GUÍA : Equiprobabilidad.

EN ESTE DOCUMENTO ENCONTRARÁS LOS
SIGUIENTES CONTENIDO :
*SUCESOS EQUIPROBABLES.
*SUCESOS ELEMENTALES
*EXPERIMENTOS EALEATORIOS
*ESPACIO MUESTRAL
*PROBLEMAS SENCILLOS DE CÁLCULO DE
PROBABILIDADES DE SUCESOS
ELEMENTALES{
*PROPIEDADS DE LAS PROBABILIDADES
*FRECUENCIA ABSOLUTA
*FRECUENCIA RELATIVA Y PORCENTUAL
*AXIOMAS DE PROBABILIDAD
*SUCESOS COMPUESTOS
*LEY DE LAPLACE
*BARAJAS –DADOS – MONEDAS
*TRIÁNGULO DE PASCAL
*MODELO TABULAR PARA EL
LANZAMIENTO DE DOS DADOS
*BINOMIO DE NEWTON
*PROBABILIDAD COMPUESTA.
*SUCESOS NO EQUIPROBABLES
*PROBABILIDAD DE SUCESOS NO
EQUIPROBABLES.
LA HISTORIA DE MUCHOS CONCEPTOS QUE USAS
HABITUALMENTE , SE REMONTA A MUCHOS SIGLOS
ATRÁS , NACIERON Y SE DESARRLLARON CON LAS
SUCESIVAS CIVILIZACIONES QUE POBLARON EL
MUNDO : CHINOS , HINDÚES,MESOPOTÁMICOS ,
EGIPCIOS , GRIEGOS , ROMANOS , ETC.
DE ESTAS CIVILIZACIONES TAMBIEN CONOCEMOS
NUMEROSOS JUEGOS , SIN EMBARGO LOS
CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL AZAR ;
POSIBILIDADES DE GANAR , ESTRATEGIAS A SEGUIR
POR LOS JUGADORES , GANANCIAS Y PÉRDIDAS EN
UNJUEGO , ETC , SON RELATIVAMENTE RECIENTES.
LA PRIMERA NOTICIA ESCRITA DE LA QUE SE TIENE
CONSTANCIA SOBRE ESTOS TEMAS APARECE EN UN
LIBRO DEL 1563 LLAMADO “LIBER DE LUDO ALAE”
(LIBRO SOBRE EL JUEGO DE LOS DADOS) , ESCRITO
Y PUBLICADO POR GIROLAMO CARDANO.(15011576) COMO UNMANUAL PARA EL JUEGO DE DADOS.
A PARTIR DE ESTE PEQUEÑO LIBRO , LA MAYORÍA
DE LOS HISTORIADORES ESTÁN DE ACUERDO EN
QUE LOS INICIADORES DE LA PROBABILIDAD SON
LOS MATEMÁTICOS FRANCESES PASCAL Y FERMAT.
EN LA FRECUENTE CORRESPONDENCIA QUE
MANTUVIERON ENTRE ELLOS INTENTARON
SOLUCIONAR LAS CONSULTAS DE UN NOBLE
FRANCES DE LA EPOCA , EL CABALLERO DE
MERÉ.
PASCAL (1623-1662) Y FERMAT (1601-1665)
NO PUBLICARON LAS SOLUCIONES ENCONTRADAS A
LOS PROBLEMAS ESTUDIADOS. QUIEN SI PUBLICÓ
LOS PROBLEMAS CON LOS RESULTADOS FUE
JACQUES BERNOULLI (1654-1701) EN UN LIBRO
PÓSTUMO TITULADO “ARS CONJECTANDI” (EL
ARTE DE LA CONJETURA) , EN QUE SE
CONOCIAN HASTA ENTONCES ,(CON SUS
SOLUCIONES) , APORTANDO RESULTADOS NUEVOS ,
COMO LA LLAMADA “LEY DE LOS GRANDES
NÚMEROS”
DURANTE EL SIGLO XVIII VARIOS MATEMÁTICOS
APORTAN DESCUBRIMIENTOS SOBRE LOS
CONCEPTOS DEL AZAR ; ENTRE ELLOS SE
ENCUENTRA EULER (1707-1783) , BUFFON
(1707-1788) , CONDORCET (1743-1796) , Y
SOBRE TODO , MOIVRE (1667-1754)
A PRINCIPIO DEL SIGLO XIX , UN GRAN CIENTIFICO
FRANCES , LAPLACE (1749-1827) , PUBLICA DOS
LIBROS :”TEORÍA ANALÍTICA DE LA PROBABILIDAD
(1812) Y “ENSAYO FILOSÓFICO SOBRE LAS
PROBABILIDADES”(1814) , DONDE RESUME TODOS
LOS RESULTADOS CONOCIDOS HASTA ENTONCES Y
ENUNCIA UNA SERIE DE DEFINICIONES Y
PROPIEDADES QUE ABREN EL CAMINO DEL ESTUDIO
MODERNO DE LAS PROBABILIDAD , QUE LLEGA
HASTA NUESTROS DIAS.
DESDE LAPLACE ES MUY LARGA LA LISTA DE
MATEMÁTICOS QUE HAN OBTENIDOS GRANDES
RESULTADOS EN EL CAMPO DE LA PROBABILIDAD ;
ENTRE ELLOS DESTACAN GAUSS (1777-1855) ,
LEGENDRE (1752-1883) , BOREL (1871-1956) ,
PEARSON (1857-1936) , PONCAIRÉ (18541912) , GALTON (1822-1911) , O LA GRAN
ESCUELA RUSA CON MARCOV (
1931….),KOLMOGOROFF (1903-…..) Y
TCHEBYCHEFF (1821-1894).
EL ESTUDIO DEL AZAR Y LA PROBABILIDAD QUE
NACIÓ CON LOS JUEGOS DE DADOS HACE POCO MÁS
DE 300 AÑOS , FORMAN HOY DIA UN CUERPO
IMPORTANTE DE CONOCIMIENTOS DENTRO DEL
GRAN EDIFICIO DE LAS MATEMÁTICAS. SUS
APLICACIONES EN LA VIDA REAL SON MUY
EXTENSAS . EN SOCIOLOGIA , POLÍTICA , ECONOMÍA
, ETC, PODEMOS ENCONTRAR MÚLTIPLES
RESULTADOS DE PROBABILIDAD.
1.-GALILEO .CONSIDERAZIONE
SOPRA IL
GIOCO DEI DADI.
UN JUGADOR ITALIANO EXPRESÓ A GALILEO SU
SORPRESA , POR OBSERVAR QUE AL JUGAR CON
TRES DADOS LA SUMA 10 APARECE CON MÁS
FRECUENCIA QUE LA NUEVE.SEGÚN EL JUGADOR
LOS CASOS FAVORABLES SERÍAN :
PARA EL 9 : 126 , 135 , 144, 225 , 234 , 333
PARA EL 10 : 136 , 145 , 226 , 235 , 244 , 334
PERO GALILEO VIO QUE ESTAS COMBINACIONES NO
SE PUEDEN CONSIDERAR IGUALMENTE PROBABLES.
EXPLICA POR QUÉ Y CALCULA LAS
CORRESPONDIENTES PROBABILIDADES ,UNA VEZ
QUE HAYAS ESTUDIADO ESTE TEMA.
2.- PASCAL . PROBLEMAS DE LAS
PARTIDAS PROPUESTO POR EL
CABALLERO DE MERÉ.
DOS JUGADORES A Y B , APUESTAN UNO
CONTRA EL OTRO LA MISMA CANTIDAD DE DINERO
EN UN JUEGO EN EL QUE EL VENCEDOR SERÁ
AQUEL QUE PRIMERO GANE TRES PARTIDAS.
