SPLINES - Universitat Politècnica de Catalunya

Interpolación seccional:
SPLINES
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Departament de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
http://www-lacan.upc.es
Motivación: problemas en aproximación funcional
1. Interpolación polinómica
pura
oscilaciones para número
elevado de datos
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Motivación: problemas en aproximación funcional
2. Mínimos cuadrados
La aproximación no
pasa por los puntos
Splines · 3
Motivación: problemas en aproximación funcional
3. Modificaciones locales afectan globalmente
Splines · 4
Solución
Cambiar el tipo de
aproximación
Cualidades deseables de la aproximación (dibujo,
resolución EDPs…):
1. Control sobre la suavidad del aproximante
2. Posibilidad de interpolar
3. Desarrollo en función de una base
4. Interpolante local
Aproximación polinómica
a trozos (spline)
Splines · 5
Definición
 SPLINE: función definida a trozos,
generalmente polinómica en cada tramo
Splines · 6
Algunos tipos de Spline
 Spline lineal C0
 Spline parabólico C1
 Spline cúbico C1
 Spline cúbico C2
El tipo de Spline viene dado
por el grado de polinomio en
cada intervalo y la regularidad
en los puntos/nodos interiores
Spline
natural
Interpolación
de Hermite
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1. SPLINE LINEAL C0
 Función polinómica lineal a trozos
 Continua (en los puntos base xi)
¿La aproximación se puede expresar en función de una base?
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BASE
LOCAL
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Base del espacio de splines lineales C0
• Depende de los puntos base {x0, x1,...,xn}
• De todas las bases posibles escogemos la que permite
variar con facilidad los valores fi
 Con la base que cumple
el interpolante (spline) se escribe
 Observación: el espacio de Splines lineales C0 es un espacio
vectorial de dimensión n+1 (número de puntos base)
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2. SPLINE C1 PARABOLICO
 En cada intervalo:
• Número de coeficientes 3n
• Número de condiciones:
continuidad del spline y de la primera derivada en los
n-1 puntos interiores
2(n-1)
• Diferencia: 3n – 2(n-1) = n+2
parámetros libres,
dimensión del espacio
Podemos imponer el
valor de la función en
n+1 puntos base y una
condición adicional
Splines · 12
Ejemplo Spline C1 parabólico (recurrente)
 Fijando el valor de la derivada en el punto inicial, S (0)=0, y
los n+1 valores de la función
(2)=1
SS(2)=1
(x)=x
SS11(x)=x
SS22(x)=1.5x
+7x-6
(x)=1.5x22+7x-6
SS(3)=-2
(3)=-2
S (1)=1
S
(1)=1
(0)
S S(0)=0
22+1)/2
S
(x)=(x
S
(x)=(x
+1)/2
0
0
=0
S3(x)=1.5x2-11x+21
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 La base de splines parabolicos C1 es no local
S’(x0) = β, 2β, -β
S(x0) = α, 2α, -α
 Elección de s’0:
• Dejar s’0 libre y modificar interactivamente
• Interpolar polinomio con N+1 puntos en el entorno de x0:
s’0 = pendiente del polinomio en x0,
• Tomar s’1 = (f2 – f0)/(x2 – x0) (diferencia centrada) e
interpolar un subintervalo en sentido contrario
poco utilizado
Splines · 14
3. SPLINE C1 CÚBICO
 Se conoce como interpolación de Hermite
 En cada intervalo:
• Número de coeficientes: 4n
• Número de condiciones:
continuidad del spline y de la primera derivada en los
n-1 puntos interiores
2(n-1)
• Diferencia: 4n – 2(n-1) = 2(n+1)
parámetros libres,
dimensión del espacio
Podemos imponer el
valor de la función y
su derivada en los
n+1 puntos base.
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SPLINE C1 CÚBICO
 En cada subintervalo, dados los 2 valores de la función y los
2 valores de la derivada hay una único polinomio de grado 3
que cumple las 4 condiciones
s
fi
i
s i+1
fi+1
xi
xi+1
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Aproximación de las derivadas
 Si las derivadas s i no son conocidas, se pueden aproximar
a partir de los valores de la función
fi-1
fi
fi+1
xi-1
xi
xi+1
Base del espacio de splines C2 cúbicos
 El interpolante (spline cúbico) se escribe como
si
y
son las funciones de la base de splines
(definidas en todo [x0,xn]) que verifican
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BASE
LOCAL
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BASE
LOCAL
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 Spline C1 parabólico (no local)
S’(x0) = β, 2β, -β
Ejemplo
S(x0) = α, 2α, -α
 Spline C1 cúbico (local)
S’(x0) = β, 2β, -β
S(x0) = α, 2α, -α
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4. SPLINE C2 CÚBICO
 En cada intervalo:
• Número de coeficientes: 4n
• Número de condiciones:
continuidad del spline y de la primera y segunda
derivada en los n-1 puntos interiores
3(n-1)
• Diferencia: 4n – 3(n-1) = (n+1) + 2
parámetros libres,
dimensión del espacio
Podemos imponer
el valor de la
función en los n+1
puntos base y dos
condiciones
adicionales
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Condiciones adicionales
 Curvaturas prescritas en los extremos: s’’0 y s’’n dadas
Formulación en curvaturas
Caso particular: s’’0=s’’n=0 (spline natural)
 Pendientes prescritas en los extremos: s’0 y s’n dadas
Formulación en pendientes (derivadas)
 Imposición de una pendiente y una curvatura.
