CURIOSIDADES MATEMÁTICAS MÉTODO DE SARRUS GENERALIZADO 1 JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA 1. INTRODUCCIÓN. Desde hace unos años existe la curiosidad de saber por qué en todo texto de Algebra Lineal se encuentra “método de Sarrus válido únicamente para orden tres (3)”, de manera natural surge la pregunta: cómo es el método de Sarrus para orden cuatro (4), para orden cinco (5), y para cualquier orden arbitrario. Así pues, se trabajó en esa dirección y se presenta el método de Sarrus para orden cuatro (4) con su demostración y algunos ejemplos, el cual sigue siendo práctico para la solución usual de determinantes; adicionalmente se presenta el método para orden cinco (5) con su demostración y ejemplo, destacando que ya no es práctico aplicarlo por su extensión pues habría que solucionar veinte (20) determinantes. Finalmente se muestra como se complementaría un determinante de orden n para la aplicación del método de Sarrus y se explica cómo sería su posible desarrollo. Se aclara que estos resultados no fueron encontrados en la Bibliografía consultada ni en páginas de internet. Es bueno resaltar, que para demostrar que el método es válido para los órdenes cuatro (4) y cinco (5), se realiza comparando los resultados del método de Sarrus con el desarrollo del teorema de Laplace. 2. BIOGRAFÍA DE PIERRE FRÉDERIC SARRUS Matemático Francés, nació el 10 de marzo de 1798 en Saint-Affrique, falleció el 20 de noviembre de 1861. En1815, Sarrus dudaba entre escoger Medicina o Matemáticas para continuar su carrera. El rechazo del alcalde de Saint-Affrique de otorgarle un certificado de buena vida dados sus orígenes protestantes le obligan a optar por la facultad de Ciencias. 1 Profesor Asociado, UPTC. Licenciado en Matemáticas. Especialista en Matemática Avanzada. Magister en Educación. En Montpellier, en los años 1820 conoce a Gergonne y publica varios artículos y memorias en los Annales de Gergonne, una de las primeras revistas matemáticas. En 1829 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de Estrasburgo de la cual es decano entre 1839 y 1852. Durante esta época publica la mayoría de sus trabajos en el Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville. Sin embargo tiene problemas de salud y se retira en 1858. Sus trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y sobre el cálculo de variaciones. En 1853 resuelve uno de los problemas más complicados de la mecánica de las piezas articuladas: la transformación de movimientos rectilíneos alternativos en movimientos circulares uniformes. Pero su celebridad entre los estudiantes de Matemáticas se explica sobre todo por una regla de cálculo de determinantes de matrices de orden 3 que lleva su nombre: la regla de Sarrus. Fue introducida en el artículo Nouvelles méthodes pour la résolution des équations publicado en Estrasburgo en 1833. 3. DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO A continuación se plantea el desarrollo de determinantes usando el teorema de Laplace (El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual al determinante) y el método de Sarrus, para mostrar que se obtienen los mismos resultados. 3.1 DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO USANDO EL TEOREMA DE LAPLACE. Una forma conocida de solucionar determinantes es usando el Teorema de Laplace. Dado a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a32 a33 a34 a 41 a 42 a 43 a 44 donde cada aij es número real, con 1 ≤ i ≤ 4 y 1 ≤ j ≤ 4 , se tiene a 22 a 23 a 24 a 21 a 23 a 24 a 21 a 22 a 24 a 21 a 22 a 23 = a11 a32 a 42 a33 a34 - a12 a31 a33 a34 + a13 a31 a32 a34 - a14 a31 a32 a33 a 43 a 44 a 43 a 44 a 42 a 44 a 42 a 43 a 41 a 41 a 41 Solucionando cada determinante por Sarrus a 22 a 23 a 24 a32 a 42 a33 a 43 a 22 a 23 a34 a 44 = (a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 ) − (a32 a 23 a 44 + a 22 a 43 a34 + a 42 a33 a 24 ) a 24 a32 a33 a34 = a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 − a32 a 23 a 44 − a 22 a 43 a34 − a 42 a33 a 24 a 21 a 23 a 24 a31 a 41 a33 a 43 a 21 a 23 a34 a 44 = (a 21 a33 a 44 + a31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a34 ) − (a31 a 23 a 44 + a 21a 43 a34 + a 41a33 a 24 ) a 24 a31 a33 a34 = a 21 a 33 a 44 + a 31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a 34 − a 31 a 23 a 44 − a 21 a 43 a 34 − a 41 a 33 a 24 a 21 a 22 a 23 a31 a 41 a32 a 42 a 21 a 22 a33 a 43 = (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 ) − (a31 a 22 a 43 + a 21a 42 a33 + a 41a32 a 23 ) a 23 a31 a32 a33 = a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a 32 a 23 a 21 a31 a 22 a32 a 23 a33 a 41 a 42 a 21 a31 a 22 a32 a 43 = (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 ) − (a31 a 22 a 43 + a 21 a 42 a33 + a 41 a32 a 23 ) a 23 a33 = a 21 a 32 a 43 + a 31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a 33 − a 31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a 33 − a 41 a 32 a 23 En conclusión se tiene: a11 a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 a34 a 41 a 42 a 43 a 44 = a11 (a 22 a33 a 44 + a32 a 43 a 24 + a 42 a 23 a34 − a32 a 23 a 44 − a 22 a 43 a34 − a 42 a33 a 24 ) - a12 (a 21 a33 a 44 + a31 a 43 a 24 + a 41 a 23 a34 − a31 a 23 a 44 − a 21 a 43 a34 − a 41 a33 a 24 ) + a13 (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a32 a 23 ) - a14 (a 21 a32 a 43 + a31 a 42 a 23 + a 41 a 22 a33 − a31 a 22 a 43 − a 21 a 42 a33 − a 41 a32 a 23 ) finalmente a11 a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 a34 a 41 a 42 a 43 a 44 = (a11a22 a33a44 + a11a32 a43a24 + a11a42 a23a34 − a11a32 a23a44 − a11a22 a43a34 − a11a42 a33a24 ) - (a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24 ) + (a13a21a32 a43 + a13a31a42 a23 + a13a41a22 a33 − a13a31a22 a43 − a13a21a42 a33 − a13a41a32 a23 ) - (a14 a 21 a32 a 43 + a14 a 31 a 42 a 23 + a14 a 41 a 22 a 33 − a14 a 31 a 22 a 43 − a14 a 21 a 42 a 33 − a14 a 41 a 32 a 23 ) 3.2 DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO POR EL MÉTODO DE SARRUS. La propuesta de desarrollo se logra obteniendo