Número. 6 - Departamento de Matematica

·'
Número. 6
Volumen XII \
REVISTA
DE LA
UNION IATEJIATICA ARGENTINA
(MIEMDRO DEL l'A'.rRONATO DE LA MA:l'HEMATICAL REvmws)
ORGANO DE LA
e
ASO 1Ael ON FI S1eA ARGENl' 1NA
REDAC'l'ADA ,por
..T. Bubini (Directoí'), J. Rey Pastor, L. A. Suntaló y E. Guviolu (Delegado
c1e-lu A. F. A.)
o
MIEMBROS'TITULARES DE LA' U. M. A .
~ IVI. BALANZAT (Sun,Luis). - J. BARRAL
¡iOUTO (B. Aires) (fundador).-C.A. BULA (Rosario) (fundador).-E. ConOMINAS (Mendozu).-E. CHICHIZOLA (Rosurio).---iC. DIEULEFAEI.'. (Rosario)
(fundador).- A. DURAÑONA y VEDI.A (B. Aires).- FACULTAD DE-CIENCIAS
BXAC1'AS FÍSICAS y NATUHALES (B. Aires) (fundador).-FACUL'rAD DE CIENCIAS MA~'EJV[ÁTICAS (Rosario) (fundador). FACULTAD DE QuÍlIncÁ INDUSTRIAL
(Santa Fe) (fundador).-A. FARENGO DEL CORRO (B. Aircs).~Y. FRENKEL
(B. Aircs).-E. GASPAR (l~osal'io) (fundador).-F. L. GASPAR (Rosario)
(fundaclor).-J. GIANNONE (Rosario) (fundac1or).-A. GONZÁLEZ DOMÍNGm,z (Buenos Aii:cs) (fuuc1ac1or).-J. GONZ_~LEZ GALÉ (Buenos Aires) (fundador).-M. GUITARTE (Blwnos Aires) (func1uc1or).'-W. S. HILL (Montevideo) (fundador).-C. ISELM (l~osario) (fundador).-I-I. MAGI"IANO (La
Plata).-OnsERvATORIO AS~'RO:NÓ¡YIICO (La Plata).-A. LASCURAIN (B. AiI'cs).-J'. OLGUIN (Rosario) (fundac1or).-D. PA'PP (B. Aircs).-P. PÍ CA¡,LEJA (San Juan) .-E. R. RAIlVroNDI (Bucnos Aircs) (fundador) .:-J. E.
H,EYNAL (Bucnos Aires).-J. REY PASTOR (Bucnos Aircs) (fundador).A. E; SAGASTU!liE BERRA (La Plata) .-E. L. SAMA'l'ÁN (Buenos Aircs) (fun(lador).- J. SOR~I']UIX (Tucumán) (fundaclor).-D. T. A. DE SPELUZZI
(Bucnos Aircs) (fimdador).- E. TEHRADAS (La Plata) (fllndaclor).- F.
'TORANZOS (La Plata).-C. A. TREJO (La Plata).-J. C. VIGNAUX (Buenos
.Aires).-E .. H. ZARANTONELLO (La Platu).
.•J. BADINI (Santa Fe) (ful1Cludor)
o
BUENOS AIRES
1947
\ .
. .. ''*'
'.
O:;
•
(
UNION MATEMATICA ARGENTINA
J\HEMBROS
HONonARIO~
't'ulio Levi~Civita (t); Beppo Levi; Ale.iandro 'rerracini; George D. 'BirI,hoff (t); MurshalJ)1. Stone; Georges Valiron.
'
JUN'rA DIRECTIVA
Alberto Gonzúlez Domínguez, Paragnay 1327,. Buenos Aires
Viceprosidentes, J. C. Vignaux, E. n. Zarantonello. Seeretnrio ,general, M. Valentinuzzi.. 'I.'esorora, Clotilde A. Bula. Protesorera, Juana M. Cilrdoso. Diréc'tol'
ele la Rovista, J. Babini. Secretarios locales, R. A. RicabarI:a (IJa Pinta), P. L.
Chocchi (Córdoba). Elvira 'M. 'rula (Cuyo), F. Gaspar (Rosario), Ilda C. Gu¡)iehnone ('t'ucum{lll). '
Pre~idente,
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Inl Rafael Laguardia (Ul'Uguay). Ing. José Luis Massera (Uruguay).
Dr. Sorgio S,isp{mov (Paragua:¡,). Dr. Goc1ofrec1o GarcÍll (Perú). Dr. Leopoldo
Nachbin (Brasil). Dr. Roberto Frucht (Chile). Dr. Poter Thullen (Ecuador).
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Los señores miembros adherentes domiciliados en la Ciudad de Bnenos Aires
podrán, si lo prefieren, efectual' su pago en doce cuotas mensuales. de :ti 1.00
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'
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~
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't'csorcra: Estrella Mazzolli ele Mil thov, Buenos Aires, San Juan 1931.
Secretarios "Locales: Ernesto E.' Galloni, Buenos Aires,' Yerbal 1763.
Fidel Alsina Fuertes, La. Plata, caIJe 44, NQ 717.
Guido Beck, Córdoba, Laprida 922.
José Würschmidt, 'I.'ucumán, Lapdda 765.
\-
/ .
-
LAS FUNCIONES DE GREENDE LA ECUACION '.
DE. KLEIN - GORDON
.
por
MARIO SCrrONBERG
.
I
Departamento de Física, San Pablo (Brasil)
(Recibido el 1 de noviembre de 1946)
(Continuaci611 )
8. - Ondas con energías positiva y negativa.
. Co;nsi~leremos las. dos funciones
+'"
DH(x)=~J
,
~3
-?
exp[i(K,;)+ikoxo]dgK
~
(141);
-:lO
D(x) puede ser expresado ¡en términos de D(+)(x) y DH(x),:
.
1
D(x).= '2 [D(+)(x) -DH(x)].
