Números Hemiperfectos

Números Hemiperfectos
José Acevedo Jiménez
Santiago, Rep. Dom.
divulgadoresrd@hotmail.com
Abstract.
Algunos números, como los perfectos, semiperfectos, abundantes y deficientes, se definen a partir de sus divisores
positivos o más bien a partir de la suma de los factores propios que conforman a cada grupo. Así tenemos que un
número es perfecto siempre y cuando la suma de todos sus divisores propios sea igual al número dado; decimos que un
números es deficiente si la suma de todos sus divisores propios es menor al número dado, si tal suma es mayor que el
número dado decimos que el número es abundante. Los divisores también definen a los números semiperfectos, que se
definen como aquellos que se pueden expresar como la suma de algunos de sus divisores propios. Atendiendo las
propiedades que podemos encontrar entre los divisores de un número dado, en el presente escrito se muestran los
números hemiperfectos (hemi- prefijo griego que significa mitad). Definidos de una manera vaga, podemos decir que un
número es hemiperfecto si se puede expresar mediante la suma de la mitad de sus divisores, es decir, si un número
posee una cantidad
de divisores (incluidos la unidad y el propio número) y tomando solo
, a partir de un
algoritmo conocido, es posible sumar el número dado, entonces, podemos tener la certeza de que tal número es
hemiperfecto.
Some numbers , like perfect , semiperfect , abundant and deficient , defined from the positive or rather from the sum of
the specific factors that make each group dividers. Thus we have a number is perfect as long as the sum of all its proper
divisors is equal to the given number ; say that a number is deficient if the sum of all its proper divisors is less than the
number given , if such sum is greater than the given number say that the number is abundant. The dividers also define
the semiperfect numbers, which are defined as those that can be expressed as the sum of some of its own splitters.
Considering the properties that can be found among the divisors of a given number, in this written hemiperfects
numbers (prefix hemi - Greek meaning half) is. Vaguely defined, we can say that a number is hemiperfect if it can be
expressed as the sum of half of its divisors.
Keywords.
Divisores propios, divisores, números hemiperfectos, números perfectos, números abundantes, números defectivos,
números semiperfectos.
Un número es hemiperfecto
si tiene la forma:
Entre sus divisores se encuentran los números:
Donde:
,
y
.
En la tabla subsiguiente se muestran algunos números hemiperfectos, para
valores de
.
0
3
12
1
5
40
2
17
544
3
257
131584
4
65537
8590065664
Diagrama de flujo para saber si un número es hemiperfecto.
Nota:
El número impar debe ser de la forma:
.
Algunas características de los números hemiperfectos.
Los números hemiperfectos son números semiperfectos. Eso significa que
tales números se pueden expresar como la suma de algunos de sus divisores
propios. Ejemplo:
Los divisores propios del 40 son: 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1.
Como se puede observar, entre los divisores propios del 40 se encuentran,
por lo menos, dos números pares consecutivos (10, 8). Esta característica es
distintiva, pero no exclusiva, de los números hemiperfectos.
Los divisores propios que sumados nos dan el número hemiperfecto son
fáciles de encontrar. Ejemplo:
Dado el número hemiperfecto 544, encontrar los divisores que sumados sean
iguales al número dado.
Para encontrar tales divisores, hacemos lo siguiente:
Dividimos entre dos el número dado. El resultado también lo dividimos entre
dos y repetimos el proceso hasta que el resultado sea un número impar
(primo). Al último resultado le restamos dos, este número también es un
divisor propio del número dado; finalmente sumamos todos los divisores
encontrados y a dicha suma le agregamos dos.
Los divisores propios encontrados
de 544 son:
suma de los divisores propios encontrados
es:
La
.
Si
, entonces:
Donde:
Todo número hemiperfecto tiene una cantidad par de divisores (incluidos el
uno y el propio número). Del número total de divisores positivos
, sólo
basta tomar
(ni más ni menos) para que, al ser sumados, nos den el
número hemiperfecto dado. De ahí el nombre hemiperfecto (hemi- prefijo
griego que significa mitad). Si
, entonces:
Divisores no exclusivos.
Los divisores ,
y
no son exclusivos de los números
hemiperfectos. Por ejemplo, el número 72 posee entre sus divisores los
números:
,
y
. Pese a tener los mencionados
divisores, el 72 no es un número hemiperfecto. Esto se puede verificar al
buscar los divisores
.
; 16 no es un divisor de 72, por lo tanto, 72 no es un número
hemiperfecto.
Otro ejemplo es el 144, al buscar los divisores
, tenemos que:
144/2 = 72
72/2 = 36
36/2 = 18
18/2 = 9
18 – 2 = 16
En este caso vemos que el 16, efectivamente, divide al 144. Eso nos puede
hacer pensar que el 144 es un número hemiperfecto, pero, no lo es. Dado
que el 9, número impar, no puede ser expresado como:
.
Como se ha podido observar los números hemiperfectos poseen propiedades
distintivas que los distinguen de otros conjuntos numéricos. Si bien no todas
son exclusivas de ellos, la combinación de sus propiedades lo hace un
conjunto distinguible y clasificable.
Referencias.
Carmichael, R. (1907). A table of multiply perfect numbers. Bull. Amer.
Navarro Loidi, Juan. (2002). Los “Elementos” de Euclides.
Jara, Pascual y Villegas, salvador. (2008). Números Curiosos.
www.ugr.es/~anillos/textos/pdf/2008/numeros.pdf
Mora Flores, Walter. (2012). Introducción a la Teoría de Números. Ejemplos y
algoritmos. 1ra ed. (versión digital).