Factorización La Factorización se procede en forma contraria al

Factorización
La Factorización se procede en forma contraria al desarrollo de Productos
Notables es decir, nos dan un polinomio que debemos expresar como
multiplicación (factores). Presentándosenos los siguientes casos:
1) Por factor común
2) Factor común por agrupación de términos
3) Por trinomio cuadrado perfecto
4) Por trinomio cuadrado por suma y resta
5) Por diferencia de cuadrados
6) Por trinomios cuadráticos de la forma: x2 + bx + c ; ó ax2 + bx + c
7) Suma y/o diferencia de cubos
En el medio que nos rodea observamos que existen casos comunes por
ejemplo todos comemos, tenemos un lugar donde vivir, en la escuela el uniforme,
los pupitres, el horario, etc. y en álgebra existe algo similar, ya que por ejemplo, en
los polinomios observamos que en ocasiones en los términos se repiten letras o
números y se estructuran de tal manera que se pueden expresar mediante
factores.
Supongamos que eres el dueño de un terreno rectangular de área igual a 352
m2, quieres fraccionarlo en dos partes que tengan el mismo ancho y que la
longitud de uno sea de 20 y el otro de24 metros. ¿Cuál es el área de cada
terreno?
Datos
figuras
área del rectángulo = (b)(h)
a) L1 = 20m
b) L2 = 24m
c) A1 = ?
A1
A2
20 cm.
24 cm.
largo
largo
d) A2=?
e) X = ancho
f) AT = 352 m
Desarrollo:
2
X
ancho
Al observar el diagrama el terreno tiene una figura rectangular por lo que
para encontrar el área total tenemos:
Ancho = x
Largo = 20 m + 24 m
AT = 352 m2
Usando la fórmula de área para un rectángulo A
= (largo x ancho) y
sustituyendo tenemos:
AT = x (20m + 24m)
AT = x (44)
352 m2 = 44 x
Despejando X :
X=
352m 2
44m
encontramos el ancho de cada terreno:
X=
352m 2
=8m
44m
COMPROBACIÓN:
Entonces tenemos para: A1 = (8 m) (20 m) = 160 m2
y A2 = (8 m) (24 m) = 192 m2
que al agrupar resulta :
AT= A1+A2 = (8)(20) + (8)(24) = 8 (20+24) = 160 +192 = 352 m2
Si observas el resultado, el ancho aparece en las dos áreas, este valor en la
factorización, recibe el nombre de factor común.
A continuación, analizaremos cada una de las diferentes formas de
Factorización siguiendo el orden del listado anterior.
Por factor común
Para poder factorizar polinomios utilizando el factor común, se recomiendan los
siguientes pasos que a continuación se te presenta.
Ejemplo: Factoriza la expresión 4a4b2 – 6a3b3 + 8a3b4
a) Se busca el común divisor de los coeficientes
4
6
8
2
3
4
2
Como puedes ver, el 2 es el común divisor de 4,6 y 8 porque es el mínimo
valor que divide a todos los números involucrados (4,6 y 8).
b) Cada uno de los términos serán divididos entre las literales repetidas que
contengan el menor exponente.
4a4b2 – 6 a3b3 + 8 a2b4
En este caso observa que a2 y b2 son las literales que se repiten y tienen el menor
exponente.
Ahora bien, el factor común es entonces: 2a2b2 formado por el común divisor
(2) y las literales que se simplificaron (a2b2).
c) Dividir cada término del polinomio inicial entre el factor común encontrado:
4a 4 b 2
6a 3b 3
8a 2b 4
+
= 2a2 – 3ab + 4b2
2 2
2 2
2 2
2a b
2a b
2a b
d) La expresión factorizada quedaría como:
(2a2b2) (2a2 – 3ab + 4b2) siendo este el resultado.
A continuación se presentan una serie de ejercicios que podrás resolver
utilizando el mismo razonamiento; compara tu resultado con los que se te dan.
