PRODUCTO NOTABLE y factorización.

PRODUCTO NOTABLE
Producto Notable
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del
producto de ellos. Es decir:
Un trinomio de la forma: a2 + 2ab + b2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
(2x – 3)2 = (2x)2 – 2(2x)(3) + (3)2
(2x + 3)2 = (2x)2 + 2(2x)(3) + (3)2
Simplificando:
Simplificando:
(2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9
(2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
ACTIVIDAD
Resolver los siguientes Productos Notables:
1.
(2x + 4)2
2.
(4x -3)2
3.
(x + y)2
4.
(5x + 2y)2
5.
(2 + 6x)2
6.
(7x – v4)2
7.
(m + 3n)2
8.
(8f – 3d)2
9.
(x3+3y2)2
10.
(3y4 – 2x5)2
Cuadrinomio cubo perfecto (Recuerdo: “Cubo de un Binomio”)
Binomio al cubo
1.
(a ± b)3 = a3 ± 3(a2.b) + 3( a.b2 )± b3
(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =
a.
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x · 32 − 33 =
= 8x 3 − 36x2 + 54x − 27
ACTIVIDAD
Factorizar el Cuatrinomio cubo perfecto
1. (x + 5)3
2.
(y -4)3
3. (x + 2)3
4.
(2y -5)3
5. (3x + y)3
6.
(2y -3y)3
7. (2x + 1)3
8.
(2y -1)3
9. (4x2 + 2y)3
10.
(3y3 -4y)3
11. (7x + 2y3)3
12.
(5y6 -4x4)3
13. (6x + 4y)3
14.
(m -n)3
15. (z+ 2n)3
16.
(t2 -4x4)3
17. (nx + 5)3
18.
(yx -4)3
19. (xy2 + 5n3)3
20.
(y2x3 -4x4)3
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
DIFERENCIA DE CUBOS:
Ejemplo:
8 – x3 = 0
23 – x3 = (2 – x) (4 + 2x + x2)
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
SUMA DE CUBOS:
Ejemplo: 27a3 + 1 =0
(3a)3 + 13 = (3a + 1) (9a2 – 3a + 1)
1.
a3  8 
2.
a  13  1 
3.
m 6 125 
4.
z 3  27 
5.
125x 3  64w3 
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números
complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
Factor común
Procedimiento:

Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)

Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio
dado por el factor común.

Ejemplos:
Actividad
Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
1.
6x - 12 =
2.
4x - 8y =
3.
24a - 12ab =
4.
10x - 15x2 =
5.
14m2n + 7mn =
6.
4m2 -20 am =
7.
8a3 - 6a2 =
8.
ax + bx + cx =
9.
b4-b3 =
10.
4a3bx - 4bx =
11.
14a - 21b + 35 =
12.
3ab + 6ac - 9ad =
13.
20x - 12xy + 4xz =
14.
6x4 - 30x3 + 2x2 =
15.
10x2y - 15xy2 + 25xy =
17.
2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 =
19.
m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =
20.
16.
12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
18.
10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
3 2
8
x y  xy 2 
4
9
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente).
Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
Ejemplo: 5x2(x – y) + 3x(x – y)
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será
simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es: (x – y) (5x2 + 3x)
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo: 5a2 (3a + b) + 3a + b
Se puede utilizar como:
5a2 (3a + b) + 1(3a + b) Entonces la respuesta es: (3a + b) (5a2 + 1)
ACTIVIDAD
1) Hallar factor común polinomio
1.
a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
2.
m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
3.
x2( p + q ) + y2( p + q ) =
4.
( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
5.
( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
6.
a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
7.
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
8.
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
9.
(a( a + b ) - b ( a + b ) =
10.
(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
Ejercicios:
1.
a2 + ab + ax + bx =
2.
ab + 3a + 2b + 6 =
3.
ab - 2a - 5b + 10 =
4.
2ab + 2a - b - 1 =
5.
am - bm + an - bn =
6.
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
7.
3x2 - 3bx + xy - by =
8.
6ab + 4a - 15b - 10 =
9.
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
10.
a3 + a2 + a + 1 =
11.
ac - a - bc + b + c2 - c =
12.
6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
Diferencia de cuadrados
(x - y) (x + y) = x2 – y2
Procedimiento:

Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.
Ejemplo:
Factorizar 9x2 - 16y2 =

