10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.1. INTRODUCCIÓN El análisis de circuitos complejos con resistencias, inductancias y capacitancias para entradas de tipo senoidal resulta muy dispendioso. El análisis senoidal por fasores es una manera simple de analizar tales circuitos sin resolver las ecuaciones diferenciales, que aplica al caso de entradas senoidales a una frecuencia dada, y una vez que el sistema se encuentra en estado estable. Un fasor es una representación en el plano complejo de la magnitud y fase de la señal en el tiempo asociada al fasor. Como este representa una condición de inicio no depende del tiempo. El análisis por fasores simplifica el estudio al caso de ecuaciones algebraicas, pero con la diferencia de que ahora se trabaja con números complejos. 10.2. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES La Señal Exponencial Compleja (SEC) de una señal senoidal real en el tiempo es una transformada de la señal o un cambio de espacio de análisis definido como sigue. Sea una señal senoidal v S (t ) en el dominio del tiempo, con amplitud VS , ángulo de fase θS y frecuencia ωS : v S (t ) = VS cos(ωt + θ S ) Su señal Exponencial Compleja (SEC) asociada será: v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) donde v S (t ) es la señal de entrada real en el tiempo y su SEC asociada es v~S (t ) . Nota: j es el número imaginario o complejo también llamado i = ingeniería se usa preferiblemente j. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes − 1 , aunque en 191 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES Como se ve pasamos del espacio real al espacio complejo. La SEC tiene entonces parte real y parte imaginaria, las cuales varían en el tiempo. Haciendo algunas modificaciones a la ecuación anterior tenemos: [ ] v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = VS ⋅ e j (ωt ) ⋅ e j (θ S ) = VS e jθ S ⋅ e jωt El término en paréntesis cuadrados, que no depende del tiempo se conoce como el → fasor y se representa por el símbolo V S : → V S = V S e jθ S → La anterior se conoce como la representación polar del fasor. Este fasor también tiene una amplitud VS , ángulo de fase θ S . VS Usando el fasor la SEC toma la forma → v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = V S ⋅ e jωt Otra manera de escribir el fasor es usar la notación de ingeniería eléctrica con como una magnitud real a un ángulo de fase dada por el símbolo ∠ : → V S = VS ∠θ S → Dado un fasor V S , nos podemos referir a su magnitud por la expresión → VS = V S y a su ángulo de fase por → θ S = 〈V S Otra manera de representar el fasor es la forma rectangular, que se obtiene usando a relación de Euler: → V S = VS ∠θ S = VS e jθ S = VS [cos(θ S ) + j sen (θ S )] Figura 10-1 192 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.2. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES La Figura 10-1 muestra la relación en el plano complejo entre la forma polar y la forma rectangular del fasor. Aplicando igualmente la relación de Euler a la SEC tenemos: v~S (t ) = VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = VS [cos(ωt + θ S ) + j sen (ωt + θ S )] Esta SEC es entonces un fasor que rota alrededor del origen en función del tiempo, con un ángulo inicial, por lo cual también se le llama fasor rotacional. Ya hemos vista la manera de encontrar la SEC asociada a una señal senoidal dada. Ahora veremos cómo hacer el proceso inverso: la señal senoidal en el tiempo a partir de una SEC dada. Nótese que la parte real de la SEC v~S (t ) es justamente vS (t ) : Re{v~S (t )} = Re{VS [cos(ωt + θ S ) + j sen (ωt + θ S )]} = VS cos(ωt + θ S ) = v S (t ) De manera que para pasar del espacio de la señal exponencial compleja dada al espacio real en el tiempo tan solo hay que calcular la parte real de la SEC. v S (t ) = Re{v~S (t )} La derivada en el tiempo de la SEC es: dv~S (t ) dVS ⋅ e j (ωt +θ S ) = = jω ⋅ VS ⋅ e j (ωt +θ S ) = jω ⋅ v~S (t ) dt dt Lo que muestra que en el espacio de la SEC derivar la señal corresponde a multiplicarla por jω . Esto tiene una implicación importante a la hora de resolver ecuaciones diferenciales o de encontrar las relaciones entre corriente y voltaje en inductancias y capacitancias. 