(142)
Las funciqnes D<±) (x) son soluciones de la ecuación de
Klein-Gordon
i(D +X 3 ) D<±) (x)=O,
(143)
como se puede ver fácilmente si tenemos presenta (140) y (141).
D<±l (x) 'puede ser caracterizada como la: solución de (143) que
satisface las \condiciones iniciales
-266-
+=
[D
(±l(' )]
x
f
dK
1 o
(%0-0)=-4'" exp[i(K,r)]-"-=-2
?
'i
-+?
3
1t~.
l'
1~0
~Ho(l)(ix1')
.
(144)
u1'
-X)
.
.
Las funciones D(±) (x) pueden ser expresadas' mediante fun-:ciones de ,Hankel:
·10
---;;¡ or F(±) (1', xo)
D(±) (x) =
1
- H 0(2) (X 1/x 02 -r 2)
2··
•.
.
1
F(-t)(1', x o):-
.
-"2 H o(l)
1
F<-1(r, xo)=
~
.
1
(148)
.
H O(l) (X Yx 02_1'2)
1
.
__ -HO(l) (X YX02-1'2)
2
xo>1'
(X YX 02-1' 2): 1'>xo>-1'· .
~"2HO(l) (X YX02"':"'1'2)
.-
(146)
.
"2liO(2) (X 1IXo~-1'2)
':"'-r>xo
xo>,r
r>xo>-1'
(147)
-l'>xo·
P~r medio de D(±) (x) ppdemos formar otra solución real
de la ecuación de Klein-Gor,don,: que tiene gran importancia:
(149):
Esta función es' bien conocida y aparece en la t?,Oría del positrón.
Dl(X). es la ~solución de la ecuación ele KleiiJ.-G¡o¡r~don dete~­
minaelapor los val'ores iniciales
-2.67-
.""
(150)·
..
: .:.
:".:
~
,
aD
. 1 (x) ]
[-axo
:"
(151)
=0.
(%0=0)
.',:'
9 .. ! ~ Hasta ahora hem03considerado la ecuación de KleinGQI'.dop como referida a un campo de ondas mesóni~s. Ahora
sup<i(tidremo& ·.que la ecuación de Klein-Gordon está r.eferida' a
un. .c~mpode ondas electrónicas, para investigar la contribución
de las ondas con energías negativa y pos!itiva. ..•
.
Las ecuaciones (140) y (141) muestran ,que D(T)(X) está
formada· por la superp;osición de ondas p,lanas con e~ergía po.
~-+
sitiva exp [i( K, r} - ileo x o] mientras q~e DH( x) esiá formada .
por la superposición de ondas con energía negativa
~-+
exp [i(K; r)
+ i ko xol.'
La función D(x) es una solución de la ecuación ,de Klein,Gordoo formada por la superposición de onrIas con energías de
ambos signos, como resulta ele (142). Dl(X) está tambiénfor. mada.porla . sup,erp:OOicióinde ondas con energías negativa y
pOsitiva.
,
:Es notable que las funcione,,> D(±) (x-x') no se anillan cuando (x') está afuera del COino de luz die (x), com¡o se \líe en las.
ecuamo)l1és (146), (147) Y (148). Por lo tanto las sohicion.es
de la ecuación· de Klein-Go'rdon representadas por D(±) (x) . contiepen acciones con velocidades de p;ropagación mayores de c.
Como J)(±) (x) son las únicas solucion(\s invariantes de la eouación : de Klein-Gordon que pueden ser formadas por superposición de ondas planas con el mismo signo de .la energía y
todas las longitudes de onda pos~bles, se ve que (,es necesario
,cOfl,sider.ar soluciones de la ecuaciÓn de Klein-Gondon formadas
por la superposición de ondas de ambas energias (negativa ,y
pos'itlva) , p(lra evitar acciones con velocidades de propagación
maY'0res de c.
De (140) y (141) obtenemos
dK
D(±)(x) = -l-f e ± 1'kOXO(e l·K·r _e- 'Kr)_
J
21t1'
u
,
ko
(152)
-268-
(153)
La ecuación (152) da la descomposición de D(±) (x) en
incidentes y emergen bes , que corres'E0nden a e-iKr y e,Kr,
respectivamente'. Es interesante observar que si aplicamos la
interpr.etación usual a las ondas esféricas de D.H( x) tendríamos que oopsiderar la onda emergente con ,energía negativa
o~ldas
~exp
r
[íleo X o +iKr J como
una onda 'incidente, porque los, ra,
dios de las esferas 'cuyos puntos tienen la misma fase, decre'-'
cen cuando X o crece; la onda de energía negativa in'cidCliic
~ exp [ile oX o -
Ú(r] aparece como una onda emergente, con la
r
interpretaCión usual.
Las expresiones de D(x-x') ,
1
D(x-x') =2 [G,:el(X, x') - Gav(x, x')],
,
(154)
1
D(x-x') =2 [D(+}(x-x') - D(:"')(x-x')],
(155'),
que correspü¡nden respectivainenLe desde los puntos de vista de
los campos de ¡o:qdas mesónicas YI electrónicas, ,cornesponden
tambit\n a difererites descomposiciones de los campos radiativos
e11 ondas emergentes é incidentes. Mientras en, (154). están las
. ondas emergentes' del campo retar,dadl()l y las ondas incidentes
de los campos avanzados, en (155) hay dos clases ,de ondas
emergentes ,e'incidente's origjnadas en las energías p:eg~tivas y
positivas. La teoría de Dirac de los fotones de energía negati-va (12) puede ser considerada como una tentativa de intr:oclucir
una descomposición del tipo (155) en el campo electromagnético.