cuatro (4) determinantes ampliados con la segunda, tercera y primera filas respectivamente. En el primer determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de primera y las demás se corren, los signos de los determinantes van alternos, así: Sea 4 ∆ = ∑ (−1)i +1 ∆i i=1 a11 a 21 a 31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33 a14 a 24 = a34 a 41 a 42 a 43 a 44 a11 a12 a13 a14 a12 a11 a13 a14 a13 a11 a12 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 22 a 21 a 23 a 24 a 23 a 21 a 22 a 24 a 31 a 41 a32 a 42 a33 a 43 a34 a 32 a 4 - a 42 a31 a 41 a33 a 43 a34 a 33 a 4 + a 43 a31 a 41 a 32 a 42 a34 a4 a 21 a 22 a 23 a 24 a 22 a 21 a 23 a 24 a 23 a 21 a 22 a 24 a 31 a32 a33 a34 a 32 a31 a33 a34 a 33 a31 a 32 a34 a11 a12 a13 a14 a12 a11 a13 a14 a13 a11 a12 a14 a14 a11 a12 a14 a 24 a 21 a 22 a 24 a 34 a31 a32 a 34 - a 44 a 24 a 41 a 21 a 42 a 22 a 44 a 24 a 34 a31 a32 a 34 a14 a11 a12 a14 Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma manera, la diagonal 1, más la semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la transversal 1, la semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de los determinantes). Para ∆ : 1 Diagonal 1 a11a22 a33a44 Semidiagonal 2 a11a32 a43a24 Semidiagonal 3 a11a42 a23a34 Transver 1 a11a32 a23a44 Semitransver 2 a11a22 a43a34 Semitransver 3 a11a42 a33a24 entonces: ∆ = a11 a 22 a33 a 44 + a11 a32 a 43 a 24 + a11 a 42 a 23 a34 − a11 a32 a23 a44 − a11 a 22 a43 a34 − a11 a 42 a33 a24 1 Para el segundo determinante ampliado ∆ : 2 Diagonal 1 a12 a21a33a44 Semidiagonal 2 a12 a31a43a24 Semidiagonal 3 a12 a41a23a34 Transver 1 a12 a31a23a44 Semitransver 2 a12 a21a43a34 Semitransver 3 a12 a41a33a24 luego: ∆ = a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24 2 Para ∆ : 3 Diagonal 1 a13a21a32 a43 Semidiagonal 2 a13a31a42 a23 Semidiagonal 3 a13a41a22 a33 Transver 1 a13a31a22 a43 Semitransver 2 a13a21a42 a33 Semitransver 3 a13a41a32 a23 Así: ∆ 3 = a13 a21a32 a43 + a13 a31a42 a23 + a13 a41a22 a33 − a13 a31a22 a43 − a13 a21a42 a33 − a13 a41a32 a23 Para el cuarto determinante ampliado ∆ : 4 Diagonal 1 a14 a21a32 a43 Semidiagonal 2 a13a31a42 a23 Semidiagonal 3 a13a41a22 a33 Transver 1 a14 a31a22 a43 Semitransver 2 a14 a21a42 a33 Semitransver 3 a14 a41a32 a23 Luego: ∆ 4 = a14 a21a32 a43 + a14 a31a42 a23 + a14 a41a22 a33 − a14 a31a22 a43 − a14 a21a42 a33 − a14 a41a32 a23 Así se concluye que: a11 a12 a13 a14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a32 a33 a34 a 41 a 42 a 43 a 44 = (a11a22 a33a44 + a11a32 a43a24 + a11a42 a23a34 − a11a32 a23a44 − a11a22 a43a34 − a11a42 a33a24 ) - (a12 a21a33a44 + a12 a31a43a24 + a12 a41a23a34 − a12 a31a23a44 − a12 a21a43a34 − a12 a41a33a24 ) + (a13a21a32 a43 + a13a31a42 a23 + a13a41a22 a33 − a13a31a22 a43 − a13a21a42 a33 − a13a41a32 a23 ) - (a14 a 21 a32 a 43 + a14 a 31 a 42 a 23 + a14 a 41 a 22 a 33 − a14 a 31 a 22 a 43 − a14 a 21 a 42 a 33 − a14 a 41 a 32 a 23 ) Se demostró que para orden cuatro (4) es válido el desarrollo por el método de Sarrus ya que la respuesta es la misma que la obtenida por la aplicación del Teorema de Laplace. 3.3 CASOS PARTICULARES DE DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO DESARROLLADOS POR EL MÉTODO DE SARRUS. Ejemplo 1: Calcule el valor del determinante 2 −1 3 4 −1 2 3 4 2 −1 3 4 1 2 0 3 −1 4 2 1 2 −1 3 1 3 2 −1 4 4 2 −1 3 1 2 0 3 2 1 0 3 0 1 2 3 3 1 2 0 −1 4 2 1 − 4 −1 2 1 2 −1 − 4 1 1 −1 − 4 2 = 2 −1 3 1 - −1 2 3 1 + 3 2 −1 1 - 1 2 −1 3 1 −1 2 4 0 3 2 1 2 −1 3 4 2 4 1 0 3 −1 2 1 0 1 2 −1 2 4 −1 2 3 −1 4 3 4 2 3 1 3 1 1 −1 2 4 4 −1 3 2 0 2 Así: {(8 + 72 + 0) − (0 + 12 − 12)} − {(− 2 + 9 + 0) − (0 − 3 − 12)} + {(12 + 9 + 12) − (− 6 − 3 + 72)} − {(48 + 0 + 32) − (− 24 − 8 + 0)} = {80 − 0} − {7 − (−15)} + {33 − 63} − {80 − (−32)} = 80 − 22 − 30 − 112 = −84 Luego 2 −1 1 2 −1 4 2 −1 3 0 2 3 4 3 = - 84 1 1 Ejemplo 2: Calcule el valor del determinante 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 4 3 −1 −2 3 −2 3 4 2 2 3 −1 1 1 3 2 1 4 4 1 2 3 4 3 2 2 3 4 2 2 2 4 3 2 2 4 3 2 −1 −2 3 −1 −2 −1 3 −1 3 −1 −2 −1 −1 −1 −2 3 = 3 −2 1 1 - −2 3 1 1 + 1 3 −2 1 - 1 3 −2 1 4 3 2 2 −1 −2 3 −1 3 4 2 2 −2 −1 3 −1 2 4 3 2 3 −1 −2 −1 2 4 3 2 −1 −1 −2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 Así: {( 9 − 4 + 4 ) − ( −4 − 3 − 12 )} − {( 24 − 4 − 12 ) − ( −4 − 8 + 36 )} + {( −24 + 12 − 27 ) − ( −9 + 24 − 36 )} − {( −32 + 16 + 108 ) − ( −12 − 96 − 48 )} = {9 − (−19)} − {8 − (24)} + {−39 − (−21)} − {92 − (−156)} = 28 + 16 − 18 − 248 = −222 entonces 1 2 4 3 −1 −2 3 −2 3 4 2 2 = - 222 3 −1 1 1 4. DETERMINANTES DE ORDEN CINCO Se seguirá el mismo proceso que se utilizó para el desarrollo de determinantes de orden cuatro (4), es decir, se plantea el desarrollo de determinantes de orden cinco (5), usando el Teorema de Laplace y el método de Sarrus, para mostrar que se obtienen los mismos resultados. 4.1 DETERMINANTES DE ORDEN CINCO USANDO EL TEOREMA DE LAPLACE. a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a35 donde cada aij es número real, con 1 ≤ i ≤ 5 y 1 ≤ j ≤ 5 , a45 a51 a52 a53 a54 a55 se tiene a11 - a14 a22 a23 a24 a25 a32 a33 a34 a35 a42 a43 a44 a45 a52 a53 a54 a55 - a12 a21 a22 a23 a25 a31 a32 a33 a35 a41 a42 a43 a45 a51 a52 a53 a55 a21 a23 a24 a25 a31 a33 a34 a35 a41 a43 a44 a45 a51 a53 a54 a55 + a15 + a13 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a51 a52 a53 a54 a21 a22 a24 a25 a31 a32 a34 a35 a41 a42 a44 a45 a51 a52 a54 a55 Desarrollando cada determinante por el método de Sarrus: • Para el primer determinante: a22 a23 a24 a25 a32 a33 a34 a35 a42 a43 a44 a45 a52 a53 a54 a55 a22 a23 a24 a25 a23 a22 a24 a25 a24 a22 a23 a25 a32 a33 a34 a35 a33 a32 a34 a35 a34 a32 a33 a35 a42 = a52 a43 a53 a44 a54 a45 a43 a55 - a53 a42 a52 a44 a54 a45 a44 a55 + a54 a42 a52 a43 a53 a45 a55 a32 a33 a34 a35 a33 a32 a34 a35 a34 a32 a33 a35 a42 a22 a43 a23 a44 a24 a45 a25 a43 a23 a42 a22 a44 a24 a45 a25 a44 a24 a42 a22 a43 a23 a45 a25 a25 a22 a23 a24 a35 a32 a33 a34 a45 - a55 a42 a52 a43 a53 a44 a54 a35 a32 a33 a34 a45 a25 a42 a22 a43 a23 a44 a24 = ( a22 a33 a44 a55 + a22 a43a54 