10.2.1. APLICACIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Dado que la señal exponencial compleja tiene exponenciales, al sacar sus derivadas en una ecuación diferencial vuelve a quedar una exponencial que se puede simplificar de la ecuación, dando como resultado una nueva ecuación puramente algebraica. Esto se muestra a continuación con una ecuación de orden uno, como la que tenemos para el voltaje en un condensador un circuito RC en serie ante entrada senoidal. vC (t ) en un circuito RC serie, para voltaje de entrada AC de la forma vin (t ) = Vin cos(ωt + θ in ) es: La ecuación del voltaje dvC (t ) 1 1 + vC (t ) = vin (t ) dt RC RC Al pasar al espacio de la SEC con vC (t ) la ecuación toma la siguiente forma: 1 ~ 1 ~ jωv~C (t ) + vC (t ) = v in (t ) RC RC Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 193 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 1 ⎤~ 1 ~ ⎡ ⎢ jω + RC ⎥ vC (t ) = RC vin (t ) ⎦ ⎣ jω . La ~ solución para vC (t ) se puede expresar como v C (t ) = Re{vC (t )}, de manera que ~ (t ) , a partir de ecuaciones algebraicas y de allí ahora debemos calcular primero v C Recordemos que en el espacio de la SEC derivar equivale a multiplicar por al espacio del tiempo real, en vez de resolver la ecuación diferencial y evaluar el resultado en estado estable. Despejando tenemos v~C (t ) : v~C (t ) = 1 v~ (t ) [1 + jωRC ] in Recordemos que las SEC se pueden expresar como un fasor multiplicado por Aplicando esto al resultado anterior tenemos: → V C ⋅ e jωt = e jωt . → 1 V in ⋅ e jωt [1 + jωRC ] simplificando → VC = → 1 V in [1 + jωRC ] → → La Figura 10-2 muestra la relación de los fasores V in y V C en el plano complejo, especialmente la relación entre los ángulos y el cambio de magnitud. Figura 10-2 → Conociendo la magnitud y el ángulo de fase de tiempo: V C tenemos la solución en el vC (t ) = VC cos(ωt + θ C ) → VC = V C = → 1 V in [1 + jωRC ] y ⎛ 1 → ⎞ θ C = 〈⎜⎜ V in ⎟⎟ ⎠ ⎝ [1 + jωRC ] 194 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Aplicando las normas de operaciones complejas tenemos para la magnitud: → 1 ⋅ V in [1 + jωRC ] → VC = V C = 1 VC = → [1 + jωRC ] ⋅ V in = Vin 1 + (ωRC ) 2 y para el ángulo tenemos: → θ C = 〈V in − 〈 (1 + jωRC ) = θ in − tan −1 (ωRC ) Así que vC (t ) = VC cos(ωt + θ C ) vC (t ) = Vin 1 + (ωRC ) 2 cos(ωt + θ in − tan −1 (ωRC )) Esto indica que la señal de salida es igual a la de entrada pero con una atenuación de la magnitud de 1 1 + (ωRC ) 2 y un cambio de fase de φc = − tan −1 (ωRC ) , los cuales dependen de la frecuencia de operación ω. 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Cuando la alimentación de un elemento (R, L o C) es una señal de tipo AC, por ejemplo vin (t ) = Vm cos(ωt + θ ) , la impedancia fasorial Z de un elemento se define como la relación entre el voltaje SEC y la corriente SEC del elemento, o lo que como se verá es equivalente a la relación entre el fasor de voltaje y el fasor de corriente del elemento: Figura 10-3 r r v~ (t ) V ⋅ e jωt V Z = ~ = r jωt = r i (t ) I ⋅ e I Dado que la impedancia es la relación de dos fasores, que son complejos, la impedancia será también un complejo, el cual por supuesto tendrá magnitud y fase: Z = Z ∠θ z . Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 195 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.3.1. IMPEDANCIA DE UN CONDENSADOR Figura 10-4 dv (t ) c dt dv~ (t ) ~ i (t ) = C c c dt r jω t dv~ (t ) r jω t r d (Vc e ) jω t ⎤ ~ c i (t ) = I c e =C =C = CVc ⎡ jωe ⎢ ⎥⎦ c dt dt ⎣ r jω t r jωt ⎤ I ce = C V c ⎡ jω e ⎢⎣ ⎥⎦ r r I c = CV c [ j ω ] r Vc 1 r = Ic jωC r V 1 1 Z C = rc = = ∠ − 90° Ic jωC ωC iC (t ) = C La magnitud de la impedancia es 1/ωC y su fase -90°. Figura 10-5 r El fasor de corriente I c en un condensador está en adelanto con respecto al fasor de voltaje. 