Densidad de Estados

HOJA 2 (Física Estadística, Prof. G. Navascués, curso 2005-2006, grupo 41)
PROBLEMAS EN LOS QUE SE DEBE OBTENER LA DENSIDAD DE ESTADOS
11.- (Caso de un sistema con energía máxima limitada) Encuentre la expresión exacta del número de estados de un
sistema de N dipolos magnéticos de momento magnético m en presencia de un campo magnético H. Los dipolos
sólo pueden tener orientaciones paralelas y anti-paralelas a H y no interaccionan entre sí.
[Ayuda para los problemas 12, 13 y 14: ω(kx,ky,kz)dkydkxdkz es el número de microestados en el elemento de
volumen dkydkxdkz; centrado en la posición k; ω(k)dk es el número de microestados con un valor del momento
comprendido entre k y k+dk; ω(k)dk es el número de microestados con un valor del módulo del momento
comprendido entre k y k+dk. Tenga en cuenta la relación entre ε y k. Observe que se usa la misma letra ω para
designar distintas funciones: densidad de estados en energía y en distintos variables de momento].
(Estos problemas están hechos en clase. Entonces haced sólo siguiente en cada uno de ellos:
1) Obtened el número total de estados como función de la energía: Ω0(E).
2) A continuación obtened la densidad de estados, en energías, ω(ε)
3) y, de ésta, obtened la densidad de estados, en módulo del momento, ω(k).
Este procedimiento os servirá de guía para resolver el problema 15 que es una generalización de los anteriores.
12.- Considere una partícula cuántica en una caja unidimensional de lado L (pozo infinito en una dimensión).
Determine la forma exacta del número de estados Ω y del número total de estados Ω0. Encuentre para este último
caso una expresión “aproximada” para energías suficientemente altas. Determine la densidad de estados.
Determine las densidades de estados ω(k) y ω(k).
13.- Considere una partícula cuántica en una caja cuadrada de lado L (pozo infinito en dos dimensiones). Determine
la densidad de estados ω(ε). Determine las densidades de estados ω(ε), ω(kx,ky), ω(k) y ω(k).
14.- Considere una partícula cuántica en una caja cúbica de lado L. (pozo infinito en tres dimensiones). Determine
la densidad de estados ω(ε). Determine las densidades de estados ω(ε), ω(kx,ky,kz), ω(k) y ω(k).
15.- Considere N partículas cuánticas en una caja cúbica de lado L. Determine el número de total de estados, Ω0, y
la densidad de estados ω.
[Ayuda: La expresión del volumen de una esfera de n dimensiones está dada por: C(n)Rn, donde R es el radio y
C(n)=πn/2/Γ(1+n/2), recuerde que la función gamma tiene las siguientes propiedades: Γ(n+1)=nΓ(n), Γ(0)=1 y
Γ(1)=√π ].
Ahora la versión clásica del problema anterior. El resultado debería ser el mismo y eso sólo es posible si
asociamos un volumen hfN en el espacio de las fases a un microestado.
16.- Considere N partículas clásicas en una caja cúbica de lado L. Determine el número de total de estados, Ω0, y la
densidad de estados ω. [Ayuda: ver la ayuda del problema anterior].
Los siguientes problemas con osciladores son semejantes a los anteriores salvo que la distribución de
energías es diferente.
17.- Considere un oscilador cuántico en una dimensión. Determine la forma exacta del número de estados Ω y
del número total de estados Ω0. Determine para este último caso una expresión “aproximada” para energías
suficientemente altas. Obtenga la densidad de estados. (Este problema está hecho en clase, vuelva a hacerlo para
comprobar que da lo mismo su versión clásica si la contabilidad de estados en esta se hace adecuadamente)
18.- Considere un oscilador clásico en una dimensión. Determine el número de estados total de estados, Ω0(E), y
la densidad de estados ω(E).
Generalización N osciladores de los dos problemas anteriores:
19.- Encuentre la expresión exacta del número de estados, Ω, en función de la energía E de un sistema de N
osciladores cuánticos unidimensionales e independientes. Determine Ω0 y ω(E).
20.- Encuentre las expresiones de Ω0(E) y ω(E) de un sistema de N osciladores clásicos unidimensionales e
independientes.
LOS RESULTADOS DE ESTOS PROBLEMAS SERÁN USADOS EN OTROS: DEBEN SER BIEN ENTENDIDOS