a35 + a22 a53 a34 a45 − a22 a43 a34 a55 − a22 a33 a54 a45 − a22 a53 a44 a35 ) - ( a23 a32 a44 a55 + a23a42 a54 a35 + a23 a52 a34 a45 − a23 a42 a34 a55 − a23 a32 a54 a45 − a23 a52 a44 a35 ) + ( a24 a32 a43 a55 + a24 a42 a53a35 + a24 a52 a33a45 − a24 a42 a33 a55 − a24 a32 a53 a45 − a24 a52 a43 a35 ) - ( a25 a32 a43 a54 • + a25 a42 a53 a34 + a25 a52 a33a44 − a25 a42 a33 a54 − a25 a32 a53a44 − a25 a52 a43 a34 ) Para el segundo determinante: a21 a23 a24 a25 a31 a33 a34 a35 a41 a43 a44 a45 a51 a53 a54 a55 a21 a23 a24 a25 a23 a21 a24 a25 a24 a21 a23 a25 a31 a33 a34 a35 a33 a31 a34 a35 a34 a31 a33 a35 a41 a43 = a51 a53 a44 a54 a45 a43 a55 - a53 a41 a51 a44 a54 a45 a44 a55 + a54 a41 a51 a43 a53 a45 a55 a33 a34 a35 a33 a31 a34 a35 a34 a31 a33 a35 a41 a43 a21 a23 a44 a24 a45 a25 a43 a23 a41 a21 a44 a24 a45 a25 a44 a24 a41 a21 a43 a23 a45 a25 a25 a21 a23 a24 a35 a31 a33 a34 a45 a41 a43 a44 - a55 a51 a53 a54 a35 a45 a31 a41 a33 a43 a34 a44 a25 a21 a23 a24 a31 = ( a21a33a44 a55 + a21a43 a54 a35 + a21a53 a34 a45 − a21a43a34 a55 − a21a33 a54 a45 − a21a53 a44 a35 ) - ( a23 a31a44 a55 + a23a41a54 a35 + a23 a51a34 a45 − a23 a41a34 a55 − a23 a31a54 a45 − a23 a51a44 a35 ) + ( a24 a31a43a55 + a24 a41a53 a35 + a24 a51a33 a45 − a24 a41a33a55 − a24 a31a53 a45 − a24 a51a43a35 ) - ( a25 a31a43 a54 + a25 a41a53 a34 + a25 a51a33 a44 − a25 a41a33 a54 − a25 a31a53 a44 − a25 a51a43 a34 ) • Para el tercer determinante: a21 a22 a24 a25 a31 a32 a34 a35 a41 a42 a44 a45 a51 a52 a54 a55 a21 a22 a24 a25 a22 a21 a24 a25 a24 a21 a22 a25 a31 a32 a34 a35 a32 a31 a34 a35 a34 a31 a32 a35 a41 a42 = a51 a52 a44 a54 a45 a42 a55 - a52 a41 a51 a44 a54 a45 a44 a55 + a54 a41 a51 a42 a52 a45 a55 a32 a34 a35 a32 a31 a34 a35 a34 a31 a32 a35 a41 a42 a21 a22 a44 a24 a45 a25 a42 a22 a41 a21 a44 a24 a45 a25 a44 a24 a41 a21 a42 a22 a45 a25 a25 a21 a22 a24 a35 a31 a32 a34 a45 - a55 a41 a51 a42 a52 a44 a54 a35 a31 a32 a34 a45 a25 a41 a21 a42 a22 a44 a24 a31 = ( a21a32 a44 a55 + a21a42 a54 a35 + a21a52 a34 a45 − a21a42 a34 a55 − a21a32 a54 a45 − a21a52 a44 a35 ) - ( a22 a31a44 a55 + a22 a41a54 a35 + a22 a51a34 a45 − a22 a41a34 a55 − a22 a31a54 a45 − a22 a51a44 a35 ) + ( a24 a31a42 a55 + a24 a41a52 a35 + a24 a51a32 a45 − a24 a41a32 a55 − a24 a31a52 a45 − a24 a51a42 a35 ) - ( a25 a31a42 a54 • + a25 a41a52 a34 + a25 a51a32 a44 − a25 a41a32 a54 − a25 a31a52 a44 − a25 a51a42 a34 ) Para el cuarto determinante: a21 a22 a23 a25 a31 a32 a33 a35 a41 a42 a43 a45 a51 a52 a53 a55 a21 a22 a23 a25 a22 a21 a23 a25 a23 a21 a22 a25 a31 a32 a33 a35 a32 a31 a33 a35 a33 a31 a32 a35 a41 a42 a43 a45 a42 a41 a43 a45 a43 a41 a42 a45 a52 a53 a55 - a52 a51 a53 a55 + a53 a51 a52 a55 a31 a32 a41 a42 a33 a43 a35 a45 a32 a42 a31 a41 a33 a43 a35 a45 a33 a43 a31 a41 a32 a42 a35 a45 a21 a22 a23 a25 a22 a21 a23 a25 a23 a21 a22 a25 = a51 a25 a21 a22 a23 a35 a31 a32 a33 a45 - a55 a41 a51 a42 a52 a43 a53 a35 a31 a32 a33 a45 a25 a41 a21 a42 a22 a43 a23 = ( a21a32 a43a55 + a21a42 a53 a35 + a21a52 a33 a45 − a21a42 a33a55 − a21a32 a53 a45 − a21a52 a43a35 ) - ( a22 a31a43 a55 + a22 a41a53 a35 + a22 a51a33 a45 − a22 a41a33a55 − a22 a31a53 a45 − a22 a51a43a35 ) + ( a23 a31a42 a55 + a23a41a52 a35 + a23 a51a32 a45 − a23 a41a32 a55 − a23 a31a52 a45 − a23 a51a42 a35 ) - ( a25 a31a42 a53 • + a25 a41a52 a33 + a25 a51a32 a43 − a25 a41a32 a53 − a25 a31a52 a43 − a25 a51a42 a33 ) Para el quinto determinante: a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a51 a52 a53 a54 a21 a22 a23 a24 a22 a21 a23 a24 a23 a21 a22 a24 a31 a32 a33 a34 a32 a31 a33 a34 a33 a31 a32 a34 a41 a42 a43 a44 a42 a41 a43 a44 a43 a41 a42 a44 a52 a53 a54 - a52 a51 a53 a54 + a53 a51 a52 a54 a31 a32 a41 a42 a33 a43 a34 a44 a32 a42 a31 a41 a33 a43 a34 a44 a33 a43 a31 a41 a32 a42 a34 a44 a21 a22 a23 a24 a22 a21 a23 a24 a23 a21 a22 a24 a24 a21 a22 a23 a34 a31 a32 a33 a44 a41 a42 a43 - a54 a51 a52 a53 a34 a44 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a24 a21 a22 a23 = a51 = ( a21a32 a43a54 + a21a42 a53 a34 + a21a52 a33 a44 − a21a42 a33 a54 − a21a32 a53 a44 − a21a52 a43a34 ) - ( a22 a31a43 a54 + a22 a41a53 a34 + a22 a51a33 a44 − a22 a41a33 a54 − a22 a31a53 a44 − a22 a51a43a34 ) + ( a23 a31a42 a54 + a23a41a52 a34 + a23a51a32 a44 − a23a41a32 a54 − a23 a31a52 a44 − a23 a51a42 a34 ) - ( a24 a31a42 a53 + a24 a41a52 a33 + a24 a51a32 a43 − a24 a41a32 a53 − a24 a31a52 a43 − a24 a51a42 a33 ) En conclusión se tiene: a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 a35 = a45 a51 a52 a53 a54 a55 ( a22 a33 a44 a55 + a22 a43 a54 a35 + a22 a53a34 a45 − a22 a43a34 a55 − a22 a33a54 a45 − a22 a53 a44 a35 ) −( a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 23 32 44 55 23 42 54 35 23 52 34 45 23 42 34 55 23 32 54 45 23 52 44 35 a11 + (a24 a32 a43a55 + a24 a42 a53a35 + a24 a52 a33 a45 − a24 a42 a33 a55 − a24 a32 a53 a45 − a24 a52 a43 a35 ) −( a25 a32 a43 a54 + a25 a42 a53 a34 + a25 a52 a33a44 − a25 a42 a33 a54 − a25 a32 a53a44 − a25 a52 a43 a34 ) (a21a33 a44 a55 + a21a43a54 a35 + a21a53a34 a45 − a21a43a34 a55 − a21a33 a54 a45 − a21a53 a44 a35 ) −(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 23 31 44 55 23 41 54 35 23 51 34 45 23 41 34 55 23 31 54 45 23 51 44 35 − a12 + ( a24 a31a43a55 + a24 a41a53 a35 + a24 a51a33 a45 − a24 a41a33 a55 − a24 a31a53a45 − a24 a51a43a35 ) −(a25 a31a43 a54 + a25 a41a53 a34 + a25 a51a33 a44 − a25 a41a33 a54 − a25 a31a53 a44 − a25 a51a43 a34 ) (a21a32 a44 a55 + a21a42 a54 a35 + a21a52 a34 a45 − a21a42 a34 a55 − a21a32 a54 a45 − a21a52 a44 a35 ) −( a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 22 31 44 55 22 41 54 35 22 51 34 45 22 41 34 55 22 31 54 45 22 51 44 35 + a13 + (a24 a31a42 a55 + a24 a41a52 a35 + a24 a51a32 a45 − a24 a41a32 a55 − a24 a31a52 a45 − a24 a51a42 a35 ) −( a25 a31a42 a54 + a25 a41a52 a34 + a25 a51a32 a44 − a25 a41a32 a54 − a25 a31a52 a44 − a25 a51a42 a34 ) (a21a32 a43 a55 + a21a42 a53a35 + a21a52 a33a45 − a21a42 a33a55 − a21a32 a53 a45 − a21a52 a43 a35 ) −(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 22 31 43 55 22 41 53 35 22 51 33 45 22 41 33 55 22 31 53 45 22 51 43 35 − a14 + ( a23 