9, 8 h
2
⇒
h = 16.026 m
h
1, 013 ⋅ 105 =
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3a. Principio de Pascal.
De la ecuación fundamental de la hidrostática se deduce que todos los puntos que se
hallen en el mismo plano horizontal en un fluido incompresible están sometidos a la misma
presión. Así, si p0 aumenta por cualquier causa (por ejemplo la acción de un émbolo), la
presión en cualquier punto de la masa del líquido aumentará también en esa misma
cantidad. Este hecho fue reconocido por vez primera por Blaise Pascal (1.623-1.662) y se
conoce como el Principio de Pascal: La presión ejercida sobre un punto de un fluido
incompresible encerrado se transmite sin disminución alguna a todo punto del fluido y a
todas las paredes del recipiente que lo contiene.
Una importante aplicación del principio de Pascal es la
prensa hidráulica. Aplicando una fuerza F1 al émbolo
pequeño de área A1, como la presión debe ser la misma
a ambos lados (por estar en la misma horizontal), se
cumplirá que:
F
F
p= 1 = 2
A1 A2
⇒
A2
F2 = F1
A1
Así la fuerza F2 es mayor que F1 en un factor A2 /A1.
Los gatos hidráulicos y los elevadores de automóviles emplean este principio.
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3b. Presión manométrica y presión atmosférica.
Manómetro de tubo abierto: es un medidor de presión
simple que está constituido por un tubo en forma de U
que está abierto por una de las partes y, por tanto, a
la presión atmosférica patm. La otra parte del tubo se
encuentra a la presión p que se desea medir.
La diferencia entre la presión absoluta p, que se quiere medir,
y la atmosférica, patm, se denomina presión manométrica.
p = pmanometrica + patm
pmanometrica = p − patm = ρ g h
Barómetro de tubo en U: se utiliza para medir la
presión atmosférica. Consta de una parte cerrada y en
la que se ha hecho el vacío de forma que la presión en
su interior es nula. El otro extremo se encuentra
abierto y a la presión atmosférica, patm. En este caso:
patm = ρ g h
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3c. Principio de Arquímedes (I).
Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza de
empuje vertical y ascendente, cuya magnitud es igual al peso del fluido desalojado y cuya
línea de acción pasa por el centro de gravedad de dicho líquido desalojado.
Consideremos una cierta porción de fluido limitada por una superficie cerrada. Si el
fluido está en equilibrio, la porción considerada también lo estará. Como consecuencia el
peso de la porción de fluido debe verse compensado por el resultado de las presiones que
ejercidas sobre la superficie considerada, las cuales dan lugar a la denominada fuerza de
empuje, E. Obsérvese que esta fuerza surge debido a que la presión en la parte inferior
de la porción considerada será algo mayor que en la superior (ecuación fundamental de la
hidrostática).
Si sustituimos esa porción
de fluido por un cuerpo de
exactamente la misma
forma actuaría el mismo
empuje, aunque ahora el
peso sería distinto.
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3c. Principio de Arquímedes (II).
De acuerdo con el Principio de Arquímedes, el empuje E viene dado por:
E = ρ0 g V
Siendo ρ0 la densidad del fluido. El peso aparente del cuerpo será:
Paparente = P − E = ( ρ − ρ 0 ) g V
Así, pueden presentarse tres casos:
Si ρ > ρ 0 ⇒ P > E → El cuerpo se hunde
Si ρ = ρ 0 ⇒ P = E → El cuerpo queda en Equilibrio
Si ρ < ρ0 ⇒ P < E → El cuerpo asciende
En este último caso, el cuerpo asciende hasta que la parte que quede sumergida sea
tal que el empuje que reciba sea igual al peso del cuerpo, para que de esta forma se
alcance el equilibrio (cuerpos flotantes).
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Ejemplo 2.
Una barra uniforme AB, de 3,6 m de longitud y 12 kg de masa está sujeta en el extremo B
por una cuerda y lastrada en el extremo A con una masa puntual de 6 kg. La barra flota
como se indica en la figura, con la mitad de su longitud sumergida en el agua. Despreciando
el empuje sobre el lastre, calcular: a) la tensión de la cuerda y b) el volumen total de la
barra.