EJERCICIOS:
1.
xy +xz =
2.
x2 + 2 x4 b6 – 6 x8 a2 b3 – 12 x3 c =)
3.
abx2+x(ad+cd)+cd=
4.
3 k2 x2 + 9 k2 x =
5.
6x+4=
6.
7.
10 x y + 5 x z =
8 a3 b c – 12 a2 b3 c d + a b4 c2 d2 =
8.
9.
10.
6 z2 t3 + 3 z s t4 – 12 z2 t3 =
2 a3 c2 – 18 a b x + 24 a6 c =
7 y3 a + 14 y2 b – 21 y6 c =
Factor común por agrupación de términos.
A diferencia del caso anterior, existen polinomios que tienen un número par
de términos en los que al agruparse por parejas, observamos elementos
comunes que se factorizan por el siguiente procedimiento:
Ejemplo: factorizar 10ax2 + 9b2y -15b2x2 - 6ay
1) Se agrupan por parejas buscando que los términos tengan al menos una
literal semejante y los coeficientes tengan un número común.
10ax2 - 6ay -15b2x2 + 9b2y
o también podría agruparse:10ax2-15b2x2+9b2y-6ay
2) Partiendo del ejemplo anterior, se obtiene el factor común de cada pareja de
términos.
2a( 5x2 - 3y) - 3b2 (5x2 - 3y) ó 5x2(2a-3b2) + 3y (3b2 – 2a)
3) Puedes ver que para el primer caso (5x2-3y) es un factor común en ambos
términos y para el segundo es (3b2 –2a) por lo que razonando de manera
similar a la factorización por factor común, lo podemos expresar como:
(5x2 - 3y)(2a - 3b2)
el cual es el mismo resultado por cualquiera de las dos opciones.
4) El resultado del paso tres es la Factorización del polinomio.
10ax2 + 9b2y - 15b2x2 -6ay =
(5x2 - 3y)(2a - 3b2)
Comprueba si los resultados que se presentan son los correctos.
1.
3 x2 + 1 + x + 3 x = ( x + 1 ) ( 3 x + 1 )
2.
ax+bx+2a+2b= (x+2)(a+b)
3.
2 a x 2 +2 b x + 3 a x y + 3 b y = ( 2 x + 3 y ) (a x + b )
4.
4 m2 x + 10 m n y + 2 m n y + 2 m n x + 6 n2 y = (4 m + 2 n) ( m x + 3 n
y)
5.
6 a x2 + 9 b x y + 4 a x y + 6 b y2 = ( 3 x + 2 y ) ( 2 a x + 3 b y )
6.
10 a x2 – 6 a y – 5 x2 + 3 y = ( 2 a – 1 ) ( 5 x2 – 3 y )
7.
3 a2 b x – 4 x – 15 a2 b + 20 = ( x – 5 ) ( 3 a2 b – 4 )
8.
4 a2 b3 c2 – 5 a c2 + 8 a2 b3 – 10a = ( c2 + 2 ) ( 4 a2 b3 – 5 a)
9.
12 a2 x3 y2 – 20 a2 x2 y – 6 b x3 y2 + 10 b x2 y = (4 a2 – 2 b ) (3 x3 y2 –
5x2y)
10.
a3 – a2 + 3ª + 3 = (a – 1 ) ( a2 – 3 )
3. Trinomio cuadrado perfecto.
Se reconoce este tipo de factorización porque de los tres términos dos de
ellos, ordenados en forma decreciente (el primero y último ) tienen raíz cuadrada
exacta y el término medio es de primer grado y corresponde al doble producto del
primero por el segundo.
El procedimiento para factorizar este tipo de trinomios es:
Ejemplo:
Factoriza el siguiente trinomio cuadrado perfecto: 12x + 9 + 4x2
1) Ordena el polinomio en forma descendente:
4x2 + 12x + 9
2) Se extrae raíz cuadrada al primero y al tercer término.
siendo las raíces exactas;
4x 2 = 2x ,
9 =3
3) El doble producto de los resultados del paso dos debe ser igual al segundo
término del trinomio del primer paso.