CUANDO EL JUGADOR A GANA LA PRIMERA
PARTIDA , EL JUEGO SE SUSPENDE PPOR CAUSAS
AJENAS A LOS JUGADORES , Y ANTE LA
IMPOSIBILIDAD DE CONTINUAR SE DA POR
TEMINADO.¿CÓMO SE REPARTIRÁ EL TOTAL DEL
DINERO ENTRE LOS DOS JUGADORES?
3.- DE MOIVRE . DOCTRINE OF CHANCE.
HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN
NÚMERO DE PUNTOS DADO AL LANZAR n DADOS
QUE TIENEN CADA UNO m CARAS.
4.- EULER.DE
UN NÚMEROP n DE CABALLEROS
ENSOMBRERADOS LLEGAN A LA OPERA Y DEJAN SU
SOMBRERO AL GUARDARROPA . ESTE ENTREGA A
CADA UNO UN NÚMERO DIFERENTE , PERO , NO
COLOCA LA OTRA COPIA DEL NÚMERO EN EL
SOMBRERO. A LA SALIDA , DECIDE DAR A CADA UNO
QUE LE ENTREGUE UN NÚMERO AL AZAR.¿CUÁL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE NI UN SOLO CABALLERO
RECIBA SU SOMBRERO?
5.-BUFFON.HISTORIE NATURALLE .
SEA UN
PLANO DIVIDIDO EN ZONAS HORIZONTALES POR
LINEAS PARALELAS EQUIDISTANTES UNA
LONGITUD d , SOBRE EL QUE SE LANZA UNA
AGUJA . LA PROBABILIDAD DE QUE LA AGUJA
CORTE A UNA DE LAS RECTAS PARALELAS ES 2L/ π d
, SIENDO L , LA LONGITUD DE LA AGUJA , CON L
MENOR QUE d .
6.- EINSTEIN. UNA TABERNA SE ENCUENTRA A 10
MANZANAS AL ESTE Y SIETE AL NORTE DE LA CASA
DE UN CLIENTE.SI ESTE SE ENCUENTRA TAN
BORRACHO QUE EN CADA ESQUINA RESULTA PURO
AZAR SI VA A CONTINUAR DERECHO O HACIA LA
IZQUIERDA O HACIA LA DERECHA . ¿CUÁL ES LA
PROBABILIDD DE QUE FINALMENTE LLEGUE A
CASA?.
ESTOS SON LOS PROBLEMAS CONSIDERADOS
CLÁSICOS DE LAS PROBABILIDADES , POR
LA ORIGINALIDAD DE CADA UNO ,Y POR LA
AUTORÍA DE LOS MISMOS.
UNA VEZ TERMINADO EL ESTUDIO PROFUNDO
DE ESTE TEMA PUEDES VOLVER A ELLOS Y
DETRMINAR SUS SOLUCIONES.
CONSIDEREMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO
CONSISTENTE EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO
,CON EL OBJETO DE REVISAR ALGUNOS CONCEPTOS
DE EQUIPROBABILIDAD.
ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA
SUCESOS ELEMENTALES
EQUIPROBABLES .
RECUERDA QUE CUANDO REALIZAMOS UN
EXPERIMENTO ALEATORIO , PUEDEN OCURRIR
VARIOS RESULTADOS O POSIBILIDADES . A CADA
UNO DE ESTOS RESULTADOS DE , LOS HEMOS
LLAMADO SUCESO SIMPLE O ELEMENTAL. Y AL
CONJUN TO DE TODOS LOS SUCESOS ELEMENTALES
, ESPACIO MUESRAL ASOCIADO AL EXPERIMENTO
ALEATORIO.
EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO , LOS
SUCESOS ELEMENTALES SON SEIS : OBTENER 1
, OBTENER 2 , OBTENER 3 , OBTENER 4 ,
OBTENER 5 , OBTENER 6 .
EL ESPACIO MUESTRAL ES : E = {1,2,3,4,5,6}
AL LANZAR UNA MONEDA LOS SUCESOS
ELEMENTALES SON DOS : OBTENER CARA Y
OBTENER SELLO.
EL ESPACIO MUESTRAL ES : E = {CARA, SELLO}
EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL
EXPERIMENTO DE EXTRAER UNA CARTA DE UNA
BARAJA ESPAÑOLA , CONSTA DE 40 SUCESOS
ELEMENTALES.
EN ALGUNOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS ,
OCURRE ,DADA SU SIMETRÌA , QUE PODEMOS
SUPONER QUE LOS SUCESOS ELEMENTALES DE QUE
CONSTA EL ESPACIO MUESTRAL TIENEN LA MISMA
PROBABILIDAD O DICHO DE OTRA FORMA SON
EQUIPROBABLES . EN ESTOS CASOS LA
PROBABILIDAD DE CADA SUCESO ELEMENTAL ES :
SEGÙN LO ANTERIOR ,RESPONDE LAS SIGUIENTES
PREGUNTAS :
*EN UN DADO , ¿CUÀNTO VALE P(5)?
*EN UNA MONEDA ,¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER CARA? .P(CARA).
*AL EXTRAER AL AZAR UNA CARTA DE UNA BARAJA
ESPAÑOLA . ¿CUÀL ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER EL AS DE COPAS?
RESPUESTAS :
1
6
;
1
2
;
1
40
AHORA BIEN , SI EL EXPERIMENTO ALEATORIO ES
TAL QUE NO PODEMPOS SUPONER QUE LOS
SUCESOS ELEMENTALES SON EQUIPROBABLES (
LANZAMIENTO DE UN “CHINCHE” , QUE NO TIENE
IGUAL FACILIDAD DE CAER EN UNA POSICIÒN O EN
OTRA , O EL LANZAMIENTO DE UN DADO CARGAO
EN UNA DE SUS CARAS ) ASIGNAREMOS
PROBABILIDADES , BASANDONOS EN LA PRIMERA
LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS . SI REALIZAMOS
MUCHAS VECES EL EXPERIMENTO ALEATORIO Y
ASIGANAMOS LOS VALORES DE LAS FRECUENCIAS
RELATIVAS COMO BUENAS APROXIMACIONES E LA
PROBABILIDAD.
ESTAS TRES PROPIEDADS , Y EN VIRTUD DE LA
PRIMRA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS , SE
CONVIETEN EN TRES PROPIEDADES MUY
IMPORTANTES EN PROBABILIDAD Y SE LLAMAN :
ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES PARA
SUCESOS CUALESQUIERA CON SUCESOS
ELEMENTALES EQUIPROBABLES .
RECORDEMOS LA DEFINICIÒN DE SUCESO
COMPUESTO :
AQUELLOS QUE CONSTAN DE DOS O MÀS
SUCESOS SIMPLES O ELEMENTALES.
SI ESTAMOS JUGANDO UNA PARTIDA DE CARTAS ,
DIREMOS QUE NOS HA DADO “SOTA” , TANTO SI NOS
HA DADO LA SOTA DE OROS,LA DE COPAS , LA DE
BASTOS , O LA DE ESPADAS ., POR LO TANTO EL
SUCESO :
{SOTA} CONSTA DE 4 SUCESOS ELEMENTALES.
{SOTA} =
{SOTADEOROS , SOTADECOPAS , SOTADEBASTOS , SOTADEESPADAS }
SI REALIZAMOS EL EXPERIMENTO ALEATORIO DE
LANZAR UN DADO , EL SUCESO PAR EN EL DADO , ES
:
{PAR} = {2,4,6}
Y DIREMOS QUE HA OCURRIDO EL SUCESO PAR
CUANDO , AL LANZAR EL DADO , OCURRA
CUALQUIERA DE ESTOS TRES SUCESOS
ELEMENTALES.
LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO:
POR EJEMPLO EN EL LANZAMIENTO DE UN
DAO NO CARGADO :
P(PAR) = P( {2,4,6} = P(2) + P(4) + P(6) =
1
1
1
1
+ + =
6
6
6
2
EN LA EXTRACCION DE UNA CARTA DE UNA
BARAJA ESPAÑOLA
P( SOTA ) = 1/40 + 1/40 + 1/40
= 1/10
+
1/ 40 = 4/40
CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON
EQUIPROBABLES :
ESTA FORMA DE CÀLCULO ,ES LLAMADA :
,SE SUELE EXPRESAR ASÌ :
“CUANDO LOS SUCESOS ELEMENTALES SON
EQUIPROBABLES , LA PROBABILIDAD DE UN
SUCESO S , P(S) , SE CALCULA COMO EL
CUOCIENTE ENTRE EL NÙMERO DE CASOS
FAVORABLES Y EL NÙMERO DE CASOS POSIBLES”
SEA E {1,2,3,4,5,6} EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL
EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UN DADO Y
OBSERVAR EL RESULTADO
CONSIDEREMOS EL SUCESO A , SALIR PAR:
A= ( OBTENER PAR) = {2,4,6}
Y EL SUCESO CONTRARIO , no A , SALIR IMPAR :
No A = ( OBTENER IMPAR) = {1,3,5}
P ( A U A) =
N ª − − DE − CASOS − FAFORABLES − DE − A U B
N ª −CASOS − POSIBLES
,QUE
EQUIVALE A :
=
N ª*DE * CASOS * FAV . * DE * A + N ª*DE * CASOS * FAV . * DE * B − N ª*DE * CASOS * FAV . * DE * ( A
N ª*DE * CASOS * POSIBLES
ES DECIR :
P(A U B) = P(A) +P(B)-P(A I B)
PARA CUALQUIER ESPACIO MUESTRAL SE
VERIFICAN LAS PROPIEDADES:
ESTAS DOS PROPIEDADES SON MUY ÙTILES EN
EL CÀLCULO DE PROBABILIDADES . LAPRIMERA
SE EMPLEA CON MUCHA FRECUENCIA EN
AQUELLAS SITUACIONES EN QUE SEA MÀS
FÀCIL CALCULAR LA PROBABILIDAD DEL
SUCESO CONTRARIO.
AHORA TE PRESENTO ALGUNOS PROBLEMAS
PARA QUE APLIQUES LOS CONCEPTOS VISTOS :
1.- EN UNA BARAJA ESPAÑOLA , SE LLAMAN
FIGURAS A LAS CARTAS AS, SOTA, CABALLO, Y
REY . CALCULA LA PROBABILIDAD DE SACAR
FIGURA AL EXTRAER UNA CARTA EN UNA
BARAJA ESPAÑOLA.
2.-LA BARAJA FRANCESA EN VEZ DE 40 CARTAS
TIENE 52 . EN CADA PALO HAY AS, 2,3,4,5,6,7,8,9,10
,J,Q,y K.LAS FIGURAS SON AQUÌ AS,J, Q y K
.CALCULA LA PROBABILIDAD DE SACAR FIGURA
EN UNA BARAJA FRANCESA.
3.-SE LANZAN DOS MONEDAS AL AIRE .¿CUÀL ES
LA PROBABILIDAD DE OBTENER DOS CARAS?
¿DOS SELLOS?
4.-AL TIRAR DOS DADOS . ¿CUÀL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA SEA 5?
5.-CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE AL
TIRAR CUATRO MONEDAS AL AIRE SE
OBTENGAN :
A) CUATRO SELLOS
B)2 CARAS Y 2 SELLOS
6.- CUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL TIRAR
UNA MISMA MONEDA 5 VECES SEGUIDAS SE
OBTENGA ;
A)SIEMPRE CARA
B)SIEMPRE SELLO
C)SIEMPRE LA MISMA PINTA
D)LAS TRES PRIMERAS CARAS Y LOS ÙLTIMOS
SELLOS
E)LA SERIE :C-S-S-C-S
F)LA SERIE :-S-S-S-C-S
7.-CALCULA LA PROBABILIDAD DE OBTENER
ALGUNA CARA AL LANZAR 4 MONEDAS AL AIRE
SIMULTÀNEAMENTE.
8.-SE LANZAN AL AIRE 5 MONEDAS AL AIRE
SIMULTÀNEAMENTE . DETERMINE :
A) LA CARDINALIDAD DEL ESPACIO MUESTRAL.
B) LA PROBABILIDAD DE OBTENER :
B1.-AL MENOS DOS CARAS
B2.- A LO MAS 3 CARAS
B3.- 3 CARAS Y 2 SELLOS
B4.- ALGUN SELLO
TE INVITO AHORA A COTEJAR TUS
RESPUESTAS :
1.-HAY 16 FIGURAS EN TOTAL : 4 AS , 4 SOTAS 4
CABALLOS Y 4 REYES
P(FIGURA) 16 = 40%
40
2.-EN TOTAL HAY 16 GIGURAS DE UN TOTAL DE
52 ENTONCES :
P(FIGURA) =
16
52
=
400
%
13
3.-EL ESPACIO MUESTRAL MEDIANTE EL
MODELO DE UN ÀRBOL ES :
DE MODO ENTONCES QUE :
EVENTOS POSIBLES : 4 ( CC)
EVENTOS PROBABLES : 1
,
P=
1
4
= 25%
PARA LA OPCIÓN SS , ANÁLOGAMENTE ;
1
= 25
P=
4
EL QUE TAMBIEN SE PUEDE RESOLVER ESTE
PROBLEMA Y MUCHOS OTROS QUE TIENEN QUE
VER CON SITUACIONES SIMILARES AL
LANZAMIENTO DE MONEDAS APLICANDO EL
EJEMPLO : SI SE LANZAN 4 MONEDAS AL AIRE
SIMULTANEAMENTE:
EL ESPACIO MUESTRAL CONSTA DE 2 = 16
SUCESOS ELEMENTALES.
1 DE 4 SELLOS
; 4 DE 3 SELLOS Y UN CARA ;
6 DE 2 SELLOS Y 2 CARAS
4 DE 1 SELLO Y 3 CARAS Y 1 DE 4 SELLOS.
PARA EL CASO DE DOS MONEDAS : (C + S) = C
+ 2CS + S
4
2
2
2
ES DECIR , EL ESPACIO MUESTRAL ESTA
COMPUESTO POR :
4 EVENTOS O CASOS POSIBLES O SUCESOS
ELEMENTALES.
1 EVENTO COMPUESTO POR DOS CARAS (C )
2 EVENTOS COMPUESTOS POR UNA CARA Y UN
SELLO. ( 2CS)
1 EVENTO COMPUESTO POR DOS SELLOS (S )
2
2
4 .- DISPONGAMOS EL SIGUIENTE MODELO
TABULAR PARA EL LANZAMIENTO DE DOS
DADOS EN FORMA SIMULTÁNEA , QUE COMO YA
SABEMOS EL ESPACIO MUESTRAL ESTÁ
COMPUESTO POR
6 casos posibles , para nuestro caso será
n
: 6 = 36 .