a31a42 a55 + a23a41a52 a35 + a23a51a32 a45 − a23a41a32 a55 − a23a31a52 a45 − a23 a51a42 a35 ) −(a25 a31a42 a53 + a25 a41a52 a33 + a25 a51a32 a43 − a25 a41a32 a53 − a25 a31a52 a43 − a25 a51a42 a33 ) (a21a32 a43 a54 + a21a42 a53 a34 + a21a52 a33 a44 − a21a42 a33a54 − a21a32 a53 a44 − a21a52 a43a34 ) −(a a a a + a a a a + a a a a − a a a a − a a a a − a a a a ) 22 31 43 54 22 41 53 34 22 51 33 44 22 41 33 54 22 31 53 44 22 51 43 34 + a15 + (a23 a31a42 a54 + a23 a41a52 a34 + a23a51a32 a44 − a23a41a32 a54 − a23a31a52 a44 − a23a51a42 a34 ) −(a24 a31a42 a53 + a24 a41a52 a33 + a24 a51a32 a43 − a24 a41a32 a53 − a24 a31a52 a43 − a24 a51a42 a33 ) Es decir el resultado final del determinante de orden 5 será: a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43a34 a55 − a11a22 a33a54 a45 − a11a22 a53a44 a35 − a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23a52 a34 a45 + a11a23 a42 a34 a55 + a11a23 a32 a54 a45 + a11a23 a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53a35 + a11a24 a52 a33 a45 − a11a24 a42 a33 a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43 a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53a34 − a11a25 a52 a33a44 + a11a25 a42 a33 a54 + a11a25 a32 a53a44 + a11a25 a52 a43a34 . −( a12 a21a33 a44 a55 + a12 a21a43a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33a54 a45 − a12 a21a53a44 a35 − a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23a41a34 a55 + a12 a23a31a54 a45 + a12 a23a51a44 a35 + a12 a24 a31a43a55 + a12 a24 a41a53a35 + a12 a24 a51a33 a45 − a12 a24 a41a33 a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43 a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53a34 − a12 a25 a51a33a44 + a12 a25 a41a33 a54 + a12 a25 a31a53a44 + a12 a25 a51a43a34 ). + a13a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13 a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45 − a13 a21a52 a44 a35 − a13a22 a31a44 a55 − a13a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55 + a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13a24 a51a32 a45 − a13 a24 a41a32 a55 − a13a24 a31a52 a45 − a13a24 a51a42 a35 − a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34 − a13 a25 a51a32 a44 + a13 a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 . −( a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45 − a14 a21a52 a43 a35 − a14 a22 a31a43 a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55 + a14 a22 a31a53 a45 + a14 a22 a51a43 a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45 − a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33 − a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 ). + a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53a44 − a15 a21a52 a43a34 − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33 a44 + a15 a22 a41a33 a54 + a15 a22 a31a53 a44 + a15 a22 a51a43a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44 − a15 a23 a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33 − a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 . 4.2 DETERMINANTES DE ORDEN CINCO POR EL MÉTODO DE SARRUS. El desarrollo se realiza obteniendo cinco (5) determinantes ampliados con la tercera, cuarta, segunda y primera filas respectivamente. En el primer determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de primera y las demás se corren, igual proceso para la quinta columna, los signos de los determinantes van alternos: 5 ∆ = ∑ (−1)i+1 ∆i , así i=1 a11 a21 a12 a22 a13 a23 a14 a24 a15 a25 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a34 a44 a35 a45 a51 a52 a53 a54 a55 a11 a21 a31 a41 = a51 a31 a41 a21 a11 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54 a32 a42 a22 a12 a33 a43 a23 a13 a34 a44 a24 a14 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 a12 a11 a13 a14 a15 a22 a21 a23 a24 a25 a32 a42 a31 a41 a33 a43 a34 a44 a35 a45 a52 a32 a51 a31 a53 a33 a54 a34 a55 + a35 a42 a41 a43 a44 a45 a22 a12 a21 a11 a23 a13 a24 a14 a25 a15 a13 a11 a12 a14 a15 a14 a11 a12 a13 a15 a15 a11 a12 a13 a14 a23 a21 a22 a24 a25 a24 a21 a22 a23 a25 a25 a21 a22 a23 a24 a33 a43 a31 a41 a32 a42 a34 a44 a35 a45 a34 a44 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a35 a45 a35 a45 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a34 a44 a53 a33 a51 a31 a52 a32 a54 a34 a55 - a54 a35 a34 a51 a31 a52 a32 a53 a33 a55 + a55 a35 a35 a51 a31 a52 a32 a53 a33 a54 a34 a43 a41 a42 a44 a45 a44 a41 a42 a43 a45 a45 a41 a42 a43 a44 a23 a13 a21 a11 a22 a12 a24 a14 a25 a15 a24 a14 a21 a11 a22 a12 a23 a13 a25 a15 a25 a15 a21 a11 a22 a12 a23 a13 a24 a14 Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma forma. Su primera columna se deja fija y las demás columnas se rotan al mismo estilo de los determinantes de orden cuatro. Así: • Para ∆ se tienen los cuatro determinantes: 1 4 ∆ = ∑ (−1)i+1∆ 1 i=1 1i a11 a12 a13 a14 a15 a11 a13 a12 a14 a15 a11 a14 a12 a13 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a21 a23 a22 a24 a25 a21 a24 a22 a23 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a31 a33 a32 a34 a35 a31 a34 a32 a33 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a41 a43 a42 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55 - a51 a53 a52 a54 a44 a54 a42 a52 a43 a53 a45 a55 - a31 a32 a33 a34 a35 a31 a33 a32 a34 a41 a55 + a51 a35 a31 a34 a32 a33 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a41 a43 a42 a44 a45 a41 a44 a42 a43 a45 a21 a22 a23 a24 a25 a21 a23 a22 a24 a25 a11 a12 a13 a14 a15 a11 a13 a12 a14 a15 a21 a11 a24 a14 a22 a12 a23 a13 a25 a15 a11 a15 a12 a13 a14 a21 a25 a22 a23 a24 a31 a35 a32 a33 a34 a41 a51 a45 a55 a42 a52 a43 a53 a44 a54 a31 a35 a32 a33 a34 a41 a45 a42 a43 a44 a21 a11 a25 a15 a22 a12 a23 a13 a24 a14 El desarrollo es similar para los de orden cuatro, la diagonal 1, más la semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la transversal 1, la semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de los determinantes). Para ∆ 11 : Diagonal 1 a11a22 a33a44 a55 Semidiagonal 2 a11a22 a43a54 a35 Semidiagonal 3 Transver 1 a11a22 a43a34 a55 Semitransver 2 a11a22 a33a54 a45 