2(2x)(3) = 12x
4) Se escribe dentro de un paréntesis los resultados de las raíces, separados
por el signo del segundo término y se eleva todo al cuadrado. Si sigues esta
secuencia, podrás factorizar cualquier trinomio cuadrado perfecto (TCP).
12x + 9 + 4x2 = 4x2 + 12x +9 = (2x+3)2
Hemos llegado al resultado!
Ahora te corresponde realizar los siguientes ejercicios siguiendo la misma
analogía.
1.
25+40t+16t2
R = (5+4t)2
2.
a4+6a2+9
R = (a2+3)2
3.
x2  6x  9
4.
x2  4x  4
5.
x 2  8x  16
6.
9 x 2  24 x  16
7.
100 y 2  20 y  1
8.
125  50t  t 2
9.
64 x 2  80 xy  y 2
10.
1 2
a  a 1
4
4. Trinomio cuadrado por suma y resta (suma o diferencia)
Cuando se presente el caso en el cual no se ajusta el polinomio a un
trinomio cuadrado perfecto -tres términos, dos de ellos (el primero y último) tienen
raíz cuadrada exacta y el término medio es de primer grado y corresponde al
doble producto del primero por el segundo -se tendrá que ajustar dicho trinomio a
uno perfecto, agregando o restando el valor faltante o requerido.
Es así como se presentan dos casos particulares:
I. Cuando el trinomio es de la forma.
a 2  2ab  c 2  a  b  c
Ejemplo: factoriza la expresión x2 + 6 x + 13
2
La solución se puede dar mediante el siguiente procedimiento:
1. Se obtiene la raíz del primer término ( cuadrático).
x2  x
2. 6x debe corresponder al doble producto del primer término por el segundo
término, por lo que para encontrar el cuadrado del segundo término, se
divide el término lineal entre 2
6
3
2
3. Para no alterar la igualdad se suma y resta el cuadrado del resultado
obtenido en el punto anterior para poder tener así, un trinomio cuadrado
perfecto (TCP)
Como 32 = 9 entonces la expresión quedaría:
X2 + 6x + 9 –9 + 13
Reduciendo: x2 + 6x + 9 (-9+13)
x2 + 6x + 9 + 4
4. Ahora sí, la expresión x2 + 6x + 9 es un TPC porque
x2  x y
9 3 y
además se cumple que 2 (x) (3) = 6x que corresponde al segundo término
por lo que se puede expresar como binomio al cuadrado quedando la última
expresión:
(x + 3)2 + 4
por lo que el resultado sería: x2 + 6x + 13 = (x + 3)2 + 4
Gráficamente lo podemos representar:
X
+
3
2
1
X
2
+
3
+
A este tipo de factorización lo podemos generalizar como:
a 2  2ab  c 2  a  b  c
2
EJERCICIOS:
1.
4 x2  10 x  28  0.............................................
2.
9 x2  42 x  34  0.............................................
3.
x2  20 x  80  0...............................................
4.
x2  14 x  14  0...............................................
5.
16 x2  72 x  1  0.............................................
6.
7.
x2  40 x  17  0...............................................
x2  10 x  24  0................................................
8.
x2  16x  40  0................................................
9.
x2  20 x  18  0...................................................
10.
4x2 - 4x + 4 = 0 .............................................
II) El trinomio de la forma x2 + 25 +14x
Se resuelve procediendo de manera muy similar al anterior.
1) Se ordena el trinomio de manera descendente de potencia.