'i
Las singularidades de D(±)(x-x') en el cono de luz de ,(x),.
no nos permiten obtener soluciones l\J(±) (x) de la 'ecuación homogénea de Klein-Gordon : referida a una inhomogeneidad' 41t
p(x) similar a l\Jil'r(X), Y que co~tenga solamente ondas conener':'
gía negativa o positiva. En ,verdad, una tal solución sería
+00
l\J(±l(x) =
J D(±l(x'-x') p(x') d x',
4
-00
(156)
-269-
. ,~
pero la jutegral del miembro der,echo de (156) no tiene significado debido a las singularidades de las funciones D(±) (x-x') sobre el cono de luz de (x). Para poder dar un significad.o a 1!U
integral de (156) podemos usar integrac::ión' compleja para la
variable x o, pero aUn usando integración compleja no podemos
definir. soluciones del tipo t¡J(±) formadas' solamente por superposición de ondas, de energía negativa y positiva.
10. - Las singularidades de D(±) (x) ,pueden ser convenientemente analizadas por medio de las expresiones F(±)(r, xo),similar á aquellas de F(r, x o) dadas en la 'sección 2. Tenemos
",
,1
F(+)(r, x o) = - [1 +sgn (x Q-r)]H()(2) (x VX02-r2)~
4
. t'
1
,
'
- - [l-sgn,(x o-l')] Ho(l) (x VX 0 2-r 2 ) =4
"
'
,
¡ "
1
'=2 sgn (xo-r) Jo (x Vx 02_1'2) - 2: N() (x VX0 2-r2).
(157)
De manera análoga obtenemos
De (157) Y (1'58) obtenemos
FH(r; x o) ~ F(+) (1', -x o)'
(159)
No es la función de, Neumann de orden cero, de acuerdo
con' la 'denominación usada por Courant~Hilbert (2). Es la función de Weber de orden cero, según la denominación de G. N.
W,atson, que la designa por Yo' No(u) tiene una singularidad logarítmica en el punto u = O.
(160)
~
No( u.): =
; , ,
~1t, .--...
J o( u) . (log ~ +
2
C) + series de potencias pares en u
C = 0,5772157 . .. (constante' ele Euler)
'
(161)
-270-
,
ti'
Necesitaremos la expresión de la derivada du Nó( u) que se
w~a' generalmente como
, 'd '
áu No(u) =N1 (u).
" (162)
N1 (u) ~s la función de Neumann de primer orden'
, N1 (u) =
,~
J 1 (u)Oog
~ + C) --~~+
+series de potencias impares en u. ,
(163)
Sin embargo, la fórmula (1.62) no es adecuada para los métodos simbólicos que estamos usando. Debemos iomar
:~No(u)
,-N1 (u) -2il'l(u).
(16.1)
La ecuación (164) resulta inmediata~ente de (16,0) teniendo
_en cuenta que
'
dI'
1
.
-d
og u= - - i1tb(u).
u .
u
, (165)
',' '(r6~)Obtenetn~de(i57)Y (158), y teniendo presente, (18) Y
D(+)(x) , l'I(xo-r)
,
r
(166)
Teniendo presente (29) y (30) obtenemos de (166) y (167)
(168)
(169)
Estas ecuaciones son importantes p'orque muestran la relación entre las funciones D<±)(x-x') ylas funciones de Green
para las solucionesavanz,ad.a y retardada. Tambiénsori importantes desde otro punto de vista, ya que muestran las r,ela<ion'es
entr,e las funciones de Greeri y la solución fundamental V (x,. xi)
de la ecuación de Klein-Gor,don, por ser
Obtenemos de (168) y (169)
,
' . H (1) ( V(1.1. '1.1.) ( . x') )
Dl(X-X') =iG(x, '(1;') + _lX 1 X X,-',1; x~- u
"
.
2
V(xl.l.--x 1.1.) (xu- x u)
- ih({xl.l.-x'l.I.}{xu-x' u}),
(171)
Cuando X= O, la solución fundamental se torna
(xu.-X'I.I.)~xu- x' u) .
[V(x, x') ](x-o) =
(172).
y
[D(+)'(x-x')] (x=o) = [D(x-'x')]éx=o)~~[V (x: x') ](x=o)
,
,
'
,
.
'.
TI
(173)
,
i
[DH( x-x')] (x -o) = - [D( x-:-x')](x =0)- - ; [V (x,x') ]CX =0)
.
(174),
-272.'
·.··1·
..
.
[Di (x'-x') ](1.~o) -: -[V (x~ x') ](1. =0) •
(175}
re
Es -importante hacer notm'que tenemos. siempro'
'.
'i, .
D(+)(x-x') .:....D(x"7""x') - - V(x-x')
re
....
.
1
D1 (x-x') = - V(x-x')
i
'.
re.
+. términos
.
+términos regülares.
'
DH(x-x')=-D(x-:x')-~V(x-x')
re
"
.
+términos
.
regulares.
.
(176) .
..
....
regulares. (177)
(178)
Designamos aquí con «términos regulares:» a aquellós que
no divergencuando el intervalo entre los puntos (x) y (x') se
anula. Resulta de (176) y (177) que las 'integrales del miembro derecho .de (156) no tienen significado deBido a las singu- .
laridades de V(x, x'). Las singularidades de V(x, x') no son las
mismas en el caso general cuando X'C""/= O Y en el caso \,particular
cuando X= O; esta circunstancia da cuenta de .la no validez del
principio de Huyghens para campos cuyo cuanto tiene masa
finita.
11. - Funciones de Green eri. el oampo de la integración
compleja.
Schrodinger (5) ha'~ demostrado que la solución .retardada
de la ecuación inhoinogénea de Klein-Gordon, que co.rresponde a un punto fuente en movimiento., puede sér expresada
' la
.
1 comp1eJa
. que contIene
.
como tilla mtegra
aN'1 (xu) , es d
. 'eClr,
.
u .
solución fundamental V (x~ x'). El método. de Schrodinger puede
ser extendido a cualquier clase de inhomo.g"'eneidad lo. mismo.
que a otros .tipos de solucio.nes de las ecuaciones inhomogéneas
de Klein-Gordon. Veremo.s que la solución fundamental es una
especie de func~ón de Green si se uLiliza integración I.compleja
Gon respecto a la variable tiempo.