Semitransver 3 a11a22 a53 a34 a45 a11a22 a53a44 a35 así: ∆ = 11 a11a22 a33 a44 a55 + a11a22 a43 a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43 a34 a55 − a11a22 a33 a54 a45 − a11a22 a53 a44 a35 Ahora para ∆ 12 Diagonal 1 : a11a23a32 a44 a55 Semidiagonal 2 a11a23a42 a54 a35 Semidiagonal 3 a11a23a52 a34 a45 Transver 1 a11a23a42 a34 a55 Semitransver 2 a11a23a32 a54 a45 Semitransver 3 a11a23a52 a44 a35 Luego: ∆ = 12 −( a11a23 a32 a44 a55 + a11a23a42 a54 a35 + a11a23 a52 a34 a45 − a11a23 a42 a34 a55 − a11a23 a32 a54 a45 − a11a23 a52 a44 a35 ) es decir ∆ = 12 − a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23 a52 a34 a45 + a11a23a42 a34 a55 + a11a23 a32 a54 a45 + a11a23a52 a44 a35 Para ∆ 13 : Diagonal 1 a11a24 a32 a43 a55 Semidiagonal 2 a11a24 a42 a53 a35 Semidiagonal 3 a11a24 a52 a33a45 Transver 1 a11a24 a42 a33 a55 Semitransver 2 a11a24 a32 a53a45 Semitransver 3 a11a24 a52 a43a35 entonces: ∆ = 13 a11a24 a32 a43 a55 + a11a24 a42 a53 a35 + a11a24 a52 a33a45 − a11a24 a42 a33a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43 a35 Para ∆ 14 : Diagonal 1 a11a25 a32 a43a54 Semidiagonal 2 a11a25 a42 a53a34 Semidiagonal 3 a11a25 a52 a33a44 Transver 1 a11a25 a42 a33a54 Semitransver 2 a11a25 a32 a53a44 Semitransver 3 a11a25 a52 a43a34 así: ∆ = 14 −( a11a25 a32 a43a54 + a11a25 a42 a53a34 + a11a25 a52 a33 a44 − a11a25 a42 a33 a54 − a11a25 a32 a53 a44 − a11a25 a52 a43 a34 ) es decir ∆ = 14 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53 a34 − a11a25 a52 a33 a44 + a11a25 a42 a33a54 + a11a25 a32 a53a44 + a11a25 a52 a43a34 En conclusión el resultado del primer determinante ampliado es: a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43 a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43 a34 a55 − a11a22 a33 a54 a45 ∆ = 1 − a11a22 a53a44 a35 − a11a23a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23 a52 a34 a45 + a11a23a42 a34 a55 + a11a23 a32 a54 a45 + a11a23a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53 a35 + a11a24 a52 a33 a45 − a11a24 a42 a33a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53 a34 − a11a25 a52 a33 a44 + a11a25 a42 a33a54 + a11a25 a32 a53 a44 + a11a25 a52 a43a34. Para ∆ : • 2 4 ∆ = ∑ (−1)i+1∆ , 2 i=1 2i a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a12 a22 a32 a42 - a52 a32 a42 a22 a12 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 Para ∆ 21 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a15 a12 a25 a22 a35 a32 a45 a42 a55 - a52 a35 a32 a45 a42 a25 a22 a15 a12 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a15 a12 a25 a22 a35 a32 a45 a42 a55 + a52 a35 a32 a45 a42 a25 a22 a15 a12 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 : Diagonal 1 a12 a21a33a44 a55 Semidiagonal 2 a12 a21a43a54 a35 Semidiagonal 3 Transver 1 a12 a21a43a34 a55 Semitransver 2 a12 a21a33a54 a45 Semitransver 3 a12 a21a53 a34 a45 a12 a21a53a44 a35 luego: ∆ 21 = a12 a21a33a44 a55 + a12 a21a43 a54 a35 + a12 a21a53a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33 a54 a45 − a12 a21a53 a44 a35 Para ∆ 22 : Diagonal 1 a12 a23 a31a44 a55 Semidiagonal 2 a12 a23 a41a54 a35 Semidiagonal 3 a12 a23a51a34 a45 Transver 1 a12 a23 a41a34 a55 Semitransver 2 a12 a23a31a54 a45 Semitransver 3 a12 a23a51a44 a35 así: ∆ 22 = −( a12 a23a31a44 a55 + a12 a23 a41a54 a35 + a12 a23a51a34 a45 − a12 a23a41a34 a55 − a12 a23a31a54 a45 − a12 a23a51a44 a35 ) es decir ∆ 22 = − a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23a51a34 a45 + a12 a23 a41a34 a55 + a12 a23a31a54 a45 + a12 a23 a51a44 a35 para ∆ 23 : Diagonal 1 a12 a24 a31a43 a55 Semidiagonal 2 a12 a24 a41a53 a35 Semidiagonal 3 a12 a24 a51a33a45 Transver 1 a12 a24 a41a33 a55 Semitransver 2 a12 a24 a31a53a45 Semitransver 3 a12 a24 a51a43a35 luego: ∆ 23 = a12 a24 a31a43 a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33a45 − a12 a24 a41a33a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43 a35 Para ∆ 24 : Diagonal 1 a12 a25 a31a43a54 Semidiagonal 2 a12 a25 a41a53a34 Semidiagonal 3 a12 a25 a51a33a44 Transver 1 a12 a25 a41a33a54 Semitransver 2 a12 a25 a31a53a44 Semitransver 3 a12 a25 a51a43a34 así: ∆ 24 = −( a12 a25 a31a43a54 + a12 a25 a41a53a34 + a12 a25 a51a33 a44 − a12 a25 a41a33 a54 − a12 a25 a31a53 a44 − a12 a25 a51a43 a34 ) es decir ∆ 24 = − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53 a34 − a12 a25 a51a33 a44 + a12 a25 a41a33a54 + a12 a25 a31a53a44 + a12 a25 a51a43a34 En conclusión el resultado del segundo determinante ampliado de orden cinco (5) es: ∆ = 2 a12 a21a33a44 a55 + a12 a21a43 a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43 a34 a55 − a12 a21a33 a54 a45 − a12 a21a53a44 a35 − a12 a23 a31a44 a55 − a12 a23 a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23 a41a34 a55 + a12 a23a31a54 a45 + a12 a23 a51a44 a35 + a12 a24 a31a43 a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33 a45 − a12 a24 a41a33a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53 a34 − a12 a25 a51a33 a44 + a12 a25 a41a33a54 + a12 a25 a31a53 a44 + a12 a25 a51a43a34 . Para ∆ : • 3 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a13 a23 a33 a43 - a53 a33 a43 a23 a13 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 Para ∆ 31 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a13 a25 a23 a35 a33 a45 a43 a55 - a53 a35 a33 a45 a43 a25 a23 a15 a13 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a15 a13 a25 a23 a35 a33 a45 a43 a55 + a53 a35 a33 a45 a43 a25 a23 a15 a13 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 : Diagonal 1 a13 a21a32 a44 a55 Semidiagonal 2 a13 a21a42 a54 a35 Semidiagonal 3 Transver 1 a13a21a42 a34 a55 Semitransver 2 a13 a21a32 a54 a45 Semitransver 3 a13a21a52 a34 a45 a13 a21a52 a44 a35 Así: ∆ 31 = a13 a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13a21a42 a34 a55 − a13 a21a32 a54 a45 − a13 a21a52 a44 a35 Para ∆ 32 : Diagonal 1 a13a22 a31a44 a55 Semidiagonal 2 a13a22 a41a54 a35 Semidiagonal 3 a13 a22 a51a34 a45 Transver 1 a13a22 a41a34 a55 Semitransver 2 a13 a22 a31a54 a45 Semitransver 3 a13 a22 a51a44 a35 luego: ∆ 32 = −( a13a22 a31a44 a55 + a13 a22 a41a54 