196 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL 10.3.2. IMPEDANCIA DE UNA INDUCTANCIA Figura 10-6 di L (t ) dt ~ d i (t ) v~L (t ) = L L dt r jωt r jωt r ) d~ iL (t ) d (I Le jω t ⎤ ~ =L =L = LI L ⎡⎢ jωe v L (t ) = VL e ⎥⎦ dt dt ⎣ r jωt r jωt ⎤ = LI L ⎡⎢ jωe VL e ⎥⎦ ⎣ r r V L = LI L [ j ω ] r VL r = jωL IL r VL Z L = r = jωL = ωL ∠90° IL v L (t ) = L La magnitud de la impedancia es ωL y su fase 90°. Figura 10-7 r El fasor de corriente I L en una inductancia está en retraso con respecto al fasor de voltaje. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 197 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.3.3. IMPEDANCIA DE UNA RESISTENCIA Figura 10-8 v R (t ) = Ri R (t ) v~ (t ) = R~ i (t ) R R r jωt r jω t v~R (t ) = VR e iR (t ) = RI R e = R~ r jω t r jωt VR e = RI R e r r VR = RI R r VR r =R IR r VR Z R = r = R = R ∠0° IR La magnitud de la impedancia es R y su fase 0°. Figura 10-9 r El fasor de corriente I R en una resistencia está en fase con respecto al fasor de voltaje. En este caso la impedancia no depende de la frecuencia. 10.3.4. ADMITANCIA FASORIAL Así como se define la relación de voltaje a corriente como la Impedancia se define su inverso y se denomina Admitancia Y: r i (t ) I 1 ~ = r Y= = Z v~ (t ) V 198 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL 10.3.5. COMPORTAMIENTO DE LAS IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA Como vimos anteriormente la impedancia de una capacitancia o una inductancia es función de la frecuencia, de manera que con frecuencia esta impedancia Z se escribe como Z(jω). La siguiente tabla muestra el comportamiento de la magnitud de la impedancia de cada elemento al variar la frecuencia entre cero (señal DC) y una alta frecuencia (señal AC de alta frecuencia). Tabla 10-1. Z(jω) Y(jω) |Z(ω→ 0)| |Z(ω→ ∞)| R R 1 R R R ∞ 0 L 1 1 1 =−j = ∠ − 90° ωC ωC jωC Circuito Abierto Corto Circuito 0 ∞ Corto Circuito Circuito Abierto C jωC 1 1 =−j jωL ωL jωL = ωL∠90° 10.3.6. IMPEDANCIA FASORIAL GENERALIZADA En las secciones anteriores se presentó el concepto de impedancia de un elemento R, L o C. Al interconectar varios elementos de este tipo podemos tener un circuito de dos terminales para el cual podemos calcular su relación entre voltaje y corriente y por tanto encontrar una impedancia fasorial equivalente del circuito de dos terminales. Figura 10-10 Nuevamente definimos la impedancia generalizada de un circuito de dos terminales como: Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 199 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES r v~ (t ) V Z = ~ = r = Z ∠θ z i (t ) I Dado que la impedancia es la relación de dos fasores esta será también un fasor, el cual por supuesto tendrá magnitud y fase o una parte real y otra imaginaria, ya que el fasor se expresa como un número complejo: Z = Z ∠θ z = R + jX Recordando que la impedancia también depende de la frecuencia (para los componentes L y C) podemos escribir: Z (ω ) = Z (ω ) ∠θ z (ω ) = R (ω ) + jX (ω ) El término R (ω ) se conoce como la Resistencia AC y el término como la Reactancia AC. X (ω ) se conoce Ejemplo 10-1. Impedancia RLC en serie y frecuencia de resonancia. Para el siguiente circuito encontrar: a. La impedancia del circuito de dos terminales de la figura (a) en forma rectangular y polar. b. La frecuencia de resonancia del circuito. Figura 10-11 Solución Parte a) Z (ω ) = Z L + Z C + Z R = jωL + 1 +R jωC 1 ⎞ ⎛ Z (ω ) = R + j ⎜ ωL − ⎟= R+ ωC ⎠ ⎝ ⎛ ω 2 LC − 1 ⎞ ⎟⎟ j ⎜⎜ ⎝ ωC ⎠ La anterior es la forma rectangular de la impedancia, donde la resistencia y la reactancia AC son respectivamente: ⎛ ω 2 LC − 1 ⎞ ⎟⎟ R(ω ) =R y X (ω ) = ⎜⎜ ⎝ ωC ⎠ 200 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Expresándolo en forma polar Z = Z ∠θ z tenemos: 2 2 ⎛ ω 2 LC − 1 ⎞ −1 ⎛ ω LC − 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ y θ z = tan ⎜⎜ Z = R + ⎜⎜ ⎝ ωC ⎠ ⎝ ωRC ⎠ 2 Parte b) La frecuencia de resonancia ωr es aquella frecuencia para la cual la reactancia es cero: ⎛ ω r 2 LC − 1 ⎞ ⎟=0 X (ω r ) = ⎜⎜ ⎟ C ω r ⎝ ⎠ Por lo tanto ω r 2 LC − 1 = 0 ω r 2 LC = 1 ωr = 1 LC Por lo tanto la impedancia en resonancia es: Z (ω r ) = Z (ω r ) ∠θ z (ω r ) = R(ω r ) + jX (ω r ) = R(ω r ) = R y así Z (ω r ) =R θ z (ω r ) = tan −1 (0) = 0° Lo anterior muestra que cuando hay resonancia