, .. Consideremos las integrales Y(+) e Y(-):
-273-
y(+)=-
! f·
V(x, x') p,(x') dx'o'
(L+)
y(~)'
..
'.
(179),
.
-! f V(x,x')p(x')dx'o~(L-)
(180);
.
L+ Y L ~ .son los cammos de integración representados en
lá fig. 2. Teniendo presente (163) y (170) obtenemos
:1.
Fig. 2.
(181)
Y(+)=xJ~ J (X V(Xft-X'fl) (xu-x'u») p(x')dx'
1
-00
V.cXfl_X'fI)(xu~x'u)
., o
-+
:Vo
_ [p(X')] ,
~_;'I'
'.
(x'o=xz)
+
= Xo -17'-1" l·
(182);
+ +.
",:
Xo ~Xo +/i'-r'l·
..
De donde
(184)
\
-274'.
tP;et(x) =
+x>
!
"
,
jdax' JV(x, x') p(x') dx'o'
(L+)
-OC>
(185)
I
!r J
+x>
tPav(X) =
da x'
V(x, x') p(x') dx'o'
(186)
(L-)
Podemos reemplazar en (185) y (186) la fmición V(x, x'),
por alguna otra función U(x, x') tal, que la diferencia V(x, x')
-U(x,x') sea analítica y r,egular para todo valor r~al de x'oEs notable que no es de ninguna manera neoesarioque
y(xfL-x'fLj(Xu.:"'-x'u.) U(x, x') sea una función del argumento
s = Y (xfL- x'fL) (Xu.- x' u.) ; y si es una función de este argumento, no neoesariamente debe ser una solución de la ,ecuación de
Bessel
d21
1 di .
l'
-+--+
(1--)
1=0..
ds 2
s ds
S2
(187)
Las considera'ciones preoedentes muestran que si tratamos
de definir las funciones tP(±l (x) por medio de integración compleja, en el miembro derecho de (156), tenemos una gran arbitrariedad. En verdad, debemos' neoesariamente usar integraci6n
real. con respecto a x'o para los términos que provienen de la
parte de D(±) (x-x') que se asemeja
b; por otra parte hay
térininos qU(;l pueden ser integrados por integración compleja o
real, pero ,el resultado depende esencialmente de la clase de integración que se utilice. .
,
Las 'consideraciones precedentes, referentes a la posibilidad
de reemplazar V (x,x') por otras funciones muestran que tenemos
a
-l-oo
. tPret(x, x') =i
f J
dax'
-00
D,l(X-X') p,(x') dx'o·
(L+)
+x>
tPav(x,x')=i
.
Jda x' J Dl(X-X')p(x')dx'o·
-OC>
(188),
(L-)
(189)
-275Si ponemos
+00
2
J ... dx' f '"
0=
dx' o +
(L+)
--00
J ... dx'
(190);
o'
(L-)
obtenemos
-f.,oo
,tPliy(X):='i
J Q1(X-X') p(x') dx'o'
(191);
-Xl
El métoflo ,de obtener soluciones de la ecuación inhom:ogénea de Klein-Go;rdon por intermedio dt} V(x, x'), está relacionado con el usado por Sommerfeld para la ecuación de D' Alembert (13). Ya hemos visto que la función Vex, x') se .convierte en
S-2G(x flo -x'flo)(x¡¡.-x'u;)]-1 cuando X=O;; de manera que. la
fórmula de Sommerfeld pueda ser obtenida de (185) colocando·
X= O. Veremos en la siguiente sección que el método de Som:medeld puede ser extendido a la ecuación de' Klein-Gordon.
12. - COIllisideremos la ecuación diferencial elíptica
(192)
La función W(y, y')
W(y. y')=~ JtX N1 (xR)
I
,
2
R
(193):
es una solución de la ecuación
,
.
Sea .Q un volumen del espacio cuatridimensional enoerr.ado
por la superficie ~. Para dos fu¡nciones ~,tP cualesqwera, re-
-276-
guIares, én
.o,
tenemo¡;
, (196)
n = normal exterior a .:E.
Tomemos ,~ como solución de (192) que se anula ,en el
infinito yiq,= W(y, y'); el dominio de integración sea todo el
espacio cuatridimensional, menos una pequeña esf,era S con centro en el punto (y) y radio E. Como
d2
3
'
(197)
(.:E-'-2 -X 2) W(y,y')=O
p.-o dy IJ.
en
.o,
obtenemos, de '(196) Y (192)
(198)
f
- 4n W(y, y') p(y') dQ=
g
f
d~
d
un
un
[W(y, y'):\ -l\J:\ W(y, y')] dS.
(8)
-
,
Cuapdo E tiende hacia cero, el primer término bajo la integral en el miembro derecho de (198) da una contribución nula
a la integral, porque la mayor singularidad de W(y, y') es.
R-2~ Por lo tanto
lím
E-)-O
f [lV(y, y') dt¡J -:tp ~ TITe)', y')] IdS
dn
(8)
; dn
"
,
=-
t¡J('x) lÍlJ11
f R32 dS = - 4n2
E-)-O (8
)
~(x).
(199)
,
"
De donde
--1-«>
~(y)= ~
,
I
W.(y,.y') p(y') d4y'·
(200)
'
La ecuación (195) 'es una consecuencia evidente de la
(200).
_
La ecuación elíptica (192) se transforma en la ecuación in-
.homogénea de Klein-Gordon por el cambio de. variables
W{y, y') se transforma en V(x, x'). Las ecuaciones (185),
y (186) ',se pueden considerar como las formas transformadas
.
. .
de (200),
13, - Podemos usar como funciones de Green para la integración compleja una función sin singularidades logarítmicas
U(x, x')
U(x, x') = i1t X J 1(xl V(Xfl_X/~)(XU-X'U) 1)
2
.V (XfL-X/~) (x u-x' u)
+.