a35 + a13a22 a51a34 a45 − a13a22 a41a34 a55 − a13a22 a31a54 a45 − a13 a22 a51a44 a35 ) es decir ∆ 32 − a13 a22 a31a44 a55 − a13 a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55 + a13 a22 a31a54 a45 = + a13a22 a51a44 a35 Para ∆ 33 : Diagonal 1 a13a24 a31a42 a55 Semidiagonal 2 a13a24 a41a52 a35 Semidiagonal 3 a13 a24 a51a32 a45 Transver 1 a13a24 a41a32 a55 Semitransver 2 a13 a24 a31a52 a45 Semitransver 3 a13 a24 a51a42 a35 entonces: ∆ 33 = a13 a24 a31a42 a55 + a13 a24 a41a52 a35 + a13 a24 a51a32 a45 − a13a24 a41a32 a55 − a13 a24 a31a52 a45 − a13 a24 a51a42 a35 Para ∆ 34 : Diagonal 1 a13a25 a31a42 a54 Semidiagonal 2 a13a25 a41a52 a34 Semidiagonal 3 a13 a25 a51a32 a44 Transver 1 a13a25 a41a32 a54 Semitransver 2 a13 a25 a31a52 a44 Semitransver 3 a13 a25 a51a42 a34 así: ∆ 34 = −( a13a25 a31a42 a54 + a13 a25 a41a52 a34 + a13a25 a51a32 a44 − a13a25 a41a32 a54 − a13a25 a31a52 a44 − a13 a25 a51a42 a34 ) es decir ∆ 34 = − a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34 − a13 a25 a51a32 a44 + a13a25 a41a32 a54 + a13 a25 a31a52 a44 + a13a25 a51a42 a34 En conclusión el resultado del tercer determinante ampliado de orden cinco (5) es: ∆ = 3 a13 a21a32 a44 a55 + a13a21a42 a54 a35 + a13a21a52 a34 a45 − a13a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45 − a13 a21a52 a44 a35 − a13 a22 a31a44 a55 − a13 a22 a41a54 a35 − a13a22 a51a34 a45 + a13 a22 a41a34 a55 + a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13 a24 a51a32 a45 − a13 a24 a41a32 a55 − a13 a24 a31a52 a45 − a13 a24 a51a42 a35 − a13a25 a31a42 a54 − a13a25 a41a52 a34 − a13 a25 a51a32 a44 + a13a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 . • a14 a24 a34 a44 a54 a34 a44 a24 a14 a14 a24 a34 a44 - a54 a34 a44 a24 a14 Para ∆ : 4 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 Para ∆ 41 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a14 a25 a24 a35 a34 a45 a44 a55 - a54 a35 a34 a45 a44 a25 a24 a15 a14 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a15 a14 a25 a24 a35 a34 a45 a44 a55 + a54 a35 a34 a45 a44 a25 a24 a15 a14 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 a11 a21 a31 a41 a51 a31 a41 a21 a11 a12 a22 a32 a42 a52 a32 a42 a22 a12 a15 a25 a35 a45 a55 a35 a45 a25 a15 a13 a23 a33 a43 a53 a33 a43 a23 a13 : Diagonal 1 a14 a21a32 a43a55 Semidiagonal 2 a14 a21a42 a53a35 Semidiagonal 3 Transver 1 a14 a21a42 a33 a55 Semitransver 2 a14 a21a32 a53a45 Semitransver 3 a14 a21a52 a33a45 a14 a21a52 a43a35 entonces: ∆ 41 = a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53 a35 + a14 a21a52 a33a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53 a45 − a14 a21a52 a43 a35 Para ∆ 42 : Diagonal 1 a14 a22 a31a43 a55 Semidiagonal 2 a14 a22 a41a53 a35 Semidiagonal 3 a14 a22 a51a33a45 Transver 1 a14 a22 a41a33 a55 Semitransver 2 a14 a22 a31a53a45 Semitransver 3 a14 a22 a51a43a35 así: ∆ 42 = −( a14 a22 a31a43a55 + a14 a22 a41a53 a35 + a14 a22 a51a33 a45 − a14 a22 a41a33 a55 − a14 a22 a31a53a45 − a14 a22 a51a43a35 ) es decir ∆ 42 = − a14 a22 a31a43a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55 + a14 a22 a31a53a45 + a14 a22 a51a43 a35 Para ∆ 43 : Diagonal 1 a14 a23 a31a42 a55 Semidiagonal 2 a14 a23 a41a52 a35 Semidiagonal 3 a14 a23a51a32 a45 Transver 1 a14 a23 a41a32 a55 Semitransver 2 a14 a23a31a52 a45 Semitransver 3 a14 a23a51a42 a35 luego: ∆ 43 = Para ∆ a14 a23a31a42 a55 + a14 a23a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45 − a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23a51a42 a35 44 : Diagonal 1 a14 a25 a31a42 a53 Semidiagonal 2 a14 a25 a41a52 a33 Semidiagonal 3 a14 a25 a51a32 a43 Transver 1 a14 a25 a41a32 a53 Semitransver 2 a14 a25 a31a52 a43 Semitransver 3 a14 a25 a51a42 a33 así: ∆ 44 = −( a14 a25 a31a42 a53 + a14 a25 a41a52 a33 + a14 a25 a51a32 a43 − a14 a25 a41a32 a53 − a14 a25 a31a52 a43 − a14 a25 a51a42 a33 ) es decir ∆ 44 = − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33 − a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 En conclusión el resultado del cuarto determinante ampliado de orden cinco (5) es: ∆ 4 = a14 a21a32 a43a55 + a14 a21a42 a53 a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45 − a14 a21a52 a43a35 − a14 a22 a31a43a55 − a14 a22 a41a53a35 − a14 a22 a51a33a45 + a14 a22 a41a33a55 + a14 a22 a31a53a45 + a14 a22 a51a43a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45 − a14 a23a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23 a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33 − a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 . • Para ∆ : 5 a15 a25 a35 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34 a15 a25 a35 a12 a22 a32 a11 a21 a31 a13 a23 a33 a14 a24 a34 a15 a25 a35 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a14 a24 a34 a45 a55 a35 a41 a51 a31 a42 a52 a32 a43 a53 a33 a44 a45 a54 - a55 a34 a35 a42 a52 a32 a41 a51 a31 a43 a53 a33 a44 a45 a54 + a55 a34 a35 a43 a53 a33 a41 a51 a31 a42 a52 a32 a44 a54 a34 a45 a25 a15 a41 a21 a11 a42 a22 a12 a43 a23 a13 a44 a24 a14 a42 a22 a12 a41 a21 a11 a43 a23 a13 a44 a24 a14 a43 a23 a13 a41 a21 a11 a42 a22 a12 a44 a24 a14 a15 a25 a35 a45 - a55 a35 a45 a25 a15 a14 a24 a34 a44 a54 a11 a21 a31 a41 a51 a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a34 a44 a24 a14 a31 a41 a21 a11 a32 a42 a22 a12 a33 a43 a23 a13 a45 a25 a15 a45 a25 a15 Para ∆ 51 : Diagonal 1 a15 a21a32 a43a54 Semidiagonal 2 a15 a21a42 a53a34 Semidiagonal 3 Transver 1 a15 a21a42 a33a54 Semitransver 2 a15 a21a32 a53a44 Semitransver 3 a15 a21a52 a33a44 a15 a21a52 a43a34 así: ∆ 51 = a15 a21a32 a43a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33a44 − a15 a21a42 a33 a54 − a15 a21a32 a53a44 − a15 a21a52 a43 a34 Para ∆ 52 : Diagonal 1 a15 a22 a31a43a54 Semidiagonal 2 a15 a22 a41a53a34 Semidiagonal 3 a15 a22 a51a33a44 Transver 1 a15 a22 a41a33a54 Semitransver 2 a15 a22 a31a53a44 Semitransver 3 a15 a22 a51a43a34 entonces: ∆ 52 = −( a15 a22 a31a43a54 + a15 a22 a41a53a34 + a15 a22 a51a33a44 − a15 a22 a41a33a54 − a15 a22 a31a53 a44 − a15 a22 a51a43 a34 ) es decir ∆ 52 = − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33a44 + a15 a22 a41a33 a54 + a15 a22 a31a53 a44 + a15 a22 a51a43a34 Para ∆ 53 : Diagonal 1 a15 a23a31a42 a54 Semidiagonal 2 a15 a23a41a52 a34 Semidiagonal 3 a15 a23 a51a32 a44 Transver 1 a15 a23a41a32 a54 Semitransver 2 a15 a23 a31a52 a44 Semitransver 3 a15 a23 a51a42 a34 así: ∆ 53 = a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23 a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44 − a15 a23a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44 − a15 a23 a51a42 a34 Para ∆ 53 : Diagonal 1 a15 a24 a31a42 a53 Semidiagonal 2 a15 a24 a41a52 a33 Semidiagonal 3 a15 a24 a51a32 a43 Transver 1 a15 a24 a41a32 a53 Semitransver 2 a15 a24 a31a52 a43 Semitransver 3 a15 a24 a51a42 a33 entonces: ∆ 53 = −( a15 a24 a31a42 a53 + a15 a24 a41a52 a33 + a15 a24 a51a32 a43 − a15 a24 a41a32 a53 − a15 a24 a31a52 a43 − a15 a24 a51a42 a33 ) es decir ∆ = − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33 − a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 53 + a15 a24 a51a42 a33 En conclusión el resultado del quinto determinante ampliado de orden cinco (5) es: ∆ 5 = a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53 a44 − a15 a21a52 a43 a34 − a15 a22 a31a43a54 − a15 a22 a41a53a34 − a15 a22 a51a33a44 + a15 a22 a41a33 a54 + a15 a22 a31a53a44 + a15 a22 a51a43 a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44 − a15 a23a41a32 a54 − a15 a23a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33 − a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 . Así se concluye que: a11 a21 a12 a22 a13 a23 a14 a24 a15 a25 a31 a41 a32 a42 a33 a43 a34 a44 a35 = a45 a51 a52 a53 a54 a55 ∆ −∆ +∆ −∆ +∆ 1 2 3 4 5 a11a22 a33a44 a55 + a11a22 a43a54 a35 + a11a22 a53 a34 a45 − a11a22 a43a34 a55 − a11a22 a33a54 a45 − a11a22 a53a44 a35 − a11a23 a32 a44 a55 − a11a23 a42 a54 a35 − a11a23a52 a34 a45 + a11a23 a42 a34 a55 + a11a23 a32 a54 a45 + a11a23 a52 a44 a35 + a11a24 a32 a43a55 + a11a24 a42 a53a35 + a11a24 a52 a33 a45 − a11a24 a42 a33 a55 − a11a24 a32 a53 a45 − a11a24 a52 a43 a35 − a11a25 a32 a43 a54 − a11a25 a42 a53a34 − a11a25 a52 a33a44 + a11a25 a42 a33 a54 + a11a25 a32 a53a44 + a11a25 a52 a43a34 −( a12 a21a33 a44 a55 + a12 a21a43a54 a35 + a12 a21a53 a34 a45 − a12 a21a43a34 a55 − a12 a21a33a54 a45 − a12 a21a53a44 a35 − a12 a23a31a44 a55 − a12 a23a41a54 a35 − a12 a23 a51a34 a45 + a12 a23a41a34 a55 + a12 a23a31a54 a45 + a12 a23a51a44 a35 + a12 a24 a31a43a55 + a12 a24 a41a53 a35 + a12 a24 a51a33 a45 − a12 a24 a41a33 a55 − a12 a24 a31a53 a45 − a12 a24 a51a43 a35 − a12 a25 a31a43 a54 − a12 a25 a41a53a34 − a12 a25 a51a33a44 + a12 a25 a41a33 a54 + a12 a25 a31a53a44 + a12 a25 a51a43a34 ). + a13a21a32 a44 a55 + a13 a21a42 a54 a35 + a13 a21a52 a34 a45 − a13 a21a42 a34 a55 − a13a21a32 a54 a45 − a13 a21a52 a44 a35 − a13a22 a31a44 a55 − a13a22 a41a54 a35 − a13 a22 a51a34 a45 + a13a22 a41a34 a55 + a13a22 a31a54 a45 + a13 a22 a51a44 a35 + a13 a24 a31a42 a55 + a13a24 a41a52 a35 + a13a24 a51a32 a45 − a13 a24 a41a32 a55 − a13a24 a31a52 a45 − a13a24 a51a42 a35 − a13 a25 a31a42 a54 − a13 a25 a41a52 a34 − a13 a25 a51a32 a44 + a13 a25 a41a32 a54 + a13a25 a31a52 a44 + a13 a25 a51a42 a34 . −( a14 a21a32 a43 a55 + a14 a21a42 a53a35 + a14 a21a52 a33 a45 − a14 a21a42 a33a55 − a14 a21a32 a53a45 − a14 a21a52 a43 a35 − a14 a22 a31a43 a55 − a14 a22 a41a53 a35 − a14 a22 a51a33 a45 + a14 a22 a41a33 a55 + a14 a22 a31a53 a45 + a14 a22 a51a43 a35 + a14 a23 a31a42 a55 + a14 a23 a41a52 a35 + a14 a23a51a32 a45 − a14 a23 a41a32 a55 − a14 a23a31a52 a45 − a14 a23a51a42 a35 − a14 a25 a31a42 a53 − a14 a25 a41a52 a33 − a14 a25 a51a32 a43 + a14 a25 a41a32 a53 + a14 a25 a31a52 a43 + a14 a25 a51a42 a33 ). + a15 a21a32 a43 a54 + a15 a21a42 a53a34 + a15 a21a52 a33 a44 − a15 a21a42 a33a54 − a15 a21a32 a53a44 − a15 a21a52 a43a34 − a15 a22 a31a43 a54 − a15 a22 a41a53 a34 − a15 a22 a51a33 a44 + a15 a22 a41a33 a54 + a15 a22 a31a53 a44 + a15 a22 a51a43a34 + a15 a23 a31a42 a54 + a15 a23a41a52 a34 + a15 a23 a51a32 a44 − a15 a23 a41a32 a54 − a15 a23 a31a52 a44 − a15 a23a51a42 a34 − a15 a24 a31a42 a53 − a15 a24 a41a52 a33 − a15 a24 a51a32 a43 + a15 a24 a41a32 a53 + a15 a24 a31a52 a43 + a15 a24 a51a42 a33 . Se demostró que al igual que para los determinantes de orden cuatro (4), para orden cinco (5) es válido el desarrollo por el método de Sarrus ya que la respuesta es la misma que la obtenida por la aplicación del Teorema de Laplace. 4.3 CASO PARTICULAR DE DETERMINANTE DE DESARROLLADO POR EL MÉTODO DE SARRUS. ORDEN CINCO Se aclara que no es práctico este método si se trata de solucionar determinantes de orden mayor o igual a 5. Sin embargo para mostrar que efectivamente se puede utilizar se presenta el siguiente ejemplo. 2 2 4 4 6 4 Determinar el valor del determinante −3 3 2 2 2 −1 4 1 1 1 −1 1 3 −2 −1 1 1 −1 4 Se hace el complemento agregando inicialmente la tercera fila, luego la cuarta, la segunda y la primera fila. Con el orden de columnas inicial dejando fija la primera columna y rotando las restantes, se obtienen los primeros cuatro determinantes ampliados. • 2 4 2 3 4 2 4 2 6 1 2 4 4 2 2 3 4 2 6 1 −3 2 −1 4 1 −3 −1 2 4 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 3 −2 −1 1 4 3 −1 −2 1 4 2 4 4 2 2 3 4 2 6 1 −3 4 2 −1 1 1 1 −1 1 −1 3 1 −2 −1 4 −3 2 −1 4 1 −3 −1 2 4 1 −3 4 2 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 −1 + 4 3 2 2 1 4 2 3 2 1 4 2 3 2 1 2 2 4 4 6 2 4 2 4 6 2 4 2 4 6 2 6 2 4 4 4 1 3 2 2 −3 1 2 −1 4 1 −1 −1 1 1 − 3 4 −2 −1 1 −3 1 2 −1 4 1 −1 −1 1 1 4 1 3 2 2 2 6 2 4 4 {(−24 + 6 + 24) − (96 + 6 − 6)} − {(32 − 4 + 32) − (−64 − 8 − 8)} + {(32 + 4 − 8) −(16 + 8 − 8)} − {(4 + 8 + 4) − (2 − 4 − 16)} = {6 − 96} − {60 − (−80)} + {28 − 16} − {16 − (−18)} = −90 − 140 + 12 − 34 = −252 Tomando como primera columna la segunda, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados. • 2 3 2 4 4 2 4 2 6 1 2 3 4 2 2 4 4 2 6 1 2 −3 −1 4 1 2 −1 −3 4 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −2 3 −1 1 4 −2 −1 3 1 4 2 3 4 2 2 4 4 2 6 1 2 4 −3 −1 1 −1 1 1 1 −1 −2 1 3 −1 4 2 −3 −1 4 1 2 −1 −3 4 1 2 4 −3 −1 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 