Algebra Lineal -I:´Algebra Vectorial en R3, Aplicaciones

Algebra Lineal -I: Álgebra Vectorial en R3, Aplicaciones
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: jrico@ugto.mx
En estas notas se presentan diferentes aplicaciones geométricas y fı́sicas del álgebra vectorial en R3 .
Estás aplicaciones serán de interés en este mismo curso y en los cursos de Fı́sica y Estática de los diferentes
programas de la división.
1
Aplicaciones Geométricas.
En esta sección se presentarán algunas aplicaciones geométricas del álgebra vectorial.
1.1
Ecuación de una lı́nea recta en el espacio.
Considere la lı́nea mostrada en la Figura 1, un punto, P , a lo largo de lı́nea, con respecto al sistema
coordenado OXY Z, está dado por el vector p~, y un vector paralelo a la lı́nea es ~b. Entonces, si el vector
de posición del punto P está dado por ~rP = (px , py , pz ) y el vector de posición ~q de cualquier otro punto
Q a lo largo de la lı́nea está dado ~rQ = (x, y, z). Entonces, la relación entre los vectores de posición está
dada por la ecuación vectorial
~q = p~ + t ~b
(x, y, z) = (px , py , pz ) + t (bx , by , bz )
(1)
Figure 1: Una Lı́nea en el Espacio Tridimensional.
Las ecuaciones escalares están dadas por
x = px + t b x
y = py + t b y
1
z = pz + t b z
(2)
Las ecuaciones (1) y (2) se denominan las ecuaciones parámetricas de la lı́nea, donde t es el parámetro
de la lı́nea. Las ecuaciones algebraicas de la misma lı́nea se obtiene despejando el parámetro t en una
de las tres ecuaciones y sustituyéndolo en las restantes dos ecuaciones. De esa manera, se tiene que si
bx 6= 0,1 se tiene que
x − px
t=
bx
de modo que
x − px
by
bx
x − px
bz
z = pz +
bx
y = py +
y bx − x by = py bx − px by
(3)
z bx − x bz = pz bx − px bz
(4)
Las ecuaciones (3) y (4) representan las ecuaciones algebraicas de una lı́nea en el espacio.
1.2
Ecuación de un plano en el espacio.
En esta sección, se muestran dos diferentes formas de obtener la ecuación de un plano en el espacio.
1. Determine la ecuación de un plano cuando se conoce el vector de posición de un punto P que
pertenece al plano y un vector ~n normal al plano. Considere el plano mostrado en la figura 2, donde
P es un punto que yace en el plano y ~n es un vector normal al plano y Q es un punto arbitrario
del plano. Si además, los vectores de posición de los punto P está dados por ~rP = (px , py , pz ) y
el vector de posición ~q de cualquier otro punto Q que yace en el plano está dado ~rQ = (x, y, z).
Finalmente, el vector ~n perpendicular al plano está dado por ~n = (nx , ny , nz ).
Figure 2: Un Plano en el Espacio Tridimensional Caso 1.
Es evidente que el vector que va del punto P a un punto arbitrario del plano Q, yace en el plano y
por lo tanto es perpendicular al vector ~n. Entonces la ecuación del plano está dada por
(~rQ − ~rP ) · ~n = 0
[(x, y, z) − (px , py , pz )] · (nx , ny , nz )
(5)
o
x nx + y ny + z nz = px nx + py ny + pz nz
(6)
La ecuación (6) representa la ecuación general de un plano en el espacio tridimensional. De este
resultado, se tiene que la ecuación (3) y (4) representan, la primera un plano cuya normal yace
1 Si b = 0, debe emplearse otra ecuación para despejar t, puesto que ~
b 6= ~0 al menos existe una componente de ~b diferente
x
de 0.
2
en el plano X − Y y la segunda un plano cuyo normal yace en el plano X − Z. Este resultado es
consistente con la noción que una lı́nea recta puede considerarse como la intersección de dos planos.