T
E
B
A
A
B
θ
P
PA
T = 20 N
a) Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑F
∑ MB = 0
⇒
=0
⇒ T + E − PA − P = 0
120 + 60 = E +T
L
3 
E  L  cos θ − 120 cos θ − 60 L cos θ = 0
2
4 
b) Como conocemos el empuje, tenemos que:
Por tanto:
⇒
160 = 1000
VTOTAL
2
10
E = ρ g VS
⇒
donde VS =
⇒ VTOTAL = 0, 032 m
3
E = 160 N
VTOTAL
2
12
Ejemplo 3.
El cuerpo A de la figura está suspendido de un dinamómetro, y se
encuentra sumergido en un líquido contenido en la vasija B. La masa
de la vasija es de 1 kg y la del líquido de 3 kg. El conjunto descansa
sobre una balanza C que marca 5 kg. Si el dinamómetro marca 4 kg y
el volumen del cuerpo A es de 1 dm3, determinar: a) la densidad del
líquido, y b) ¿qué marcará tanto el dinamómetro como la balanza C si
se saca el cuerpo A del líquido?
a) La fuerza sobre el dinamómetro, T, vendrá dada por:
T = mA g − E
Y sobre la balanza: F = mB g + mliq g + E
Luego:
Por tanto:
donde
50 = 1 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 + E
ρliq =
E
VA g
=
⇒
E = ρliq VA g
E = 10 N
10
= 103 kg/m3
−3
1 ⋅ 10 10
b) De la ecuación del dinamómetro obtenemos el valor de la masa de A.
40 = mA 10 − 10
⇒
mA = 5 kg
En consecuencia, si sacamos A del líquido el dinamómetro marcará 5 kg. Y la balanza C,
marcará lo que corresponda al líquido y la vasija, es decir, 4 kg.
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4. Movimiento de fluidos en régimen estacionario.
Nos referiremos sólo el movimiento de fluidos ideales en estado estacionario.
• Fluidos ideales: son fluidos incompresibles (densidad constante) y no viscosos (fluyen
sin disipación de energía mecánica).
• Flujo estacionario: la velocidad de las partículas de fluido en cualquier punto no varía
con el tiempo.
Dos conceptos a tener en cuenta:
1. Línea de corriente: línea imaginaria tal que la velocidad del fluido en cualquier punto
de ella es tangente a la misma. Si el flujo es estacionario las líneas de corriente no
pueden cortarse.
2. Tubo de corriente: región tubular cuyas paredes tabulares están constituidas por
líneas de corriente. En el caso de flujo estacionario, el tubo de corriente tiene la
propiedad de que sus paredes no pueden ser atravesadas por el fluido. Así pues, en
el régimen laminar, un tubo de corriente es análogo a una tubería que tuviese su
misma forma.
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4a. Ecuación de continuidad.
Establece el principio de conservación de la masa de un fluido en régimen estacionario.
Supongamos un fluido ideal en el interior de un tubo de corriente, de sección no uniforme,
en régimen estacionario. En un intervalo de tiempo dt el fluido habrá avanzado una
distancia dx1 en la parte baja de la tubería y una distancia dx2 en la parte alta. Tal que:
dx1 = v1 dt 

dx 2 = v 2 dt 
Las masas elementales que en ese tiempo
atraviesan las secciones A1 y A2 serán:
dm1 = ρ1 A1 dx1 = ρ1 A1 v1 dt 
dm2 = ρ 2 A2 dx 2 = ρ 2 A2 v 2 dt 
Al ser el flujo estacionario la masa debe
conservarse y, por tanto:
ρ1 A1 v1 = ρ 2 A2 v 2
Además, por tratarse de un fluido incompresible la ρ es constante, quedando finalmente:
A1 v1 = A2 v 2 = Constante
El producto A·v tiene dimensiones de volumen/tiempo (Gasto o Caudal de fluido).
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4b. Ecuación de Bernouilli.
Establece el principio de conservación de la energía de un fluido en movimiento.