Ejemplo: x2 + 25 + 14 x = 0
Ordenando:
x2 + 14 x + 25 = 0
2) Se obtienen las raíces del primero y tercer término (siendo valores
cuadráticos). a 2  a, b2  b ésta es la diferencia con el caso anterior.
x2 + 14 x + 25 = 0
x
5
3.Se realiza la operación del duplo del primero por el segundo término,
vemos que:
a=x ,
b=5
(2 a b)
por lo que 2 a b = 2(x) (5) = 10 x
4. Se compara el resultado obtenido con el término lineal que nos dieron y se
expresa la diferencia entre estas dos.
14x – 10 x = 4x
5. Ahora ya tienes un TCP que es:
x2
x
+ 14 x
+ 25 = 0
5
2(x) (5) = 10 x
De tal forma que el binomio al cuadrado quedaría: x2 + 14 x + 25 = ( x + 5 )2
De esta forma, llegamos al resultado, anotando el binomio cuadrado ( x + 5 )2 y lo
obtenido en el paso cuatro (4x) quedando:
X2 + 14x + 25 = x2 + 14 x + 25 = ( x + 5 )2 + 4 x
Gráficamente y en forma general lo podemos representar como:


a 2  nab  b 2  a 2  2ab  b 2  nab
a  b2  nab
a
donde n = 2 a b  nab
+
nab
a
a
+
 nab
+ b
a
+
nab
b
b
b
b
Como has entendido perfectamente podrás resolver los siguientes ejercicios.
1.
x2  20 x  64  0,.........................................
2.
x2  6 x  16  0...........................................
3.
4 x2  28x  36  0.......................................
4.
9 x2  30 x  49  0.......................................
5.
25x2  24 x  4  0.......................................
6.
x2  x  4  0..............................................
7.
4 x2  3x  1  0.........................................
8.
9 x2  20 x  25  0......................................
9.
10.
16 x2  10 x  1  0.......................................
x2  x  9  0.............................................
Trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c.
Cuando el trinomio es de la forma x2 + bx + c; el primer término presenta
raíz cuadrada exacta. Después de ordenar el polinomio se procede de la siguiente
manera:
Ejemplo: Factorizar la siguiente expresión x2 - 2x - 15
1)
Se extrae la raíz cuadrada al primer término.
x
2)
2
=x
Se ponen dos paréntesis cuyo primer término en ambos será el
resultado obtenido del paso anterior (descomposición en factores).
(X
3)
)(X
)
Se descompone el tercer término en dos factores, que cumplan la
condición de que: su producto sea el tercer término y al mismo tiempo la
suma algebraica de ellos sea el segundo término.
15 = 15 x 1 , 15 = 3 x 5 , -1 + 15 = 14;
-15 + 1 = - 14;
- 3 + 5 = 2;
- 5 + 3 = - 2, como se puede ver el producto ( 3 x 5 ), corresponde al
término independiente (10) y a la vez ( 3 – 5 ) corresponde a la suma algebraica
del coeficiente del segundo término (-2).
4)
Los factores obtenidos del paso tres serán los segundos términos dentro
de los paréntesis, respetando los signos determinados en el paso tres,
quedando:
( x +3 ) ( x – 5 )
5)
El resultado obtenido es la Factorización del polinomio.
x2 - 2 x – 15 = ( x +3 ) ( x – 5)
Para comprobar el resultado obtenido se desarrolla el producto de dichos
binomios:
( x + 3 ) ( x - 5 ) = x2 ( - 5 x + 3 x ) – 15 = x2 - 2 x – 15
Se observa que se tienen diferentes combinaciones de factores pero no todos
cumplen con la segunda condición.
(x - 5)(x + 3)
Y este es el resultado!
contesta los siguientes ejercicios.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x2  x  2  0
x2  2x  3  0
x2  2 x  15  0
x2  2 x  35  0
x2  7 x  12  0
x 2  8x  15  0
x2  2 x  63  0
x 2  x  72  0
x2  8x  65  0
x 2  x  42  0
6. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Cuando el trinomio es de la forma ax2 + bx + c se pueden presentar dos
casos:
Primer caso:
Cuando sólo un coeficiente del término cuadrático (raíz cuadrada exacta).