el circuito se comporta puramente resistivo y por lo tanto la corriente y el voltaje están en fase. Esto se comprueba por el hecho de que la fase de la impedancia es cero y recordando que r r r r V / I = Z ∠θ z implica que para que las fases de V y de I deben ser iguales, lo que comprueba que están en fase. Como se ve en este caso la frecuencia de resonancia depende de L y de C pero no de R. Problema 1 Para el ejemplo anterior con R=100, L=0.1 y C=2 encontrar: a. Z(ω) en forma polar y rectangular si f = 60Hz b. La frecuencia de resonancia y Z(ωr) en forma polar y rectangular. c. Si vin(t) = 120cos(wt+50°) y f = 60Hz calcular los fasores de voltaje Vin, VL, VC, VR, y los respectivos voltaje s en el tiempo vL(t), vC(t) y vR(t). Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 201 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES d. Encontrar la corriente en el tiempo i(t) si f = 60Hz. Problema 2 Encontrar la impedancia del siguiente circuito de dos terminales: Figura 10-12 Ejemplo 10-2. Impedancia en Amplificadores Operacionales. Encontrar Vo y vo(t) si vi(t) = Vmcos(ωt+θi). Figura 10-13 Solución Con respecto a la figura (b) en la que el amplificador operacional está en configuración de inversor tenemos: Z Vo =− C =− Vin ZR 1 1 1 jω C =− = j R jωRC ωRC Como vi(t) = Vincos(ωt+θi) su fasor asociado es Vi = Vi ∠θ i Vo = j 1 1 (Vin ∠θ i ) = Vin ∠(θ i + 90°) Vin = j ωRC ωRC ωRC Por tanto la señal en el tiempo asociada a este fasor es: 202 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL vo (t ) = Vin cos(θ i + 90°) ωRC Ejemplo 10-3. Circuito trifásico balanceado. Para el siguiente circuito, que representa un sistema trifásico balanceado: a. Calcular los fasores VAB, VBC y VCA en forma rectangular y polar. b. Mostrar que la magnitud de las corrientes es igual a I A = I AB ( 3). .. Figura 10-14 Solución Parte a) VAB = VAN + VNB = V f ∠0° + (− V f ∠ − 120°) = V f [1 − cos(− 120°) − j ⋅ sen (− 120°)] ⎡ = V f ⎢1 − (− 0.5) − ⎢⎣ ⎡ 3⎤ = V f ⎢1.5 + j ⎥ 2 ⎦ ⎣ ⎛ 3 ⎞⎤ ⎟⎥ j ⎜⎜ − ⎟ ⎝ 2 ⎠⎥⎦ (forma rectangular) = V f 3∠30° (forma polar) Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 203 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES VBC = VBN + VNC = V f ∠ − 120° + (− V f ∠120°) = V f [cos(− 120°) + j sen (− 120°) − cos(120°) − j sen (120°)] = V f [ j sen (− 120°) − j sen (120°)] ⎡ 3 3⎤ = V f ⎢− j −j ⎥ 2 2 ⎦ ⎣ [ = Vf − j 3 ] = V f 3∠ − 90° VCA = VCN + VNA = V f ∠120° + (− V f ∠0°) = V f [cos(120°) + j sen (120°) − 1] ⎡ 3 ⎤ = V f ⎢− 0.5 + j − 1⎥ 2 ⎣ ⎦ ⎡ 3⎤ = V f ⎢− 1.5 + j ⎥ 2 ⎦ ⎣ = V f 3∠150° Por lo tanto VAB = VBC = VCA = V f 3 = VL = V AN 3 Los fasores VAB, VBC y VCA se conocen como los voltajes de línea y los fasores VAN, VBN y VCN se conocen como los voltajes de fase o de línea a neutro con magnitud V f . Como se ve el voltaje de línea para esta configuración es V L = V f 3 . Este tema se tratará a fondo más adelante en otro capítulo. Parte b) I A = I AB − I CA = V AB VCA − Z Z V AB = V f 3∠30° VCA = V f 3∠150° 204 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL IA = = = = V f 3∠30° Z 3 Vf Z Vf 3 Z V f 3∠150° − Z (1∠30° − 1∠150°) (cos(30°) + jsen (30°) − cos(150°) − jsen (150°)) Vf 3 ⎛ 3 1 3 1⎞ ⎜ ⎟ + j + − j Z ⎜⎝ 2 2 2 2 ⎟⎠ IA = IA = Vf 3 Z Vf 3 Z ( 3) ( 3 ) = VZ ( 3 ) = I ( 3 ) AB I A = I AB AB ( 3) Ejemplo 10-4. Impedancia y función de transferencia en función de w. Para el circuito de la Figura 10-15 con voltaje de entrada AC: a. Encontrar la impedancia vista por la fuente en función de w, R, C y L. b. Encontrar la función de transferencia H (ω ) = Vout Vin . c. Encontrar la frecuencia ω1 para la cual la magnitud de Vout es igual a la ωm para la cual la magnitud de H (ω ) tiene un magnitud de Vin . d. Encontrar la frecuencia máximo. e. Graficar la magnitud y la fase del H (ω ) si R =10 Ω, C = 5mF y L= 5 mH y calcular ωm . Figura 10-15 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 205 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES Solución Parte a) ⎛ Z = R + ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ( j ωL ) jωC ⎟⎠ 1 ⎞ ⎛ ωL ⎞ ⎝ ⎟⎟ // ( jωL ) = R + = R + j⎜ ⎟ 