APLICACIÓN MATEMÁTICA FINANCIERA TASA PORCENTUAL

1
APLICACIÓN MATEMÁTICA FINANCIERA
TASA PORCENTUAL
Tasa.- Es una o varias partes que se toman de una cantidad.
Clases:
Existen las tasas del tanto por uno, del tanto por ciento, del tanto por mil, etc.
Tanto por uno.- para encontrar el tanto por uno dividimos el número dado para el
total
Tanto por cien.- para encontrar el tanto por cien multiplicamos el tanto por uno
por cien, al tanto por cien, también se lo conoce con el nombre de porcentaje.
Tanto por mil.- para encontrar el tanto por mil multiplicamos el tanto por uno por
mil.
Ejemplo.
En una provincia x, se reúnen los alcaldes de 5 cantones para tratar sobre la
desnutrición existente. Hallar el tanto por uno, cien y mil.
CANTONES
total
#
cociente
Tanto x 1
X 100
X10
X10000
00
Pelucones
800
80
Sube
500
Pitufos
Chavos
80/800
0.1
10
100
1000
180 500/180
0.36
36
360
3600
700
300 700/300
0.4285
43
429
4285
1000
150 150/100
0.5
15
150
1500
0.6538
65
654
6538
rápido
0
Mamita
pega duro
Roberto
650
425 650/425
2
Estas tasas sirven para indicar en qué porción una cantidad se incrementa o se
Toda tasa de incrementó, tiene una tasa de disminución que nos permite regresar a
la cifra original.
FORMULAS:
ti 
td
1  td
De donde
Ti = tasa de incremento
Td = tasa de disminución
(1 - td) ti = td
ti – td ti = td
-td ti - td = -ti
td ti + td = ti
td (ti + 1) = ti
td 
ti
ti  1
Ejemplo
De $ 2000 incrementar el 30%. Hallar la tasa de disminución.
$2000
100%
X
30%
X= $2000 X 30%
100%
X=$ 600
TOTAL = $ 2600
Roberto
td 
td 
ti
ti  1
0.3
 td  0.2307100
0.3  1
td = 23,076923
3
2600
100%
X
23.0769%
X = $ 600
Total= $ 2600 - $ 600 = $ 2000
De $ 3500 disminuir el 15% hallar la tasa de incremento
$ 3500
100%
X
15%
X= $525
Total= $2975
DEBER
1. Realizar dos ejemplos encontrando la tasa de disminución y dos ejemplos
encontrando la tasa de incremento.
2. En una ciudad x, se reunieron los rectores de 5 colegios para tratar sobre
los alumnos perdidos el año. Hallar el tanto por uno, cien, mil, diez mil.
Colegios
total
#
Olmedo
530
32
Nacional
342
15
Pedro
850
45
Quito
630
37
Benjamín
420
26
cociente
Tanto x 1
X 100
X 1000
X10.000
3. En una ciudad x, se reunieron los alcaldes de 6 cantones a tratar sobre el
analfabetismo. Hallar el tanto por uno, cien, mil, diez mil.
cantones
total
#
Pucara
856
85
Roberto
cociente
Tanto x 1
X 100
X 1000
X10.000
4
Girón
1180
100
Paute
972
82
Oña
2420
185
Chardeleg
1500
105
4. De $ 1800 incrementar el 40%. Hallar la tasa de disminución
5. De $ 6000 disminuir el 20%, hallar la tasa de disminución
6. De $ 7200 disminuir el 35%, hallar la tasa de incremento
Nota: Ponga 4 ejemplos de su creación, 2 hallando la td y 2 la de ti.
FORMULAS PARA ENCONTRAR EL IMPORTE DE VENTA
a) Sabiendo el porcentaje sobre el costo
V= C (1 + i)
b) sabiendo el porcentaje sobre el importe de venta.
V
c
1 i
De donde
V = Importe de venta
C = Costo
i = (porcentaje)
EJEMPLOS:
1. Gabriela compra un abrigo cuyo costo fue de $ 700.
a) Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30%.
Roberto
5
b) Encontrar el importe de venta si se desea obtener una utilidad del 30% sobre el
importe.
a) V= C (1+i)
V
b)
V
V= $700(1+0.3)
V=$910
c
1 i
700
1  0.30
V  $ 1000
2. Se compra un artículo pagando $400 y la ganancia es un porcentaje del 30%
sobre el costo, hallar el importe de venta.
a) V= C (1+i)
V= $400(1+0.3)
V=$520
3. Se tiene un articulo cuyo costo es $ 5850 se deseas venderlo ganando 35% del
importe de venta hallar dicho importe de venta.
V
5850
 V  $ 9000
1  0.35
4. Se tiene un artículo que se vende en $6500, hallar el costo que se sabe que se
está ganando 30% sobre el costo.
C
V
6500
C 
 C  $ 5000
1 i
1  0,30
5. Un artículo se ha fijado un importe de venta de $8000, hallar el costo, si se sabe
que se está ganando 22% de la venta
C= V (1-i)
Roberto
6
C= $8000(1 - 0.22)
C=$8000(0.78)
C=$ 6240
DEBER
1. Se tiene un artículo que se vende en $7200, hallar el costo que se sabe que se
está ganando el 20% sobre el costo.
2. Se vende un artículo cuyo costo es $ 12.500 hallar el costo, si se sabe que se está
ganando 35% de la venta.
3. A un artículo se lo ha fijado un importe de venta de $8600, hallar el costo, si se
sabe que se está ganando 32% de la venta.
4. Se tiene una refrigeradora que se vende en $ 750. Hallar el costo si se sabe que
se está ganando 25% sobre el costo.
5. A un artículo se lo ha fijado un importe de venta de $5200, hallar el costo, si se
sabe que se está ganando 28% de la venta.
DESCUENTOS MERCANTILES E IMPORTE DE VENTA
Estos descuentos se realizan por
a) Fechas especiales
b) liquidación
c) Promociones
d) Pago en efectivo
e) Compras al por mayor, etc.
Para encontrar el importe de venta cuando se realizan una serie de descuentos
aplicamos la siguiente formula.
V= L (1 - d1) (1 - d2) (1 - d3)……….. (1 – dn)
De donde
V= importe de venta
Roberto
7
L= Valor (importe de lista)
D= Descuento
L
V
1  d1 1  d 2 .......1  d n 
Ejemplo
1. Si una empresa, entre otros artículos expende sillones para enanos este
artículo esta en promoción por eso la fábrica los vende con el 5% de
descuento, además por la compra de 300 o más unidades, otorga un
descuento adicional de 10% Un Cliente, el Señor Teófilo Bonito compra 300
unidades. El importe de lista unitaria es $ 115 calcular el importe de venta
total que realmente se cobrara.
Venta
Verificación
300 unidades x $ 115= $ 34500
$3500
100%
x
5%
V= L (1-d1) (1-d2)
V= $34500 (1-.0.05) (1-0.10)
V=$ 29497.50
X= 34500
-1725
PRECIO 3277.5 -10%
32775
100%
X
10%
X= $3277.5
X=$32775 - $3277.5
X=$ 29497.40
2. La empresa amigos Sociedad Anónima tiene un articulo al cual le ha fijado
un importe mínimo de venta de $ 1131.60 El gerente de ventas desea
calcular un importe de lista para asignar en su catalogo y poder ofrecer un
descuento de 8% por promoción y otro descuento de 25% por volumen
Roberto
8
para quienes compren $50 o más unidades calcular el valor de venta
unitario-
L
V
1  d1 1  d 2 .......1  d n 
L
1131.60
1  0.081  0.25
L= $1640
3. En una empresa, entre otros artículos, expende televisores este articulo esta
en promoción, por eso la fábrica lo vende con un 10% de descuento además
por la compra de 100 o más unidades, otorga un descuento adicional del
15% La señora Mercedes Gonzales compra 180 unidades El importe de lista
unitario es $ 235 calcular el importe de venta total que realmente se
cobrara.
Venta
Verificar por favor
180 unidades x $ 235= $ 42300
$42300
V= L (1-d1) (1-d2)
x
100%
5%
V= $42300 (1-.0.10) (1-0.15)
X= 34230
V=$ 32359.50
X=42300-4230
PRECIO $ 38070
38070
100%
X
15%
X= $5710.50
X=$38070 - $ 5710.50
X=$ 32359.50
4. En una empresa, entre otros artículos expende licuadoras este articulo esta
en promoción por eso la fabrica lo vende con un 8% de descuento además
Roberto
9
por la compra de 450 o más unidades, otorga un descuento adicional del
12%.El Señor señora Luís Martínez compra 500 unidades El importe de
lista unitario es $75 calcular el importe de venta total que realmente se
cobrara.
Venta
Verificación
500 unidades x $ 75= $ 37500
$37500
V= L (1-d1) (1-d2)
x
V= $37500 (1-.0.08) (1-0.12)
X= $3000
V=$ 30360
X=37500-3000
100%
8%
X= $ 34500
34500
100%
X
12%
X= $4140
X=$34500 - $ 4140
X=$ 30360
EJERCICIOS PROPUESTOS
a. Hallar la td para ti de 18%
b. De $5000 incrementar el 18%. Hallar la tasa de disminución.
c. De $5300 disminuir el 28%. Hallar la tasa de incremento.
d. Se tiene un artículo cuyo costo es $ 900. Se desea venderlo ganando 40%
del costo. Hallar el importe de venta.
e. Se tiene un artículo cuyo costo es $ 1994. se desea venderlo ganando 17%
del importe de venta. Hallar dicho importe de venta.
f. Se tiene un artículo cuyo importe de venta es $ 1380. Con ese importe de
venta, se está ganando 15% del costo. Calcular dicho costo.
g. Se tiene un articulo cuyo importe de venta es $ 2400 Sabemos que está
ganando 16% de dicho importe de venta. Calcular el costo.
h. Un artículo se vende en $ 4680 ganando 30% sobre el importe de la compra.
Hallar dicho importe de compra.
Roberto
10
i.
Un artículo se vende en $11000 ganando 22% del importe de la venta.
Hallar el importe de la compra.
j.
Un artículo costo $413.60 se desea venderlo ganando 15% del costo y
otorgando un descuento de 20% sobre el importe de lista.
k. Un articulo costo $ 1411.20la empresa desea venderlo ganando el 16% de la
venta y otorgando un descuento del 30% sobre importe de lista hallar L.
l.
El importe de lista de un artículo es $ 1560 se vende otorgando dos
descuentos sucesivos de 16% y 5% hallar el importe de venta.
m. El importe de lista de un artículo es $ 150 se vende otorgando tres
descuentos sucesivos del 10%,16% y 4% hallar el importe de venta.
n. Un artículo costaba $ 25 y ahora cuesta $33 calcular el porcentaje de
variación.
Respuesta. 32% Realizar la verificación.
TIEMPO ORDINARIO Y EXACTO
Tiempo Ordinario.- Para calculare el tiempo ordinario, se considera: El mes
comercial igual 30 días, el año comercial igual 360.
Tiempo Exacto.- Le considera a cada mes los días que le corresponde.
Año bisiesto es el que tiene 366 días, es bisiesto cuando sus dos últimas cifras son
00 o múltiplos de 4.
Ejemplo de bisiesto
5124, 2000, 3940, etc.
EJEMPLO
Calcular el tiempo ordinario y exacto desde el 29 de mayo de 1983 al 01 de octubre
el 2007.
Tiempo ordinario
Año 1983
Roberto
11
29 de mayo = 1 d.
Jun., jul., ag. sept., oct.
nov. dic. = 210 días
Años
84, 85, 86, 87, 88, 89, 90
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,99
23 X 360= 8280 DIAS
200, 01, 02, 03, 04, 05, 06.
Año 2007
Ene, feb., mar,
Abr, may, jun,
Jul, agosto, sept, oct = 1 d.
TOTAL= 8762 DIAS.
8762 / 360 = 29.3388889 años
1año comercial
X
1año
360dias
0.3388889
X
360dias
8762dias
X= 122.000004dias
Total 24 años 4meses 2 días.
TIEMPO ORDINARIO Y EXACTO
Roberto
271DIAS.
12
Desde 6 de julio de 1980 al 04 de octubre del 2007
Tiempo ordinario
6 de julio
1980
ag., sep, oct
Nov. dic. =174 dias
81, 82, 83,84, 85, 86, 87, 88, 89,
90,91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,99
23 X 360= 8280dias
2000, 01, 02, 03, 04, 05, 06.
En, feb., mar,
Abr, may, ju
274dias.
Jul, ag, sep, 4 dias oct
SUMA TOTAL= 9808 dias
Tiempo éxacto
6 de julio = 25 dias
1980
ag, sep, oct
Nov.dic =150 +3 Dias ag, oct, dic
26 + 365 dias = 9440
Años
6 dias por los bisiesto,
Total 9496 dias
Roberto
178 Dias
13
9m X30 = 270 dias
5dias de en, mr, my, jul, ago
273dias + 4 oct= 277 dias
SUMA TOTAL= 9951
Transformación en años, meses y días
Ordinario
9808dias / 360dias = 27.2444444años
Meses
1año
12meses
0.244444
X
X= 9.933333328meses
2 mese + 0.93333328meses
Días
1m
30dias
0.9333328
X
X= 28dias
Total 27 años 2 meses 28 días
Exacto
9951dias / 365dias = 27.2630137 años
Roberto
14
Meses
1año
12meses
0.27.2630737
X= 3.1561644 meses
3 meses + 0.1561644meses
Días
1m
30dias
0.0.1561644 X
X= 4.684932 días
Horas
1dia
24horas
0.684932
X
X= 16.438368
16 horas + 0.438368
Minutos
1hora
60minutos
0.438368
X
X= 26.30208 Min.
26 minutos + 0.30208
Segundos
Roberto
X
15
1minuto
60segundos
0.30208
X
X= 18.1248 SEGUNDO
Total 27 años 3 meses 4 días 16 horas 26 minutos 18 segundos.
Del 9 de mayo de 1986 hasta 04 de octubre del 2007
Tiempo ordinario
9 de mayo 21dias
1986
ag, sep, oct, nov, dic.
7x30=210+21= 231dias
87, 88, 89, 90,91, 92,
93, 94, 95, 96, 97, 98,99
20 X 360= 7200dias
2000, 01, 02, 03, 04, 05.
En, fb, mar,
2007
Abr, may, ju
Jul, ag, sep, 4 dia oct
SUMA TOTAL= 7705 dias
Roberto
270dias+4 = 274dias
16
Tiempo exacto
9 de mayo = 22dias
1986
ag, sep, oct
Nov.dic =210 +4 dias ag, oct, dic
20 + 365 dias = 7200
Años
6 dias por los bisiesto,
7206 dias
9m X30 = 270 dias
2007
5dias de em, mr, my, jul, ago
273dias + 4 oct= 277 dias
SUMA TOTAL= 7713
Ordinario
7705dias / 360dias = 21.0427778años
21 años 0.40427778
Meses
1año
12meses
0.402778
X
X= 4.8333336meses
4 meses + 0.83336 meses
Roberto
236dias
17
Días
1m
30dias
0.833336
X
X= 25.000008
Total 21años 4meses 25 días
Exacto
7819 días / 365 días = 21.42191781 años
21 años 0.42191781
Meses
1año
12meses
0.0.421917
X
X= 5.0630136 meses
5 meses + 0.0630136 meses
Días
1m
30dias
0.0630136
X
X= 1.8904109 dias
1 dia + 0.89041095
Horas
1dia
24horas
0.8904109
X
X= 21.36986285
21horas + 0.36986285
Roberto
18
Minutos
1hora
60minutos
0.36986285 X
X= 28 Min.
28 minutos + 0.19177088
Segundos
1minuto
60segundos
0.1917708
X
X= 11.506252 SEGUNDOS
Total 21 años 5 meses 1 días 21 horas 28 minutos 11 segundos.
Desde el 10 de Noviembre de 1978 hasta el 07 de Octubre del 2007
ORDINARIO
10 de noviembre
1978 Dic
=
20
= 1 x 30
=
30
TOTAL
=
50 días
79 − 80 − 81 − 82 − 83 − 84 − 85
86 − 87 − 88 − 89 − 90 − 91 − 92
93 − 94 − 95 − 96 − 97 − 98 − 99 = 28 𝑥 360 𝑑í𝑎𝑠 = 10080
00 − 01 − 02 − 03 − 04 − 05 − 06
E–F–M–R
M – J – Jl – A – Sep. =
270 días
7 días
277 días
Roberto
SUMA TOTAL = 10.407
19
EXACTO
10 de Noviembre
1978 Dic
= 20
= 31
TOTAL
= 51 días
AÑOS
28 x 365 días = 10220 + 8 (bis) = 10228
2007
9 x 30 = 270 + 5 días de E – M – M – Jl – A = 273 DÍAS + 7 Oct = 280 días
SUMA TOTAL = 10559 días
TRANSFORMACIÓN EN AÑOS MESES…
ORDINARIO
AÑOS
DÍAS
10.407 ÷ 360
1 mes
30
28.90833333
0.90
X
28 años 0.90833333
x = 27días
días
MESES
1 año
0.90833333
12 meses
X
10 meses 0.90
= 10.90
Resultado Final 28 años 10 meses 27 días
Roberto
=
20
EXACTO
7 años
10559 ÷ 365
=
28. 92876712
MESES
1 año
12 meses
0.92876712
X
X = 11. 14520548
11 meses
0.14520548
DIAS
1 mes
30 días
0.14520548
X
X = 4.3561644
4 días
0.3561644
HORAS
1 día
24 horas
0.3561644
X
X = 8.5479456
8 horas
0.5479456
MINUTOS
1 hora
60 minutos
0.5479456
X
X = 32.876736
Roberto
21
32 minutos
0.876736
SEGUNDOS
1 minuto
60 segundos
0.876736
X
X = 52.60416
53 segundos
Resultado Final = 28 años 11 meses 4 días 8 horas 32 minutos 53 segundos
INTERES SIMPLE
Interés.- Es la ganancia o beneficio que recibe el prestador o ahorrista por el uso
de su dinero.
Capital.- Es el dinero que se presta o ahorra
Tiempo.- Es el lapso que dura la transacción financiera.
Tanto por ciento.- Es una o varias partes que se toma de cada cien.
Por
comodidad para encontrar el tanto por ciento se aplica la regla de tres simple
directa.
Ejemplo:
1.- De $300 calcular el 15%
Desarrollo
100
15
100
15
100
15
300
$45 = el 15% de 300 es $45
Roberto
22
Aplicando la regla de tres directa, tenemos:
$300
100%
X
15%
X=
15% 𝑋 $300
100%
X = $45
2.- De $500 calcular el 20%
100
20
100
20
100
20
100
20
100
20
500
$100 = el 20% de 500 es $100
Aplicando la regla de tres directa.
$500
100%
X
20%
X=
$500 𝑋 20%
100%
X = $100
Roberto
23
Interés.- Es la ganancia o beneficio que se obtiene por el uso de dinero, en un
tiempo determinado y a un tanto por ciento % fijado.
Monto.- Es la suma del capital más el interés que produce el dinero por su uso.
FÓRMULAS
I = Cit
M=C+I
De donde
I = Interés
M = C + Cit
M = C (1 + it)
C = Capital
𝑇
i = 100 (tanto por ciento)
t = tiempo dado / las partes del año de acuerdo al tiempo dado
Ejemplo:
t = 1 semestre
t = 5 trimestres
1
5
=2
t = 5 semestres
3
12
t = 28 meses
28
= 12
=6
t = 25 semanas
5
=
8
=4
25
=2
t = 3 meses
t = 8 bimestres
= 52
t = 7 quincenas
=
7
26
t = 5 cuatrimestres
5
=3
EJERCICIOS
Determinar el monto y el Interés simple de $ 750 durante
Roberto
24
DATOS
PRIMERA
SEGUNDA FORMA
M=?
I = Cit
M = C (1 + it)
I =?
I = 750. 100 . 12
C =?
I = 30.9375
M=C+I
I=M-C
5,5
9
M = 750 (1 +
5.5
9
. )
100 12
M = $ 780.9375
M = $ 750 + $ 30.9375
I = $ 780.9375 - $ 750
M = $ 780.9375
I = 30.9375
Determinar el monto y el interés simple de $600 durante 5 meses al 6%
DATOS
PRIMERA FORMA
M =?
I = Cit
I =?
I = 600 12 . 100
C = $600
I = $ 15
5
6
T=5M
t = 6%
M=C+I
M = 600 + 15
M = $ 615
DEBER
Resolver aplicando las dos formas.
1. Determinar el monto y el interés simple de $400 durante 7 meses al 8%
2. Determinar el monto y el interés simple de $1550 durante 10meses al 5%
3. Determinar el monto y el interés simple de $ 860 durante 5 trimestres al 10%
4. Determinar el monto y el interés simple de $1600 durante 15 meses al 11%
5. Determinar el monto y el interés simple de $2500 durante 18 meses al 7%
6. Determinar el monto y el interés simple de $980 durante 6 meses al 6 ½ %
Roberto
25