Supongamos un fluido ideal en régimen estacionario en el interior de un tubo de
corriente, de sección no uniforme, como indica la figura. De acuerdo con el teorema del
trabajo y la energía, el trabajo realizado sobre el fluido para pasar desde la posición 1 a
la posición 2 vendrá dado por:
dW (1 → 2 ) = dEc
Donde:
dW (1 → 2 ) = dWg (1 → 2 ) + dWp (1 → 2 )
Es decir:
dWg (1 → 2 ) = −dU g = g ( h1 − h2 ) dm
dWp (1 → 2 ) = ( p1 − p2 ) dV
Además, por otra parte:
Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:
p1 + ρ g h1 +
dEc =
1 2
v 2 − v12 dm
2
(
)
1
1
ρ v12 = p2 + ρ g h2 + ρ v 22
2
2
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Ejemplo 4.
Por un tubo vertical de diámetro D sale un líquido incompresible. A 75 cm por debajo de la
salida del tubo la vena líquida tiene un diámetro D/2. Calcular la velocidad con la que sale
el líquido del tubo. Tome g = 10 m/s2.
Apliquemos la ecuación de Bernouilli entre los puntos 1 y
2, como muestra la figura adjunta.
p1 + ρ g h1 +
1
1
1
ρ v12 = p2 + ρ g h2 + ρ v 22
2
2
Ya que: p1 = p2 = patm , la ecuación anterior queda como:
0,75 m
ρ g ( h1 − h2 ) =
2
1
ρ v 22 − v12
2
(
)
De acuerdo con la ecuación de continuidad tenemos que:
2
A1 v1 = A2 v 2
⇒
2
D 
D 
π   v1 = π   v 2
2
4
⇒ v 2 = 4 v1
Sustituyendo en la ecuación de Bernouilli.
g ( h1 − h2 ) =
1
16 v12 − v12
2
(
)
⇒
10 ⋅ 0, 75 =
1
15 v12
2
⇒ v1 = 1 m/s
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Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (I).
Efecto Venturi: Consideremos una tubería con un estrechamiento, como muestra la figura.
Si aplicamos Bernouilli entre los punto 1 y 2, que se
encuentran a la misma altura:
p1 +
1
1
ρ v12 = p2 + ρ v 22
2
2
O bien:
p1 = p2 +
1
ρ v 22 − v12
2
(
)
Cuando aumenta la velocidad de un fluido, disminuye su presión
Haciendo uso de la ecuación de continuidad entre esos mismos dos puntos: A1 v1 = A2 v 2 se deduce
que, al ser A1 > A2, se cumple que v1 < v2. En consecuencia, en un estrechamiento aumenta la velocidad
del fluido pero disminuye la presión.
El Venturímetro o Medidor Venturi, que se utiliza para medir el gasto o caudal en una tubería,
hace uso de este principio.
Compruebe que el caudal Q de la tubería viene dado por:
Q = A1 A2
2 ( p1 − p2 )
(
ρL A12 − A22
)
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Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (II).
El pulverizador: Apretando el bulbo de la izquierda se
obliga al aire a atravesar el estrechamiento del tubo a
mayor velocidad pero con la presión reducida respecto a
la presión atmosférica. Debido a la diferencia de
presiones que resulta, el líquido contenido en el vaso se
ve forzado a introducirse en la corriente de aire a
través del tubo vertical y emerge por la boquilla. Un
efecto análogo tiene lugar en el carburador de un motor
de gasolina.
Aviación: La base de la sustentación dinámica del ala
de un avión está también en la ecuación de Bernouilli.
Debido a la forma del ala, el aire fluirá a mayor
velocidad por la parte superior, lo que se traduce en
una menor presión en esa zona que en la inferior. De
esta forma la diferencia de presión ejercerá una
fuerza neta hacia arriba que es la responsable de la
sustentación del avión.
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Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (III).
El Teorema de Torricelli: Consideremos un tanque lleno de un fluido ideal, abierto por arriba, con un
pequeño orificio a una altura ∆h por debajo de la superficie del líquido, por donde fluirá este hacia
el exterior.
Si aplicamos la ecuación de Bernouilli entre los
puntos a (superficie) y b (orificio), considerando
que la velocidad en la superficie es prácticamente
nula, tenemos que:
pa + ρ g ha = pb + ρ g hb +
1
ρ vb2
2
Además, la presión en los puntos a y b será la
propia presión atmosférica, ya que ambos
puntos están abiertos al aire, por tanto:
ρ g ha = ρ g hb +
1
ρ vb2
2
Despejando la velocidad, se obtiene:
vb2 = 2 g ( ha − hb ) = 2 g ∆h
⇒ vb = 2 g ∆h
Obsérvese que la velocidad con que sale el líquido del tanque abierto a la atmósfera es la misma
que la que tendría el líquido si cayera libremente desde una altura ∆h igual al nivel del fluido por
encima del orificio. Este resultado se conoce como Teorema de Torricelli.