2
VEMOS QUE LOS CASOS FAVORABLES SON 4 ,
ENTONCES LA PROBABILIDAD PEDIDA ES :
P= 4 = 1
36
9
5.- DESARROLLANDO EL TRIÁNGULO DE PASCAL
:
( C + S ) = C +4 C S +6C S +4CS +S
DE DONDE :
A)CASOS POSIBLES = 1+4+6+4+1 = 16 ( 2 )
CASOS FAVORABLES = 1
4
4
3
2
2
3
4
4
P=
1
16
B) CASOS POSIBLES = 16
CASOS FAVORABLES = 6
P=
6
16
=3
8
OBSERVACIÓN IMPORTANTE : TANTO EL
ESPACIO MUESTRAL ,COMO LOS CASOS
POSIBLES DEL LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS
LANZADAS SIMULTÁNEAMENTE AL AIRE ,COMO
DE OTROS PROBLEMAS SEMEJANTES , SE
PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LOS TÉRMINOS
DE “BINOMIO DE NEWTON”
QUE EXPRESA :
n −1
n−2
( a + b ) =C a + C a b + C a b +…………C b
n
N
0
n
Donde : C =
k
n
n
1
n
2
n
n
2
n
k!
(k − n)!n!
Para el problema:
( C + S) = C C + C C S + C C S + C CS +C S
4
4
0
4
4
1
3
4
2
2
4
3
2
3
4
4
4
PARA EL CASO DE DOS CARAS Y DOS SELLOS ,
SE TIENE :
C = 4! = 4.3.2.1 = 24 = 6 CASOS
4
2
(4 − 2)!.2!
2 .1 .2 .1
4
FAVORABLES.
6.-A) EN EL PRIMER LANZAMIENTO LA
PROBABILIDAD ES = 1
2
EN EL SEGUNDO , TAMBIÉN ES =
1
2
, Y A´SI
SUCESIVAMENTE HASTA EL ÚLTIMO
LANZAMIENTO , QUE S TAMBIÉN 1
2
LA PROBABILIDAD PEDIDA ES ENTONCES :
P = (1 ) =
5
2
1
32
B)SIEMPRE SELLO : P =
1
32
C)LA MISMA PINTA : COMO EN EL PRIMER
LANZAMIENTO PUEDE SALIR CUALQUIERA DE
LAS DOS PINTAS , LA PROBABILIDAD ES 1 , A
PARTIR DEL SEGUNDO LANZAMIENTO YA ES : 1 ,
2
POR LO TANTO : P =
(1 )
2
7.- ( C + S) = C + 4C S+6C S +4CS +S
4
4
3
2
2
3
4
CASOS POSIBLES = 16
CASOS FAVORABLES = 1+4+6+4= 15
P=
15
16
8.-ESPACIO MUESTRAL PARA 5 MONEDAS :
(C+S) = C C +C C S+C C S +C C S +C CS +C S
5
5
0
5
5
1
4
5 5
2
3
2
5
3
2
3
5
4
5
5
4
(C+S) = C + 5C S + 10C S +10C S + 5CS + S
5
5
4
3
2
2
3
4
5
5
A)NÚMERO D ELEMENTOS DEL ESPACIO
MUESTRAL = 32
B1) CASOS FAVORABLES = 1+5+10+10 = 26
P=
B2.- CASOS FAVORABLES = 10+10+5+1 = 26
26
32
P=
26
32
B3.-CASOS FAVORABLES = 10
P=
10
32
B4.-CASOS FAVORABLES = 5+10+10+5+1 = 31
P=
31
32
PRIMERA EXPERIENCIA;
SI LANZAMOS UN DADO .¿CUÁL ES LA
PROBABILIDAD DE ONTENER DOS UNOS?
EL EXPERIMENTO SE PUEDE DESCOMPONER EN
DOS : LANZAR UN DADO Y DESPUÉS
OTRO.
LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN UNO EN EL
PRIMER LANZAMIENTO ES COMO YA HEMOS
VISTO 1 , Y OBTENER UNO TAMBIÉN EN EL
6
SEGUNDO LANZAMIENTO ES
1
6
EN TONCES PARA QUE SE DEN AMBAS OPCIONES
LA PROBABILIDAD ES 1 * 1 = 1
6
6
36
PODEMOS CONSIDERAR ESTE EXPERIMENTO
COMO LA COMPOSICIÓN DE OTROS DOS , Y
ESCRIBIMOS :
POR OTRO LADO AL LANZAR DOS DADOS
SIMULTÁNEAMENTE EL ESPACIO MUESTRAL
ESTÁ COMPUESTO POR 36 SUCESOS
ELEMENTALES DE LOS CUALES UNO ES EL CASO
FABORABLE (1,1) .
PPOR LO QUE LA PROBABILIDAD CORRESPONDE
A:
P= 1 , VALOR QUE COINCIDE CON
36
NUESTRO PRIMER CÁLCULO.
ESTUDIAN POR SEPARADO LAS DISTINTAS
EXPERIENCIAS DE QUE SE COMPPONE LA
EXPERIENCIA COMPUESTA.
EXTRAEMOS DOS CARTAS EN UNA BARAJA
ESPAÑOLA.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER DOS ESPADAS?
ESTE EXPERIEMENTO SE PUEDE DESCOMPONER
EN DOS : EXTRAER UNA CARTA Y DESPUES OTRA
.
CONSIDEREMOS PRIMERO QUE SACAMOS UNA
CARTA :
P(UNA ESPADA) = 10
40
Y , DESPUÉS SACAMOS OTRA , PERO COMO YA
HEMOS SACADO UNA , LOS CASOS POSIBLES
AHORA SON 39.
COMO PRETENDEMOS DOS ESPADAS Y , PARA
ENCONTRARNOS EN CASO FAVORABLE HA
DEBIDO SALIR ESPADA EN LA PRIMERA
EXTRACCIÓN , QUDAN , POR TANTO , 9 ESPADAS
EN LA BARAJA .
P(SEGUNDA ESPADA) =
P( DOS ESPADAS) =
9
39
10
*9
40 39
OBSERVA QUE EN EL CASO DE LOS DADOS , EL
RESULTADO DEL SEGUNDO NO DEPENDE DE LO
QUE SALGA EN EL PRIMERO ; LA COMPOSICIÓN
DE LA BARAJA SI SE MODIFICA DESPUÉS DE LA
PRIMERA EXTRACCIÓN . POR LO TANTO AL
EXTRAER DOS CARTAS , EL RESULTADO DE LA
SEGUNDA DEPENDE DE LO QUE SALIÓ EN LA
PRIMERA.
LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL SON MUY ÚTILES EN
EL, CÁLCULO DE PROBABILIDADES
COMPUESTAS . LO APLICAMOS :
JUGAMOS CON BOLAS : SE TIENEN DOS BOLSAS,
CADA UNA CON 10 BOLAS , ENTRE BLANCAS ,
NEGRAS Y ROJAS . LA DISPOSICIÓN DE LAS BOLAS
EN LAS BOLSAS ES LA SIGUIENTE ;
BOLSA 2 : UNA BOLA BLANCA
DOS BOLAS NEGRAS
SIETE BOLAS ROJAS
TIRAMOS UN DADO
SI SALE 1 O 2,EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 1
SI SALE 3 , 4 , 5 O 6, EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA
BOLSA 2
GANAMOS SI AL FINAL SALE UNA BOLA ROJA ; SI NO
PERDEMOS . ¿QUÉ ES MÁS FÁCIL GANAR O PERDER?
EL EXPERIMENTO EN ESTE CASO SE PUEDE
DESCOMPONER EN LANZAR UN DADO , PRIMERO Y
EXTRAER UNA BOLA DESPUÉS.