1 1 −1 + 3 4 2 2 1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1 2 2 3 2 6 1 4 2 4 4 6 4 2 2 4 2 4 6 2 4 2 4 6 4 2 2 1 −3 −1 4 −1 −1 1 1 1 −2 4 3 −1 1 2 1 −3 −1 4 −1 −1 1 1 1 3 1 4 2 2 2 6 2 4 4 {(−32 + 8 + 32) − (128 + 8 − 8)} − {(−48 + 4 − 48) − (64 + 12 + 12)} + {(−48 − 4 + 12) −(−16 − 12 + 12)} − {(−6 − 8 − 6) − (−2 + 6 + 24)} = {8 − 128} − {−92 − 88} + {−40 + 16} − {−20 − 28} = −120 + 180 − 24 + 48 = 84 • Tomando como primera columna la tercera, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados. 4 2 2 4 6 4 2 2 4 6 4 4 2 2 6 2 4 3 2 1 2 3 4 2 1 2 2 4 3 1 −1 −3 2 4 1 −1 2 −3 4 1 −1 4 −3 2 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 3 −2 1 4 −1 −2 3 1 4 −1 1 3 −2 4 −1 −3 2 1 −1 2 −3 4 1 −1 4 −3 2 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 −1 −1 2 4 3 2 1 2 3 4 2 1 2 2 4 3 1 4 2 2 4 6 4 2 2 4 6 4 4 2 2 6 4 6 2 2 4 2 1 4 3 2 −1 1 −3 2 4 1 −1 1 −1 1 −1 4 3 −2 1 −1 1 −3 2 1 −1 1 −1 1 2 1 4 3 2 4 6 2 2 4 - 4 - + 4 {(128 − 16 + 128) − (−256 − 32 − 32)} − {(−144 + 12 − 144) − (192 + 36 + 36)} + {(96 − 16 − 48) −(64 − 48 − 24)} − {(12 − 32 + 24) − (8 + 24 − 48)} = {240 + 320} − {−276 − 264} + {32 + 8} − {4 + 16} = 560 + 540 + 40 − 20 = 1120 • Tomando como primera columna la cuarta, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados. 4 2 2 4 6 4 2 2 4 6 4 4 2 2 6 2 4 3 2 1 2 3 4 2 1 2 2 4 3 1 4 −3 2 −1 1 4 2 −3 −1 1 4 −1 −3 2 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 −1 1 3 −2 −1 4 1 −2 3 −1 4 1 −1 3 −2 4 4 −3 2 −1 1 4 −3 −1 1 4 −1 −3 2 1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 −1 2 4 3 2 −1 1 −1 1 2 3 4 2 1 2 2 4 3 1 4 2 2 4 6 2 4 6 4 4 2 2 6 4 2 2 + 1 - 4 6 2 2 4 2 1 4 3 2 4 1 −3 2 −1 1 −1 1 −1 1 1 4 3 −2 −1 4 1 −3 2 −1 1 −1 1 −1 1 2 1 4 3 2 4 6 2 2 4 {(128 + 16 − 32) − (64 + 32 − 32)} − {(−144 − 12 + 36) − (−48 − 36 + 36)} + {(96 − 16 − 48) −(64 − 48 − 24)} − {(−12 + 8 + 24) − (−8 + 24 + 12)} = {112 − 64} − {−120 + 48} + {32 + 8} − {20 − 28} = 48 + 72 + 40 + 8 = 168 Tomando como primera columna la quinta, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados. • 6 2 2 4 4 6 2 2 4 4 6 4 2 2 4 1 4 3 2 2 1 3 4 2 2 1 2 4 3 2 1 −3 2 −1 4 1 2 −3 −1 4 1 −1 −3 2 4 −1 1 −1 1 −1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 4 3 −2 −1 1 4 −2 3 −1 1 4 −1 3 −2 1 1 −3 2 −1 4 1 2 −3 −1 4 1 −1 −3 2 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 4 3 2 6 2 2 6 4 1 2 1 - 1 1 4 −1 −1 1 1 1 2 1 3 4 2 2 1 2 4 3 2 4 4 6 2 2 4 4 6 4 2 2 4 2 2 4 4 3 2 4 −3 2 −1 1 - −1 1 1 −1 4 1 3 −2 −1 1 4 −3 2 −1 −1 1 1 −1 1 1 2 4 3 2 6 4 2 2 4 + {(48 + 96 + 48) − (24 − 48 − 192)} − {(−54 − 72 − 54) − (−18 + 54 + 216)} + {(36 − 96 + 72) −(24 + 72 − 144)} − {(−36 + 24 + 72) − (−24 + 72 + 36)} = {192 + 216} − {−180 − 252} + {12 + 48} − {60 − 84} = 408 + 432 + 60 + 24 = 924 Resumiendo lo anterior se tiene que: 2 2 4 4 6 4 3 2 2 1 −3 2 −1 4 1 1 −1 1 3 −2 −1 1 = -252 –(84)+1120-(168)+924= 1540 1 −1 4 5. MÉTODO DE SARRUS PARA DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO. En general la forma de completar el determinante es agregar inicialmente la fila (n - 2), luego la fila (n - 1), a continuación sucesivamente las filas (n - 3), (n - 4), (n - 5),…,2,1. Es decir, dado el determinante de orden n a11 a12 a13 a14 Κ a1( n −3) a1( n − 2) a1( n −1) a1n a 21 a31 a 41 a 22 a32 a 42 a 23 a33 a 43 a 24 a34 a 44 Κ Κ Κ a 2 ( n −3) a 3 ( n −3 ) a 4 ( n −3) a 2 ( n − 2) a 3( n − 2 ) a 4 ( n − 2) a 2( n −1) a3( n −1) a 4( n −1) a2n a3n a4n Μ Μ Μ Μ a ( n −3)1 a ( n − 2)1 a ( n −1)1 a ( n −3) 2 a( n − 2) 2 a ( n −1) 2 a ( n − 3) 3 a( n − 2)3 a ( n −1) 3 a ( n −3) 4 a( n−2) 4 a ( n −1) 4 a n1 an 2 an3 an 4 Μ Μ Κ a ( n −3)( n−3) Κ a ( n − 2)( n −3) Κ a ( n−1)( n −3) Κ a n ( n − 3) Μ Μ Μ a ( n −3)( n − 2) a ( n − 2)( n − 2) a ( n−1)( n −2 ) a ( n −3)( n −1) a ( n −2 )( n −1) a ( n −1)( n −1) a ( n −3) n a( n−2) n a ( n −1) n a n( n−2) a n ( n−1) a nn la forma de completarlo se presenta a continuación: a11 a 21 a12 a 22 a13 a 23 a14 a 24 Κ Κ a1( n −3) a 2 ( n −3) a1( n − 2) a 2 ( n − 2) a1( n −1) a 2( n −1) a1n a2n a31 a 41 Μ a32 a 42 Μ a33 a 43 Μ a34 a 44 Μ a ( n −3)1 a ( n − 2)1 a ( n −3) 2 a( n − 2) 2 a ( n − 3) 3 a( n − 2)3 a ( n −3) 4 a( n−2) 4 Κ a 3 ( n −3 ) Κ a 4 ( n −3) Μ Μ Κ a ( n −3)( n−3) Κ a ( n − 2)( n −3) a 3( n − 2 ) a 4 ( n − 2) Μ a3( n −1) a 4( n −1) Μ a3n a4n Μ a ( n −3)( n − 2) a ( n − 2)( n − 2) a ( n −3)( n −1) a ( n −2 )( n −1) a ( n −3) n a( n−2) n a ( n −1)1 a n1 a ( n −1) 2 an 2 a ( n −1) 3 an3 a ( n −1) 4 an 4 Κ Κ a ( n−1)( n −3) a n ( n − 3) a ( n−1)( n −2 ) a n( n−2) a ( n −1)( n −1) a n ( n−1) a ( n −1) n a nn a ( n − 2)1 a( n − 2) 2 a( n − 2)3 a( n−2) 4 Κ a ( n − 2)( n −3) a ( n − 2)( n − 2) a ( n −2 )( n −1) a( n−2) n a ( n −1)1 a ( n −1) 2 a ( n −1) 3 a ( n −1) 4 Κ a ( n−1)( n −3) a ( n−1)( n −2 ) a ( n −1)( n −1) a ( n −1) n a ( n −3)1 a ( n −3) 2 a ( n − 3) 3 a ( n −3) 4 Κ a ( n −3)( n−3) a ( n −3)( n − 2) a ( n −3)( n −1) a ( n −3) n Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ a 41 a 42 a 43 a 44 Κ a 4 ( n −3) a 4 ( n − 2) a 4( n −1) a4n a31 a32 a33 a34 Κ a 3 ( n −3 ) a 3( n − 2 ) a3( n −1) a3n a 21 a 22 a 23 a 24 Κ a 2 ( n −3) a 2 ( n − 2) a 2( n −1) a2n a11 a12 a13 a14 Κ a1( n −3) a1( n − 2) a1( n −1) a1n Así aparecen inicialmente n determinantes ampliados, es decir el primero es el presentado anteriormente, el siguiente la segunda columna pasa de primera, enseguida la tercera pasa de primera y las demás columnas se corren( es decir la segunda columna es la primera inicial, la tercera la segunda y las demás continúan con su orden usual). Los signos de los determinantes van alternos iniciando por positivo. Su desarrollo es como aparece en el rayado. Cada determinante de los mencionados, a su vez se soluciona de forma recursiva, es decir la primera columna ya se sabe que queda fija, entonces empiezan a rotar las segundas, si es del caso algunas segundas quedan fijas y se hacen rotar las terceras y así sucesivamente. En total para solucionar un determinante de orden n, se solucionan determinantes ampliados, con n ≥ 3 . n! 6