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5. Flujo viscoso. Viscosidad (I).
Si un fluido ideal fluye por una tubería de sección transversal constante, de acuerdo con
el Teorema de Bernouilli, la presión se mantiene constante a lo largo de la tubería. En la
práctica, sin embargo, se observa una caída de presión a medida que nos desplazamos por
la tubería. Esto se debe al hecho de que en los fluidos reales tiene lugar una fuerza de
resistencia al desplazamiento del fluido sobre las paredes de la tubería y también entre
las láminas adyacentes del fluido.
V
Fluido Ideal
V
Fluido Real
Estas fuerzas de resistencia se denominan Fuerzas viscosas. El resultado es que cuando
un fluido real (viscoso) fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro del
fluido que en las regiones más exteriores.
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5. Flujo viscoso. Viscosidad (II).
Viscosidad: Consideremos un fluido confinado entre dos placas, cada una de ellas de
área A y separadas una distancia z. Manteniendo la placa inferior en reposo, se tira de
la placa superior con una fuerza F de forma que aquella se mueva con una velocidad
constante v. Se observa que la tensión de cizalladura, F/A, es proporcional al gradiente
de velocidad del fluido entre las láminas, es decir:
F
dv
∝
A dz
Que puede convertirse en igualdad a través de
una constante de proporcionalidad, η, denominada
coeficiente de viscosidad o simplemente
viscosidad.
F
dv
=η
A
dz
La unidad de viscosidad en el S.I. es el Pascal por segundo (Pa·s), mientras que en el
sistema cegesimal (C.G.S.) es el poise (P), siendo la equivalencia:
1 Pa ⋅ s = 10 P
Cumpliéndose igualmente que:
1 mPa ⋅ s = 1 cP
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6. Ley de Poiseuille.
Cuando un fluido viscoso fluye por una tubería, su
velocidad es mayor en el centro de la misma.
Próximo a las paredes de la tubería el fluido
tiende a permanecer en reposo.
Se observa que la diferencia de presión entre dos
puntos 1 y 2, separados una distancia L (siguiendo
la dirección de la corriente) resulta ser
proporcional al caudal (Q), es decir:
∆p = p1 − p2 = K Q
La constante de proporcionalidad K da una medida de la resistencia al flujo del líquido y
depende de la longitud L, del radio de la tubería y de la viscosidad del fluido.
Puede demostrarse que el valor de K para un flujo estacionario
en un tubo de sección circular de radio r viene dado por:
K =
8η L
π r4
Que combinada con la ecuación anterior de la pérdida de presión conduce a:
∆p =
8η L
π r4
Q
Ecuación que se conoce como ley de Poiseuille.
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7. Movimiento de sólidos en el seno de fluidos. Ley de Stokes.
Analizaremos tan sólo el caso de un objeto esférico de radio R en un fluido de viscosidad
η. Las fuerzas que actúan sobre este cuerpo serán la fuerza peso, el empuje, según el
principio de Arquímedes, y la fuerza viscosa.
El módulo de la fuerza viscosa que actúa sobre un sólido
esférico de radio R viene dado por la ecuación de Stokes:
Fv = 6 π η v R
Fv
E
Donde v es la velocidad del cuerpo en el seno del fluido.
Significa, por tanto, que la fuerza viscosa que actúa sobre
el objeto irá aumentando a medida que aumenta la
velocidad. Llegará un momento, sin embargo, en que la suma
de fuerzas sea cero, en cuyo caso el cuerpo deja de
acelerar y mantendrá una determinada velocidad que se
conoce como velocidad límite.
R
P
Es decir:
P + E + Fv = 0
⇒
m g − mL g − 6 π vlim η R = 0
donde m es la masa del objeto y mL la del líquido desalojado. En consecuencia.
4
4
ρ π R 3 g − ρL π R 3 g = 6 π vlim η R
3
3
⇒ vlim
2 R 2g
ρ − ρL )
=
(
9η
24