7. Determinar el monto y el interés simple de $1250 durante 11 meses al 5%
8. Determinar el monto y el interés simple de $2670 durante 14 meses al 8%
9. Determinar el monto y el interés simple de $3200 durante 18 meses al 7.5%
10. Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto $1650 es: al $1677.50 en
4 meses, b) $1705 en 10 meses.
11. ¿Qué capital produce en 8 meses a) $48 al 6%? B) $50 al 5%?
12. Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $1650 es $1705 en 10
meses.
13. ¿En qué tiempo un capital de $3000 a) produce $90 al 4% de interés simple? B)
alcanza un monto de $3100 al 5% de interés simple?
14. Hallar el interés simple ordinario y exacto de a) $900 durante 120 días al 5%
15. Determinar la fecha de vencimiento y valor al vencimiento de cada uno de los
siguientes pagarés.
Valor normal
Fecha
Plazo
Tasa de
interés
a)
$2000
25 de Abril
3 meses
6%
b)
$3000
5 de Marzo
8 meses
5 ½%
c)
$1250
10 de Junio
4 meses
5%
d)
$2500
1 de Enero
7 meses
6%
e)
$1600
10 de Febrero
120 días
4%
f)
$3200
28 de Noviembre
45 días
7%
g)
$1500
15 de Agosto
60 días
8%
h)
$2750
5 de Julio
135 días
6%
Ejercicios de aplicación sobre interés simple
1. Fecha focal.- Es la fecha en la cual se va a cancelar una deuda o a su vez es la
fecha del vencimiento.
2. Si no existe fecha focal se elige cualquiera
Roberto
26
3. Si se cancela la deuda después del vencimiento, calculamos el monto.
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
4. Si se cancela la deuda antes del vencimiento, calculamos el capital.
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
5. Si existen dos tanto por ciento se trabaja por separado teniendo presente los
puntos 3 y 4 anotados anteriormente
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
EJERCICIOS
16. Determinar el valor de un préstamo de $2500 con vencimiento dentro de 9
meses.
a) El día de hoy
b) Dentro de 3 meses
c) Dentro de 7 meses
d) Dentro de 1 año, Suponiendo un rendimiento del 6%
a)
b)
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
C=
2500
1+
6
9
.
100 12
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
C=
2500
1+
6
6
.
100 12
C = $2398.34
C = $2427.18
c)
d)
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
Roberto
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
27
C=
2500
1+
C=
6
9
.
100 12
C = $2475.25
2500
1+
6
6
.
100 12
C = $2537.50
17. X obtiene de Y un préstamo de $1200 a dos años, con intereses al 6% ¿Qué
cantidad tendría que aceptar Y como liquidación del préstamo 15 meses
después de efectuado suponiendo que desea un rendimiento del 5%.
S = 1200 (1 +
6
100
.
24
12
)
S = $1344
C=
1344
1+
5
3
.
100 12
C = $1295.42
18. El señor Pérez debe $450 con vencimiento dentro de 4 meses y $600 con
vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago
único inmediato ¿Cuál será el importe de dicho pago suponiendo un
rendimiento del 5%? Utilizar como fecha focal el día de hoy.
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
C=
450
1+
5
4
.
100 12
C = $442.62
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
C=
600
1+
5
6
.
100 12
C = $585.37
1 + C2 = 442.62 + 585.37
Total = $ 1027.99
19. El problema 27 ¿Cuál deberá ser el pago único, a partir de hoy, a) después de 3
meses b) después de 5 meses c) después de 9 meses, para saldar ambas
deudas? Utilizar como fecha focal de cada caso la fecha del pago único.
a)
Roberto
28
C1 =
C1 =
𝑆
C2 =
1+𝑖𝑡
450
C2 =
5
1
1+
.
100 12
C1 = $448.1327801
𝑆
1+𝑖𝑡
600
1+
5
3
.
100 12
C2 = $592.5925926
TOTAL = $1040.72
b)
c)
S = C ( 1 + it)
S2 = $450 (1 + 100 𝑋
S = $4500 (1 +
5
5
100
𝑥
1
5
)
12
)
12
S = $451.875
𝑆
C = 1+𝑖𝑡
C=
600
1+
5
1
.
100 12
S1 = 459.375
5
S2 = $600 (1 + 100 𝑋
C = $597.5103734
S2= $607.5
TOTAL = $1049.39
TOTAL = $1066.88
3
)
12
20. Qué oferta más conveniente para un comprador de una casa $4000 iníciales y
$6000 después de 6 meses a $6000 iníciales y $4000 después de un año?
Supóngase un interés del 6% y compárese en la fecha de compra, el valor de
cada oferta.
𝑆
C1 = 1+𝑖𝑡
C1 =
6000
6
6
1+
.
100 12
Roberto
𝑆
C2 = 1+𝑖𝑡
C2 =
4000
1+
6
100
29
C1 = $5825.242718
C2 = $3773.584906
$ 5825.24 + 400
3773.58 + 6000
TOTAL = $9825.24
TOTAL = 9773.58 este es el más
conveniente
21. Una persona debe $2000, para pagar en un año con interés al 6%. Conviene
pagar $500 al final de 6 meses ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 1 año
para liquidar el resto de la deuda suponiendo un rendimiento de 6%? Tomar
como fecha focal la fecha después de un año.
OTRA FORMA
S1 = 500 (1 +
6
6
. )
100 12
S1 = 515
S1 = 2000(1 +
6
100
. 1)
S1 = 2120
S2 = 500 (1 +
6
6
. )
100 12
S2 = $515
6
S2 =1500(1 + 100) (1) S1 – S2 = 2120 – 515
S2 = $1590
TOTAL = 1605
S1 + S2 = 515 +1590
= 2105 – 500
= $1605
22. Una persona debe $2000 con vencimiento en 2 meses, $1000 con vencimiento
en 5 meses y $1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus dudas
mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 meses y 12 meses
respectivamente.
Determinar el importe de cada pago suponiendo un
rendimiento del 6% y tomando como fecha focal la fecha un año después.
6
6
6
10
6
7
6
3
X [1 + (100) (12) + 𝑥 = 2000 (1 + 100 𝑥 12) + 1000 (1 + 100 𝑥 12) + 1300 (100 𝑥 12)
1.03 x + x = 2100 + 1035 + 1827
2.03 x = 4962
Roberto
30
4962
𝑥=
2.03
x = $2444.33
23. Una Persona debe $500 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5%, y $1500
con vencimiento en 9 meses al 4% ¿Cuál será el importe de pago único que
tendrá que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un
rendimiento un rendimiento del 6%? Tomar como fecha focal la fecha a) al final
de 6 meses, y b) al final de 9 meses.
a)
b)1ra deuda
S1 = C ( 1 + it)
S1=500(1 +
5
3
. )
100 12
S2 = C ( 1 + it)
S1 = C ( 1 + it)
S2 = C ( 1 + it)
S2
S1=500(1 +
S1 = 506 (1 +
4
S1 = 506.25
S2 =506.25(1 +
6
3
. )
=
9
. )
5
S2 = $1545
S1 = 506.25
C=
S1+
S2
=
513.84
1522.17
= 2036.01
Roberto
+
S2 = $591.44
2da deuda
C2 = 1522 – 17
S2 = $513.84
C = $1522.17
𝑆
1+𝑖𝑡
=
𝐶
Importe C1 + C2
521.44
6 3
(1 +
. )
100 12
513.73 + 1522.17
C = $ 513.73
6
. )
3
100 12
1545
6 3
(1 +
. )
100 12
6
100 12
. )
100 12
𝐶=
100 12
1500(1 +
TOTAL = $2035.90
31
EJERCICIOS PROPUESTOS
24. El señor Jiménez adquiere un terreno de $5000 mediante un pago de contado
de $500. Conviene en pagar el 6% de interés sobre el resto. Si paga $2000 tres
meses después de la compra y $1500 6 meses más tarde ¿Cuál será el importe
del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo?
Tomar como fecha focal al final de 1 año.
25. Una hipoteca tiene un valor de $1200 al vencimiento. Determinar su valor 5
meses antes del vencimiento, suponiendo un rendimiento de 4 ½% de interés
simple.
¿Cuál es el descuento racional?
C=$1177.91 VERIFICAR
26 .Recibirá un dividendo de $750 el 14 de junio. ¿Cuál es su valor el 30 de abril
suponiendo un rendimiento de 5% de interés simple? ¿Cuál es el descuento
racional?
C=$745.34 VERIFICAR
26. Un documento por $600 establece 5% de interés simple por 120 días. Si B
descuenta el documento 30 días antes del vencimiento para obtener 4% de
interés simple. ¿Cuál es el descuento?
ADEMÁS DE LOS QUE CONSTAN EN ESTE MÓDULO, CONSULTAR AL PROFESOR
SOBRE LOS EJERCICIOS A RESOLVER
PAGOS PARCIALES
En ciertas ocasiones, el deudor realiza una serie de pagos parciales para liquidar
una deuda, el asunto es encontrar el saldo insoluto cuando se realice esta serie de
pagos. Para hallar el saldo insoluto, podemos aplicar dos reglas: la regla comercial
y la regla americana (EE.UU).
Regla comercial
Roberto
32
Para encontrar el saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente
manera.
1. Hallamos el monto de la deuda de vencimiento.
2. Encontramos los montos de los pagos parciales, tomando como referencia el
tiempo que falta para el vencimiento.
3. Sumamos los montos de los pagos parciales.
4. Restamos el monto de la deuda menos la suma.
Ejemplo
Una deuda de $2000 con interés de 5% vence en 1 año. El deudor paga $600 en 5
meses y $800 en 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.
Monto de la deuda al vencimiento.
Sd = 2000(1+ 5/100x1) ; Sd = $2100
Pagos parciales
S1=600(1+5/100x7/12) = S1=$617.50
S2=800(1+5/100x3/12) = S2=$810
Total $ 1427.50
2100-1427.50
Saldo= $ 672.50
Regla Americana
Para encontrar un saldo insoluto aplicando esta regla procedemos de la siguiente
manera.
1. Encontramos el monto de la deuda tomando como referencia el tiempo que
utiliza para realizar el o los pagos parciales.
Roberto
33
2. Restamos el monto obtenido menos el pago parcial realizado.
3. Las operaciones anteriores, se van realizando hasta cubrir la fecha de
vencimiento. Ejemplo
Una deuda de $2000 con intereses de 55 vence en 1 año. El deudor paga $600en 5
meses y $800 en 9 meses .Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.
S1=2000(1+5/100x5/12) = S1=$617.50
S1=$2041.67
-600
Saldo=1441.67
7m
4600
S2=1441.67(1+5/100x4/12)
$800
9m
3m 1año
= S2=1465.70
-800
Saldo$665.70
S=665.70(1+5/100x3/12)
Saldo= $ 674.02
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Aplicando.
a) La regla comercial, y b) la regla de los Estados Unidos. Hallar el saldo en
la fecha de vencimiento de un documento de $7500 a 10 meses al 6% si es
reducido mediante dos pagos iguales de $2500 cada uno, efectuados 4
meses y 7 meses antes de la fecha de vencimiento.
2. Una deuda de $3000 con intereses al 6%, vence en 9 meses. Si se pagan $1000
después de 4 meses y $1200 tres meses más tarde. Hallar el saldo insoluto en la
fecha de vencimiento aplicando, a) la regla comercial y b) la regla de los EE.UU.
Roberto
34
3. El firmante de un documento a 180 días por $ 5000, con interés al 5% fechado el
10 de marzo de 1969, paga $1500 el 6 de mayo de 1969; $750 el 20 de junio de
1969 y $1000 el 19 de agosto de 1969. Hallar el saldo insoluto en la fecha de
vencimiento, aplicando a) la regla comercial y b) la regla de EE.UU.
4. M pide a un banco un préstamo de $8000 por 8 meses, al 5%. Al término de dos
meses paga $ 4000 y al término de 6 meses desea pagar el saldo insoluto ¿Cuánto
tendrá que pagar de acuerdo con la regala de EE.UU.?
5. Una persona da 3600 de cuota inicial por la compra de una casa cuyo precio es
de $10.000.Posteriormente pagará $1000 al final de cada trimestre durante tres
trimestres. Hallar el saldo insoluto al final del año aplicando la regla de los Estados
Unidos y suponiendo interés al 8%.
TASAS DE INTERÉS APROXIMADAS
Estas, se calculan cuando el comprador se compromete a realizar o dar una cuota
inicial y el saldo en cuotas fijas, semanales, quincenales, mensuales, etc.
Para calcular la tasa de interés aproximada tenemos las siguientes fórmulas:
Fórmula residual o comercial
2mI
i=
B(n+i)-I(n-i)
Fórmula razón constante
2mI
i =
B(n+i)
Fórmula serie de pagos
Roberto
35
2mI
i =
Rn (n+1)
Fórmula razón directa
6mI
i =
3B (n+1) +I(n-1)
De donde:
m = # de pagos en el año
n = # de pagos a realizarse
B = valor de contado - cuota inicial
R = Pago periódico o anualidad.
I = Rn - B
EJEMPLOS
1. Un radio marcado para su venta en $ 74.95 es vendido con abonos mediante
$ 9.95 iníciales y 10 pagos semanales de $6.75c/u.
m = 52
n = 10
B=74.95 -9.95=$65
R=$6.75
I=
I = 6.75(10)-65
Roberto
36
I=67.50-65
I = $2.50
2mI
2mI
i=
i=
B(n+1)
B(n+i)-I(n-i)
2x52x2.50
i=
2(52)(2.50)
i=
65(10+1)-2.50(10-19
65(10+1)
i=0.375451263x100
i=37.5%
i=0.363636363x100
i=36.4%
6mI
2mI
i=
i=
3B(n+1)+I(n-1)
Rn(n+i)
6x52x2.50
i=
2(52)(2.50)
6.75x10(10+1)
I = 0.35016835x100
I = 35%
I=
3x65(10+1)+2.50(10-1)
I = 0.359861591x100
I = 36%
17.-Un congelador de $475 se ofrece mediante cuota inicia la de $175 y el saldo en
11 pagos mensuales de $30 cada uno.
m = 12
n = 11
Roberto
37
B = 300
R = 30
I= 30
2mI
2mI
i=
i=
B(n+1)
B(n+i)-I(n-i)
i=2x12x30
I=
2(12)(30)
300(11+1)-30(11-1)
300(11+1)
i=0.218181818x100
i=21.8%
i=0.2x100
i=20%
6mI
2mI
i=
I=
3B(n+1)+I(n-1)
Rn(n+1)
6x12x30
I=
2(12)(30)
30x11(11+1)
I = 0.181818181x100
I = 18.2%
Roberto
I=
3x300(11+1)+30(11-1)
I = 0.194594594x100
I =19.5%
38
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
18.-Una lavadora cuyo precio de contado es $199.95, se vende con $19.95 de cuota
inicial. El saldo se pagará mediante 10 pagos mensuales iguales calculamos con
interés global de 6% anual.
19.-Una compañía de ventas por catálogo carga 10% sobre el precio de contado
cuando la venta se efectúa a plazos. Se requiere una cuota inicial de una tercera
parte y la diferencia en 12 mensualidades iguales. Supóngase un precio de contado
de $300
20.-El valor de contado de una bicicleta es $3050. M debía pagar $750 de cuota
inicial por la bicicleta usada pero pagó $500. Acordó pagar el saldo en 15 meses al
6% de interés global.
21 Aplicar la fórmula de razón constante, para obtener la tasa aproximada de
interés pagada en cada una de las siguientes operaciones:
Prestamos
Interes
Numero de pagos mensuales iguales
a) $400
7% del préstamo
12
b) $800
8% del préstamo
15
c) $1000
10% del préstamo
18
22.-Aplicar la formula de razón directa para obtener la tasa de interés pagada
sobre los préstamos del problema 21.
INTERES COMPUESTO
Es la capitalización de los intereses en cada período
FÓRMULAS
S= C(1+it)
S= C(1+i)t
i= Tasa de interés por periodos de las partes del año de acuerdo a t
Roberto
39
Monto = valor futuro
Ejemplo: si t es:
Mens i = 5/1200
Anual i =5/100
Trimestral i =5/400
Semestral i = 5/200
Semanalmente i = 5/5200
EJERCICIOS
21.- Un padre coloca $500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo. Si la cuenta
paga el 2 1/2% convertible semestralmente. ¿Cuánto habrá, al cumplir 18 años el
hijo?
S=500(1+2.5/200)36 semestrales 2.5
S=$781.97
23.- Una póliza dotal de $10000 cuyo vencimiento fue el 1 de mayo de 1962, fue
dejada en la compañía de seguros al 3 1/2% convertible anualmente ¿Cuál fue su
valor el 1 de mayo de1970?
S=10000(1+3.5/100)8
S=$13168.09
34.- ¿Cuántos años se necesitaran para que $1500 aumenten al doble, al 6%
convertible trimestralmente?
t = log S – log C
log(1+6/400)
1 año
x
4 trimestres
46.55 trim
t = log3000-log1500
log(1+6/400)
Roberto
t = 11.64 años
40
17.- Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y el número n de periodos
de conversión cuando se invierte un capital C:
h) del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1962, al 3.5% convertible
semestral.
I = 3.5
1962
- 09 -15
200
1947
- 03 - 15
i = 0.0175
15 -
06
30semt 1sem = 31 semestres
10) Hallar el valor presente de $2000 pagaderos en 8.5 años al 5% convertible
semestralmente.
S
C=
(1+i) t
C=2000/(1+5/200)17
C=$1314.39
11.- Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al
3.5% convertible semestralmente importe $6000 cuando el hijo tenga 21 años
¿Cuánto tendrá que invertir?
C=
S
(1+i) t
C=6000/ (1+3.5/200)42
C=$2895.38
Roberto
41
DEBER
17. Hallar la tasa de interés I por periodo de conversión cuando se invierte un
capital c:
a) al 4 % anual durante 5 años
b) por 8 años al 5%
c) por 6 años al 4.5% convertible semestralmente
d) por 10 años al 3.5% convertible semestralmente
e) por 5.5 años al 4% convertible trimestralmente
f) por 6 años 9 meses al 6% convertible trimestralmente.
g) del 1ro de enero de 1960 al 1 de julio de 1971 al 5% convertible
semestralmente.
i) del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957, al 6% convertible
trimestralmente
TASAS FINANCIERAS
En el sistema financiero nacional existen dos tasas financieras: La Tasa efectiva y la
tasa nominal.
Tasa efectiva. Es cuando el período de capitalización es el año (se dice anual)
Tasa nominal. Es cuando el período de capitalización es diferente al año (semanal,
quincenal, mensual, bimestral, trimestral… etc.)
Tasas equivalentes. Se dice que dos tasas son equivalentes cuando producen el
mismo interés en el año.
Para hallar tasas equivalentes, procedemos de la siguiente manera.
-
Igualamos los factores de conversión correspondientes en el año.
(1 + i)n = ( 1 + i’)n’
efec
Roberto
trim
42
trim
efect
sem
men
Etcétera
-
Reemplazamos los valores dados
-
Realizamos todas las operaciones posibles hasta encontrar la tasa buscada.
ejemplo
-
Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5%
convertiblemente semestralmente.
Trim
sem
(1 + i)n = ( 1 + i’)n’
4
T 
S 