(202),
Se ve. fácilmente que
-l-«,
tPrel(a:)
=! f
d3x'
J'u(x, X/)p(X/) dx'O:
(203),
(L+)
-l-«,
.
tP~v(x) = ~ J d3x' J.U(x, x') p(x' ) dx'O'
(204),
(L-)
14, _ La función J 1 (xs) ,
.
s
. Hemos visto que las varias flmciones de Green de la ecuación de Klein-Gordon difieren de las correspondientes para la
ecuación de D' Alembert en términos que contienen a la función
J 1 (xs)
. ' se re·f'leren preCIsain,ente
,
- , eomo estos termmos
a1 d'f
r·erente
s
.
comportamiento de los campos mesónioo y electrlCWIagnético es
importante examinar las propiedades de J 1 (xs) ,
.
s
J 1 (xs) es una solución de la ecuación de Klein-Gordon
s
-278-
(205)
que es igual a -
~ sobre el cono de luz de (x). De donde re-
sulta que
(206)
.
-+
-+
_ b(xo~x'o-lr-r'l)
-x
-+ -+
(207),
.lr-r'l
. [J (xs) {l-sgn (xo-x'o+ Ir-r'1)}1= .
(O+X 2),1
-+ -+
2s
'
"
-+
_
-x
-
b (Xo-X'
-+
+
0+ 1r-r'l )
-+
(208)
Ir-:r'1
Estas fórmulás ,conducen inmediatamente a la expresión de
las func!ones .de Green de la ecuación de Klein-Gordon; basta
tener presente ,que
No podemos obtener una solución de la ecuación homogé-'
nea de .Klein-Gordon de la forma
(210)
porque
J1(XS )
-=-"--'-
. cliverge cuimelo S2 = - oo. Si limitamos la intes
grac;ión a "la región del espacio-tiempo interior a los semiconos
-279-""
del pasao o idel futuro del' punto (x); 6 a toda la región interior al ,000llO de luz de (x) no obtenemos ninguna otra solúci6~
de la ecuación homogénea de Klein-Gordon ¿j,ebido a las ecua- .
ciones (206), (207) Y (280) .. Consideremos, sin embargo las
funciones
.
(211)
,
-J.«>
-
.
X
tPir'/+)(X) = 2
f
+?
J1 (xs)
p(x') d4 x'.
'.. s
[l+sgn (xo-x'o-lr-r'I)]
.
(212)
-
:
X
tPir¡lH(x) = -
-J.«>
.
'
J [l-sgn.(xo-x'o+lr-r'I)]·
+
2·
Obtenemos de (207)
~
J . ( xs. )
1
s
.
p(x') d 4 x'.
y (208)
-(O+X 2) tPil'/r)(;v ) = X~ [tPrelC x) ](x~o).
(213)' .
(O+X2) lPir~X-)( x) ~ X2: [tPav( x) ](x=O).
(214),
De donde
(215)
(216)
tP¿.,.(t) tPirl'(-) pueden ser convenientemente expresados por
iptegrales complejas
(217)
,
+~
- ..(-
X
tPirl')(x)=-2
J d x' J
3
(L~)
J1
(xl s l)
s
(' d' ,
px)xo··
.
(218)
-280~
L+ ':J L - . son los· carrii,nos de integr.ación representados:' 1fiil
.lá fig. 2. '¡Las ecuac~o¡nes (217) y (218) evidentemente están
rel"ciO',l1adas con las ( 203) Y (204).
15. - M. Riesz (7) ha dado un método de integración de
las ecuaciO',l1es .de diferenciales· parciales hiperbólicas de segundo
ordep. en las (males aparecen funciones que están vinculadas a
las soluciones fundamentales de Hadamard. En el caso. de 'la
ecuación de Klein-Gordon la función de Riesz es· Za( X, x') .
ro
'r(l-~)
Za( x, x') :=;E.'
.
2
.
1=0 1'(l+l) l' (1--;
2rc
X2l Z oa+21( x,
-l)
.
a-!
xT
. .
(219) .
2rc
Zoa(x X/)= _ _ [(X!L_X/~)(X'-X' )]"2=-_sa-4
'!l(a.)
u
u
!l(a)
(220)
(221)
Se ve fácilmente que
Za(x, j;,) - a
1
a-!
.
s-
.J a--4 (Xs).
(-) 2
2"2[' (;)
X
.
2'
(222)
.
Zóa(x, x') es la función ele Riesz para la ecuación de
D'Alembert; está relacionada con la solución fundamental mediante esta ecuación
a-J,
a'
I
-
2rc [
ZO ,x,x)-.!l(a)
I
V(X,X)
J-2
<1..=0):
(223).
Se ve inmediatamente que
(224)
Riesz 11;a demostrado que
(225)
,-
/,
..:-281-
"., -1"t" pex) ".
"
. . A',
"
','.
~
.
"'"
','
.'
A:: ,.
'.
,'-'.1-
\,.
T[l
z
+sgn (xo-c"' 0;--1 ;-; 1) 1 0«( x, "')p( x') d,""
_
"_~.:'
"
_
.,'
(~26)
",
,~ "LR in.,te[raf del mi~mbro ,derecho de (226) tiene significado
para vl:!lóres\de a., eón' parte real 'mayor' que dos~ pero si con-'
,.' sii!er'\arrios I;,~r.a p(x) comoU(Ila función del, parán:'letro com• pIejo' a., pue9.8 ser prolo!ngada ,analíticamente ,p,araotros valores
de a.; La prol~ngación, analítka. para valores, con parte fe al Ra.
'positiva' puede ,ser 'efectuada, 'por, una 'integración ,'parcial. ,Efectivamente; poilgamos ~ ,x:o-:-xo y 9btendremos
~
.
, i
,,'
, sa-:-,t
,
,
1 (f,
1
= - '- '---- -
sa-,-2
'a.-:-2 ~'u~,'
.