P(GANAR) = P( ROJA= (4/6) *(7/10) = 28/60 = 7/15
LA PROBABILIDAD DE PERDER ES :
P(PERDER) = 1-P(GANAR) = 1- 7/15 = 8/15
POR LO TANTO RESULTA MÁS PROBABLE PERDER
QUE GANAR.
EN LA EXPERIENCIA : LANZAR DOS
DADOS , EL RESULTADO DEL PRIMER
DADO NO INFLUYE EN EL SEGUNDO . A
EXPERIENCIAS DE ESTE TIPO SE LES
LLAMA INDEPENDIENTES , PUES EL
RESULTADO DE CADA UNO DE ELLOS NO
DEPENDE DE LOS RESULTADOS DE LOS
DEMÁS.
EN LAS EXPERIENCIAS 2 Y 3 NO OCURRE ESTO , SINO
QUE LAS EXPERIENCIAS PARCIALES QUE LAS
INTEGRAN SE INFLUYEN ENTRE ELLAS .
ASIGNACIÒN DE PROBABILIDADES
SUCESOS NO EQUIPROBABLES.
REGLAS DE JUEGO
EL JUEGO QUE A CONTINUACIÒN SE PRESENTA
CONSISTE EN LANZA 100 VECES UNA
“CHINCHETA” DE CABEZA BIEN ANCHA , DESDE
UNA ALTURA DE UNOS 20 CM , MEDIDOS DESDE
LA SUPERFICIE DE UNA MESA . LOS RESULTADOS
SE IRÀN REGISTRANDO EN UNA TABLA.
EL ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO AL
EXPERIMENTO ALEATORIO DE LANZAR UNA
CHINCHETA ESTARÀ FORMADO POR DOS
SUCESOS ELEMENTALES :
E = { CHINCHETA CON LA PUNTA HACIA ARRIBA
, CHINCHETA APOYADA EN LA PUNTA Y EN LA
PERIFERIA DE LA CABEZA }
AL SUCESO ELEMENTAL DE QUEDAR CON LA
PUNTA HACIA ARRIBA LE LLAMAREMOS EL
SUCESO P , Y AL SUCESO ELEMENTAL DE
QUEDAR APOYADA EN EL BORDE DE LA CABEZA
Y LA PUNTA LO LLAMAREMOS SUCESO C.
ENTONCES EL ESPACIO MUESTRAL SERÀ : E =
{P,C )}
EN ESTE CASO NOS ENCONTRAMOS CON
SUCESOS ELEMENTALES A LOS CUALES NO
PODEMOS APLICAR LA LEY DE LAPLACE , PUES ,
EN PRINCIPIO , NADA NOS HACE SUPONER QUE
AMBOS SUCESOS SEAN EQUIPROBABLES.
LA PRIMERA LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS
NOS PROPORCIONA UN BUEN CRITERIO PARA
OBTENER , APROXIMADAMENTE , LA
PROBABILIDAD DE ÈSTOS DOS SUCESOS : TOMAR
LA FRECUENCIA RELATIVA DE CADA SUCESO
COMO ESTIMACIÒN DE SU RESPECTIVA
PROBABILIDAD . CUANTO MAYOR SEA EL
NÙMERO DE EXPERIENCIAS REALIZADAS MÀS
FIABLE SERÀ EL VALOR ESTIMADO.
LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE HAN
ORDENADO EN LA SIGUIENTE TABLA :
REPRESENTANDO ESTA TABLA EN UN GRÀFICO
SE PUEDE NOTAR MEJOR LA TENDENCIA QUE
SIGEN ESTOS RESULTADOS
SE OBSERVA QUE CONFORME AUMENTA EL
NÙMERO DE EXPERIENCIAS , LAS
OSCILACIONES DE LAS CURVAS VAN
SIENDO MENOS BRUSCAS .
LAS CURVAS SE VAN ACERCANDO A UN
CIERTO VALOR .
TENIENDO EN CUENTA ESTAS OBSERVACIONES
Y DE ACUERDO A LA PRIMERA LEY DE LOS
GRANDES NÙMEROS . ¿QUÈ PROBABILIDADES LE
PODEMOS ASIGNAR A LOS SUCESOS :
P : CHINCHETA CON LA PUNTA HACIA ARRIBA.
C : CHINCHETA APOYADA EN LA PUNTA Y EN EL
BORDE DE LA CABEZA .
TENGAMOS EN CUENTA QUE SE HA DE
VERIFICAR :
P(E ) = P(P) + P(C) = 1
EN LOS DADOS, MONEDAS , BOLAS EN UNA
TÒMBOLA ETC, LA SIMETRÌA DE LA SITUACIÒN
NOS CONDUCE A UN CÀLCULO DIRECTO DE LA
PROBABILIDAD DE LOS SUCESOS
CORRESPONDIENTES.
EN LOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS DONDE NO
SE DA ESTA SIMETRIA , COMO HA OCURRIDO EN
EL CASO DEL LANZAMIENTO DE UNA
CHINCHETA , HEMOS DE RECURRIR A LA
REALIZACIÒN DEL EXPERIMENTO MUCHÌSIMAS
VECES Y ASIGNAR , EN BASE A LAM PRIMERA
LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS , LA
FRECUENCIA RELATIVA DE CADA SUCESO A SU
RESPECTIVA PROBABILIDAD.
COLECCIÓN DE PROBLEMAS.
1.-¿CUÁL ES EL SUCESO CONTRARIO A OBTENER 3 EN EL
LANZAMIENTO DE UN DADO?
2.- HALLAR LAS PROBABILIDADES DE QUE CUANDO SE LANZA UN
DADO SE OBTENGA :
2.1.- UN 5
2.2.- UN NÚMERO PAR.
2.3.- UN NÚMERO PRIMO.
2.4.- UN NÚMERO IGUAL O MENOR QUE 6
2.5.- UN NÚMERO IMPAR O 6.
3.- SE LANZA UN DADO DOS VECES. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
OBTENER 5 EN EL PRIMER LANZAMIENTO Y UN 6 EN EL SEGUNDO?
4.- SE LANZA UN DADO TRES VECES . ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE
QUE LA PRIMERA VEZ SALGA UN 5 , LA SEGUNDA SALGA UN 6 Y LA
TERCERA UN 1?
5.- SE LANZA UN DADO TRES VECES CONSECUTIVAS . HALLAR LA
PROBABILIDAD DE OBTENER POR LO MENOS UN 4.
6.- SE LANZAN DOS DADOS . ¿CUÁL ES LA PROBABILIDD DE LOS
SIGUIENTES SUCESOS? :
6.1.- LAS DOS PUNTUACIONES SEAN IGUALES
6.2.- SACAR UN 6 DOBLE.
6.3.- NO SALIR UN 6 DOBLE.
7.- SE LANZAN DOS DADOS . HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA
SUMA DE LOS PUNTOS OBTENIDOS SEA MENOR QUE 6.
8.- SE LANZAN DOS DADOS . HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA
DIFRENCIA ENTRE LAS DOS PUNTUACIONES OBTENIDAS SEA 2 Y DE
QUE UNA DE ELLAS SEA UN 6.
9.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR n VECES DOS
DADOS SE OBTENGA AL MENOS UN DOBLE 6?
10.- SE LANZAN TRES DADOS AL AIRRE . ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE LA SUMA DE SUS PUNTOS DE SUS CARAS SEA 10?
11.- UN OBSERVADOR EXPRESÓ A GALILEO SU SORPRESA AL
OBSERVAR QUE AL JUGAR CON TRES DADOS LA SUMA 10 APARECE
CON MÁS FRECUENCIA QUE LA SUMA 9 .¿POR QUÉ OCURRE ESTO?