1 
  1 

400
200


4
4
2
T 

1 
  4 1.050625
400


1
T
 4 1.050625
400
T
 4 1.050625  1
400
T  400(4 1.050625 1)
T = 4.9691%
Roberto
43
Hallar la tasa nominal convertible semanalmente equivalente al 5%
Trim
sem
(1 + i)n = ( 1 + i’)n’
T 

1 

 5200
S2
S2
T 

1 

 5200
1
5 

 1 

 100
S2
 S 2 1.05
T
 S 2 1.05
5200
T  5200(S 2 1.05  1)
T = 4.88%
Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el 5 de $ 3500 es
5000 en 5
1
años.
4
S = C ( 1+ i)t
21
T 
5000 
T 

5200 = 3500 1 
 1 
 

400
3500 
400

Roberto
21
44
21
5000 21 
T 
 1 

3500
400

21
50
T
1
35
400
21
 10

 1
T = 400  21
 7

T = 6,85%
Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 8%
convertible cuatrimestralmente.
Men.
Cuat.
(1 + i)n = ( 1 + i’)n’
12
T 
8 


1 
  1 

 1200
 300
12
T 

1 

 1200
12
 12 1.082152296
T  1200(12 1.08  1)
Roberto
3
45
T = 7.72.
Una deuda de $ 250 vencida hace dos años y otra de $750 pagaderos en 3
años se va a liquidar en la fecha mediante un pago único. Hallar el importe
del pago suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.
 5

S  250
 1
 200 
C
4
750
 5

 1

 200 
6
S= 275.95
C=
646 .78
922 .67
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Acumular $1500 por 71/2 años al 5.2% convertible trimestralmente
Mediante la regla práctica. Hallar el monto compuesto de:
a) $ 1000 por 8 años, 5 meses, al 4% convertible semestralmente.
b) $ 1500 por años, 10 meses, al 5% convertible trimestralmente
c) ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible
trimestralmente?
d) Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5 %
convertible semestralmente.
e) Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $
2500 es $ 3250 en 5 años.
Roberto
46
f) ¿Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de $
3250 es $ 4000 en 8 años?
g) Un deudor puede liquidar una deuda pagando al $ 800 en la fecha o (b) $
10000 dentro de cinco años- ¿Qué opción debe aceptar suponiendo un
rendimiento del 5% convertible semestralmente?
h) ¿Cuál es el valor presente de un documento por $ 1200 con intereses al
5% convertible semestralmente por 10 años si el rendimiento actual es
del 4,5% efectivo?
i) M debe $ 1000 pagaderos dentro de 3 años. Se hace, el día de hoy, un pago
de $ 400, ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer en 2 años
para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento de 5% convertible
semestralmente?
j) El día de hoy, un comerciante compra artículos por valor de $ 1500. Paga
$ 500 iníciales y $ 500 Al término de 4 meses suponiendo un rendimiento
de 6% convertible mensualmente, ¿Cuál será el importe del pago final
que tendrá que hacer al término de 6 meses?
k) M firmó un documento por $ 1500 con intereses acumulados por 2 años al
5% convertible trimestralmente, vencido el día de hoy. Paga $ 500
únicamente y acuerda a pagar el resto en 1 año. Hallar el importe del
pago requerido.
l) Supóngase, en el problema 19, que M acuerda pagar el resto en dos pagos
con vencimiento en 6 meses y 1 año a partir de hoy. Hallar el importe de
los pagos requeridos.
ll) Sustituir dos deudas de $ 400 y $ 800 con vencimiento en 3 y 5 años
respectivamente, por dos pagos iguales con vencimiento en 2 y 4 años,
suponiendo un rendimiento de 5 % convertible semestralmente.
m) Un terreno es vendido por $ 500 en efectivo y $ 250 anuales por los
próximos 4 años. Suponiendo un rendimiento de 6% efectivo, hallar el
precio de contado del terreno.
n) ¿Cuál será el importe de cada uno de los 4 pagos anuales que tendrán que
hacerse para liquidar una deuda de $ 2000, con vencimiento el día de hoy,
suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente, si a) el
Roberto
47
primer pago se hace de inmediato, b) el primer pago se hace al término de
1 año.
ñ) El día de hoy, B contrae el compromiso de pagar $ 5000 en 10 años, con
interés al 4.2%. ¿Cuál es el valor de la obligación dentro de 6 años
suponiendo para entonces un rendimiento de 3,8%.
o) A qué tasa efectiva, un pago único de $ 1500, hoy, es equivalente a dos
pagos de $ 800 cada uno con vencimiento en 1 y 2 años respectivamente?
p) ¿En qué tiempo un pago único de $1.200 saldará las dos deudas del
problema ll.
q) Hallar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de $250 cada una,
con vencimiento en 6 meses y 1 año respectivamente, suponiendo un
rendimiento de 6% convertible mensualmente.
PERIODICIDADES
Son depósitos que se realizan con el fin de constituir un capital o de extinguir una
deuda.
A las periodicidades con los cuales se trata de constituir un capital reciben el
nombre de imposiciones y cuando se trata de extinguir una deuda reciben el
nombre de amortizaciones.
Las imposiciones, reciben el nombre de anualidades sin importar el periodo de
capitalización.
Las anualidades son de dos clases: Vencidas y Anticipadas,
Estas a su vez se clasifica en ciertas o fijas y eventuales
Ciertas o fijas. Son aquellas que tienen tiempo determinado de duración. Ejemplo.
Contrato de arriendo, préstamos a largo y corto plazo, hipotecas, compras a
crédito, etc.
Anualidades eventuales: son aquellas que no tienen tiempo determinado de
duración. Ejemplo: seguro de vida, jubilaciones, montepío, arriendos sin contrato,
etc.
Roberto
48
ANUALIDADES
FORMULAS
VENCIDAS
S a
ANTICIPADAS
1  i n  1
S  a 1  i 
i
1  1  i 
S a
i
1  i n  1
1  1  i 
P  a1  i 
i
n
n
De donde
a = anualidad (depósito)
P = valor presente actual.
También
a
Si
1  i 
n
1
a
Si
1  i  1  i n  1
Para encontrar n
1  i 
n
S a
1
i
Si
n
 1  i   1
a
Roberto
i
 Si

log
 1
 a1  i  
n
log1  i 
49
Si
n
 1  1  i 
a
 Si 
Log   1  n log1  i 
a

 Si 
log  1
a

n
log1  i 
EJERCICIOS
M está pagando $ 22.50 al final de cada semestre por concepto de la prima de
la póliza total, la cual le pagará $ 1.000 al término de 20 años. ¿Qué cantidad
tendría si en su lugar depositara en una cuenta de ahorro que le produjera el
3% convertible semestralmente?
n