Para factorizar se procede de la siguiente manera.
Ejemplo: factoriza la siguiente expresión 4x2 +16x +15 = 0
1)
Se extrae la raíz cuadrada al primer término, no olvides que en algunos casos
hay que ordenar en forma descendente
4x 2  2x
2)
Se abren dos paréntesis cuyos primeros términos serán el resultado del paso
uno.
( 2x
3)
) ( 2x
) =0
Se divide el término lineal del polinomio a factorizar entre el resultado del
paso uno.
2° término lineal = 16 x
resultado del paso uno = 2x
quedando entonces:
16 x
8
2x
4) Se descompone el término numérico en dos factores cuya suma sea el
resultado del paso tres.
15 = ( 5 ) ( 3 ) y además 5 + 3 = 8
observa que este resultado corresponde al valor obtenido en el paso tres.
5) Los factores del paso cuatro forman los segundos términos de los paréntesis
del paso dos. Obteniendo el resultado siguiente.
(2x+5) (2x+3)
De donde 4x2 + 16 x + 15 = (2x+5) (2x+3)
Para comprobar el resultado, se efectúa el producto de binomios obtenidos:
( 2 x + 5 ) ( 2 x + 3 ) = 4 x2 +( 6 x + 10 x ) + 15 = 4 x2 + 16 x + 15
Segundo caso:
Cuando el coeficiente del término cuadráticos no tiene raíz cuadrada
exacta, se procede de la siguiente manera:
Ejemplo factoriza 3x2 + 7x + 2
1) Se buscan dos factores que multiplicados nos den el primer término del
trinomio y dos factores que multiplicados nos den el tercer término.
1er. Término: 3 x2 = ( 3x ) ( x ) y el tercer término 2 = ( 2 ) ( 1 )
2) De igual forma que el caso anterior, se identifican los números que al
multiplicar los extremos y los medios, los productos resultantes nos den la
suma algebraica del segundo término. Por lo que el resultado es:
3x, 2 = extremo
x,1 = medio
3 x2 + 7 x + 2 = ( 3 x + 1 ) ( x + 2 )
Para comprobar el resultado se desarrolla el producto:
( 3 x + 1 ) ( x + 2 ) = 3 x2 + ( 6 x + x ) + 2 = 3 x2 + 7 x + 2
Utilizando el mismo procedimiento, realiza las siguientes factorizaciones y
comprueba tus resultados, seguro tendrás bien todos!
1.
3x 2  5 x  2  0
2.
5 x 2  3x  2  0
3.
14 x 2  21x  6  0
.
2 x 2  7 x  15  0
5.
7 x2  4x  3  0
6.
9 x2  30 x  25  0
7.
4x2  2x 
1
0
4
8.
9x2  9x 
9
0
4
9.
25x 2  20 x  4  0
10.
4x2 
20
25
x
0
3
9
6. Diferencia de Cuadrados.
Cuando se factoriza una diferencia de cuadrados como x2 – 9 , se llevan a
cabo los siguientes pasos:
1. Se obtienen la raíz cuadrada de cada término (minuendo y sustraendo):
x2  x
y
9 3
2. Se abren dos paréntesis en donde el primer término en ambos paréntesis
son el resultado de la primera raíz .
(x
) ( x
)=0
3. el segundo término en ambos paréntesis, es el resultado de la segunda
raíz, separados por signos más (+) y menos (-) respectivamente.
( x - 3)
( x + 3 ) = 0
El resultado obtenido es:
x2 –9 = ( x + 3 ) ( x – 3 )
Para comprobar desarrolla el producto
( x - 3)
EJERCICIOS:
1.
a2  1
2.
9a 2  16b2
3.
1 4
a  y2
4
4.
1
16 2
x
25
( x + 3 ) =
x2 ( – 3 x + 3 x ) - 9 = x 2 –9
5.
