Ingeniería Estructural Inestabilidad elástica 1 Pandeo de piezas rectas • • Imaginemos una hoja de sierra – σy = 520 MPa – Sección transversal 12mm x 0.5mm – La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para una carga que podríamos calcular: Supongamos: I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4 E = 200 GPa y L = 300mm La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente P P P x P P kx k P kx k Ll . . . . a) b) c) d) Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable. Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable. Concepto de de inestabilidad inestabilidad estructural estructural Concepto Para cargas bajas y A B z P wB = wA + wB = − A B P B N ∫ E ⋅ A dz A P⋅L E⋅A Para una cierta Pcrítica se producen grandes desplazamientos transversales wB A B Pcrítica Aparecen fenómenos no lineales Pandeo 6 Concepto de de inestabilidad inestabilidad estructural estructural Concepto El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que las que producen la plastificación del material A P < Pcritica B P P < σcomp ⋅A e Puede ser la condición de diseño crítica 7 Teoría de de primer primer orden orden Teoría Problema de Euler Hipótesis: y A B - Viga esbelta de sección constante - Ejes principales de inercia - Sólo existen esfuerzos de compresión - Comportamiento lineal elástico - Pequeños desplazamientos de flexión - Deformaciones pequeñas - No existen tensiones residuales P z y A B P z 8 Teoría de de primer primer orden orden Teoría y Aplicando la ecuación de la elástica v(z ) A P B z d 2v M =− 2 dz E⋅I z M = P ⋅ v(z ) y v(z ) A P d 2v 2 + ⋅v = 0 λ 2 dz ⎛ P ⎞ λ2 = ⎜ ⎟ ⎝ E⋅I ⎠ v (z ) = A ⋅ cos λ z + B ⋅ senλ z z Con las contorno: z z=0 z=L condiciones de v=0 v=0 9 Teoría de de primer primer orden orden Teoría y v(z ) A B P v (z ) = A ⋅ cos λz + B ⋅ senλz z A=0 B ⋅ sen( λ ⋅ L) = 0 z ⎛ n⋅π ⎞ v (z ) = B ⋅ sen⎜ ⋅z⎟ ⎠ ⎝ L n2 ⋅ π 2 P= ⋅E⋅I 2 L λ⋅L = n⋅π Pcritica π2 = 2 ⋅E⋅I L Carga crítica de Euler (1744) 10 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia P A Viga en voladizo B P B Viga biempotrada con deslizadera horizontal P Viga biempotrada con deslizadera vertical P Viga empotrada-apoyada con deslizadera vertical 11 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga en voladizo y A B P z B P B P La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud doble Pcritica π2 = ⋅E⋅I 2 (2 ⋅ L) Pcritica PEuler = 4 P A B 12 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo A B La carga de pandeo coincide con la de una viga biapoyada de longitud mitad P z Pcritica P π2 = ⋅E⋅I 2 L 2 ( ) Pcritica = 4 ⋅ PEuler P 13 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo P La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble P Pcritica 4 ⋅ π2 = ⋅E⋅I 2 (2 ⋅ L) P Pcritica = PEuler P 14 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un extremo y A B P B P La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de longitud doble z Pcritica B π2 = ⋅E⋅I 2 (2 ⋅ L) P Pcritica = B P PEuler 4 15 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un extremo A B P No es posible aplicar simetrías d 2v 2 λ2 + λ ⋅ v = 0 dz 2 + ⎛ P ⎞ =⎜ ⎟ E ⋅ I ⎝ ⎠ condiciones de contorno A B P Pcritica π2 = ⋅E⋅I 2 (0 ,7 ⋅ L) 16 Influencia de de las las condiciones condiciones de de apoyo apoyo Influencia En general: A B ? ? P Pcritica L π2 = ⋅E⋅I 2 (β ⋅ L) Viene fijado en la normativa y A B P Longitud de pandeo: z Lp Pcritica π2 π2 = ⋅E⋅I = 2 ⋅E⋅I 2 Lp (β ⋅ L) 17 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Pcritica y π2 = ⋅ E ⋅ Iξ 2 (β ⋅ L) y ξ x x π z π Plano de pandeo σ critica = iξ = Iξ A Radio de giro de la sección respecto al eje ξ π2 ⋅ E ⎛β⋅L⎞ ⎟ ⎜ ⎜ i ⎟ ⎝ ξ ⎠ 2 λξ: Esbeltez mecánica 18 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto σ πE = λ 2 critica y 2 ξ y ξ x x π ⎛β⋅ L⎞ ⎟ λ = ⎜⎜ ⎟ i ⎝ ⎠ ξ z π La viga pandea en el plano perpendicular al eje de mayor esbeltez mecánica ξ 19 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo: Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la configuración más estable frente a pandeo y y I x = 2140 ⋅104 mm 4 I x = 117 ⋅104 mm 4 I y = 117 ⋅104 mm 4 I y = 2140 ⋅104 mm 4 x x IPN-200 IPN-200 Configuración I Configuración II 20 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo z z x z y y x Rótula esférica ⎛L⎞ λ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ix ⎠ ⎛L⎞ λy = ⎜ ⎟ ⎜ iy ⎟ ⎝ ⎠ 21 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo Configuración I Configuración II ⎛ Lyz ⎞ L p ⎟= λx = ⎜ = 12,5 ⋅ L 2 − ⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10 ⎝ ⎠ ⎛ Lyz ⎞ L p ⎜ ⎟ λx = = = 53,47 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ Lxz ⎞ L p ⎟ ⎜ λy = = = 53,47 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ Lxz ⎞ L p ⎟ ⎜ λy = = = 12,5 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠ Pandea respecto al eje x Pandea respecto al eje y Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica 22 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas z z x z y y ⎛L⎞ λ x = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ix ⎠ x ⎛ 0,5 ⋅ L ⎞ ⎟ λy = ⎜ ⎜ iy ⎟ ⎝ ⎠ 23 Concepto de de esbeltez esbeltez mecánica mecánica Concepto Ejemplo Configuración I Configuración II ⎛ Lyz ⎞ L p ⎟= λx = ⎜ = 12,5 ⋅ L 2 − ⎜ i x ⎟ 0,8 ⋅10 ⎝ ⎠ ⎛ Lyz ⎞ L p ⎜ ⎟ λx = = = 53,47 ⋅ L ⎜ i x ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ Lxz ⎞ 0,5 ⋅ L p ⎟ ⎜ λy = = = 26,7 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 1,87 ⋅10−2 ⎝ ⎠ ⎛ Lxz ⎞ 0,5 ⋅ L p ⎟ ⎜ λy = = = 6,25 ⋅ L ⎜ i y ⎟ 0,8 ⋅10−2 ⎝ ⎠ Pandea sobre el plano xz Pandea sobre el plano yz La configuración II es más inestable 24 Material de de apoyo apoyo Material REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS 1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural” EUNSA. 1998 Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural 2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”. Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994 Cap.15 La torsión en los problemas de pandeo Cap.16 Pandeo global de pórticos planos 3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricial Horacio Escarabajal Editores. 2003 Parte 6. Pandeo global de estructuras 25