1  i  1
S a
i
40
3 

1 
 1
200

S  22.50
3
200
S= $ 1221.03
M ha depositado $25 al final de cada mes durante 20 años en una cuenta paga
el 3% convertible mensualmente. ¿Cuánto tenía en la cuenta al final de dicho
período.
240
3 

1 

1200
S  25 
3
1200
S = $8207.54
Roberto
1
50
Cuanto debió depositarse el 1 de junio de 1940 en un fondo que pagó el 4%
convertible semestralmente, con el objeto de poder hacer retiros
semestrales de $500 cada uno, desde el 1 de junio de 1955 hasta el 1 de
diciembre de 1970.
1970-12-01
1970-12-01
1954-12-01
1940-06-01
1955-06-01
1946-06-01
30-06
1-06
= 61 semestres
4 

1  1 

200

P1  500
4
200
14-06
=31 semestres
61
P1= $ 17529.84
4 

1  1 

200

P 2  500
4
200
P 2= $ 11468.85
31
4 

1  1 

200

P3  500
4
200
29
P 3= $ 10922.19
Valor Presente = P1 - P3
= P1 - P3
VP = $6607.65
DEBER
Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias:
a) $ 400 anuales durante 12 años al 2.5%.
b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible
mensualmente
c) $ 500 trimestre durante 8 años 9 meses al 6% convertible
trimestralmente
d) A ahorra $ 600 cada medio año y los invierte al 3% convertible
semestralmente hallar el importe de sus ahorros después de 10 años.
Roberto
51
e) Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de
cada 3 meses durante 15 años, suponiendo un interés de 5%
convertible trimestralmente
f) Que es más conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado a
pagar $500 iníciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12
meses,
suponiendo
intereses
calculados
al
6%
convertible
mensualmente.
g) ¿Que cantidad debió ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo
que produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse
hacer retiros semestralmente de $600 cada uno, a partir de 1 de
Diciembre de 1950 y terminado el 1 de diciembre de 1967?
h) Se estima que un terreno boscoso producirá $15000 anuales por su
explotación en los próximos 10 años
y entonces la tierra podrá
venderse en $10.000. encontrar su valor actual suponiendo interés al
5%.
i) Suponiéndose intereses al 5.2% convertible trimestralmente, ¿Qué
pago único inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $ 100
cada uno, haciéndose el primero al final de tres meses.
J) M invierte $250 al final de cada 6 meses en un fondo que pago de 33/41
convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo al precisamente
después del 12 Deposito? B) antes del 12 deposito? C) precisamente del 15
deposito
k) Al comprar M un coche nuevo de $3750, le reciben su coche usado en
$1250. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo lo liquidará mediante
el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargándole interés al
6% convertible mensualmente?
l) Un contrato estipula pagos semestrales de $400 por los próximos 10 años y
un pago adicional de $2500 al término de dicho periodo. Hablar el valor
efectivo equivalente del contrato al 7% convertible semestralmente.
Ll) M acuerda liquidar una deuda mediante 12 pagos trimestrales de $300
cada uno si emite los tres primeros pagos, a) ¿Qué pago tendrá que hacer en
Roberto
52
el vencimiento del siguiente para al quedar al corriente en sus pagos? b)
Saldar su deuda? Tomar intereses al 8% convertible trimestralmente.
m) Con el objeto de reunir una cantidad que le será entregada a su hijo al
cumplir 24 años, un padre deposita $200 cada seis meses en una cuenta de
ahorro que paga el 3% convertible semestralmente. Hallar el monto de la
entrega se el primer deposito se hizo el día del nacimiento del hijo y el
último cuando tenía 20 ½ años.
ANUALIDADES ANTICIPADAS
EJEMPLO:
M acuerda pagar $250 al principio de cada año durante 15 años. Al 4.5%
hallar el valor de los pagos restantes, a) justamente después que haga el
tercer pago b) justamente antes de hacer el sexto pago c) si después de hacer
el pago inicial M deja de hacer los 4 pagos siguientes, ¿Cuánto tendrá que
pagar al vencimiento del siguiente pago para ponerse al corriente?.
a) p = a (1 + i)
1  1  i   n
i
1  1  4.5 / 100
p = 250 (H 4.5/100)
4.5 / 100
p = $ 2529.65
- 250
P = $ 2279.65
4.5  1  1  4.5 / 100

b) P = 250 1 

4.5 / 100
 100
P = $ 2067.20
c) S = a (1+i)
Roberto
1  i n  1
i
10
13
53
4

1  4.5 / 100  1
S = 250 (1+4.5/100)
4.5 / 100
S = $ 1.117.68
-250
S = $ 1367.68
El valor de contado de un coche usado es $ 1750. B desea pagarlo en 15
abonos mensuales, venciendo el primero el día de la compra. Si se carga el
18% de interés convertible mensualmente. Halla el importe del pago
mensual.
p = a (1 + i)
a=
a=
1  1  i   n
i
pi
1  i 1  1  i n
 