1 j ωC ⎠ 1 − ω 2 LC ⎠ ⎝ + j ωL j ωC 2 ωL ⎛ ωL ⎞ ⎛ ωL ⎞ 2 −1 ⎛ Z = R + j⎜ ⎟ ∠ tan ⎜⎜ ⎟= R +⎜ 2 2 2 ⎝ 1 − ω LC ⎠ ⎝ 1 − ω LC ⎠ ⎝ R 1 − ω LC ( ) ⎞ ⎟⎟ ⎠ Parte b) Usando divisor de voltaje tenemos: Vout ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ωL ⎞ ⎞ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ // ( jωL ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ j ωC ⎠ ⎟ jωL 1 − ω 2 LC ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎟⎟ = Vin ⎜⎜ = Vin ⎜ ⎟ = Vin ⎜ R + 2 L ⎞⎟ ω − + R LC j L 1 ω ω ⎛ ⎛ ⎞ 1 ⎝ ⎠ ⎜R+⎜ ⎟ R+⎜ ⎟⎟ ⎜ 2 ⎜ jωC ⎟⎟ // ( jωL ) ⎟ ⎜ − LC 1 ω ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( H (ω ) = ) Vout jωL = 2 Vin R 1 − ω LC + jωL ( ) La magnitud será: H (ω ) = [R(1 − ω ωL 2 LC )] + (ωL ) 2 2 y la fase: ⎛ ωL 〈 H (ω ) = 〈 jωL − 〈 R 1 − ω 2 LC + jωL = 90° − tan −1 ⎜⎜ 2 ⎝ R 1 − ω LC {( ) } ( ⎛ ωL 〈 H (ω ) = 90° − tan −1 ⎜⎜ 2 ⎝ R 1 − ω LC ( ) ) ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟⎟ ⎠ En forma polar tenemos: H (ω ) = H (ω ) ∠〈 H (ω ) = [R(1 − ω jωL 2 LC )] + ( jωL ) 2 2 ⎛ ⎛ ωL ∠⎜⎜ 90° − tan −1 ⎜⎜ 2 ⎝ R 1 − ω LC ⎝ ( ) ⎞⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ Parte d) Para que las dos magnitudes sean iguales se requiere que H (ω1 ) = Vout Vin = 1 206 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL ω1 L H (ω1 ) = [R(1 − ω LC )] + (ω L) ω L = [R (1 − ω LC )] + (ω L ) (ω L ) = [R(1 − ω LC )] + (ω L ) 0 = [R (1 − ω LC )] 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 =1 2 1 2 1 2 2 1 1 LC ω1 = Parte d) Para encontrar la frecuencia ωm para la cual la magnitud de H (ω ) tiene un máximo vamos a derivar H (ω ) con respecto a ⎛ d ⎜⎜ ⎜ d H (ω ) = ⎝ dω [R(1 − ω ωL 2 LC ω e igualamos a cero: )] + (ωL ) 2 dω 2 ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ =0 ω =ω1 Resolviendo esta ecuación llegamos a que ωm = 1 = ω1 LC Parte e) ω m = ω1 = 1 = LC 1 = 200 rad/seg (0.005H )(0.005F ) Usando las expresiones encontradas para la magnitud y para la fase, y haciendo variar ω tenemos: Figura 10-16 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 207 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES Figura 10-17 Ejemplo 10-5. Impedancia y frecuencia de resonancia. Para el circuito de la Figura 10-18: a. Encontrar la impedancia vista por la fuente. b. Encontrar la frecuencia de resonancia en función de R, C1, C2 y L. c. Encontrar el circuito equivalente en DC y en alta frecuencia. Figura 10-18 Solución Parte a) ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎟⎟ // ⎜⎜ Z = R + ⎜⎜ ⎝ jωC1 ⎠ ⎝ =R+ 1 − ω 2 LC 2 [ ] j ⋅ − ω 3 LC1C 2 + ω (C 2 + C1 ) =R+ j 208 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ jωL + jωC1 ⎠ ⎝ j ωC 2 1 ⎞ ⎟⎟ = R + ⎝ j ωL + 1 1 jωC 2 ⎠ + jωL + jωC1 j ωC 2 1 − ω LC 2 =R+ [ 1 − ω 2 LC 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠=R+ ( jωL )( jωC 2 ) + 1 ( jωC 2 + jωC1 + jωL − ω 2 C1C 2 ] − jω ⋅ ω 2 LC1C 2 − (C1 + C 2 ) 2 [ ] ω ⋅ ω LC1C 2 − (C1 + C 2 ) 2 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes ) 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Parte b) Z = R(ω ) + jX (ω ) X (ω res ) = 0 = 1 − ω res LC 2 2 [ ω res = ⇒ ] ω res ⋅ ω res LC1C 2 − (C1 + C 2 ) 2 1 LC 2 Parte c) En la Figura 10-19 se puede ver el circuito para DC y para frecuencias altas equivalente. DC ω >> a) b) Figura 10-19 Ejemplo 10-6. Impedancia y frecuencia de resonancia. Dado los siguientes circuitos calcular: a) b) Figura 10-20 a. La impedancia Z del circuito (a). b. La impedancia Z del circuito (b). c. La frecuencia de resonancia ωres d. La frecuencia de resonancia ωres reemplazando los valores dados R1 =1k Ω, del circuito (b) en función de L, R1, R2 y C. R2 =5k Ω, C = 2μF y L=1 mH. e. La impedancia para la frecuencia de resonancia Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes ωres . 