2. Determine la ecuación de un plano cuando se conocen los vectores de posición de tres puntos L,
M y P que pertenecen al plano. Suponga que los vectores de posición de los puntos L, M y P
están dados por ~rL = (lx , ly , lz ), ~rM = (mx , my , mz ) y ~rP = (px , py , pz ) y el vector de posición
~q de cualquier otro punto Q que yace en el plano está dado ~rQ = (x, y, z). Entonces un vector
perperdicular al plano está dado por el producto vectorial
~n = (nx , ny , nz ) =
=
(~rM − ~rL ) × (~rP − ~rL ) = (mx − lx , my − ly , mz − lz ) × (px − lx , py − ly , pz − lz )
((my − ly )(pz − lz ) − (py − ly )(mz − lz ),
(mz − lz )(px − lx ) − (pz − lz )(mx − lx ),
(mx − lx )(py − ly ) − (px − lx )(my − ly ))
(7)
El único requisito es que los puntos L, M y P no sean colineales, pues en ese caso, el vector ~n serı́a
el vector ~0.
Figure 3: Un Plano en el Espacio Tridimensional Caso 2.
Una vez que se ha encontrado un vector normal al plano, cualesquiera de los vectores ~rQ − ~rL ,
~rQ − ~rM o ~rQ − ~rP están contenidos en el plano, por lo tanto, la ecuación del plano está dado por
(~rQ − ~rL ) · ~n = 0
2
(~rQ − ~rM ) · ~n = 0
(~rQ − ~rP ) · ~n = 0
Aplicaciones Fı́sicas.
En esta sección se presentarán algunas aplicaciones fı́sicas del álgebra vectorial.
2.1
Equilibrio de Partı́culas en el Plano y en el Espacio.
La primera Ley de Newton establece que: Una partı́cula permanece en reposo o en movimiento
rectilinio a velocidad uniforme si la resultante —es decir la suma— de las fuerzas aplicadas a
la partı́cula es cero. Cuando una partı́cula satisface la primera Ley de Newton se dice que se encuentra
en equilibrio. Dependiendo si las fuerzas aplicadas a la partı́cula yacen en un plano —que de manera
usual se supone el plano X − Y — o existen fuerzas fuera del plano formado por las restantes fuerzas, la
ecuación ΣF~ = ~0 se descompone en dos o tres ecuaciones escalares; es decir
1. En el plano,
ΣF~ = ~0 ⇔ ΣFx = 0
3
ΣFy = 0
2. En el espacio,
ΣF~ = ~0 ⇔ ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
Con estas ecuaciones es posible determinar las fuerzas que permiten que una partı́cula se encuentre
en equilibrio.
Ejemplo 1. Dos cables unidos en C se sujetan a las fuerzas mostradas en la Figura 4. Sabiendo que
~ = 60 Lb, determine la tensión (a) en el cable AC, (b) en el cable BC.
Q
Figure 4: Equilibrio de una Partı́cula en el Plano.
~ y P~ están dadas en términos de sus
Solución: Las tensiones en los cables AC y BC y las fuerzas Q
componentes escalares como
√
1
3
◦
◦
~
TAC = −TAC sen 30 î + TAC cos 30 ĵ = − TAC î +
TAC ĵ
2√
2
3
1
T~BC = −TBC sen 60◦ î − TAC cos 60◦ ĵ = −
TBC î − TBC ĵ
2 √
2
75
3
Lbf î +
Lbf ĵ
P~ = 75 Lbf cos 30◦ î + 75 Lbf sen 30◦ ĵ = 75
2
2
~ = −60 Lbf ĵ
Q
El equilibrio de la partı́cula C está dada por
~ = ~0 ⇔ ΣFx = 0
ΣF~ = ~0 ⇔ T~AC + T~BC + P~ + Q
es decir
√
√
1
3
3
− TAC −
TBC + 75
Lbf = 0
2
2
2
√
3
1
75
TAC − TBC +
Lbf − 60 Lbf = 0
2
2
2
ΣFy = 0
√
√
3
3
1
TAC +
TBC = 75
Lbf
2
2
2
√
3
1
45
TAC − TBC =
Lbf
2
2
2
El determinante de la matriz de coeficientes está dada por
¯
¯
√
¯ 1
3 ¯
1 3
¯ √2
2 ¯¯ = − −
∆=¯ 3
= −1
¯ 2 − 21 ¯
4 4
de manera que la solución del sistema está dada por
Ã
√
√ !
√
√
¯
¯
3 ¯
√
1
3
3
1 ¯¯ 75 3 Lbf
2
2 ¯=
−75
Lbf = 30 3 Lbf.
− 45
TAC =
45
1 ¯
¯
∆
−1
4
4
−2
2 Lbf
4
y
TAC
2.2
1
=
∆
¯
¯
¯
¯
¯
1
√2
3
2
75
√
3
2 Lbf
45
2
Lbf
¯
µ
¶
¯
45
3
1
¯
Lbf = 45 Lbf.
− 75
¯=
¯ −1 4
4
El torque o momento de una fuerza con respecto a un punto.
Figure 5: Determinación del Torque o Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto.
Considere una fuerza f~ aplicada en un punto P y deseamos determinar el momento de esta fuerza con
respecto a un punto O como se muestra en la figura 5. El momento de una fuerza determina la capacidad
de la fuerza para inducir movimiento de rotación de un cuerpo.
Si la fuerza está dada por f~ = (fx , fy , fz ) y el vector de posición del punto P con respecto al punto
O está dada por ~rP/O = (rx , ry , rz ) El momento de la fuerza con respecto al punto O está dado por
¯
¯ î
¯
~
~
M = ~rP/O × f = ¯¯ rx
¯ fx
ĵ
ry
fy
k̂
rz
fz
¯
¯
¯
¯ = î(ry fz − rz fy ) + ĵ(rz fx − rx fy ) + k̂(rx fy − ry fx )
¯
¯
(8)
Los momentos que actuan sobre un cuerpo serán de especial importancia en el equilibrio de los cuerpos.
2.3
Trabajo realizado por una fuerza constante sobre un cuerpo rı́gido sujeto
a movimiento rectilı́neo.
Considere la fuerza constante f~ que actúa sobre un cuerpo que se desplaza con un movimiento rectilı́neo
mostrado en la Figura 6. De manera mas especı́fica, se supondrá que el cuerpo se desplaza un vector ∆ ~s
en una dirección horizontal. Debe notarse que el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento ∆ ~s está dado
por θ.
Figure 6: Determinación del Trabajo Realizado por una Fuerza sobre un Cuerpo Sujeto a Movimiento
Rectilı́neo.
5
En ese caso, el trabajo,W , realizado por la fuerza f~ sobre el cuerpo que se desplaza ∆~ s está dado por
el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento; es decir,
W = f~ · ∆ ~s =| f~ || ∆ ~s | cos θ
(9)
Existen tres casos especiales que deben considerarse
• Si la fuerza y el desplazamiento son colineales y tienen el mismo sentido, se tiene que θ = 0◦ y
W =| f~ || ∆ ~s | cos 0◦ =| f~ || ∆~ s |
• Si la fuerza y el desplazamiento son colineales y tienen sentidos opuestos, se tiene que θ = 180◦ y
W =| f~ || ∆ ~s | cos 180◦ = − | f~ || ∆ ~s |
Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, se tiene que θ = ±90◦ y
W =| f~ || ∆ ~s | cos (±90◦ ) = 0
Si la magnitud de la fuerza o el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento varian, es necesario recurrir
al cálculo integral para calcular adecuadamente el trabajo realizado.
Ejercicio 2. Considere la fuerza f~ = 50 N que actua sobre un bloque que se desplaza horizontalmente
3 m, como se muestra en la Figura 7. Determine el trabajo realizado por la fuerza cuando (a) el ángulo
θ = 30◦ , (b) el ángulo θ = 120◦ .
Figure 7: Ejemplo de la Determinación del Trabajo Realizado por una Fuerza sobre un Cuerpo Sujeto a
Movimiento Rectilı́neo.
Solución: Para el inciso (a), el trabajo realizado se calcula como
Ã√ !
√
√
3
◦
~
W =| f || ∆ ~s | cos θ = (50 N )(3 m)cos30 = 150 N m
= 75 3 N m = 75 3 Joules.
2
Para el inciso (b), el trabajo realizado se calcula como
W =| f~ || ∆ ~s | cos θ = (50 N )(3 m)cos120◦ = 150 N m
3
¶
µ
1
= −75 N m = −75 Joules.
−
2
Fuerzas Electrostáticas, Ley de Coulomb.
A finales del siglo XVIII, el fı́sico e ingeniero frances Charles-Augustine de Coulomb determinó que la
fuerza generada por cargas electrostáticas obedecia la regla
| F12 |= ke
6
|q1 | |q2 |
r2
Donde F12 es la fuerza que actuab entre las partı́culas, ke se conoce como Constante de Coulomb y
en el sistema internacional está dada por
N − m2
C2
r es la distancia que separa las partı́culas cargadas electrostáticamente y q1 y q2 son las cargas electrostt́icas asociadas a cada una de las partı́culas. Las cargas electrostáticas de las partı́culas pueden
ser positivas o negativas. Si las cargas de dos partı́culas son del mismo signo, las partı́culas tienden a
repelerse, de manera que la fuerza F12 tiende a apartar las partı́culas. Si las cargas de dos partı́culas son
de signos contrarios, las partı́culas tienden a atraerse, de manera que la fuerza F12 tiende a acercar las
partı́culas.