12.- DE UN DADO CARGADO SABEMOS QUE LA PROBABILIDAD DE
OBTENER LAS DISTINTAS CARAS ES PROPORCIONAL A LA MITAD DE
LOS NÚMEROS DE ESTAS.HALLAR LA PROBABILIDAD DE SACAR UN
NÚMERO IMPAR.
13.- SE LANZAN DOS DADOS. SI LA SUMA DE LOS PUNTOS DE LAS
CARAS SUPERIORES ES 7.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
ALGUNO DE LOS DADOS SEA UN 3?
14.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL LANZAR UN DADO SALGA
UN 6 , SABIENDO QUE LA PUNTUACIÓN OBTENIDA ES MAYOR O IGUAL
A 4?
15.- UNA DE LAS REGLAS DEL “PARCHIS” CONSISTE EN VOLVER A
CASA SI SALE 6 TRES VECES CONSECUTIVAS.¿CUÁL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE ESTO OCURRA?
16.- CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE , AL LANZAR DOS DADOS , LA
SUMA DE LAS PUNTUACIONES OBTENIDAS SEA :
16.1.-SIETE
16.2.-MAYOR QUE NUEVE
16.3.-MÚLTIPLO DE 3
16.4.-DIVISIBLE POR 3.
17.- UN JUGADOR USA UN DADO TRUCADO.LA PROBABILIDAD DE QUE
APAREZCA CADA UNO DE LOS SEIS NÚMEROS SIGUE LA SIGUIENTE
LEY:
NÚMEROS
1
PROBABILIDAD 0.2
2
0.2
3
0.4
4
X
5
Y
6
0.1
CALCULA EL VALOR DE X e Y SABIENDO QUE : P(4)= 3*P(5).¿CUÁL ES
LA PROBABILIDAD DE SACAR UN NÚMERO IMPAR?. ¿Y LA DE UN
NÚMERO PAR?
18.- EN UN JUEGO CONSISTENTE EN APOSTAR POR UN NÚMERO AL
LANZAR UN DADO , HEMOS APOSTADO POR EL 2 . SE LANZA EL DADO
Y NOS DICEN QUE EL NÚMERO ES PAR . ¿QUÉ PROBABILIDAD
TENEMOS DE GANAR?
19.- EN LAS CARAS DE UN DADO FIGURAN LOS NÚMEROS 1 , 2 y 3 ; EN
DOS CARAS EL 1 , EL 2 EN OTRAS DOS Y EN LAS DOS RESTANTES EL
3.¿TODAS LAS CARAS SON IGUALMENTE PROBABLES?
CON ESTE DADO REALIZAMOS EL SIGUIENTE JUEGO:
TIRAMOS EL DADO ; SI SALE 3 GANAMOS ; SI SALE 1 o 2 ,
CONTINUAMOS JUGANDO HASTA REPETIR EL RESULTADO DE LA
PRIMERA TIRADA , EN CUYO CASO GANAMOS , O HASTA OBTENER 3 , Y
ENTONCES PERDEMOS.¿QUÉ PROBABILIDADES TENEMOS DE
GANAR?.(EN LA SOLUCIÓN AYÚDATE ESCRIBIENDO LAS JUGADAS EN
LAS QUE GANAS)
20.-UN JUEGO DE AZAR CONSISTE EN LANZAR UN DADO Y HACER
GIRAR UNA RUEDA COMO LA DE LA FIGURA. CALCULA LA
PROBABILIDAD DE LOS SIGUIENTES SUCESOS :
20.1.-OBTENER LA MISMA CIFRA CON EL DADO Y CON LA RULETA.
20.2.-SACAR UN CUATRO CON EL DADO
20.3.-OBTENER UNA SUMA DE PUNTOS INFERIOR A 5.
20.4.- SACAR UN 5 CON EL DADO Y UNA SUMA DE PUNTOS INFERIOR A 5
20.5.-NO SACAR UN 4 CON EL DADO
21.-REPETIR EL EJERCICIO ANTERIOR CON ESTA OTRA RULETA.
1.-SE LANZA UNA MONEDA 50 VCES Y SALE CARA 27 VECES . HALLA :
1.1.- LA FRECUENCIA ABSOLUTA DEL SUCESO SALIR CARA Y SALIR
SELLO.
1.2.- LA FRECUENCIA RELATIVA DE ESTOS SUCESOS.
2.- SI SE LANZAN DOS MONEDAS . ¿CUÁL SERÁ EL SUCESO CONTRARIO
DE “SALIR AL MENOS UNA CARA”?
3.- SE TIRAN TRES MONEDAS . HALLE LOS ELEMENTOS DE LOS
SIGUIENTES SUCESOS :
3.1.-EL SUCESO SEGURO.
3.2.-SACAR TRES CARAS.
3.3.-SACAR DOS SELLOS.
4.- SE HA TRUCADO UNA MONEDA DE TAL FORMA QUE LA
PROBABILIDAD DE SALIR CARA ES EL TRIPLE QUE LA DE OBTENER
SELLO. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO ELEMENTAL?
5.-SE LANZAN DOS MONEDAS . CALCULA LA PROBABILIDAD DE QUE
SALGA :
5.1.-LAS DOS MONEDAS CARAS
5.2.- UNA MONEDA CARA Y LA OTRA SELLO
5.3.- LAS DOS SELLOS
6.- SE LANZAN TRES MONEDAS AL AIRE. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD
DE QUE SALGAN TRES SELLOS. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE
SALGAN AL MENOS UN SELLO?
7.-HALLAR LA PROBABILIDAD DE OBTENER CUATRO CARAS EN
CUATRO LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA
8.- ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER AL MENOS UNA CARA EN
TRES LANZAMIENTOS DE UNA MONEDA?
9.-LANZANDO TRES MONEDAS SIMULTÁNEAMENTE :
9.1.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES SEAN CARA?
9.2.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE 2 SEAN CARA Y LA OTRA
SELLO?
10.- AL LANZAR TRES MONEDAS AL AIRE , CALCULA :
10.1.-LA PROBABILIDAD DE SACAR LAS TRES CARAS
10.2.-LA PROBABILIDAD DE SACAR ALGUNA CARA
10.3.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER MAYORÍA DE CARAS.
11.-LANZAMOS UNA MONEDA EQUILIBRADA HASTA QUE APAREZCA
DOS VECES SEGUIDAS EL MISMO LADO. CALCULA LA PROBABILIDAD
DE QUE:
11.1.-LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL SEGUNDO LANZAMIENTO.
11.2.-LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL TERCER LANZAMIENTO
11.3.-LA EXPERIENCIA TERMINE EN EL CUARTO LANZAMIENTO.
11.4.- LA EXPERIENCIA TERMINE A LO SUMO EN EL CUARTO
LANZAMIENTO.
1.-DE UNA URNA QUE CONTIENE 8 BOLAS ROJAS , 5 AMARILLAS Y 7
VERDES SE EXTRAE UNA AL AZAR . CALCULE LA PROBABILIDAD DE
QUE :
1.1.-SEA UNA BOLA ROJA.
1.2.- SEA UNA BOLA VERDE
1.3.- SEA UNA BOLA ROJA O VERDE
1.4.-NO SEA ROJA
2.- UNA URNA CONTIENE 8 BOLAAS ROJAS Y 4 BLANCAS . SE SACAN
TRES BOLAS DE LA URNA UNA TRAS OTRA. HALLAR LA
PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS PRIMERAS SEAN ROJAS Y LA
TERCERA BLANCA.