175018 / 1200
1  18 / 12001  1  18 / 120015 
a = $ 129.91
A = R .s n i = R
1  i n  1
i
1  1  i 
A = R. a n i = R
i
n
El 1 de junio de 1958 se compra un negocio con $ 10.000 de cuota inicial y
10 pagos trimestrales de $ 2500 cada uno, el primero con vencimiento el
1 de junio de 1961. ¿Cuál es el valor de contado del negocio suponiendo
intereses al 6% convertible trimestralmente?
Roberto
54
1961 – 06 – 01
1958 – 06 – 01
3
//
//
1  1  6 / 400
p2 = 2500
6 / 400
1  (1  6 / 400) 21
P = 2500
6 / 400
P1 = $ 42921.60
p2 = $ 23055.46
P = p1 + p2
P = 19866.14
+10000
cuota inicial
P = 29866.14
P1 = 2500 (1+6/400)
11  6 / 400
6 / 400
22
1  1  6 / 400
P2 = 2500 (1+6/400)
6 / 400
P = p1 - p2
P = 19572.55
+10000
P = 29572.55
Roberto
p1 = 47250.34
12
p2 = 27677.79
21
55
¿Qué cantidad es necesaria para patrocinar una serie de conferencias que
cuestan $ 2500 al principio de cada año, indefinidamente, suponiendo
interese al 5% convertible trimestralmente?
a
P=
1  i n  1
P=
2500
1  5 / 4004  1
P = 49072.20
2500
T. = 51.572.20
Suponiendo que una granja produzca $ 5000 anuales indefinidamente ¿Cuál es
su valor real sobre la base de 5%?
p
5000
H 5 / 100  1
P = 100.000
PROBLEMAS PROPUESTOS
-
Un televisor es comprado con $ 50 de cuota inicial y $ 50 mensuales
durante 14 meses. Si se cargan intereses de 21% convertible
mensualmente. ¿cuál es el valor de contado del televisor?
-
B. alquila un edificio en $ 10.000 cada 3 meses pagados por
adelantado. Invierte en forma inmediata $ 7.500 de cada pago en un
fondo que paga el 5% convertible trimestralmente. ¿Cuál será el
importe del fondo al término de 6 años?
Roberto
56
-
La prima anual por adelantado de un póliza de seguro temporal a 10
años es $ 178.40 ¿Cuál es el equivalente de contado al 3.5%?
-
La renta por un edificio es $ 1500 anuales por adelantado. ¿Cuál es la
renta
mensual
por
adelanto
equivalente
al
6%
convertible
mensualmente?
-
Un granjero compró un tractor el 1 de marzo, comprendiendo que
haría pagos mensuales de $ 200 durante 24 meses, el primero con
vencimiento el 1 de octubre. Si el interés es al 12% convertible
mensualmente, hallar el valor de contado equivalente.
-
En esta fecha B adquiere un préstamo de $ 2500 para adquirir un
plantío de frutas cítricas. Piensa liquidar el préstamo con intereses de
5.5% en 10 pagos anuales iguales haciendo el primero en 8 años.
Hallar el pago anual.
-
Al nacimiento de su hijo. M desea depositar en una fiduciaria una
cantidad tal que le proporcione a su hijo pagos de $ 1250 cada 6 mese
durante 4 años, venciendo el primero cuando cumpla 18 años. Si la
fiduciaria paga el 3% convertible semestralmente- ¿Cuándo tendrá
que depositar M?
-
Si esta fecha, M contrae una deuda con intereses al 5% convertible
trimestralmente, la cual será pagada mediante desembolsos de $ 250
al final de cada 3 meses por los próximos 5 años, seguido de pagos de $
400 trimestrales por los siguientes 4 años. Hallar el importe de la
deuda.
AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN
Amortización
Se dice que un documento que causa intereses esta amortizado cuando todas las
obligaciones contraídas (tanto capital como intereses) son liquidas mediante una
serie de pagos (generalmente iguales) hechos en intervalos de tiempos iguales.
Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses,
mediante una serie de n pagos de R cada uno. Cada pago R se aplica en primer lugar
para el pago del interés vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para
Roberto
57
disminuir la deuda. En consecuencia, la cantidad disponible para disminuir la
deuda aumenta con el transcurso del tiempo.
La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o
capital insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la deuda
original. El capital insoluto al final del plazo es 0 en teoría, sin embargo, debido a la
práctica de redondear al centavo más próximo, puede variar ligeramente de 0. El
capital insoluto justamente después de que se ha efectuado un pago es el valor
presente de todos los pagos que aún faltan por hacerse.
Tabla de Amortización
Para efectos contables es conveniente preparar una tabla que muestre la
distribución de cada pago de la amortización respecto a los intereses que cubre y a
la reducción de la deuda.
(a)
(b)
(c)
(d)
PERIODO
Capital
insoluto al
principio del
periodo
interés
vencido al
final del
periodo
Pago
Capital
pagado al
final del
periodo
1
5000
125
907,75
782,75
2
4217,25
105,43
907,75
802,32
3
3414,93
85,37
907,75
822,38
4
2592,55
64,81
907,75
842,94
5
1749,61
43,74
907,75
864,01
6
885,60
22,14
907,75
885,61
446,49
5446,50
5000,01
TOTALES
Interés en el Valor de un bien Adquirido
Cuando se compra un bien mediante una serie de pagos parciales, el interés del
comprador del bien, en cualquier tiempo, es aquella parte del precio del bien que
ha pagado. Al mismo tiempo, el interés del vendedor del bien, es aquel que queda
por pagarse, esto es, el capital insoluto en la fecha, Claramente vemos que:
INTERES DEL COMPRADOR + INTERES DEL VENDEDOR = PRECIO DE VENTA
Roberto
58
Extinción de Deudas Consolidadas
Cuando una deuda contraída mediante la emisión de bonos con intereses es
amortizada, cada pago se aplica para cubrir los intereses correspondientes
vencidos y para redimir un cierto número de bonos. Los pagos periódicos no
pueden permanecer iguales, sin embargo tiene que ser lo más similares que sea
posible.
Fondo de Amortización
En el método de fondo de amortización para liquidar una deuda, el acreedor recibe
el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al término del
plazo. Con el objeto de poder hacer el último pago, el deudor crea un fondo por
separado en el cual hace depósitos periódicos iguales durante el plazo, de tal forma
que justamente después del último deposito, el fondo importa el valor de la deuda
original. Es de suponerse que el fondo gana intereses, pero no necesariamente a la
misma tasa que carga el acreedor.
Tabla del Fondo de Amortización
(a)
(b)
(c)
(d)
PERIODO
Aumento de
interés
Deposito
Incremento
al fondo
Importe del
fondo al final
del periodo
1
0
592,92
592,92
592,92
2
8,89
592,92
601,81
1194,73
3
17,92
592,92
610,84
1805,57
4
27,08
592,92
620
2425,57
5
36,38
592,92
629,30
3054,87
6
45,82
592,92
638,74
3693,61
7
55,40
592,92
648,32
4341,93
8
65,13
592,92
658,05
4999,98
TOTALES
256,62
4743,36
4999,98
Roberto
59
Depreciación
La primera objeción está relacionada con el hecho de que la más fuerte
depreciación de la mayoría de los activos ocurre durante el primer año de uso y
posteriormente la depreciación decrece año tras año, mientras que por el método
lineal se supone que es la misma para cada año. Esta objeción fue refutada
mediante el método de porcentaje-constante.
La segunda objeción proviene del hecho de que aun cuando el fondo de
depreciación es normalmente utilizado como capital de trabajo por la compañía,
no se acredita interés al fondo en ningún método. Esta objeción se refuta con el
método de fondo de amortización. Designemos con C el costo original, S el valor de
salvamento y n (años) la vida útil del activo. Si i es la tasa efectiva ganada por el
fondo de depreciación, el depósito anual R en el fondo estará dado por
R = (C - S)1 / ni
En esta forma, el incremento anual al fondo será ahora la suma del cargo por
depreciación anual R y del interés ganado por el fondo durante el año. Excepto por
la columna que nos da el valor en libros del activo, la tabla es la misma que para el
fondo de amortización ordinario.
Antigüedad
Cargo por
depreciación
interés
sobre el
fondo
Incremento
al fondo
Importe
del fondo
Valor en
libros
0
0
0
0
0
4000
1
556,55
0
556,55
556,55
3443,45
2
556,55
16,70
573,25
1129,80
2870,20
3
556,55
33,89
590,44
1720,24
2279,76
4
556,55
51,61
608,16
2328,40
1671,60
5
556,55
69,85
626,40
2954,80
1045,20
6
556,55
88,64
645,19
3599,99
400,01
Debe notarse que mientras que el método de fondo de amortización acredita
interés al fondo de depreciación, aumentan las otras características objetables del
método lineal, ya que ahora el fondo de depreciación se incrementa con cantidades
crecientes cada año.
Roberto
60
Agotamiento
La pérdida de valor de una misma o de un pozo petrolero por la extracción a
gradual de metal o petróleo, de los cuales depende su valor, se conoce como
agotamiento. El comprador de uno de estos activos espera recibir:
1. interés a una cierta tasa por su inversión, y
2. El reembolso eventual de su inversión original.
En consecuencia, el producto anual del activo debe alcanzar tanto para el interés
requerido como para el fondo de amortización (fondo de reembolso), el cual
alcanzara el valor de la inversión original menos cualquier valor de salvamento del
activo en la fecha en que este agotado.
Bonos
"Bono es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o una
entidad particular a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses
pagaderos en períodos regulares de tiempo."
"Un bono es una promesa escrita de:
a) Una suma fija, llamada valor de redención, en una fecha dada, llamada fecha
de redención.
b) Pagos periódicos conocidos como pagos de intereses hasta la fecha de
redención."
Según estas definiciones, el bono es un documento financiero que se utiliza para
obtener dinero actual (liquidez), con la obligación de reconocer el respectivo
interés periódico con los cupones como su valor original (nominal) en la fecha de
vencimiento.
Características
En todo bono se pueden destacar los siguientes elementos:
El valor nominal que consta en el documento generalmente es un múltiplo de 10.
Ejemplo: 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, etcétera. Generalmente se
expresan las letras mayúsculas iníciales del mes que inicia y el mes que termina
cada pago de cupón.
Ejemplo: un bono al 12% pagadero en abril y octubre se puede expresar: 12% AO.
La tasa de interés que se debe pagar puede ser anual con capitalización semestral,
trimestral, etc.; la más común es la semestral.
La fecha de redención es el plazo de terminación o fecha en la cual debe pagarse el
valor nominal del bono. Casi siempre coincide con la fecha de pago de intereses.
El valor de redención es el valor del bono a la fecha de finalización o redención.
Este valor puede ser:
Roberto
61
• Redimible a la par. Cuando el valor nominal y el valor de redención son
iguales. Por ejemplo, un bono de $ 1 .000 redimible a la par = (1 .000)0 ) =
$ 1.000.
• Redimible con premio: Cuando el valor de redención es mayor que el valor
nominal. Por ejemplo, un bono de $ 1.000 redimible a 102: 1000(1,02) = $
1.020.
• Redimible con descuento: Cuando el valor de redención es menor que el
valor nominal. Por ejemplo, un bono de $ 1 .000 redimible a 98: 1 .000(0,98) =
$ 980.
Cupón: Es la parte desprendible del bono que contiene el valor de los intereses por
período de pago. Por ejemplo, un bono de $ 10.000 al 12% FA, emitido el 1 ° de
febrero de 1 990 y redimible a la par el 1 ° de febrero del año 2020, establece los
siguientes pagos: el pago de $ 10.000 el 1° de febrero de año 2020, valor de
redención = (10.000)(1) = $ 10.000; sesenta cupones o pagos semestrales de
(10.000X0,12/2) = $ 600 desde el 1 ° de agosto de 1 990.
180
Cupón = 10.000 (0, 12) (360) = $ 600,00
Precio: Es el valor que tiene un bono cuando se negocia; puede ser a la par, con
premio o con castigo.
• A la par, cuando la tasa nominal del bono coincide con la tasa de
negociación.
• Con premio, cuando la tasa de negociación es menor que la tasa nominal
del bono.
• Con castigo, cuando la tasa de negociación es mayor que la tasa nominal
del bono.
Ejemplo
El 1 ° de junio de 2006 una persona compra un bono de $ 1.000 al 7% JD (juniodiciembre), redimible a 101 el 1° de junio de año 2023. ¿Cuál será: a) su valor de
redención, b) el número de cupones y c) el valor de cada cupón?
a) $ 100.000(1,01) = $ 101.000 el 1° de junio de 2023
b) 40 cupones
c) (1.000)(0,0035) = $ 35,00; el primero de ellos el 1° de diciembre del 2006
Fórmula para calcular el precio de un bono
El bono, por ser un documento financiero, es perfectamente negociable y se
compra o vende considerando una tasa de interés del inversionista, que es
diferente de la del bono. Para calcular su precio en una fecha de pago de interés, se
puede utilizar la siguiente fórmula, que combina el valor actual del bono con el
valor actual de los cupones hasta el vencimiento del mismo.
Precio de un bono = Valor actual del bono + Valor actual de los cupones.
1−(1+𝑖)−𝑛
P= C(1+i)-n + cupón [
]
𝑖
Cálculo del precio de un bono
donde:
P = precio del bono en la fecha de pago de intereses.
Roberto
62
C = valor de redención del bono.
i = tasa de interés por período, del inversionista o de negociación.
n - número de cupones.
Cupón = valor de cada cupón.
Ejemplo
¿Cuál será el precio de venta de un bono de $ 10.000 al 9% FA, el 1º de febrero de
2003, redimible a la par el 1° de febrero de 2018, si se desea un rendimiento del
8% anual con capitalización semestral?
P= C(1+i)-n + cupón [
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
]
Valor de redención: 10.000(1) = $ 10.000
Número de cupones: 30
0.09
Valor de cada cupón: 10.000 ( 2 ) = $ 450
0.08
Tasa de rendimiento o de negociación = (
P= 10.000 (1+0.04i)-30 + 450 [
1−(1+0.04)−30
0.04
2
) = 0.04
]
P = 3.083,19 + 450(17,29)
P = $ 10.864,60
Ésta es una negociación con premio para el vendedor pues vende el bono en $
10.864,60.
Ejemplo
¿Cuál es el precio de compra de un bono de $ 1.000 al 1 1% JD, redimible a 101 el
1° de diciembre del año 2014, si se vende el 1° de diciembre de 2003 con. un
rendimiento del 11 ,5% anual capitalizable semestralmente?
Valor de redención: 1 .000(1 ,01) = $ 1 .010
Número de cupones: 22
0.11
Valor del cupón: 1.000(
2
) = $ 55
0.115
Tasa de rendimiento: = (
2
)0,0575
P = 1.010(1 + 0,0575)-22 + 55[
1−(1+0.0575)−22
0.0575
]
P = 295,225+ 676,93
P = $ 972,155
Esta negociación es con castigo para el vendedor pues vende el bono en $ 972,155.
Roberto
63
Precio de un bono comprado o negociado entre fechas de pago de intereses
Frecuentemente la negociación de un bono se realiza en fechas diferentes de la de
pago, de intereses o pago de cupones. Para calcular el valor del bono en esas
fechas, se realiza el siguiente procedimiento:
a)Se halla el valor del bono en la última fecha de pago de intereses,
inmediatamente antes de la fecha de compra-venta.
b)Se calcula el interés simple del referido valor, tomando en consideración
los días exactos a partir de la última fecha de pago de intereses. Como
procedimiento alternativo, se calcula el interés tomando el número de días
comprendidos entre la fecha de negociación y la fecha futura de pago de
intereses.
Ejemplo:
¿Cuál es el precio de compra de un bono de $ 3.000 al 7% AO, redimible a la par el
1 ° de abril de 2009, si se compra el 1° de julio de 2003 y se espera obtener un
rendimiento del 6 3/4 %, capitalizable semestral mente?
Valor de redención: 3.000(1) = $ 3.000
Número de cupones: 12
0.07
Valor de cada cupón: 3.000 (
0.0675
Tasa de negociación = (
P= C(1+i)-n + cupón [
2
)= $ 105
)= 0,03375
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
2
]
P = 3.000 (1 + 0,03375)-12 + 105[
1−(1+0.03375)−12
0.03375
]
P = 2. 014,35 + 1.022,16
P = $ 3.036,51
Este valor se acumula del 1° de abril al 1° de julio de 2003, que es la fecha de
negociación del bono, al 63/4 % anual, capitalizable semestralmente, utilizando la
fórmula del monto a interés simple:
M =C (1 + it)
91
M =3.036,51 [1 + 0.03375 (180)] = $ 3.088,32
El precio del bono es de $ 3.088,32 que es el denominado "bono sucio"; es decir, al
valor que todavía no se le resta el interés redituable.
Interés redituable de un bono
El interés redituable de un bono es una parte fraccionaria del pago de intereses en
una fecha diferente del pago de cupones. Se obtiene así: el número de días (contados
desde la última fecha de pago de un cupón hasta la fecha de compra, se divide por
el número de días del período de capitalización de intereses, y luego este valor
resultante se multiplica por los intereses del período completo.
Roberto
64
El interés redituable se utiliza para obtener el denominado "bono limpio"; es decir,
el bono al que se le ha restado el interés redituable. En el ejemplo anterior:
P = $ 3.036,51 en la fecha de pago del cupón.
P1= $ 3.088,32 precio del bono sucio.
Número de días desde la fecha de pago de interés: 91.
Capitalización semestral: 180 días.
180
Intereses: (3.000)(0,07)(360) = 105 (Valor del cupón)
91
Interés redituable =(180)(105) = $ 53.08
El interés redituable sirve para calcular:
a)
El precio del bono limpio: Precio del bono sucio - Interés redituable
3.088,32 - 53,08 = $ 3.035,24
b)
El precio neto o precio con interés: Precio del bono sucio + Interés
redituable
3.088,32 + 53,08 = $ 3.141,40
El más utilizado es el precio del bono limpio.
Rendimiento de un bono
Como ya se dijo antes, al explicar el precio de un bono en forma conceptual, el
rendimiento de un bono está dado en función de la tasa de negociación que
acuerden las partes: vendedor y comprador. Por lo tanto, existe un rendimiento con
premio cuando se negocia un bono a una tasa menor que la nominal del bono;
existe un rendimiento a la par cuando se negocia un bono con una tasa igual a la
nominal del bono, y existe un rendimiento con castigo cuando se negocia un bono
con una tasa mayor que la nominal del bono.
Ejemplo
Un bono de $ 5.000 al 9% MN, redimible a la par el 15 de noviembre del año 2015,
se: vende el 15 de mayo de 2006 con las siguientes opciones de rendimiento:
a) Con una tasa de rendimiento del 8% anual, capitalizare semestralmente.
b) Con una tasa de rendimiento del 9% anual, capitalizable semestralmente.
c) Con una tasa de rendimiento del 10% anual, capitalizable semestralmente.
¿Cuál es el precio para cada opción, así como el respectivo tipo de negociación (si
es a i la par, con premio o con castigo)?
Valor de redención: 5.000(1) = $ 5.000
Número de cupones: 19
180
Valor de cada cupón: 5.000 (360)= $ 225.500
a) Con i = 8%
P = 3.000 (1 + 0,04)-19 + 225[
1−(1+0.04)−19
0.04
P = 2.373,21 +2.955,14 = $5.328,35
Roberto
]
65
Ésta es una negociación con premio, pues su precio es mayor que el valor nominal.
b) Con i = 9%
P = 5.000 (1 + 0,045)-19 + 225[
1−(1+0.045)−19
0.045
]
P = 2.166,51 + 2.833,49 = $ 5.000
Ésta es una negociación a la par, pues su precio es igual al valor nominal del bono.
c) Con i = 10%
P = 5.000 (1 + 0,05)-19 + 225[
1−(1+0.05)−19
0.05
]
P = 1.978,67+ 2.719,20 = $4.697,87.
Ésta es una negociación con castigo, pues su precio es menor que el valor nominal
del bono.
Bonos cupón cero
Son aquellos bonos que no tienen cupones. Su valor actual o precio se calcula
tomando sólo como referencia su valor nominal y la tasa de negociación.
Ejemplo.
¿Cuál será el precio de un bono cupón cero de $ 9.000 al 7% JD, redimible a la par
el 10 de junio del año 2018, se negocia el 10 de diciembre de 2006 a una tasa de
rendimiento del 8% anual, capitalizable semestralmente?
Precio = Valor actual
Precio = 9.000 (1 + 0,035)-23 = $ 4.079,57
Otras clases de bonos
Además de los enunciados, existen diversas clases de bonos que, por razones de
espacio, no desarrollaremos en este libro. Entre ellos se destacan:
• Bonos seriados.
• Bonos de anualidad.
• Bonos de estabilidad monetaria (Bems).
• Bonos del Estado (a largo plazo).
• Bonos dólares.
• Bonos con fecha opcional de redención.
• Bonos de valor constante (para enfrentar la inflación).
• Bonos municipales.
CLASIFICACION DE BONOS
Clases de bonos
Los bonos son susceptibles de ser emitidos, por igual valor al nominal, por encima
del valor nominal, o por debajo del valor nominal del título:
A la par: cuando el valor de venta es igual al valor nominal del título.
Con descuento cuando el valor de venta es menor al valor nominal.
Roberto
66
Con prima cuando el valor de venta es mayor al valor nominal.
La tasa de interés DTF, es el referente para analizar la clase de bonos, sobre la cual
los representantes de los tenedores ofrecen a los inversionistas.
Tasa de oferta del emisor de bonos: consiste en ofrecer una tasa equivalente a la
de mercado, o sea igual a la tasa que ofrecen los colocadores de bonos, y depende
de las condiciones de mercado, que ofrezcan unos puntos de más o unos puntos de
menos con el fin de hacerla atractiva, esto hace que las colocaciones sean por igual
valor nominal, con prima o con descuento.
Tasa de oportunidad: es la tasa de rentabilidad que espera el inversionista
obtener de sus valores invertidos en la emisión y si se presenta igual a la del
mercado de los títulos valores sería indiferente en tomar la decisión, sin embargo
el punto de referencia es la tasa de los colocadores de bonos, entonces si el emisor
ofrece uno o dos puntos más por encima del mercado se vuelve aparentemente
atractiva la inversión, sin embargo es un gancho a la hora de emitir:
Quien paga prima sobre bonos, es porque le han ofrecido unos puntos de más,
y el mayor valor pagado lo recupera en la calidad de tasa de interés que cobra por
estar por encima del mercado.
Quien paga igual al valor nominal su tasa de interés también es normal a la del
mercado.
Quien paga menos del valor nominal, recupera ese descuento al momento de
redimir el bono, porque su tasa de interés está por debajo de la tasa de mercado.
En conclusión el inversionista en cualquiera de los tres casos anteriores tienen
la misma tasa de interés, esto es, la del mercado.
Quién determina la clase: la clase de emisión de bonos, solamente la determina el
tipo de interés o tasa del mercado financiero de bonos, frente al tipo de interés que
ofrece la emisora de bonos.
Bonos a la par
Si la tasa de oferta del mercado de bonos es la DTF de 10% EA, mas 3% EA., se
obtendría una tasa del 13,30% EA., que convertida a tasa nominal pagadera
semestre vencido sería del 12,88% SV y la periódica semestre es de 6,44%, que es
la referencia del mercado de bonos, y la misma que optará la empresa
representante de bonos. Bajo estos parámetros la empresa hace el empréstito
porque puede ofrecer la misma tasa y emitir bonos a la par.
El siguiente cuadro muestra la emisión de 30.000 bonos de valor nominal de
$1.000 con una tasa periódica semestre vencido del 6,44% durante tres años, al
cabo de los cuales redimirá la emisión.
Roberto
67
Préstamo
Intereses semestrales (miles)
30.000.00
0
1.932.74
2
1.932.74
2
1.932.74
2
1.932.74
2
1.932.74
2
1.932.74
2
30.000.0
00
Redención
Los intereses semestrales del orden de $1.932.742 se pagan por los seis meses de
vida del prospecto de emisión, al cabo del cual se paga o redime los títulos
devolviendo el valor inicial del empréstito.
Para analizar el valor de los intereses y la recuperación de la inversión, se lleva a
una línea de tiempo equivalente que muestre los valores, se presentaría así:
Redención
30.000
Interés 1.932.742
1.932.742
1.932.742
1.932.742
1.932.742
1.932.742
Préstamo
30.000.000
Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses,
a la tasa semestral del 6.44% que es la de mercado de bonos, y el último período
sumados los intereses y la redención, esto dará el valor presente que la empresa
recibirá hoy.
Cálculos Intereses semestrales (miles)
Interés 1.932.74
y
2/
préstam
(1,0644)1
o
Valores
1.815.76
2
VP
30.000.000
1.932.74
2/
1.932.74
2/
1.932.74
2/
1.932.74
2/
31.932.74
2/
(1,0644)2
(1,0644)3
(1,0644)4
(1,0644)5
(1,0644)6
1.705.86
2
1.602.61
4
1.505.61
5
1.414.48
7
21.955.65
9
En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un
precio de (VP/ n = $30.000.000/ 30.000) $1.000 cada uno.
Roberto
68
Otra forma de calcular los intereses semestrales y el valor de recuperación de la
inversión en el último período, es utilizando la fórmula de anualidades.
1 – [1 + i]-n
P=R
+ R (1+ i)-n
i
R = Intereses pagados durante todos los período en forma constante.
i = Tasa de Interés de descuento representativa del mercado de bonos.
n = Número de períodos de pago.
La primera fórmula obedece a la anualidad y la segunda, a la fórmula convencional
de traer el último valor de recuperación de la inversión inicial a valores presentes.
1 – [1 + 0.0644]-6
P = 2.310
+ 30.000 (1+ 0.0644)-6
0.0644
P = 3.000.000 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559
P = 9.373.216 + 20.626.784 = 30.000.000
La tasa del mercado de bonos comparada con la tasa de oferta de la empresa
emisora, es lo que determina si la emisión es a la par, con descuento o con prima.
Bonos con prima
Si la tasa de oferta del mercado es del 13.30% EA, la empresa puede ofrecer dos
puntos más efectivos anuales a los inversionistas, para una tasa del 15,67% EA por
el empréstito, pagadero semestralmente durante tres años, al cabo de los cuales
redimirá la emisión. Como la tasa de oferta anual de mercado es del 12.88% SV y la