Ejercicio 3. Tres cargas electrostáticas puntuales se colocan en los vértices de un triángulo equilatero
mostrada en la Figura 8. Calcule la fuerza electrostática neta que actua sobre la carga de +7.0 µ C.
ke = 8.9875 × 109
Figure 8: Ejemplo de la Determinación de la Fuerza que Actua sobre una Carga Electrostática.
Solución: Primeramente se calcularán las magnitudes de las fuerzas electrostáticas que actúan sobre
la carga de +7.0 µ C.
1. Fuerza producida por la carga de +2.0 µ C
F1 = ke
−6
2
C)(2 × 10−6 C)
|q2 | |q1 |
9 N − m (7 × 10
=
8.9875
×
10
= 0.5033 N
r2
C2
(0.5 m)2
2. Fuerza producida por la carga de −4.0 µ C
F3 = ke
−6
2
|q2 | |q3 |
C)(4 × 10−6 C)
9 N − m (7 × 10
=
8.9875
×
10
= 1.0066 N
r2
C2
(0.5 m)2
Ahora determinaremos las caracterı́sticas vectoriales de las fuerzas
1. Fuerza producida por la carga de +2.0 µ C, denotada por F~1 . Puesto que ambas cargas son positivas,
la fuerza tiene a repeler las cargas, de manera que
û1
F~1
= cos 60◦ î + sin 60◦ ĵ = 0.5 î + 0.866 ĵ
³
´ ³
´
= F1 û1 = 0.5033 N 0.5 î + 0.866 ĵ = 0.25165 î + 0.43585 î N
2. Fuerza producida por la carga de −4.0 µ C, denotada por F~2 . Puesto las cargas son opuestas, la
fuerza tiene a atraer las cargas, de manera que
û3
F~3
= cos 60◦ î − sin 60◦ ĵ = 0.5 î − 0.866 ĵ
³
´
³
´
= F3 û3 = 1.0066 N 0.5 î − 0.866 ĵ N = 0.5033 î − 0.87171 î N
La resultante de las fuerzas que actúan sobre la carga de +7.0 µ C estará dada por
³
´ ³
´ ³
´
F~R = F~1 + F~3 = 0.25165 î + 0.43585 î + 0.5033 î − 0.87171 î = 0.75495 î − 0.43586 ĵ N
7
4
Ejemplos Propuestos.
Ejercicio 1. Determine la ecuación de un plano que es perpendicular al vector a = (1, −2, 3) y pasa por
el punto P = (5, 6, −2).
Ejercicio 2. Determine la ecuación de un plano que pasa por los siguientes tres puntos, M = (1, −2, 5),
N = (2, 3, 7) y P = (−2, −5, 1).
Ejercicio 3. Sabiendo que las porciones AC y BC del cable ACB de la Figura 9 deben ser iguales,
determine la longitud mı́nima del cable que puede usarse para soportar la carga mostrada si la tensión
en el cable no debe exceder 870 N .2
Figure 9: Equilibrio de una Partı́cula en el Plano.
Ejercicio 4. Dos cables unidos en el punto C se cargan como se muestra en la Figura 10. Si se sabe
que la máxima tensión permisible en cada cable es 800 N , determine (a) la magnitud de la fuerza más
grande P~ que puede aplicarse en C, (b) el valor correspondiente del ángulo α.3
Figure 10: Equilibrio de una Partı́cula en el Plano.
2 Este
es el problema 2.60 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R.
[2009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill.
3 Este es el problema 2.61 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E. R.
[2009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill.
8
Ejercicio 5. Una caja se soporta por tres cables como se muestra en la Figura 11. Determine el peso
de la caja si la tensión en el cable AB es de 750 Lbf .4
Figure 11: Equilibrio de una Partı́cula en el Espacio.
Solución: Se iniciará determinando los vectores de posición de los puntos A, B, C y D, respecto al
origen del sistema coordenado cuyo origen es el punto O, donde las unidades están en pulgadas (in).