209 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES Solución Parte a) ⎛ 1 ⎞ Z = R1 + Z C // Z R2 = R1 + ⎜⎜ // R2 ⎟⎟ ⎝ jω C ⎠ ⎞ ⎛ 1 ⋅ R2 ⎟ ⎜ R2 j ωC ⎟⎛⎜ jωC ⎞⎟ = R + = R1 + ⎜ 1 ⎟⎜⎝ jωC ⎟⎠ ⎜ 1 1 + jωCR2 + R2 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ j ωC ( = R1 + = R1 + ) R2 R − jωCR22 1 − jωCR 2 ⋅ = R1 + 2 2 1 + jωCR2 1 − jωCR 2 1 + (ωCR 2 ) R2 1 + (ωCR2 ) 2 Z = R(ω ) + jX (ω ) ⎛ ωCR 22 − j ⋅⎜ ⎜ 1 + (ωCR )2 2 ⎝ R(ω ) = R1 + X (ω ) = ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ R2 1 + (ωCR 2 ) 2 − ωCR22 1 + (ωCR2 ) 2 Parte b) La impedancia es la misma del punto anterior más la impedancia de la inductancia. Z = jωL + R1 + R2 1 + (ωCR2 ) 2 Z = R(ω ) + jX (ω ) R(ω ) = R1 + X (ω ) = ωL − ⎛ ωCR 22 − j ⋅⎜ ⎜ 1 + (ωCR )2 2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ R2 1 + (ωCR 2 ) 2 ωCR 22 2 1 + (ωCR 2 ) Parte c) X (ω res ) = 0 ⇒ ω res L − ω res L = ω res = 210 ω res CR22 =0 2 1 + (ω res CR2 ) ω res CR22 2 1 + (ω res CR2 ) 1 CR2 CR22 −1 L Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL ω res = 1 1 − LC (CR 2 )2 Parte d) ω res = 1 × 10 −3 1 1 − −6 6 − × 2 × 10 2 × 10 × 5 × 10 3 ( ) 2 = 22360 rad seg Parte e) R(ω res ) = R1 + R2 1 + (ω res CR2 ) = 1000 + 2 ( 2000 1 + 22360 × 2 × 10 −6 × 5 × 10 3 ) 2 = 1000.1Ω Z (ω res ) = R(ω res ) = 1000.1Ω Como está en resonancia el ángulo de fase es cero. Ejemplo 10-7. Fasores y fuentes controladas. Dado el siguiente circuito: a. Encontrar una expresión para ix(t) si Vi(t)= 10cos(120t+50°)V b. Calcular ix(t) si R =1k Ω, C = 2μF y L=1 mH Figura 10-21 Solución Parte a) El equivalente del circuito se presenta en la siguiente figura: Figura 10-22 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 211 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES V a = Vb + 3 I X ⇒ Vb = V a − 3 I X V a = Vb + 3 I X ⇒ Vb = V a − 3 I X Va − Vi Va Vb + + =0 ZR ZC Z L ⎛ 1 1 + Va ⎜⎜ ⎝ Z R ZC ⎞ Vi Va − 3I X ⎟⎟ − + =0 ZL ⎠ ZR ⎛ 1 1 ⎞ Vi Va 3 ⎛ Va ⎟⎟ − ⎜⎜ + + − Va ⎜⎜ ⎝ Z R ZC ⎠ Z R Z L Z L ⎝ ZC ⎛ 1 1 1 3 + + − Va ⎜⎜ ⎝ Z R ZC Z L Z L ZC ⎞ Vi ⎟⎟ = ⎠ ZR Vi Va = IX ⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠ ⎛ 1 1 1 3 ⎞ ⎟⎟ Z R ⎜⎜ + + − ⎝ Z R ZC Z L Z L ZC ⎠ V Vi = a = ZC ⎛ 1 1 1 3 + + − Z C Z R ⎜⎜ ⎝ Z R ZC Z L Z LZC Z L ⋅ Vi IX = Z C Z L + Z L Z R + Z C Z R − 3Z R ⎞ ⎟⎟ ⎠ j ωL = Vi j ωL R + jωRL + − 3R j ωC j ωC j ωL Vi = L R + jωRL − j − 3R C ωC jω 2 LC IX = V (ωL − 3ωRC ) + j ⋅ ω 2 RLC − R i Vi (t ) = 10 cos(120t + 50°)V ⇒ Vi = 10∠50° ω = 120 ( ) Parte b: Si R =1k Ω, C = 2μF y L=1 mH = (120 × 10 −3 ( )( ) ( ) j (120 ) 1 × 10 −3 2 × 10 −6 Vi − 3 ⋅ (120 ) × 10 −3 × 2 × 10 −6 + j ⋅ 120 2 × 10 3 × 10 −3 × 2 × 10 −6 − 10 3 2 IX = ( ) j ⋅ 2.88 × 10 −5 2.88 × 10 −5 ∠90° ⋅ (10∠90°) ⋅ 10∠50° = − 0.6 + j ⋅ (− 1000 ) − 1000∠90° ) I X = 2.88 × 10 −7 ∠ − 90° i X (t ) = 2.88 × 10 −7 cos(120t − 90°) 212 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Ejemplo 10-8. Fasores y resonancia. Dado el siguiente circuito con entrada AC, para la cual i(t) y v(t) están en fase, encontrar: a. Una expresión para ωres . b. La magnitud de la corriente sabiendo que Vpico es 10V. c. Calcular los valores numéricos de (a) y (b) si L = 1H, R1 = 2Ω, R2 = 1Ω y C = 1/5F. Figura 10-23 Solución Parte a) V = V m ∠θ V I = I m ∠θ i Cuando voltaje y corriente están en fase θ V = θ i . V ∠θ V V V = Z m ∠θ Z = m V = m ∠(θ V − θ )i = m ∠0° ⇒ I I m ∠θ i Im Im V Z m = m θ Z = 0° X (ω res ) = 0 Im ( ) Z = R1 + Z L + Z R2 // Z C = R1 + Z C (Z L + R2 ) Z Z + R2 Z C = R1 + L C R2 + Z L + Z C R2 + Z L + Z C R jω L + 2 jωC jωC = R1 + 1 R 2 + jω L + jωC ( ( ⎛ jω C ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ jω C ⎠ ) ) R2 + jωL R2 + jωL 1 − ω 2 LC − j (ωR2 C ) = R1 + = R1 + ⋅ 1 − ω 2 LC + j (ωR2 C ) 1 − ω 2 LC + j (ωR2 C ) 1 − ω 2 LC − j (ωR2 C ) ( Como ) ( ) a + jb a + jb c − jd (ac + bd ) + j (bc − ad ) = ⋅ = c + jd c + jd c − jd c2 + d 2 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 213 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES ⎛ a + jb ⎞ bc − ad ⎟⎟ = 2 Im⎜⎜ = 0 ⇒ bc − ad = 0 2 ⎝ c + jd ⎠ c + d b = ω res L c = 1 − ω res LC d = ω res R2 C 2 Para este caso: a = R2 Reemplazando se obtiene: bc − ad = 0 (ω res L )(1 − ω res 2 LC ) − (R2 )(ω res R2 C ) = 0 ( ) L 1 − ω res LC − R22 C = 0 2 L − ω res L2 C − R22 C = 0 2 ω res 2 L2 C = L − R22 C ω res 2 1 ⎛ R2 ⎞ = −⎜ ⎟ LC ⎝ L ⎠ 2 1 ⎛ R2 ⎞ −⎜ ⎟ LC ⎝ L ⎠ 2 ω res = Parte b) I= V Z Z (ω0 ) = R(ω0 ) + jX (ω0 ) = R(ω0 ) = Re(Z (ω )) ac + bd Re(Z ) = R1 + 2 