3.-EN UNA URNA HAY 6 BOLAS ROJAS , 2 VERDES , 3 NEGRAS Y 4
BLANCAS . SE EXTRAEN SUCESIVAMENTE 3 BOLAS SIN DEVOLVERLAS
A LA URNA. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA LA PRIMERA
ROJA , LA SEGUNDA BLANCA Y LA TERCERA NEGRA.
4.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 9 BOLAS ROJAS Y 5 NEGRAS SE
EXTRAEN SUCESIVAMENTE DOS BOLAS . HALLAR LA PROBABILIDAD
DE QUE :
4.1.-LAS DOS BOLAS SEAN NEGRAS.
4.2. LAS DOS BOLAS SEAN ROJAS
4.3.-LA PRIMERA SEA ROJA Y LA SEGUNDA SEA NEGRA.
4.4.-UNA SEA ROJA Y LA OTRA NEGRA.
5.- SE EXTRAEN DOS BOLAS DE UNA URNA QUE CONTIENE 4 BOLAAS
ROJAS , 6 NEGRAS Y 2 BLANCAS. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE :
5.1.- LAS DOS SEAN ROJAS.
5.2.-LAS DOS SEAN NEGRAS
5.3.-NINGUNA SEA ROJA.
6.-SE TIENEN TRES URNAS :
LA PRIMERA CON 3 BOLAS BLANCAS Y DOS ROJAS.
LA SEGUNDA CON 2 BLANCAS Y 2 ROJAS
LA TERCERA CON 3 BLANCAS Y 3 ROJAS.
SE SACA AL AZAR UNA BOLA DE LA PRIMERA URNA Y SE INTRODUCE
EN LA SEGUNA , SEGUIDAMENTE SE SACA UNA DE LA SEGUNDA Y SE
INTRODUCE EN LA TERCERA Y FINALMENTE SE SACA UNA DE LA
TERCERA Y SE INTRODUCE ENLA PRIMERA.¡CUÁL SERÁ LA
PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES URNAS QUEDEN CON LA MISMA
COMPOSICIÓN INICIAL?
7.-TRES CAJAS IDÉNTICAS CONTIENEN DOS BOLAAS CADA UNA ; EN
UNA LAS DOS SON BLANCAS , EN LA OTRA LAS DOS SON ROJAS Y EN
LA OTRA UNA ES BLANCA Y LA OTRA ROJA. ESCOGIDA UNA CAJA AL
AZAR SE EXTRAE UNA BOLA QUE RESULTA SER BLANCA.¿CUÁL ES LA
PROBABILIDAD DE QUE LA OTRA TAMBIÉN LO SEA?
8.- SE TIENEN DOS CAJAS , EN LA PRIMERA HAY 4 BOLAS BLANCAS Y 2
ROJAS , Y EN LA SEGUNDA 3 BOLAS BLANCAS Y 3 ROJAS . SE ABRE UNA
CAJA AL AZAR Y SE EXTRAE UNA BOLA . CALCULAR :
8.1.-LA PROBABILIDAD DE QUE LA CAJA SEA LA SEGUNDA Y LA BOLA
BLANCA.
8.2.- LA PROBABILIDAD DE QUE LA CAJA SEA LA PRIMERA SABIENDO
QUE LA BOLA ES ES BLANCA.
9.- UNA URNA TIENE 6 BOLAS BLANCAS Y 4 NEGRAS . SE EXTRAEN DOS
BOLAS . CALCULAR LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES :
9.1.-QUE AMBAS SEAN BLANCAS
9.2.- QUE AMBAS SEAN NEGRAS
9.3.-QUE SEA UNA BLANCA Y OTRA NEGRA
9.4.-COMPRUEBA QUE LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES OBTENIDAS
EN LOS TRES PUNTOS ANTERIORES ES 1.¿POR QUÉ?
10.-UNA URNA TIENE 6 BOLAS BLANCAS , 6 NEGRAS Y 4 AZULES.¿CUÁL
ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAER TRES BOLAS SEAN UNA DE
CADA COLOR?
11.- UN JUEGO : TENEMOS DOS BOLSAS , CADA UNA CON 10 BOLAS
ENTRE BLANCAS (B) , NEGRAS (N) Y ROJAS (R) .
LA BOLSA 1 CONTIENE : 7B Y 3N
LA BOLSA 2 CONTIENE : 1B , 2N Y 7R.
TIRAMOS UN DADO ; SI SALE 1 o 2 EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA
BOLSA 1
SI SALE 3,4,5, o 6 ,EXTRAEMOS UNA BOLA DE LA BOLSA 2.
GANAMOS SI AL FINAL SALE UNA BOLA ROJA ; DE LO CONTRARIO
PERDEMOS .¿QUÉ ES MÁS FÁCIL PERDER O GANAR?
12.- UN BINGO INFANTIL CONTIENE 30 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 30
.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR UNA DE ELLAS SEA
UN MÚLTIPLO DE 7 o DE 3?
13.- EN UNA URNA HAY 9 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 9 . SE EXTRAEN
DOS BOLAS .¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA SUMA DE SUS
PUNTUACIONES SEA PAR?.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS
BOLAS LLEVEN ESCRITOS NÚMEROS IMPARES?
14.-EN UNA URNA HAY TRES BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL 3.¿CUÁL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAERLAS DE UNA EN UNA . SALGAN
EN ÓRDEN DE NUMERACIÓN?
15.- UNA URNA CONTIENE 50 BOLAS NUMERADAS . HALLAR LA
PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR DOS , LA PRIMERA SEA MÚLTIPLO
DE 4 Y LA SEGUNDA SEA MÚLTIPLO DE 3?
16.- PARA JUGAR A LA LOTERIA PRIMITIVA SE MARCA UNA
COMBINACIÓN DE 6 NÚMEROS EN UN CUADRADO QUE TIENE LOS
NÚMEROS DEL 1 AL 49.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE ACERTAR LA
COMBINACIÓN GANADORA?
17.-EN UNA URNA SE TIENEN 5 BOLAS NUMERADAS DEL 1 AL
5.CALCULAR LA PROBABILIDD DE QUE:
17.1 .-AL SACAR DOS BOLAS SEAN DE LA MISMA PARIDAD
17.2.-AL SACAR DOS BOLAS SEAN DE DISTINTA PARIDAD
17.3.-AL SACAR 2 BOLAS 10 VECES SEGUIDAS ,DEVOLVIENDO LAS
BOLAS EN CADA EXTRACCIÓN , SE OBTENGAN , ALTERNATIVAMENTE
, DE LA MISMA PARIDAD Y DE DISTINTA PARIDAD.
17.4.-SI SE SACA UNA BOLA , SE DEVUELVE A LA URNA , Y DESPUÉS SE
SACA OTRA , LA CIFRA DE LA SEGUNDA SEA MAYOR A LA DE LA
PRIMERA.
1.-EN EL EXPERIMENTO DE SACAR UNA CARTA DE UNA BARAJA .
¡CUÁLES SON LOS SUCESOS SIMPLES Y CUALES NO?
1.1.- QUE LA CARTA SEA UN AS
1.2.- QUE LA CARTA SEA EL 5 DE COPAS.
1.3.-QUE LA CARTA SEA DE OROS.
2.-DE UNA BARAJA ESPAÑOLA DE 40 CARTAS SE EXTRAE UNA CARTA .
CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE :
2.1.- NO SEA UNA FIGURA
2.2.-SEA UN BASTO O UNA COPA.
2.3.- SEA UN ORO O UNA FIGURA.