(227)
, De ,donde
+",',
¡,,,«pex )
;'
,
' 2",-'2
.'
,',
[ \
r' ,,2,
'..::..
~I;'-;,I
)]'J d X.' J :, (~'C
sa~2)'p(x')d~.,
)u'o
3
.(228)
''o
-oc
:-'"
,Por integración parcial obtcnéinos de (228); para Rri >2
;;
(229)
Esta f6rmula nos permite prolo~lgar analíticamente 1,-el,a,p(x)
para Ita ;>0; así obtenemos' ,
;
, [tPre¡{x)] (x';"O) • ,
'"
-
\
(2:30)
I
"
,Podemos e~cribir fórmulas análogas a la: (225), para la
ecuación de., rÜein-Gorclon
,
''',
"
.
(231)
:...-282-
(232)
l'
Para valores de a. con parte real 'mayor ,qued~s'
,..1-«>
,
J
,
Jr~ta p(x) = [l+~gn (xo~x'o-I;-;'I)] Za(x: x') p(x') d4x'
(233)
-X)
+>
Ja~ap(x) = J'
,
,
[1-':sgn (xo~x'o+I;'-;1) ]Za(x, x l)p(x'),d4 x" -
(234) "
-«>
y,
Para ot~os valores ele a. los' funcionales .r;eta
Java están
definidos por prolQngación analítica. ASÍ, por ejemplo, obtenemos de (229) y, (219) ,
,'
Jreta p (x) =
,
,
,
"
1
JJ..oÓ
2
1
2~--2 [r ( ~ )
-«>
~
'
~,[
J
X21
, 00
,I
1=1
y, en
,
"
_
'
,,'
'
.
"
p (x'), ] d4 x'.+ 2n '[1 +sgn (xo-x~ 0-1;-; 1) ]
'.'
"
"
OX o xo-x o
"
~ '-7
'
[1 +sgri (xo-x' 0-1 r-r'l )] sa-2
1''(1- a.2 )
sa-4-¡-2 1
\
' p ( x ' ) d4 x'.
H(a.+2l)r(l+1) r (1- f--l)
(235)
forma análoga obtenemos '
...:~I.
~
" J uva p (x) = -'-- _ [ '(' 'a )
"
"
]:
2a1 1 -2 , '
,
'J, [l-sgn (~o-x' 0+ I~-;' 1)] sa~2
-O<>
, "
'(
.. '
,.
+""',"',
'~[ p(~') 1,d4~'+21tJ [l~~gn (xo-do+\:-;\)]i'
"ox' O xo-x' O
.'
'
'<lO
. ,I'
,
~.
'
.
"
"
'
(1- ~)
•a.
-X)
'X 21
"
'
'sa-4-¡-21
' " p ( x ' ) d4 x'.
1~1 H\ ~+2l) 1'([+1) r (1-- ~ -<l),
"
Resulta ,de (235) y (23~) que .
'
',.
',,'"
"
(236)
1,'
. -283-
..
1;¿t.;p(x)=Iret2 p(x) -
,
.
....
-~.
X'J'"
-+ -+ .' 11(XS)'
- ..
. "2' •[1 +sgn (x:o-:-x' 0-1 r--:r' 1)] s .p(x') d4~'
.
-."
.
.
(237)
'-
!
' (xo-!-V' 0+ 11'-r' 1)] J (xs) P(x') d x'
"2 J [1-sgn
+00
.
X
+
+
1 S
.'
4
(238)'
-<>O
(238a)
.
-
. Obtuvimos pues (2,31) y (232). lIe~os,demostrado la validez de ,(231) y (232r haciendo. uso de nuestro conocimiento
previo de las soluciopes avanzada yretarda:da de la ecuación inhomogénea de. Klei,n-Gordon. Así hemos. deducido expI.;esiones
de aquellas soluciones del tipo de Ries'z, sin usar el método de'
Riesz. ¡\.hora deduciremos. dir~ctamente por eE;te' método la (231)
,y (232). ~esulta deJa defipición de los funcionales !re ta y J((Va
, que para'valores ele a, cuy:a parte. real es suficl,entemente· grande
(O+X 2)
p(x)
(239)
. (O+X 2) J av a+2 p(x) . Java p(x),
(240)
Jl' etCJr/-2
p(x) =
Jre/a
. (241)
(242)
1",
Estas ecua,ciones son evidentemepte válidas para todos los
valores del. parámetro a, para el cual podemos,' defipir los fun. cionales JporproloingacióIi ,analítica; Se lpuede ver que la prolongación analítica es' posible cuando' a, -:-.0; por lo, tanto
'
.,'
,
,.\
(O+x 2) 1ret a p(x) =41t p(x) .
/(243)·
(O+x 2) Java p(x) =41t p(x),
.(2 l14)
l·:
,
',.~
1"' '
-284-
como. consecuencia de (239) Y. (240); Y
¡relo p(x)
=4n p(~)
:
".","
!
\
.(245)
,
Jauo:p(x) =41t'p(~),
'.
(246)"
como cQl1secuencia' de (241) y (24$). Así obtmiemos' (231) Y
(232). "
'
:. ~ (
16 . .:...... Las' consideraciones ,precedentes indican que el método de Riesz est~ basado en la posibilidad de definir el' o'parador
unidad y operadores diferenciales, coh1,o prolongac¡ón a.naHtica
de operadores. integrales real,es CQIl' Parámetros complejos: ,Así
obtepemos un método. que .ilosp~rinite evitar el, uso de la fun-'
ción b, de Dirac, y sus 'derivadas~ Para ,obtener un mejor dis-,
cernimiento' de estas cuestiones consideremos la integral de Riemann-Liouville de orden fraccional
o
o
.