nueva tasa de oferta es del 15.0% SV, los bonos tendrán que emitirse con prima:
Préstamo
Intereses semestrales (miles)
30.000.00
0
2.250.48
8
Redención
Roberto
2.250.48
8
2.250.48
8
2.250.48
8
2.250.48
8
2.250.48
8
30.000.0
00
69
Observe que se liquido el interés con una tasa de 7,50% y ahora se descuenta cada
valor pagado semestralmente por concepto de intereses a la tasa de mercado
6.44% y en el último período por concepto de redención por valor de $30.000.000,
esto dará el valor presente que la empresa recibirá hoy. Aplicando la fórmula dará
el siguiente resultado.
1 – [ 1 + 0.0644 ]-6
P = 2.250.488
+ 30.000.000 ( 1+ 0.0644)-6
0.10
P = 2.250.488 * 4,849699 + 30.000.000* 0.687559
P = 10.914.191+ 20.626.784 = 31.540.975
En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un
precio de mercado ($31.540.975/ 30.000) de $1.051 cada uno, y el excedente
sobre el valor nominal constituye prima en emisión de bonos.
Bono con descuento
Si la tasa de oferta del mercado es del 12,88% SV., la empresa que hace el
empréstito, puede ofrecer por debajo de esa tasa dos puntos, para un total de
10,75% pagadero semestralmente durante tres años, al cabo de los cuales redimirá
la emisión:
Préstamo
Intereses semestrales (miles)
30.000.00
0
1.611.80
2
1.611.80
2
1.611.80
2
1.611.80
2
1.611.80
2
1.611.80
2
30.000.0
00
Redención
Ahora se descuenta cada valor pagado semestralmente por concepto de intereses
a la tasa del mercado de 6,64% y en el último período se le suma a los intereses el
valor de la redención.
1 – [ 1 + 0.664 ]-6
P = 1.611.802
+ 30.000.000 ( 1+ 0.664)-6
0.664
P = 1.611.802 * 4.849699 + 30.000.000* 0.687559
P = 7.816.752 +20.626.784 = 28.443.537
Roberto
70
En este caso la empresa venderá 30.000 bonos de valor nominal de $1.000 a un
precio de mercado de ($28.443.537/30.000) $948 la diferencia con respecto al
valor nominal constituirá descuento en la emisión de bonos.
En conclusión, siempre se le reconoce al prestamista la tasa de oferta de mercado,
y la tasa de oferta es simple juego financiero para mostrar mayores expectativas.
Bono
El Bono es un documento a largo plazo emitido por una empresa privada o el
gobierno. Particularmente, el prestatario recibe hoy dinero a cambio de una
promesa de pago después, con interés pagado entre el período de efectuado el
préstamo y el instante del reembolso. Por lo general, la tasa de interés de los bonos
recibe el nombre de cupón.
Existe una amplia gama y formas de bonos. Para nuestro caso, consideramos
cuatro clasificaciones generales:
1º. Títulos–valores. Emitidos y respaldados por el gobierno. Son considerados
títulos-valores de menor riesgo en el mercado. Los intereses generados casi
siempre están exonerados del impuesto a la renta estatal y local. Existen tres tipos
de títulos-valores: Certificados mayores o igual a un año; Pagarés de 2 a 10 años y
Bonos de 10 a 30 años.
2º. Bono hipotecario. Respaldados por hipotecas o por activos determinados de la
empresa que emite los bonos. Existen hasta tres tipos de bonos hipotecarios: de
Primera hipoteca, de Segunda Hipoteca y Fideicomiso de equipo. Los bonos de
primera hipoteca tienen primera prioridad en el caso de liquidación. Son de más
riesgo y consecuentemente, la tasa que pagan es menor. Son referenciados como
bonos colaterales los respaldados por una garantía colateral. Un bono de
fideicomiso de equipo es aquel en el que el bien comprado a través del bono es
usado como una garantía colateral.
3º. Bonos amortizables. No están respaldados por ningún tipo de garantía
colateral. Por lo general estos bonos pagan las tasas más altas de interés debido a
su mayor riesgo.
Existen hasta tres tipos de bonos amortizables:
a) Bono convertible. Es un bono cuyas cláusulas permiten que éste sea convertido
en acción de la empresa que lo emitió a un precio prefijado. A cambio, tienen un
cupón inferior al que tendría sin la opción de convertibilidad, lo cual el inversor
acepta previendo una posible subida del precio de la acción.
b) Bono subordinado. Representa la deuda ubicada una detrás de otra deuda en el
caso de reorganización o liquidación de la empresa.
Roberto
71
c) Bono especulativo, bono basura o junk bonds. En la jerga financiera de EE.UU.,
título de renta fija y alto rendimiento emitido por compañías cuya solvencia no es
de primera clase; sin que a pesar de ello existan expectativas de posible
insolvencia.
4º. Bonos municipales. Emitidos por los gobiernos locales. Generalmente estos
bonos están exentos del impuesto a la renta. La tasa de interés pagada por estos
bonos por lo general es muy baja. Estos bonos pueden ser:
a. Bonos de obligación general. Son emitidos contra los impuestos recibidos por el
gobierno local. Es decir estos bonos están respaldados por todo el poder
impositivo del emisor.
b. Bonos de ingresos. Son emitidos contra el ingreso generado por el proyecto
financiado (planta de tratamiento de agua, energía eléctrica, puente etc.). Lo que
no puede hacerse es crear impuestos para el reembolso de los bonos de ingresos.
c. Bonos de cupón cero. Emitido sin cupón de renta (no hay pagos de intereses
periódicos). Son negociables con descuento sobre su valor nominal, el cual es
redimido a su vencimiento. La TIR surge del diferencial entre el valor nominal y el
precio.
d. Bonos de tasa variable. Son aquellos cuyas tasas de los cupones son ajustados a
puntos determinados en el tiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente,
etc.).
e. Bonos de venta. Los bonos de venta brindan al tenedor la oportunidad de hacer
efectivo el bono en fechas determinadas (una o más) con anterioridad a su
vencimiento.
Las empresas o sociedades agentes de bolsa con el fin de ayudar a los
inversionistas califican los bonos de acuerdo con la cuantía de su riesgo asociado
con su compra (Calidad AAA de la más alta calidad) hasta DDD (bonos de la peor
calidad).
Procesos de Bonos e Intereses
Como vimos, un bono no es más que un préstamo. Es un préstamo otorgado a una
empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El «emisor» del
bono (la empresa o gobierno que recibe el préstamo) adquiere el compromiso de
pagar a sus «inversores» una tasa de interés por prestarle el dinero (compensación
por posponer la posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor
nominal del bono a su vencimiento. En términos generales, cada préstamo o
«emisión» de un bono tiene ciertas y particulares condiciones detalladas en el
momento de la emisión. Estas condiciones son: el valor nominal del bono, su tasa
Roberto
72
de interés o cupón, el período de pago de intereses del bono y su fecha de
vencimiento.
El valor nominal. El principal o capital que hace referencia a su denominación; los
valores más utilizados son los bonos de: UM 100, 500, 1,000, 10,000 y 50,000. El
valor nominal es importante por dos razones:
1. El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono
a la fecha de su vencimiento.
2. El importe del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de
vencimiento del bono, es calculado multiplicando el valor nominal del bono (VN)
por su tasa de interés (ib) divido entre el período (nb), con la siguiente fórmula:
Generalmente un bono es comprado con descuento (menor que el valor nominal) o
con una prima (mayor que el valor nominal). Para el cálculo del interés I del bono
solamente utilizamos el valor nominal y no el precio de compra.
Ver ejemplo anterior (Recibiendo intereses por la compra de bonos)
Calcular el monto de interés que Jorge recibirá por período si compra un bono de
UM 10,000 al 4%, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos
bimestralmente.
Solución:
VN = 10,000; ib = 0.04; nb = (12/2) = 6; I =?
Respuesta: Jorge recibirá por concepto de intereses UM 80 cada 2 meses
adicionales a los UM 10,000 que recibirá al vencimiento del bono.
Ver ejemplo anterior (Recibiendo pagos por invertir en un bono)
Una empresa fabricante de cocinas y hornos industriales tiene proyectado
expandirse y para financiarse recurre a la emisión de bonos de UM 1,000 al 6%
para financiar el proyecto. Los bonos vencerán dentro de 10 años con pagos
semestrales de interés. El Gerente de la empresa compró uno de los bonos a través
de su Agente de Bolsa por UM 900. ¿Cuánto recibirá por concepto de pagos?
Solución:
VN = 1,000; ib = 0.06; nb = (12/6) = 2; I =?
Respuesta: El empresario recibirá UM 1,000 en la fecha de vencimiento del bono,
dentro de 10 años; además recibirá cada seis meses el importe de UM 30 por
concepto de intereses, conforme el compromiso de la empresa a pagar al momento
de la emisión.
Factores de riesgo de los bonos
Roberto
73
Cada uno de los determinantes del flujo final de fondos de la inversión en un bono
son los distintos factores de riesgo de los instrumentos de renta fija, donde los
principales son:
1. «Riesgo de default», el riesgo de incumplimiento del emisor;
2. «Riesgo moneda» o riesgo de recibir los pagos de amortización y renta en la
moneda pactada o el tipo de cambio que afecte la rentabilidad de la inversión;
3. «Riesgo de liquidez», o riesgo de que las posibilidades de vender el bono (o
transferir a un tercero los derechos sobre la amortización y renta del bono antes
de su vencimiento) sean limitadas;
4. «Riesgo de inflación» o riesgo de que la inflación erosione el rendimiento final de
la inversión;
5. «Riesgo de reinversión» o el riesgo de variación de la tasa de interés a la cual
podremos reinvertir el dinero que cobremos por renta o por amortización durante
la vigencia del bono;
6. «Riesgo tasa de interés», o riesgo de que cambios en las condiciones generales
de la economía impacten en el precio del bono en el mercado.
Bono Cupón Cero
Es aquel que no paga intereses durante la vida de la emisión, sino que, los perciben
íntegros con la amortización del principal, es vendido con un fuerte descuento
sobre el nominal, siendo su precio muy sensible a las variaciones de los tipos de
interés. Con frecuencia estos bonos son vendidos con descuentos mayores al 75%
de su valor nominal, para hacerlos más atractivos ante los inversionistas. El bono
cortado es un bono convencional cuyo cupón de intereses es vendido en forma
separada de su valor nominal. El comportamiento de éste bono es el de un bono
cupón cero.
Precio / Tasa. Tasa / Precio
Entender por qué y cómo interrelacionamos estas variables es función de la tasa de
Interés. La tasa de interés es la que genera la dinámica de un bono, lo que le da
vida.
EJEMPLO 216 (Préstamo o inversión en un bono)
a) César propone a Jorge que le preste UM 1,000 por un año, con la promesa de
devolverle UM 1,120 al final de este período. Este caso es lo mismo que invertir en
un bono que vale UM 1,000 (valor nominal) con un rendimiento anual del 12%.
b) Jorge tiene otra propuesta similar en monto y plazo que el anterior, pero la
oferta de devolución al final del año no es UM 1,120 sino UM 1,300.
Roberto
74
Este segundo caso (bono) vale también UM 1,000, pero con un rendimiento anual
del 30%.
Frente a esta segunda oferta, César necesitado de dinero y la seguridad de
rembolsar UM 1,120 al final del año, decide mejorar la segunda oferta y propone
que además de devolverle al final del año la suma indicada, –le dice- «en lugar de
prestarme hoy los UM 1,000, me arreglo con sólo UM 862 que es lo que realmente
requiero para el apuro que tengo».
Para calcular el valor del bono que debe ofertar César a Jorge aplicamos la fórmula:
VF = 1,120; ib= 0.30; n = 1; VA =?
Lo que César hizo es bajar el precio del bono a UM 862 y automáticamente le subió
la tasa de interés a 30%. Calculamos la tasa (ib), aplicando la fórmula conocida:
VF = 1,120; VA = 861.5385; n = 1; ib=?
Relación del precio con la tasa de interés
La relación del precio con la tasa de interés es muy importante, como pasamos a
demostrarlo:
1) El comportamiento del precio de un bono es contrario a la tasa de interés: si el
precio baja la tasa sube y si el precio sube la tasa baja.
Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le
corresponde un precio del bono menor, o bien, para que el precio sea invariable
cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés,
el precio baja si el plazo sube.
2) El movimiento del precio de un bono es al revés que el plazo para una misma
tasa. El movimiento del precio de un bono se comporta de manera inversa a la tasa
y al plazo. Esto último es así porque el «impacto» de la misma tasa anual se
«potencia» por la simple acumulación de años: duplica en dos años, triplica en tres
años, etc.
3) La sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa es creciente a
medida que aumenta el plazo del bono. Sensibilidad y plazo guardan una relación
directa.
Valor actual de los bonos
Cada vez que nos referimos al precio del bono hacemos mención al «valor actual»
del monto del vencimiento, o dicho de otra manera, al monto del vencimiento
actualizado a la fecha de hoy.
Roberto
75
El precio del bono es siempre el monto que, aplicándole la tasa de interés, iguala el
importe del vencimiento. Si al valor del vencimiento le descontamos el interés,
obtenemos su precio.
El precio es equivalente al «valor actual» del importe del vencimiento
«descontado» a la tasa de interés del bono.
Luego, el precio de un bono «es» el «valor actual» de su «flujo de fondos esperado»
«descontado» a su tasa de rendimiento.
EJEMPLO (Cuánto pagaría hoy por un bono...)
Una persona requiere tener un 10% anual nominal compuesto semestralmente
sobre una inversión en bonos, ¿cuánto pagaría hoy por un bono de UM 5,000 al 7%
que vencerá dentro de 10 años y paga intereses semestrales?
Solución:
VN = 5,000; ib = 0.07; nb = (12/6) = 2; I =?
1º Calculamos el valor del pago de los intereses (cupón) del bono:
2º Utilizando la tasa de interés por período que la persona prevé recibir: 10%
anual compuesto semestralmente, es decir 10%/2 = 5% semestral. La tasa de
interés del bono (ib) sólo es utilizada para el cálculo del importe del pago de los
intereses del bono. I es simplemente un valor C.
VA = [FORMULA] + [FORMULA]
I(C) = 175; i = 0.05; n = 20; VF = 5,000; VA =?
Respuesta:
La persona debe pagar por el bono UM 4,065.33 el día de hoy para asegurarse un
10% anual nominal compuesto semestralmente sobre su inversión. Pagar una
cantidad mayor que la indicada significaría una tasa de retorno menor al 10%
esperado.
SEGURO DE VIDA
UNA PÓLIZA DE SEGURO DE VIDA es un contrato entre una compañía de seguros
y una persona (el asegurado). En este contrato:
(a) el asegurado acuerda hacer uno o más pagos (pagos de primas) a la
compañía,
Roberto
76
(b) la compañía promete pagar, al recibo de pruebas de la muerte del
asegurado, una suma fija, a una o más personas (beneficiarios) designados
por el asegurado.
Los principales tipos de seguro de vida son:
(i) Seguro de vida entera en el cual, la compañía promete pagar el valor nominal de
la póliza al beneficiario a la muerte del asegurado, cuando sea que ésta ocurra.
(ii) Seguro temporal a n-años en el cual, la compañía promete pagar el valor
nominal de la póliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, únicamente si el
asegurado muere dentro de los n años siguientes a la emisión de la póliza.
(iii) Seguro dotal a n-años en el cual la compañía promete pagar el valor nominal
de la póliza al beneficiario, a la muerte del asegurado, si el asegurado muere dentro
de los n años siguientes a la emisión de la póliza y pagar el valor nominal de la
poli/a al asegurado al término de n años, si sobrevive el período.
En la práctica los beneficios se pagan tan pronto se demuestre la muerte del
asegurado, sin embargo, para simplificar los cálculos necesarios supondremos que
los beneficios de cualquier póliza serán pagados al final del año póliza en el que el
asegurado muere. Como en el caso de las anualidades contingentes, únicamente
consideraremos aquí primas netas.
SEGURO DE VIDA ENTERA. Designemos con Ax la prima neta única de una póliza
de seguro de vida entera de 1, emitida para una persona de edad x. El problema de
hallar Ax puede reducirse al problema de hallar la cantidad con la que cada una de
las /x personas, todas de edad x, deben contribuir para constituir un fondo
suficiente que permita a la compañía pagar al beneficiario, de cada asegurado, la
cantidad de 1 al final del año en que el asegurado muere. La contribución total al
fondo es lxAx. Durante el primer año. dx de los asegurados morirán de acuerdo
con la tabla de mortalidad y debe pagarse dx de beneficio al final del año. El valor
presente de estos beneficios es (1+i)-1dx = υdx.
Durante el segundo año, dx + 1
personas morirán y el valor presente de los beneficios pagaderos al final del año es
υ2dx+1, y así sucesivamente.
Por tanto
Roberto
77
lxAx = υdx + υ2dx+1 + υ3dx+1 + … hasta el final de la tabla
Ax = υdx + υ2dx+1 + υ3dx+1 + … hasta el final de la tabla
lx
Multiplicando numerador y denominador por υx, tenemos
Ax = υx+1dx + υx-2 dx+1 + υx+3dx+2 + … hasta el final de la tabla
υx lx
En términos de los valores conmutativos
Dx = υx lx
Cx = υx-1 dx
Mx = Cx + Cx-1 + Cx-2 + … +C99
Tenemos
Ax = Cx + Cx-1 + Cx-2 + … +C99
Dx
y finalmente
Ax =
𝑀𝑥
D𝑥
1
Los valores de Mx al 22 % se encuentran en la última columna de la tabla XV.
Ejemplo 1.
Hallar la primera neta única de una póliza de seguro de vida entera de $1000,
expedida para una persona de 22 años de edad.
𝑀22
193.897
Utilizando (1), 1000 A22 = 100 𝐷22 = 1000 549.956 = $ 352,57
Rara vez se venden pólizas de seguro a prima única. En su lugar, se pagan primas
iguales al principio de cada año, ya sea, (a) durante toda la duración de la póliza, o
(b) durante los primeros m años de vida de la póliza. Para el seguro de vida entera
estos tipos de pagos anuales de primas se indican con la denominación de, (a)
seguro ordinario de vida, o (b) seguro de vida pagos limitados a m años.
Roberto
78
Designemos con P, la prima neta anual de una póliza de seguro ordinario de vida
de 1 emitida para una persona de edad x. Puesto que los pagos de primas forman
una anualidad vitalicia anticipada de P, por año, tenemos (véase la fórmula (2),
capítulo 16)
PX äX = AX
por lo cual
Ejemplo 2.
Hallar la prima neta anual de una póliza de seguro ordinario de vida de S1000 para
una persona de 22 años de edad.
Utilizando (2),
Designemos con mPx la prima neta anual de una póliza de seguro de vida pagos
limitados a m años de 1, para una persona de edad x. Puesto que los pagos de
primas forman una anualidad contingente temporal anticipada a m años, tenemos
(véase la fórmula (J), capítulo anterior.
Por lo cual
Ejemplo 3.
Hallar la prima neta de una póliza de seguros de vida pagos limitados a 10 años de
$1000 para una persona de 22 años.
Roberto
79
Utilizando (3), 1000 10P22 = 1000
𝑀22
𝑁22− 𝑁22
=
193.897
14.598.430−9,724.962
= $ 39,79
SEGURO TEMPORAL. Designemos con A1x:n la prima neta única de una póliza de
seguros temporal a n años de 1, para una persona de edad x. procedimiento en la
misma forma que para el caso de Ax, encontramos que
Ya que el último beneficio se paga al término de n años.
Por tanto
y
Ejemplo 4.
Hallar la prima neta única de una póliza de seguro temporal a 10 años, de $ 1000,
para una persona de 30 años.
Utilizando (5),
Designamos con P 1 x:n la prima neta anual para una póliza de seguro temporal a n
años de 1, para una persona de edad x. puesto que las primeras anuales forman
una anualidad contingente temporal anticipada a n años, tenemos
Roberto
80
v
Ejemplo 5.
Hallar la prima neta de una póliza de seguro temporal a 10 años de $1000, para
una persona de 30 años.
Utilizando (5)
Designemos con mP1x:n la prima neta de una póliza de seguro temporal a n años de l,
para una persona de edad x, para ser pagada durante un periodo de m< n años,
esto es, una póliza temporal a n pagos limitados a m años de 1, para una persona
de edad x. Es decir
Ejemplo 6.
Hallar la prima neta anual de una póliza de seguro temporal a 20 años, con pagos
limitados a 15 años, de $1000, para una persona de 30 años de edad
Utilizando (6) con m = 15 yn = 20
SEGURO DOTAL. Una póliza de seguros dotal a n años combina los beneficios de
un seguro temporal a n años y un dotal puro al término de n años. Designemos con
Ax:n la prima neta única de una póliza de seguro dotal a n años de 1, para una
persona de edad x. tenemos que
y
Roberto
81
Ejemplo 7.
Hallar la prima neta única de una póliza de seguros dotal a 25 años, por $ 1000
para una persona de 40 años de edad.
Utilizando (7).
Designemos con Px:n la prima neta anual de una póliza de seguros dotal da n años
de 1 con pagos limitados a m años, para una persona de edad x. tenemos que:
Ejemplo 8.
Hallas la prima neta anual de una póliza de seguros dotal a 25 años por $ 1000,
para una persona de 40 años de edad.
Utilizando (8)
Designemos con mP1x:n la prima neta anual a una póliza dotal a n años con pagos
limitados a m años, para una persona de edad x. tenemos que:
Ejemplo 9.
Hallar la prima neta anual de una póliza de seguro dotal a 25 años con pagos
limitados a 20 años, por $ 1000 para una persona de 40 años de edad.
Utilizando (9), con m = 20 y n = 25
Roberto
82
PRIMA NATURAL. La prima neta única de un seguro temporal a 1 año, a la edad x,
se conoce como prima natural a dicha edad. De (5) tenemos que la prima natural
para una póliza de 1, a la edad x es.
Ejemplo 10.
Hallar la prima natural de una póliza de $ 1000 a los, (a) 22 años de edad, (b) 23,
(c) 75.
RESERVAS: Considérese una póliza de seguro ordinario de vida de $1000 para una
persona de 22 años de edad. En la tabla que sigue se compara la prima neta anual
de esta póliza (véase el ejemplo 2) con la prima natural a diferentes edades del
seguro (véase el ejemplo 10).
Edad
22
23
40
51
52
75
85
Prima neta anual
a los 22 años de
edad
13,28
13,28
13,28
13,28
13,28
13,28
13,28
Prima
natural
2,53
2,61
6,03
12,95
13,95
86,95
189,38
Vemos que en los primeros años de la póliza el asegurado paga a la compañía más
que el costo anual del seguro, 13,28 — 2,53 = $10,75 el primer año y 13,28 — 2,61
= $10,67 el segundo año. Cada sobrante de la prima anual sobre el costo del seguro
en el año es colocada por la compañía en un fondo de reserva, el cual gana
intereses a la misma tasa que se utilizó al calcular la prima. A los 52 años de edad,
el costo de un año de seguro por primera vez excede el pago anual de prima.
Roberto
83
Principiando a los 52 años de edad y continuando cada año en adelante mientras la
póliza se encuentre en vigor, la compañía toma del fondo de reserva la cantidad
necesaria para cubrir la diferencia, 13,95 - 13,28 = $0,67 a los 52 años y 86,47 —
13,28 = $73,19 a los 75 años. El fondo de reserva para cada póliza crece durante
toda la vida de la póliza. De acuerdo con la tabla CSO utilizada, la reserva a los 99
años de edad debería ser lOOOv = $975,61, esto es, la prima neta única de una
póliza de vida entera por $1000 a los 99 años.
El fondo de reserva al final de cualquier año póliza se conoce como reserva
terminal del año póliza. La reserva .terminal menos un cargo nominal para gastos
se conoce como valor de rescate de la póliza. La reserva terminal pertenece al
asegurado mientras.la póliza esté en vigor. El asegurado en cualquier momento,
puede solicitar como préstamo el valor de rescate de su póliza sin más garantía.
También puede cancelar su póliza y tomar el valor de rescate en efectivo o
aplicarlo a la compra de otra póliza de seguro.
La reserva terminal al final de cualquier año póliza, puede ser calculada con una
ecuación de valor tomando el final del año póliza como fecha focal:
Reserva terminal al final
del r-ésimo año póliza
+
Valor presente de todas
+
las primas futuras
=
Valor presente de todos
=
beneficios futuros
11
Por ejemplo, designemos con rV la reserva terminal al final del r-ésimo año de una
póliza de seguro ordinario de vida de 1, para una persona de edad x. Después de r
años póliza, el valor presente de todas las primas futuras será el valor presente P x ·
äx+r de una anualidad vitalicia anticipada de P, por año, a la edad x + r y el valor
presente de los beneficios futuros, será la prima neta única A x+r de una póliza de
seguro de vida entera de 1, a la edad x + r. Por lo cual
Ejemplo 11.
Hallar la reserva terminal al final del 10o. año póliza, de una póliza de seguro
ordinario de vida de $1000, para una persona de 22 años.
Roberto
84
Del ejemplo 2, tenemos que la prima neta anual a los 22 años de edad es SI 3,28. Al
final del 10o. año póliza, el valor presente de las primas faltantes es 13,28 así y el
valor presente de los beneficios futuros es 1000 /4». Por tanto:
Como puede observarse, dentro de estos conceptos se hallan incorporados los
citados elementos que se mencionaron antes, entre los cuales el más importante es
el costo de la prima de seguro.