~rA = (0, −60, 0)
~rB = (−36, 0, −27)
~rC = (0, 0, 32)
~rD = (40, 0, −27)
De manera que los vectores de posición de los puntos B, C y D, respecto del punto A, están dados por
~rB/A = ~rB − ~rA = (−36, 60, −27)
~rC/A = ~rC − ~rA = (0, 60, 32)
~rD/A = ~rD − ~rA = (40, 60, −27)
La magnitud de estos vectores está dada por
p
| ~rB/A | =
(−36)2 + (60)2 + (−27)2 = 75
p
| ~rC/A | =
(0)2 + (60)2 + (32)2 = 68
p
| ~rD/A | =
(40)2 + (60)2 + (−27)2 = 77
Finalmente los vectores unitarios en la dirección y sentido de los vectores ~rB/A , ~rC/A y ~rD/A están dados
por
¶
µ
~rB/A
(−36, 60, −27)
−12 4 −9
ûB/A =
=
=
, ,
| ~rB/A |
75
25 5 25
¶
µ
~rC/A
(0, 60, 32)
15 8
=
= 0, ,
ûC/A =
| ~rC/A |
68
17 17
¶
µ
~rD/A
(40, 60, −27)
40 60 −27
ûD/A =
=
=
, ,
| ~rD/A |
77
77 77 77
Por lo tanto, las fuerzas que actuan sobre el punto A son
T~AC = TAC ûC/A
~ = (0, −W, 0)
W
µ
¶
15 8
= TAC 0, ,
17 17
T~AB = TAB ûB/A = TAB
T~AD = TAD ûD/A = TAD
µ
¶
−12 4 −9
, ,
25 5 25
µ
¶
40 60 −27
, ,
77 77 77
4 Este es el problema 2.103 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E.
R. [2009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill.
9
Por lo tanto, la ecuación de equilibrio de la partı́cula A está dada por
(0, −W, 0) + TAB
µ
−12 4 −9
, ,
25 5 25
¶
~ + T~AB + T~AC + T~AD
ΣF~ = ~0
W
µ
µ
¶
¶
15 8
40 60 −27
+ TAC 0, ,
+ TAD
, ,
17 17
77 77 77
=
0
=
0.
donde TAB = 750 Lbf . El sistema de ecuaciones escalares correspondientes es
40
−12
+ 0 + TAD
25
77
4
15
60
−W + 750 Lbf + TAC
+ TAD
5
17
77
8
−27
−9
+ TAC
+ TAD
0 + 750 Lbf
25
17
77
0 + 750 Lbf
=
0
=
0
=
0
De la primera ecuación del sistema de ecuaciones permite determinar TAD , de la siguiente manera
TAD = −750 Lbf
−12 77
= 693 Lbf.
25 40
Sustituyendo este resultado en la última ecuación del sistema de ecuaciones es posible determinar TAC
µ
¶
−9
−27
17
−750 Lbf
= 1090.125 Lbf.
− 693 Lbf
TAC =
8
25
77
Finalmente, sustituyendo en la segunda ecuación del sistema de ecuaciones, se obtiene el peso
W = 750 Lbf
4
15
60
+ 1090.125 Lbf
+ 693 Lbf
= 2101.875 Lbf.
5
17
77
Ejercicio 6. Una torre de transmisión se sostiene mediante tres cables tensados unidos a un perno
en A y están anclados por tensores en B, C y D, como se muestra en la Figura 12. Si la tensión en el
cable AB es de 630 Lbf , determine la fuerza vertical P~ ejercido por la torre sobre el perno en A.5
Figure 12: Equilibrio de una Partı́cula en el Espacio.
5 Este es el problema 2.109 del libro Beer, F.P., Johnston, E. R. Jr., Mazurek, D. F., Cornwell, P. J. y Eisenberg, E.
R. [2009], Vector Mechanics for Engineers, Ninth Edition, New York: McGraw-Hill.
10
Ejercicio 7. En la Figura 13, las partı́culas numeradas del 1 al 4 tienen cargas eléctricas q1 = −q2 =
100 nC y q3 = −q4 = 200 nC y la distancia a = 5.0 cm. Cuales son las componentes x y y de la fuerzas
electrostáticas netas sobre la partı́cula 3.
Figure 13: Fuerzas entre Cargas Eléctricas.
11