2 c +d = R1 + 1+ ω 2 (R2 )(1 − ω 2 LC ) + (ωL )(ωR2 C ) R2 − ω 2 R2 LC + ω 2 R2 LC = R1 + = R1 + 1 − 2ω 2 LC + ω 4 L2 C 2 + ω 2 R22 C 2 (1 − ω 2 LC )2 + (ωR2 C )2 R2 ( R22 C 2 ) − 2 LC + ω 4 L2 C 2 Reemplazando por el valor de ω encontrado en el numeral (a) se obtiene: Re(Z ) = R1 + 1+ ω 2 R2 ( R22 C 2 ) − 2 LC + ω L C ω =ω 4 2 2 = R1 + 0 Z (ω 0 ) = R(ω 0 ) + jX (ω 0 ) = R (ω 0 ) = R1 + R2 R22 C = R1 + L R2 C L L = Z0 R2 C 10∠θ V V = L Z0 R1 + R2 C 10 = θ i = θV L R1 + R2 C I0 = I pico 214 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL Parte c) Con L=1H, R1 =2 Ω, R2 =1 Ω, C = 1/5F. 2 ω0 = 2 1 ⎛ R2 ⎞ −⎜ ⎟ = LC ⎝ L ⎠ 1 ⎛1⎞ − ⎜ ⎟ = 5 −1 1 ⎝1⎠ 5 ω0 = 2 I pico = 10 L R1 + R2 C I pico = 10 = 2+ 1 11 5 ( ) 10 A 7 Ejemplo 10-9. Fasores y resonancia. Una fuente con voltaje v S (t ) = 10 cos(5t + 40°)V alimenta una impedancia con Z = 5Ω .Calcular iS (t ) si se sabe que el circuito opera a la frecuencia de resonancia. Solución v S (t ) = 10 cos(5t + 40°) V ⇒ VS = 10∠40° ω = 5 Z = 5Ω Si hay resonancia VS está en fase con I S : I S = I s ∠40° = Is = VS 10∠40° = Z Z m ∠θ Z 10 10 = =2 5 Z 40° = 40° − θ Z ⇒ θ Z = 0° por lo tanto, I S = 2∠40° ⇒ i S (t ) = 2 cos(5t + 40°) Ejemplo 10-10. Fasores y w. Para la red mostrada en la siguiente figura, con señal de entrada AC: Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 215 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES Figura 10-24 a. Demostrar que |Vo|=|Vi| independientemente de la frecuencia. b. Dar una explicación física a lo anterior. c. Mostrar que la fase entre Vo y Vi cambia de 0° a -180° al variar la frecuencia entre cero e infinito haciendo los cálculos necesarios y graficando la fase. Solución Parte a) Hay cuatro nodos pero uno es tierra (E) y otro es el de la fuente (D), por consiguiente, quedan dos nodos: nodo A: nodo B: V A − Vi V A V A − VB =0 + + ZL ZC ZR ⎛ 1 V 1 1 ⎞ 1 ⎟⎟ − V A ⎜⎜ + + VB = i ZL ⎝ Z L ZC Z R ⎠ Z R V B − V A V B − Vi V B + =0 + ZC ZR ZL − 1 1 ⎡ 1 ⎢Z + Z + Z C R ⎢ L 1 ⎢ − ⎢⎣ ZR ⎛ 1 1 1 1 ⎞ Vi ⎟⎟ = + + V A + V B ⎜⎜ ZR ⎝ Z R ZC Z L ⎠ ZC 1 ⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎡V ⎤ ⎢ Z ZR ⎥⎢ A ⎥ = ⎢ L 1 1 1 ⎥ ⎣V B ⎦ ⎢ 1 + + ⎢⎣ Z C Z R Z C Z L ⎥⎦ − ⎤ ⎥ ⎥Vi ⎥ ⎥⎦ Se necesita despejar VA y VB del sistema para obtener: V0 = V A − V B Para un sistema: ⎡a b ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢c d ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢v ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 216 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.3. IMPEDANCIA FASORIAL con a=d y b=c se tiene: u b v a x1 = 2 a − b2 x1 − x 2 = a u b v x2 = 2 a − b2 (au − bv ) − (av − ub ) = a(u − v ) + b(u − v ) = (u − v )(a + b ) = u − v (a − b )(a + b ) a − b a2 − b2 a2 − b2 Aplicando esta solución al circuito se obtiene: 1 1 1 1 − − Z L ZC Z L ZC YL − YC V0 = V A − VB = Vi = Vi = Vi −1 1 1 1 1 1 2 YL + YC + 2YR + + − + + Z L ZC Z R Z R Z L ZC Z R ⎤ ⎡ 1 − jω C ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ 1 + ω 2 LC jωL ⎥ ⋅ jωL = Vi ⎢ V0 = Vi ⎢ ⎥ 2 ⎢ 1 − ω LC + j 2ω LC ⎦ C ⎥ jω L ⎣1 4 1 4 4 4 2 4 4 4 4 3 j C 2 + + ω ⎥ ⎢ H ( jω ) L⎦ ⎣ jωL ( ) V0 = Vi ⋅ H ( jω ) V 0 = V i ⋅ H ( jω ) 1 + ω 2 LC 1 − ω 2 LC + j 2ω LC 1 + ω 2 LC 1 + ω 2 LC H ( jω ) = = (1 − ω 2 LC )2 + 2ω LC 2 (1 − ω 2 LC )2 + 2ω LC H ( jω ) = ( ( H ( jω ) = H ( jω ) = ) ) ( 1 + ω 2 LC ( 1 − 2ω 2 LC + ω 2 LC 1 + ω 2 LC ( 1 + 2ω 2 LC + ω 2 LC ⇒ ) 2 = ) 2 2 2 + 4ω 2 LC 1 + ω 2 LC (1 + ω ) LC ) 2 = 1 + ω 2 LC =1 1 + ω 2 LC V 0 = Vi Parte b) ∠V0 = ∠(Vi ⋅ H ( jω )) = ∠Vi + ∠H ( jω ) Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 217 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES φ = ∠V0 − ∠Vi = ∠H ( jω ) = ∠(1 + ω 2 LC ) − ∠(1 − ω 2 LC + j (2ω LC )) ( ( = 0 − ∠ 1 − ω 2 LC + j 2ω LC )) ⎛ 2ω LC ⎞ ⎟ = − tan −1 ⎜⎜ 2 ⎟ 1 ω LC − ⎝ ⎠ Para ω 0 = 0 : φ = − tan −1 (0) = 0° Para ω ∞ → ∞ : ⎛ 2ω LC ⎞ ⎟ = −180° φ = − lim tan −1 ⎜⎜ 2 ⎟ ω →∞ ⎝ 1 − ω LC ⎠ Parte c) A baja frecuencia (ω → 0) : Figura 10-25 φ = ∠V0 − ∠Vi V0 = Vi → φ = 0 A alta frecuencia (ω → ∞ ) : Figura 10-26 φ = ∠V0 − ∠Vi V0 = − Vi → 218 ∠V0 = ∠Vi − 180° → φ = −180° Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.4. SIMULACIONES 10.4. SIMULACIONES 10.4.1. SEÑAL EXPONENCIAL COMPLEJA Y FASORES. Figura 10-27 Descripción Esta simulación permite mostrar la relación entre una señal senoidal y su señal exponencial compleja SEC (fasor rotatorio) asociada y como transformar de una a otra señal en los dos sentidos. También permite ver la relación entre la SEC y el Fasor asociado y entre este fasor y la señal senoidal viendo la correspondencia entre sus magnitudes y ángulos de fase. Uso educativo Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y fasores pueden interactuar con la simulación para ver los efectos de los cambios en la magnitud y la fase de un fasor con la señal senoidal asociada al mismo. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 219 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.4.2. FASORES. MAGNITUD Y FASE. Figura 10-28 Descripción Esta simulación permite mostrar la relación entre una señal senoidal y su señal exponencial compleja SEC (fasor rotatorio) asociada. También permite ver la relación entre la diferencia de los ángulos de fase de varios fasores y el desfase en las señales senoidales asociadas. Con el uso de tres fasores permite explicar los conceptos de fuentes trifásicas. Uso educativo Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y fasores pueden interactuar con la simulación para ver las relaciones entre los ángulos de fase de los fasores y la fase de las señales senoidales asociadas. 220 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.4. SIMULACIONES 10.4.3. FASORES. OPERACIONES Figura 10-29 Descripción Esta simulación permite mostrar los resultados de sumar, restar y multiplicar señales exponenciales complejas SEC o fasores y el resultado en las señales senoidales asociadas a ellos. Muestra los cambios en la magnitud y fase de la señal resultado al variar los fasores originales y el cambio en la frecuencia al multiplicar dos SEC. Uso educativo Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de señal exponencial compleja y fasores y operaciones entre ellos pueden interactuar con la simulación para ver las relaciones entre los ángulos de fase y las magnitudes de los fasores originales y los del fasor resultante o la señal senoidal resultante. Al multiplicar dos señales de la misma frecuencia muestra como la señal resultante tiene una frecuencia duplicada. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 221 10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES 10.4.4. FASORES. MAGNITUD Y FASE Figura 10-30 Descripción Esta simulación permite mostrar la dependencia de la magnitud y la fase de la impedancia y de una la función de transferencia en función de la frecuencia. Uso educativo Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos fasores y su magnitud y fase en función de la frecuencia ellos pueden interactuar con la simulación para ver cómo la función de magnitud o la función de fase de una función de transferencia, respecto a la frecuencia depende de los valores particulares que tengan los componentes del circuito (R, L o C). Igualmente puede observar la variación de la impedancia respecto a la frecuencia. 222 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 10.4. SIMULACIONES 10.4.5. POTENCIA AC EN ESTADO ESTABLE Figura 10-31 Descripción Esta simulación permite mostrar los conceptos Potencia AC en estado estable, Potencia Activa, Potencia Reactiva, Potencia Aparente, Potencia Compleja y Factor de Potencia en función de la impedancia y las relaciones entre voltaje y corriente fasorial. Uso educativo Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica. Una vez los estudiantes manejan los conceptos de potencia compleja, potencia activa y reactiva, potencia aparente, impedancia y factor de potencia, los estudiantes pueden interactuar para analizar los efectos del cambio en la impedancia sobre la potencia, tanto en el plano complejo como en el tiempo. Estos cambios se pueden observar al cambiar el fasor de voltaje o la magnitud y fase de la impedancia. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 223