121  a 6
6.
y4  z2
7.
1 2 9 2
a  b
4
25
8.
a 2b6  x 2 y8
9.
1
a6  b2
9
10.
49a 4  36
7.Suma o diferencia de cubos
Este tipo de factorización se reconoce porque consta de dos términos los
cuales tienen raíz cúbica exacta. El procedimiento a seguir es:
Ejemplo: factorizar 27 a3 - b3
1) Se extrae la raíz cúbica a cada término.
3 27a
3
=3a
3 b
3
=-b
2) Se escriben entre paréntesis el resultado del paso uno, separados por el signo
del binomio original.
( 3a - b )
3) El segundo factor se forma:
a) Elevando al cuadrado el primer término. ( 3 a )2 = 9 a 2
b) Efectuar el producto del primero por el segundo cambiando el signo que
separa a los elementos del paréntesis.
- ( 3 a ) ( -b ) = + 3 a b
c) Y por último elevar al cuadrado el segundo término.
( b ) 2= b 2
Esto te da un TCP.
4 )
El resultado de la
obtenido en el paso dos.
factorización se hace uniendo el trinomio y el factor
27 a3 - b3 = ( 3a – b ) ( 9 a2 + 3 a b + b2 )
Para comprobar la factorización se realiza el producto correspondiente.
( 3a – b ) ( 9 a2 + 3 a b + b2 ) = 27 a3 + ( 9 a2 b + 3 a b2 – 9 a2b – 3 a b2 ) – b3
reduciendo términos semejantes la expresión resultante es:
27 a3 - b3 = ( 3a – b ) ( 9 a2 + 3 a b + b2 )
resuelve los siguientes ejercicios y comprueba tus resultados.
1.
a6  1
2.
27a3  b9
3.
x12  y 6
4.
8a15  64b6
5.
a9  125
6.
x3  a3
7.
27 x3  64b3
8.
27  8x3
9.
x3  8
10.
64 y 3  216a3
Es necesario que corrobores que también se puede factorizar utilizando los
sólidos que elaboraste al inicio del tema de productos notables por lo que
realizaremos la siguiente práctica.
Material:
Sólidos elaborados
Cuaderno y lápiz
Procedimiento:
Para la factorización se procede de forma inversa es decir, nos dan el
volumen y lo que debemos determinar son las aristas, en este caso éstas son los
tres factores a considerar.
Al darnos a factorizar un polinomio procederemos de la siguiente forma:
1° Seleccionamos los volúmenes que indica el polinomio.
2° Formemos un prisma o cubo si es posible armarlo desde el principio, en
caso de no formarse, integremos parejas de piezas de los dos colores
hasta formar la pieza esperada.
3° Identifiquemos las aristas de la pieza formada y escribamos su longitud
como factores de manera similar a como lo vimos en los productos.
4° Comprueba lo que obtuviste mediante el algoritmo de la multiplicación.
Ejemplo: Factoriza la expresión 2X3 + 3X2 – 3X – 2, para hacer esto
realizamos siguiente:
1° Seleccionamos los volúmenes que indica el polinomio.
X3
X3
2X3
X2
+
3X2
X2
X2
-X
-X
-X
-1
- 3x
-1
-2
2° Formemos un prisma o cubo si es posible armarlo desde el principio, en
caso de no formarse integremos parejas de piezas de los dos colores
hasta formar la pieza esperada.
Como lo que queremos formar es: 2X3 + 3X2 – 3X – 2 , jugando con los
prismas, la figura que se aproxima a la expresión es la de base (X + 2)(X – 1) esto
es largo por ancho y de altura(X)
Quedando la figura que nos indica que el volumen a calcular es:
(X + 2)(X – 1)(X)
X
X
X
+
1
+ 1
1
BASE
Como lo que queremos formar es: 2X3 + 3X2 – 3X – 2, jugando con los
prismas, la figura que se aproxima a nuestro sólido problema un prisma es la de
base (X + 2)(X – 1) y altura (2X)
Quedando ahora la figura como (X + 2)(X – 1)(2X)
X
+
2x
X
1
X
X
+
1
+
1
Como lo que queremos formar es: 2X3 + 3X2 – 3X – 2, jugando con
los prismas agregando dos prismas de volumen X siendo uno claro (positivo) y
otro oscuro (negativo), para no alterar el resultado.