Para el primer término 9x2 se factoriza en

y el segundo término - 16y2 se factoriza en

luego la factorización de
3x · 3x
+4y · -4y
9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
ACTIVIDAD
Factorizar aplicando diferencia de cuadrados:
1.
X2 – 25=
2.
T2 – 16=
3.
P2 – 49=
4.
X2 – 36=
5.
X2 – 4=
6.
Y2 - 9=
7.
4x2 - 1 =
8.
9p2 - 40q2 =
9.
9x2 – 25y2
10. 49x2 - 64t2 =
11. 4X2 -25Y4
12.
81X2 -36Y4
13. 9a2 - 25b2 =
14. 16x2 - 100 =
15. 36m2n2 - 25 =
17.
9 2 49 2
a 
b 
25
36
16. 4/9x6 – z2y4 =
18.
1 4 9 4
x  y 
25
16
19. 169m2 - 196 n2 =
20. 121 x2 - 144 k2 =
21.
22. -81 + x2 =
-100+ 25y4 =
23. -64 + 4x2=
24. -9 + y2 =
25. 3x2 - 12 =
26. 5 - 180f2 =
27. 8y2 - 18 =
28. 3x2 - 75y2 =
29. 45m3n - mn =
30. 2a5 - 162 a3 =
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se
resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el
término del medio.
Ejemplo: b2 + 2b – 15= (b + 5) (b – 3)
Ejemplo: x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)
ACTIVIDAD
Factorizar los siguientes trinomios en dos binomios:
1.
x2 + 4x + 3 =
2.
a2 + 7a + 10 =
3.
b2 + 8b + 15 =
4.
x2 - x - 2 =
5.
r2 - 12r + 27 =
6.
s2 - 14s + 33 =
7.
h2 - 27h + 50 =
8.
y2 - 3y - 4 =
9.
x2 + 14xy + 24y2 =
10.
m2 + 19m + 48 =
11.
x2 + 5x + 4 =
12.
x2 - 12x + 35 =
13.
x2 – 7x + 6=
14.
15.
x2 – x – 2=
16. x  8 x  12 
x2 + 9x + 20=
2
17. x  18  11x 
18. x  9 x  20 
19. x  5x  6 
20. x  9 x  20 
2
2
21.
x2 +12x +20 =
2
2
22. x  40  13x 
2
Trinomio cuadrado perfecto (Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”)
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Procedimiento: Se realizan los mismos procedimientos del trinomio de la forma x2+bx+c, la diferencia es que los factores serán
iguales, donde en el cual se colocara un solo factor elevado a la suma de ellos, produciéndose así un producto notable.
.Ejemplos:
X2 + 4x + 4 = (x + 2) (x+ 2)
= (x + 2)2
ACTIVIDAD
Factorizar el Trinomio cuadrado perfecto
1.
b2 - 12b + 36 =
2.
x2 + 2x + 4
3.
x2 + 8x + 16=
4.
y2 + 12y + 36=
5.
j2 – 18j + 81=
6.
d2 – 16d + 64
7.
m2 - 2m + 1 =
8.
x2 + 10x + 25 =
9.
x2 + 6x + 9=
10. y2 - 4y + 4
11. h2 + 2h + 1 =
12. x2 - 10x + 25 =
13. x6 + 8x3 + 16
14. x2 – 8x + 16
15. x2 − 20x +100
16. x2 + 14x +49 =
17. x3 − 4x2 + 4x =
18. x3 – 6x2 + 9x =
19. x4 - 14x2 + 49
20. x2 + x + 1/4
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Factorizar 2x2 - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores
2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término
5 ·1
3º Parcialmente la factorización sería
Pero no sirve pues da:
Se reemplaza por
y en este caso nos da :
(2x + 5 )( x + 1 )
2x2 + 7x + 5
(2x - 1 ( x - 5 )
2x2 - 11x + 5
Factorizar Trinomio de la forma ax2 + bx + c
1.
2x2 + 7x + 3
2.
4y2 + 12y + 9
3.
3z2 - 14z – 5
4.
4x2 - 29x + 7
5.
5x2 + 12x – 9
ó
-5 · -1
6.
6y2 + 22y + 12
7.
7x2 - 46x – 21
8.
8y2 + 24y – 32
9.
9x2 - 66x + 40
10. 10x2 - 32x – 90
11. 20x2 + 84x – 80
12. 24b2 + 58b – 35
13. 10x2 + 110x + 300
14. 6y2 + 50y – 600
15. 15z2 + 186z – 693
16. 1.5w2 + 4w + 2
17. 2x2y2 + 5xy + 2
Actividad: ejercicios de simplificación fracciones algebraicas.
a2  9
t)

3(a  3)
m2  n 2
v)

2n  2m
y 2  y  12
w) 2

y  2 y  15
x 2  5x  6
x) 2

x  8 x  15
Completación de cuadrado
Para resolver una ecuación cuadrática algunas veces hacemos uso del método de completación de cuadrado para lo cual
debemos sumar una expresión de tal forma que se convierta en un cuadrado perfecto.
𝑏
Para hacer de 𝑥 2 + 𝑏𝑥 un cuadrado perfecto debemos sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente x, es decir, sumar (
ACTIVIDAD
x2 + 8x= 0
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎
X2 + 8x + y2 + 14y=0
x2 – 10x= 0
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟔 = 𝟎
X2 + 8x + 2y2 + 4y=0
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎
X2 + 8x + y2 = 16y
2
2
)