\
"
1'(:) JI( t) (u~~)a-l dt
1t
yate u) =
->O
,"
(247)
'
E~ta ~epresentación de ya es válida para valores, de a eon
,parte real ,positiva, pero puede fácilmellteser extendida a otros
"valores por prQlorngaciónanalítica., La prolongación puede ser
efectuada por' integ:aciones parciales suces~vas, y cpnduoe las'
ecuaciones
" ~ "
a
'yO f(u) =f(u)
.
\
dn
"
y~~ I(n)" du n I\u),
(249)
~".
.dOnde n es un número entero pos\tivo. Como
r
Z"(x, x')p(x)rh'o ..
xo-I~-0/
'"
2""i'-(~)\'{i--1 )
..a
f [( xó-x'o~ ,;-;, 1') (Xo-'-x' 0+ ,;-:-;,!)] i
:..-;.0
,
'
(250)
/+ +/.
H'
,
4
p( x') clx' ~ ~
. "
,
','
. ~, . ,
,"
-:- 285, ---'
,
,\
"I~ ~I
,':
, ,
."
,'fxo-S:~:"'[ ,'(XS)2
,1
<2a/~r(;)
-00'
-.
,
41'(;)
Y
,
~
a-2
~
,a-!
, (~51)
, y T, {( xo~x' 0+11',1"1 ),"Tp( x')} (x'o-~o-I;.~-:.;!)
','
, ,: . 'Por lo tanto tenemos,
,
-+1
Xo- ~
,'}'-.r·'·
I
.,"
.
,
J Za(x;x') p(x')dx'o ,
. (X S)3 . -1-",] p(x,) dx'Íl'
161' (-;- +1 ), .
I
'De donde
, . 1'+
"['fX.'-
,',,'
~I"
,", /
1''':'',.· ' , , '
'
"]'
,
'
[P(X'} ']
Za(x,x')p(x')dx'o
= + +,
", +\-+,
,_,(a~)
11':-1' 1, (x'o~xo-I'1'~1"/)1
=1)
-;o
,
"
_v.:.J.
"
l.
, 1+'}'-:-'},-+'1' .
?,o"
/ -~.
X
J(x s)
2
' 1 ' . p(x,) dx' o.
J
..
.
"S,
'
(253)
.
Las ecuaciones (248) y (249) muest.ran "que el uso de la
, prolÓ;ngación analítcia de la integral de' Riemalln-Liouville con"duce a los mismos resultados qu~ seobtien~n sÚnbólicament~ por
/
'
I
-286-
medio de integrales vinculadas a la fu,nción b y sus derivada,;>.
Como, la forma de Riesz de las soluciones .de la, ecuación de
"Kl~in-Gor.donpuede ser derivada de las, propie,dades de las Íll-'
tegJ;'ales prolongadas de Riemann-Liouville, el método de Riesz
pu~de ser ',considerado' com'O un resultado del l1eemplazo, de las
integrales cpn ,funciones, b, por aquellas del tipo Riem'ann-Liou-,
'ville. Así vemos '~as profUndas analogías' entre las ecuaciones
.(237) y (238) Y aquellas obtenidas mediante Grel Y Gav . La ecuación (233) és anáLoga a la ecua~ión (23) para la~ funciones da
.
'
lli~.'
17. - Se puede obtener fáéilment'e generalizaciones ,de lab
Sqlucio:Q.es. de la 'forma de Riesz.,
,Sea '~rd~,( x, x'; ,a) .una función regulár, de a, analítica, en
:uÍl dominio \que contiene el valor a -:- O y tal que,
,
, .a),=
, 'ol,,,el
'1:
I (
' ','1:'oralf ( X,x;
X,x;, a )
.
+
--"'
+ ~2,,:~;(x, x'; d)'[l+sgn (xo~x'o-:Ir-T'I )1;
'(254).
, las fUnciones ~,l,re'I,Y ~2,,,e¡. debeilsatisfacer las condiciones'
, +o.
'
,
.
'
i
"
']'
"[P(X,')i],'
,'[f' l;l,,!e:(
X; x'; ,a) p( x') dx' o
",= -::;-:;- '( ,
_;<>'
1,.,---,.~ 1
(a- O)
,
.
.
~
"
'
,1+ ,~I')'
x'.=xo-
1·- 7"
.
'(255)
,
'
,
,"
X J 1 (xs)
~2're!(X,x';O),=- ,
,
'
,
4
s,
(256)
Resulta
+"',
lJJre¡(x)'
I ~.rel,(X,'X';a)
p(x,)d4 x'.
(257)
Las fórmu:las 'de niesz corresfpobden a la eleccióIi' particular
I
,
~l'"e;{ x, x'; 0;) , Zoa( x, x') t1+s~ (xo-~x' 0-:-1,.",:",,,'-1)],
•
.'
•
J
•
~
•
.,(258)
•
"
',\
-287 -
" "'''"
,Evidentemente ésta no es la elección niás' simple de
~2,rel·
-,
\,
Podríamos ,tomar
~2'/'el
~l,ret
,Y
,
indepéndientede
0,.
18.- Campos creados por fuentes puntuales.
'Hay una relación muy simple entre los campos cre.a.dos
por fuentes ,puntuales en movimiento y
funciones de Green.'
Llamemos ,d-r: el elemento de línea ele univer~o de la fuente puntual móvil; el correspO¡nruen te valor de p Cx) lo repI1esentaremos
por, 'una integral tomada a 'IQ larg'D ell:) la línea ele univel~so del
, punto,: '
-'
las
+oo.
",
p(x) =
"
"
f '!(i) &(~o-xo(-r:)) &(Xl- l(-r:))
X
•
(260),
La, ecuaci6n (35) se
"
,(
,
"
·CO+X2), ~p ,4~
.
-1=
I
t~ansforma,
en este caso; en
p(.) to&(c'u-XuC-r:))d~.
-X)
•
. '
"Por lo tanto
1:
i'
1"
i"!
I
,
,
"
'-J-:;o
.
...