Prima de seguro: Más adelante el mismo autor plantea que "El costo de una
prima de seguro debe incluir el costo actuarial o costo de las pérdidas, el
costo de mantenimiento del negocio y el costo de las contribuciones para
constituir una reserva para catástrofes".
Es decir, que la prima de seguro debe ser calculada en forma real, de modo que
pueda cubrir la catástrofe en caso de producirse y no ser demasiado alta, para que
pueda ser pagada por el asegurado.

Reaseguro: Es común que las compañías aseguradoras se aseguren a su vez
en otras empresas aseguradoras de mayor envergadura, para garantizarse
así mismas y a sus clientes. Esto se conoce como reaseguro.
Magee divide el seguro en dos grupos, como parte de la estructura económica:
a)
Seguro social obligatorio: Su finalidad es proporcionar un mínimo de
seguridad económica a todos los trabajadores para cubrir accidentes,
enfermedades,
invalidez,
desempleo,
muerte prematura,
etcétera.
Se
caracteriza por su obligatoriedad legal y porque el Estado lo administra. Esto
depende de la respectiva legislación de los diferentes países y de las políticas de
seguridad social que se apliquen.
Roberto
85
b)
Seguro voluntario: Es tomado por el asegurado, en forma voluntaria u
obligada, para proteger personas o bienes. Este tipo de seguro comprende todo el
vasto negocio de seguros desarrollado por compañías de propiedad privada. Cubre
seguros de vida, accidentes, marítimos, de incendio, robo, fianzas, etcétera.
Por ejemplo, en el caso de los seguros de vida, la póliza consiste en: "un contrato
entre una compañía de seguros y una persona llamada asegurado, mediante el cual
el asegurado se compromete a pagar una prima ya sea de una vez o en pagos
sucesivos (primas), comprometiéndose a su vez la compañía a pagar una suma fija
a los beneficiarios al recibir las pruebas de la muerte del asegurado".

