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DETERMINANTES.
De orden 2:
a
b
c
d
a.d
b.c
De orden 3:
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
b
e
c
f
( a.e.i
d .h.c
g .b. f )
(c.e.g
f .h.a
i.b.d )
Obsérvese que para el desarrollo se han repetido las dos primeras filas
al final del determinante y se han realizado las diagonales principales,
menos las diagonales secundarias
Propiedades de los determinantes.
1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz
traspuesta :
2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por
un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho
número.
3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden
descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos
determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha
fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los
determinantes:
4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con
el producto de los determinantes de ambas matrices:
5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su
determinante cambia de signo.
6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son
combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el
resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas
por números reales, su determinante es cero.
7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le
suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no
varía.
Menor complementario de un elemento
El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el
determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna.
Lo representamos por Mij.
Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :
Adjunto de un elemento
Es el menor complemantario con signo positivo o negativo según sea par o
impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo
representamos por Aij
Desarrollo de un determianante por los elementos de una linea.
El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los
elementos de una linea (fila o columna) por sus adjuntos.
Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden,
puesto que al desarrollar por una linea, los determinantes que tenemos que
calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar
a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular.
Para desarrollar por una linea es importante elegir la que más ceros tenga y
utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa linea
menos uno.
Ejemplo:
lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los
elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aqui, que si
multiplicamos la linea a la que sumamos la combinación lineal de las
demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese
número.
Para hacer ceros, procedemos así:
El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se
puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una linea, sólo
tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás
desaparecen al estar multiplicados por cero.