 Spline periódico:
Si se verifica f0=fn puede ser interesante exigir
s’0=s’n y s’’0=s’’n
 Interpolación cuadrática en los dos subintervalos extremos:
s’’0=s’’1 y s’’n-1=s’’n
 Interpolación con la misma cúbica en los dos primeros
subintervalos y en los dos últimos subintervalos
Splines · 23
Formulación en derivadas
 Spline cúbico (de momento con continuidad C1)
 Sólo podemos imponer el valor de S(xi)=fi
y dos condiciones adicionales
 Las pendientes s’i no son datos, son parámetros a
determinar imponiendo continuidad de S’’(x)
y las dos condiciones adicionales.
detalles
Splines · 24
Formulación en curvaturas
 Se expresa el spline en función de fi y de las segundas
derivadas en los puntos base si’’
 Las curvaturas s’’i no son datos, son parámetros a
determinar imponiendo continuidad de S’(x)
y las dos condiciones adicionales.
detalles
Splines · 25
SPLINE NATURAL
 El Spline natural es el spline C2 cúbico con s’’0=s’’n=0
Teorema
De todas las funciones C2 que pasan por {xi,fi}i=0,...,n,
la más suave es el spline natural.
La suavidad de una función se mide con el funcional
Es decir, el spline natural minimiza el funcional I en C2.
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Demostración
 Sea h∈C 2 cualquiera y S(x) el spline natural.
La diferencia del funcional I es
donde
Splines · 27
Por lo tanto,
siendo S(x) el spline natural (s’’0=s’’n=0)
Splines · 28
 Observación
De la ecuación
también se deduce que el spline cúbico C2 es la
función C2 más suave para pendientes fijadas en los
extremos (h’0= s’0, h’n= s’n)
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Base de splines naturales
donde
Base no local,
pero con
amortiguamiento
muy rápido
Splines · 30
Ejemplo
Spline C1 parabólico (no local)
Spline C1 cúbico (local)
S(x0) = α, 2α, -α
S(x0) = α, 2α, -α
Spline C2 cúbico (no local, amortiguamiento rápido)
S(x0) = α, 2α, -α
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Ejemplo: paradoja de Runge
n=4
n=8
Splines · 32
THE END
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Formulación en derivadas
 Spline cúbico (de momento con continuidad C1)
 Sólo podemos imponer el valor de S(xi)=fi
y dos condiciones adicionales
 Las pendientes s’i no son datos, son parámetros a
determinar imponiendo continuidad de S’’(x)
y las dos condiciones adicionales
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 Segundas derivadas del spline:
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 Imponiendo continuidad de la segunda derivada:
=
Splines · 38
 Sistema de ecuaciones
sistema (n-1)x(n+1)
donde
Hay que añadir
las dos
condiciones
adicionales
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 Pendientes prescritas en los extremos: s’0 y s’n dadas
(matriz n-1 × n-1, tridiagonal, no simétrica y
estrictamente diagonalmente dominante)
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Formulación en curvaturas
Se expresa el spline en función de fi y de las segundas
derivadas en los puntos base si’’
 Cúbica en cada subintervalo [xi, xi+1]
 Segunda derivada:
 Imponemos valores S(xi)=fi y S’’(xi)=si’’:
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 Spline cúbico C2 (formulación en curvaturas)
 Sólo podemos imponer el valor de fi
y dos condiciones adicionales
 Las curvaturas s’’i no son datos, son parámetros a
determinar imponiendo continuidad de S’(x)
y las dos condiciones adicionales
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 Primeras derivada del spline:
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 Imponiendo continuidad de la primera derivada:
=
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 Sistema de ecuaciones
sistema (n-1)x(n+1)
donde
Hay que añadir
las dos
condiciones
adicionales
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 Curvaturas prescritas en los extremos: s’’0 y s’’n dadas
matriz n-1 × n-1, tridiagonal, no simétrica y
estrictamente diagonalmente dominante
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Condiciones adicionales: s
0
ys
n
 Formulación en curvaturas (análogamente se puede
hacer para la formulación en derivadas)
con
sistema (n-1)x(n+1)
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 Imponemos la derivada s’0
 El sistema resultante es
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