3.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS ASES SUCESIVAMENTE
DE UNA BARAJA SI UNA VEZ SACADA LA PRIMERA CARTA ESTA SE
DEVUELVE AL MONTÓN?.¿Y SI NO SE DEVUELVE?
4.- SE EXTRAEN DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA . HALLAR LA
PROBABILIDAD DE QUE NINGUNA SEA COPAS.
5.- HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL EXTRAER DOS CARTAS DE
UNA BARAJA LAS DOS SEAN DE OROS.
5.1.- SI LA PRIMERA CARTA NO SE DEVUELVE AL MONTÓN
5.2.- SI LA PRIMERA SE DEVUELVE AL MONTÓN.
6.-DE UNA BARAJA ESPAÑOLA SE EXTRAEN DOS CARTAS
SUCESIVAMENT , DEVOLVIENDO LAS CARTAS A LA BARAJA DESPUÉS
DE CADA EXTRACCIÓN . ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LA
PRIMERA SEA UN REY Y LA SEGUNDA UN AS?
7.-AL REPARTIR TRES CARTAS DE UNA BARAJA A UNA
PERSONA.¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE LAS TRES SEAN
REYES?
8.-EN EL POKER CADA JUGADOR RECIBE 5 CARTAS . LA BARAJA DE
POKER TIENE 52 CARTAS DISTRIBUIDAS EN CUATRO PALOS Y DOS
COMODINES , CALCULAR LA PROBABILIDAD DE LAS SIGUIENTES
JUGADAS:
8.1.-UN TRIO DE ASES
8.2.-UN FULL DE ASES REYES (TRES ASES Y DOS REYES)
8.3.- UN POKER (CUATRO CARTAS DE IGUAL PUNTUACIÓN)
9.-LAAS 40 CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA SE REPARTEN ENTRE 4
PERSONAS.HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA DE ELLAS TENGA
DOS REYES, SABIENDO QUE OTROS DE LOS JUGADORES NO LLEVA
NINGUNO
10.-¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AL SACAR TRES CARTAS DE
UNA BARAJA ESPAÑOLA LAAS TRES SEAN OROS’
11.-AL EXTRAER DOS CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA , CUÁL ES
LA PROBABILIDAD DE QUE :
11.1.- LA PRIMERA SEA UN AS Y LA SEGUNDA UN REY
11.2.- LA PRIMERA SEA UN REY Y LA SEGUNDA UN REY.
11.3.-QUE UNA SEA UN AS Y LA OTRA UN REY.
12.- AL EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA ESPAÑOLA , CALCULAR
LA PROBABILIDAD DE :
12.1.-SACAR FIGURA
12.2.-NO SACAR FIGURA
12.3.-SACAR ORO.
12.4.- NO SACAR ORO.
12.5.-SACAR FIGURA DE OROS.
1.- EN UNA CLASE DE 40 ALUMNOS SE FORMAN POR SORTEO, GRUPOS
DE DOS ALUMNOS PARA TRABAJAR EN EL LABORATORIO .¿QUÉ
PROBABILIDAD TIENE DOS AMIGOS DE QUE LES TOQUE JUNTOS’ , ¿Y
DE QUE NO LES TOQUE JUNTOS’.
2.- UN PROFESOR HA ACORDADO CON SUS ALUMNOS EL SIGUIENTE
PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN : NO HABRÁ PRUEBAS DE SÍNTESIS
, PERO CADA DIA RECOGRÁ Y PUNTUARÁ LOS TRABAJOS DE UN
ALUMNO ELEGIDO AL AZAR ENTRE LOS 22 DE LA CLASE .CALCULAR
LA PROBABILIDAD DE QUE TIENE UN ALUMNO DE SER AGRACIADO EN
ESTE SORTEO DURANTE LAS TRES PRIMERAS CLASES EN LOS
SIGUIENTES CASOS.
2.1.- SI EL PROFESOR VA ELIMINANDO DEL SORTEO A LOS ALUMNOS
YA EVALUADOS.
22.- SI NO LOS ELIMINA Y , POR TANTO , LES PUEDE VOLVER A TOCAR
INCLUSO AL DIA SIGUIENTE.
3.-EN UN CURSO HAY 65 ALUMNOS ENTRE MUJERES Y HOMBRES . EN
UNA EVALUACIÓN LOS APROBADOS Y REPROBADOS FUERON LOS
SIGUIENTES :DE LAS 40 MUJERES DE LA CLASE 20 APROBARON Y 20
REPROBARON . DE LOS 25 CHICOS DE LA CLASE 15 APROBARON Y 10
REPROBARON. HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN ALUMNO
TOMADO AL AZAR :
3.1.- SEA MUJER
3.2.-SEA MUJER Y ESTE APROBADA
33.- ESTE APROBADA SABIENDO QUE ES MUJER.
4.- LA PROBABILIDAD DE QUE UN HOMBRE Y UNA MUJER DE 18 AÑOS
VIVAN 50 AÑOS MÁS ES 0.6 Y 0.7 RESPECTIVAMENTE, SE PIDE :
4.1.- LA PROBABILIDAD DE QUE VIVAN AMBOS DESPUÉS DE 50 AÑOS.
4.2.-LA PROBABILIDAD DE QUE VIVA SOLO LA MUJER.
4.3.- LA PROBABILIDAD DE QUE VIVA AL MENOS UNO DE ELLOS.
5.- DOS JUGADORES DE TENIS DESPUÉS DE VARIAS
CONFRONTACIONES , HAN VISTO QUE LA PRIMERA DE ELLAS TIENE
UNA PROBABILIDAD DE 4/7 DE GANAR. SI PIENSAN JUGAR TRES
PARTIDOS , HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRIMERA DE
ELLAS GANE TRES VECES SEGUIDAS
6.- UNA COMPAÑÍA DE TEATRO DISPONE DE 12 ACTORES. SI CADA DIA
ACTÚAN 4 . HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN DETRMINADO
ACOR ACTÚE HOY.
7.- A UN CONGRESO CIENTÍFICO ASISTEN 100 CONGRESISTAS , DE
ELLOS 80 HABLAN FRANCÉS Y 40 INGLÉS . CALCULE LA
PROBABILIDAD DE QUE DOS CONGRESISTAS ELEGIDOS AL AZAR NO
PUEDANA ENTENDERSE SIN INTERPRETE.
8.- SE SABE QUE DE16 PERSONAS , 8 FUMAN BELMONT , 5 FUMAN
DERBY , Y 3 DE AMBOS TIPOS . SE TOMAN AL AZAR 3 PERSONAS .
¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE , DE ELLAS DOS FUMEN
BELMONT?
9.- EN EL LEJANO REINO DE PATULANDIA , A LOS CONDENADOS A
MUERTE SE LES CONCEDIA LA GRACIA DE QUE SU VIDA DEPENDIERA
DE QUE SACARAN UNA BOLA BLANCA DE UNA BOLSA QUE CONTENIA
50 BOLAS BLANCAS Y 50 NEGRAS. PERO , EN CIERTA OCACIÓN , UN
REO PIDIÓ LA GRACIA DE QUE SE LE DEJARA DISTRIBUIR LAS BOLAS
DE OTRO MODO ANTES DE SACAR EL SORTEO . TRAS ALGUNAS
DISCUSIONES , SE LE CONCEDIÓ LA GRACIA Y PREPARO DOS BOLSAS :
EN UNA COLOCÓ UNA SOLA BOLA BLANCA ; EN OTRA BOLSA COLOCÓ
49 BOLAS BLANCAS Y 50 NEGRAS .¿CUÁL RESULTÓ LA PROBABILIDAD
DE ESTE MODO , LA PROBABILIDAD DE SACAR BLANCA?