X –X = 0
Prisma de volumen “X” positivo
Prisma de volumen “X”
negativo
Estos dos prismas fueron agregados para completar la figura que se
requiere.
La figura es de un prisma cuya de base es:(X + 2)(X – 1) y altura (2X + 1)
1
+
X
2X altura
+
X
X
+
X
1 + 1
-1
X – 1 ancho
X
X
+ 1
+
1
2
3° Identifiquemos las aristas de la pieza formada y escribamos su longitud
como factores de manera similar a como lo vimos en los productos.
Es el volumen (X + 2)(X – 1)(2X + 1)
que hemos analizado y completado.
4° Comprueba lo que obtuviste mediante el algoritmo de la multiplicación.
Factoriza cada uno de los siguientes polinomios
1) 2 a + 4ab
R = 2a (1+2 b )
2)
3 x2 y + 6 x3 y2-9x y3
R = 3xy(x + 2x2y - 3y2 )
3)
6 a4 b2 – 12 a3 b3 + 30 a2 b4
R = 6a2 b2 ( a2 - 2ab + 5b2 )
4)
x3+ 4 x2+ 3 x + 12
R = ( x + 4 ) ( x2 + 3 )
5)
y5+ 5 y3 – 4 y2 - 20
R = ( y2 + 5 )( y3 - 4 )
6)
x2 – 4 x + 4
R = ( x – 2 )2
7)
w2- 24 w + 144
R = ( w – 12 )2
8)
y2 – 14 y + 49
R = ( y – 7 )2
9)
z2 - 64
R=(z+8)(z–8)
10)
81 - x2
R=(9–x)(9+x)
11)
y2 + 3 y - 4
R=(y+4)(y–1)
2
12)
54 – 3 x - x
R = ( x + 9 ) ( -x + 6 )
13)
4 y 2 + 3 y - 10
R = ( 4y + 5 ) ( y – 2 )
14)
3 x2 – 3 x + 4
R = ( 3x – 1 ) ( x – 4 )
15)
125 x3 – 64 y3
R = ( 5x - 4y ) ( 25x2 + 20 x y + 16 y2 )
16)
b6 – 729
R = ( b2 – 9 ) ( b4 + 9 b2 + 81 ) = ( b + 3 ) ( b – 3 ) (b4 + 9b2 + 81 )
Resuelve las siguientes factorizaciones:
1) 3 x y2 + 15 a b x 2 + 3 m n x y + 412x4 y 3
R= 3x (y2+5abx+mny+3x3y3)
2) 8a3 b c4 + 4 a c2 + 6 a2 c + 2 a b
R= 2a (4a2bc4+2c2+3ac+b)
3) a b + a c + b d + a f
R = (a+d) (b+c)
2
4) m – 4 m + 4
R = (m-2)2
5) t4 + 2 b2 t2 + b4
R = (t2+b2)2
6) m2 – n2
R = (m+n) (m-n)
7) 9 v2 – 1
R = (3v+1) (3v-1)
8) x2 + 3 x + 2
R = (x+1) (x+2)
9) b2 – 2 b – 35
R = (b+5) (b-7)
2
10) 2 c – 7 c + 3
R = (2c-1) (c-3)
11) 4 y2 – 18 y – 10
R = (4y+2) (y-5)
12) x 3 + y 3
R = (x+y) (x2-xy+y2)
13) y6 – 8 z3
R = (y2-2z) (y4+2y2z+4z2)
14) d3 + 27
R = (d+3) (d2-3d+9)