Renta perpetua: Para calcular el valor actual de una renta perpetua se
puede deducir la siguiente fórmula:
Renta perpetua = lím R [
1−(1+𝑖)−𝑛 )
𝑖
]=𝑅 [
1−0
𝑅
𝑖
𝑖
]=
Fámula 8.2.valor
actual de una renta
perpetua
Entonces calcularemos el valor actual de una renta perpetua de $ 1 .000 anuales
con una tasa del 4% anual.
𝑅𝑃 =
1.000
= $ 25.000
0,04
Principios del seguro
a) Principio de Buena Fe: "que se refiere a la confianza o buen concepto que se
tiene de una persona o cosa, la actuación clara, responsable y verdadera de
quienes suscriben los contratos de seguros: asegurador, asegurado,
solicitante, contratante, beneficiario, intermediario, reasegurados y
autoridades de control".
b) Principio de Solidaridad: "es el derecho u obligación común a varias
personas, cada una de las cuales debe ejercerlo o cumplirlo por entero, es
Roberto
86
una forma de no ser, indiferente ante los problemas de las demás personas"
7.
El riesgo, que es "contingencia o proximidad de un daño", cada una de las
contingencias que pueden ser objeto de un contrato de seguros" (según el
Diccionario Enciclopédico Universal AULA).
De acuerdo con el conjunto de riesgos, características similares y su naturaleza, los
seguros se pueden agrupar en dos ramos:
1. Ramos Personales: Que se refieren a la persona, entre los cuales se tienen:
a) Ramo de Vida: en caso de vida y en caso de muerte; y mixto de ahorro y
riesgo
b) Ramo de Accidentes Individuales o de Accidentes Personales.
c) Ramo de Enfermedad.
2. Ramos Patrimoniales: Cubre la pérdida o daños materiales causados a los
bienes.
Entre los cuales se destacan:
a) De Responsabilidad Civil
b) De Automóviles
c) Seguro Agrario
d) De Pérdidas Pecuniarias
e) De Crédito y Caución
f) De Transporte
g) De Ingeniería.
El Sistema Social de Seguros lo componen aquellas Instituciones de Seguridad
Social que protegen a sus afiliados, que en forma obligatoria aportan
mensualmente un determinado porcentaje de su remuneración; y otorgan
prestaciones de salud, maternidad, cesantía, pensiones de jubilación, montepío y
otras.
El Sistema Privado de Seguros está conformado generalmente por:
Roberto
87

Las empresas de Seguros, que tienen conformación legal como compañías
anónimas, de responsabilidad limitada u otra forma de constitución, pueden
ser empresas de seguros generales o empresas de seguros de vida, otorgan
cobertura de riesgo a personas naturales o jurídicas.

Las empresas de Reaseguros otorgan coberturas a una o varias empresas de
seguras sobre uno o varios riesgos que hayan asumido; también realizan
operaciones de retrocesión (ceden parte del reaseguro).

Intermediarios de reaseguros: Personas naturales o jurídicas que gestionan
o colocan reaseguros o retrocesiones.

Peritos de seguros: Personas naturales o jurídicas que realizan actividades
de peritaje de seguros; pueden ser Inspectores de Riesgo, que realizan su
trabajo antes de la contratación del seguro, y Ajustadores de Siniestros, que
examinan las causas de los siniestros y valoran las pérdidas para la
indemnización respectiva.

Asesores Productores de Seguros; que pueden ser: Agentes de Seguros, que
son personas naturales que se dedican a gestionar y obtener contratos de
seguros, a nombre de una o varias empresas de seguros; y las Agencias
Asesoras
Productoras de Seguros, que son personas jurídicas que gestionan y
obtienen contratos de seguros para una o varias empresas de seguros o de
medicina prepagada.
El Contrato de Seguro: "El contrato de seguro es un documento mediante el cual,
una de las partes, El Asegurador, se obliga, a cambio de una prima, a indemnizar a
la otra, El Asegurado, dentro de los límites convenidos, de una pérdida o un daño
producido por un acontecimiento incierto; o a pagar un capital o una renta, si
ocurre la eventualidad prevista en el contrato".
Los Principios básicos que caracterizan al seguro son: Simple, Principal, Oneroso,
Mercantil, de Buena Fe, Aleatorio. Indivisible. Conmutativo y de Adhesión o de
libre discusión.
Elementos del Contrato de Seguro que son de tres clases: a) Esenciales, materiales
o reales; b) Personales; y, c) Formales.
a) A su vez los esenciales o materiales se pueden clasificar en:
1. Interés asegurable es el objeto del contrato de seguros.
Roberto
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2. El riesgo, que es una contingencia o proximidad de un daño.
3. La prima, que es el precio del seguro, es la aportación económica que el
asegurado o contratante paga al asegurador, por la cobertura del riesgo
contratado. Generalmente se conocen dos clases de primas: a) Prima Pura,
neta o de riesgo,
calculada estadística y matemáticamente (con
probabilidades), b) Prima Bruta o Comercial, que incluye a más de la prima
neta, gastos administrativos, de producción, beneficio, comisiones y otros
gastos.
4. El siniestro, que es la realización del riesgo que se asegura, que debe estar
incluido en la póliza.
5. La indemnización: Es una compensación monetaria por parte del
asegurador, a favor del asegurado, por una pérdida o en caso de producirse
un siniestro, que esté contemplado en la póliza.
Indemnización = (Valor de los daños)(Suma Asegurada/Interés Asegurable)
I = VD (SA/IA)
b)
Los elementos personales (naturales o jurídicas) del contrato de
seguros son:
1. Asegurador: Es la persona jurídica que asume los riesgos especificados en el
contrato de seguros.
2. Solicitante, según el Código de Comercio "es una persona natural o
jurídica que contrata el seguro, sea por cuenta propia o por la de un tercero
determinado o determinable que traslada los riesgos al asegurador" 10.
3. Asegurado: Es la persona natural o jurídica interesada en la traslación de
los riesgos, es el titular del interés asegurable, es la persona cuyo
patrimonio puede resultar afectado por la realización de un riesgo y
ocurrido el siniestro tiene derecho a la indemnización establecida en el
contrato de seguro.
4. Beneficiario: Es el que ha de percibir, en caso de siniestro, el producto del
seguro; es la persona designada por-el asegurado para recibir el monto de
la indemnización, de acuerdo con el contrato de seguro.
5. Perjudicado: Es la persona que, a consecuencia de un siniestro, sufre un
daño o un perjuicio.
c) Elementos formales del Contrato de seguro:
Roberto
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1. Origen del contrato: Solicitud de seguro, proposición y declaración del
asegurado
2. La póliza (según el curso de Introducción al Seguro de MAPFRE-FITSE) es el
documento que instrumenta el contrato de seguro, en el que se relejan las
normas que regulan
las relaciones contractuales convenidas entre
asegurador y asegurado, contiene la carátula, condiciones particulares y
condiciones especiales, en las cuales se especifican las obligaciones de las
partes contratantes, designación del asegurado y beneficiario, objetos
asegurados y otros aspectos con sus respectivas responsabilidades.
3. Vida del contrato de seguros, expresa las obligaciones de cada una de las
partes, con base en la emisión y formalización de la póliza, esto es, las
obligaciones y derechos del asegurado, asegurador, solicitante, cláusulas
especiales y plazos.
Técnicas de distribución del riesgo asegurado
1. El coaseguro, constituye la cláusula de una póliza que exige que el
asegurado realice un seguro adicional igual a un determinado porcentaje
del valor de la propiedad.
2. El reaseguro, según J. M. Rosemberg, es la "Absorción por una compañía de
seguros de todo o parte de un riesgo por póliza suscrita por otra compañía
de seguros"; es el sistema o procedimiento mediante el cual se conviene que
una de las partes, la cedente o aseguradora, traslade a otra, la
reaseguradora o aceptante, una parte o participación fija de las
responsabilidades que ha asumido a través de sus seguros directos, a fin de
protegerse o reducir sus probables pérdidas. Es la operación de volver a
asegurar. La responsabilidad de un
asegurador
y
hacia
el
reasegurador es
para con
el
asegurador únicamente"; en el contrato de
reaseguro existen conceptos que se tienen que conocer: aceptación,
asegurador directo, cedente, reasegurador, retención y retrocesión. En
consecuencia, sus elementos personales son: Reasegurador (el que otorga
una cobertura de reaseguro, aceptando el riesgo que le transfiere la
aseguradora), Cedente o reasegurado (entidad aseguradora que tiene un
riesgo y lo cede) y Retrocesionario (el que acepta el riesgo ofrecido por
otro reasegurador).
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Tipos de reaseguros
-
Por su naturaleza:
1. El reaseguro obligatorio
2. Reaseguro Facultativo
3. Reaseguro Facultativo - Obligatorio
-
Por su forma:
1. Reaseguro Proporcional, que puede ser a su vez:
El contrato o reaseguro Cuota Parte
El contrato o reaseguro Excedente
El contrato facultativo - obligatorio como complemento del proporcional.
2. Reaseguro no Proporcional o de exceso de pérdidas, que puede ser a su vez:
El contrato de pérdida por riesgo, o excess of loss
El contrato de exceso de siniestralidad, stop loss o agregado.
Ejercidos de Reaseguro Proporcional, Contrato Cuota Parte
Una empresa de seguros toma un contrato de reaseguros con la modalidad Cuota
Parte, 80/20, para un límite de contrato de $100.000,00:
Nº
Suma
Retención 20%
Cesión 80%
Facultativo
asegurada
1
$ 10.000,00
2.000,00
8.000,00
----------
2
$ 20.000,00
4.000,00
12.000,00
----------
3
$ 40.000,00
8.000,00
32.000,00
----------
4
$ 100.000,00
20.000,00
80.000,00
----------
5
$ 120.000,00
20.000,00
80.000,00
20.000,00
6
$ 160.000,00
20.000,00
80.000,00
60.000,00
Como el límite del Contrato es de $ 100.000,00, el excedente puede colocarse en
forma facultativa, o en un segundo contrato.
En eventualidad de ocurrencia de siniestros, en los casos del 1 al 4, el 80% cubre al
reasegurador y el 20% a la aseguradora.
En los casos 5 y 6, en la eventualidad de siniestros, para reclamos por pérdidas de
$ 4.000,00 y de $ 12.000,00, respectivamente:
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Descripción
Retención
Reaseguro
% de participación
Pérdida
$20.000,00
16,67
666,80
$80.000,00
66,67
2.666,80
$20.000,00
$120.000,00
16,66
100,00
666,40
4.000,00
20%
Cuota Parte
80%
Facultativo
Total
El % de participación se calcula en base de $ 1 60.000.
La pérdida se calcula en base a $ 12.000,00 multiplicado por el respectivo %.
Caso 6: $ 12.000,00
Descripción
Retención
Reaseguro
% de participación
Pérdida
$20.000,00
12,50
150,00
$80.000,00
50,00
6000,00
$60.000,00
$160.000,00
37,50
100,00
4.500,00
12.000,00
20%
Cuota Parte
80%
Facultativo
Total
Ejemplo de indemnización:
Una persona posee un bien que tiene un costo de $25.000,00 y lo asegura en
$20.000,00. Si el valor del siniestro es cíe $3.000,00. ¿Cuál será el valor de la
indemnización?
20.000,00
𝐼 = 3.000,00 (
) = $ 2.400,00
25.000,00
Ejemplo de indemnización con Restauración de la Suma Asegurada (RSA)
Una empresa tiene un bien cuyo costo es de $50.000,00; lo asegura en $40.000,00,
con una tasa de prima asegurable del 4,2%, realiza el contrato de seguros con un
deducible del 10% de! valor de los daños, se considera una depreciación del 1,8%
mensual. El vencimiento de la póliza es el 20 de septiembre del 2008 y la fecha del
siniestro el 24 de marzo del mismo año. El valor de los daños fue de $8.000,00. El
Derecho de Emisión es el 50% del Impuesto a la Superintendencia de Bancos y
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Seguros (que es del 3,5% del valor de la prima). La vigencia del contrato de
seguros es de un año. Calcular la Indemnización con Restauración de la Suma
Asegurada (RSA).
Vencimiento de la póliza:
20 de sep.
Fecha del siniestro:
24 de marzo
Número de días por cobrar:
180 (6 meses)
Valor del bien:
$ 50.000,00 = Interés Asegurable
Suma Asegurada:
$ 40.000,00
Deducible:
10% del valor de los daños:
8.000,00 (0,10) = $ 800,00
Valor de los daños
$ 8.000,00
Depreciación:
1,8% mensual del valor del siniestro
(durante 6 meses)
Indemnización con depreciación:
𝑆𝐴
40.000,00
I = VD ( 𝐼𝐴 ) = 8.000,00 (50.000,00) = 6.400,00
Indemnización con depreciación:
Depreciación durante 6 meses = 8.000,00 (0,018) (6 meses) = 864,00
Indemnización con depreciación = 6.400,00-324,00 = 5.536,00
Indemnización con deducible:
Indemnización con depreciación - deducible
IDED = 5.536,00 - 800,00) = 4.736,00
Indemnización con Restauración de la Suma Asegurada RSA
Tasa de prima
Valor de la prima =
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0,042 (4.736,00) = 198,912
180
198,9121 (360) = 99,456
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3,5% Sup. Bancos y Seguros = 99,456 (0,035) = 3,48
Derecho de emisión
50% = 3,48(0,50) = 1,74
Total $ 104,676
Indemnización con RSA = 4.736,00 - 104,676 = $ 4.631,32
Tasa de interés real
De las tasas de interés estudiadas en este texto, se tomará la tasa efectiva o anual
que, al ser relacionada con la tasa de inflación o la variación porcentual de índice
de precios al consumidor, da lo que se denomina tasa de interés real. Las tasas de
interés real incluyen significativamente en las economías de mercado, tanto en el
ahorro como en los empréstitos o endeudamiento, y en las decisiones de inversión
para poder calcular su rentabilidad. Se puede calcular mediante dos fórmulas:
r=
r=
r = 100
r = 100
Ejemplo
Ejemplo
¿Qué tasa de interés real que se aplica en un país cuya tasa de interés efectiva es
del 5% y una tasa de inflación del 3%? ¿Cuánto gana o pierde una persona que
invierte $ 100.00 en un año en ese país?
r=
𝑖−𝑑
1+𝑑
Roberto
100
94
0,05 −0,03
r = 100
1+0,03
0,02
= 100 (
) = 1,94%
1,03
r = 1,94
r = 1,94%, tasa de interés real, o también
(1,05)
r = 100 [(1,03)] = 1,94%
r = 1,94%
Ganancia o pérdida
I = (C)(r) = 100.000(0,0914) (1) = $ 1.940
I = $ 1.940 como ganancia
¿Qué tasa de interés real que se aplica en un país cuya tasa de interés efectiva es
del 4% y la tasa de inflación o variación porcentual del índice de precios al
consumidor es del; 5%? ¿Cuánto gana o pierde una empresa que invierte $ 100.000
en 1 año?
r=
𝑖−𝑑
1+𝑑
Roberto
100