, I
,! ,I
l,.·
~p're/Cx) ~I, Gre/(x, x(-r:))p(-r:) d-r:,
,
:(261) ,
(262)
,
-I-x>
~p,av(x)= f
Gav(x,x(-r:<)p(-r:)d-r: "
-1=
'~p,irrC;X)= J.
D(x-x(-r:))p(-r:) d-r:.
(263)
/'
,
---:--288-
Fc¡r consiguiente
. ..
b-
(265)
GI'CI(X,X(e» = --=-- tPp'l'ci(X)
, .
bp (e)
.
Gav ( x, xC 1:»
.
'/
. " - b. '
.
-.:.. ~ tPp,av( x)
bp(e)
.
:
..
,
b", .
D(x-x(e») = --=--·lPp'itAx).
..
,
(2~7)
bp(e)
Las función es tPp también' pueden SfOlr usadas en 'el caso de
una distribución nucleónica continua para obtener las. diferentes
clases .de campos,.. Escribamos
p(X)-:- p(1'o~ e).
- -+
.. '
(268)
.
1'0 es el vector de pos~~ión tridimensional, en e! tiempo 0,
del elemento \nucleónico de distribución que ocupa el punto (x);
. e es la longitud de arco de la líneacle universo' de este e1e¡m,enfo
nudeónico·. Evide~tern~nte tenernos
'
"
r
+'"
tP':~I(Xy=. tP/~ei(X,~o)c~o
,
~
-~
-!-~
J ~(lv(~,
"
. lPav(.~)
.' l.,
(269)
'. ,"
7'/,
~
1'o)d1'o,
(270)
-Xl
con
.~.
-
(271) .
.¡
.
'l.
·los cam~ios en la densidad . de la distribución' nucleónica para
'un observador ,en reposo con respecto al el,ente-!ito nucleónico en .
+ .
.
.
cuestión. Las ljJ(X,TO) son generalizaciones para el caso dinárpioo
gener,al del campo creado por' un elemento nucleó~1Íco que, en el
+
-+'
,"\
:' .
';.
.~
.
'
.
"+-+
éaso e~tático,.es pero) 11'-1"1-'1 exp [-'-xl 1',"""":1"
1].
19. - La,' función de Green p~ra camposclUlsiesláticos.
Cqnsideraremos ahora distribucione~ nucleón{cás tales qúe,
en los desarrollos de Fourierdc p(x) no haya frecue:ncias mayores que CX'. El campo qreado por ~a tal distribución ,puede
, ser llamada un campo cuasiestático. Veremos que es posible dar'
a la solución correspondiente a mi camRo cuasiestático una forma que describa conven:ientemenLe fll pasaje del caso dinámico
.
.•. ,ál estático.
, .
;En el caso del campo cuasiestático no hay· diferencia 'entre los, can1PQs . retarilado,avauzadpy ligado, de ma/lera· que
"podemos .representar la .. solución de 'la ecuación '(35) por ljJ(x),
',. sin usar sufijo., Hemo~ visto quE:
.
.. t
" +=
'ljJ(x) .'
J Gi;(X, x') p(x') d x::
4
\ -~
Es . con~en,iente ~eeinplaiar en (273)· Gis(x; x') 'por su desa,.
rrollo de' Fourier .paraobten~r una fórmula que .rrmestr,e darXt. mente in' transición al caso estático.
(274),
J '
I
x·
}-+,
Gi;(X, x')'.
2~1.r-r
': X
ljJ(X)=.2~
-L:.o
fdj(,o'f
J
exp
1
"
.
"
,
.
[~il(o(xo-:-X'o)-'Yx2~[(o2~-;'I]dl~p
-x'
, .
.
,
exp [-':"'¡[{o(xo-x'o)- .'
r
-x
. (275)
/
.'
-290-
x
-j-«>
J J
tjJ(X)I= 2~
dI{o
-x,
exp [~Yx2~Ko21~~;'n' +d
3
:'
11'-1"1
,-'"
-j-«>
J exp[-iKo(xo-x'o)]p(x'~dx'o
"(2'76)
---.:o
Cua,ndo p(x') no depende de x' o
-j-«>
"
.J
+",
e?,p [-iKo(xo-x'o)] p(x')dx'o= p(x').j exp ['-ciKo(xo~x'on di'o=,
=2n p(x,) '6(Ko),
,
(277)
-y obtenemos la solució~ ~stática de Yukawa
,-f..oo
, I~e~((x) --JexP[-x~~7'1] p(X')c!3:,' ,
,
,
-00',
'
11'-:-1'
(278)' ,
I
H.esulta de (126) que
I
I
,J'
'.
"
,
,
','
;
'. ':'
..
;,
" La ecuación (279) muestra que Gis(x,x1nodiverge'sobrerel :'
OOpo ele luz de (x):. Por lo tanto, las fre,cqencias isobarás,no"
dan origen ,a acciones con velocidad de 'propagaciÓn igual'a c.
,
-
,"'\
;:,."
.'.-
."
!
1:
/
.
--'- 291--
,
:..
.
.
\
-., '
20.- Schr5dinger (5) ha señalado que las fonnas (133)
y (134) de las' s()luciones retardadas de, la ecuación de Klein.Gordon no indican con· claridad la" existencia de efectos de alcan:c~ 'y no muestran satisfactoriamente como' ocurre la transi~
cióri' ~le un campo' dinámico a uno lestátiC()., Podemos :obtener
.. una forma de la solución que es conveniente para)a disc,usión
de 'esta 'transición, separando 'en la función de Grean ,las contri"
.buciones de las frecuencias isobaras y no ~sobaras:
.~
...Lx.
. 'otP/'e1(x) ~-JGi~(X, x') p(x') ~'Jx' + f I',.e:~x, x') p(x') d4X~.
(280) .
...;,.,
'.'
:
~.
I
"
De donde
'
'.
'. ;lJ1/'el(X):
",
...•
+x
2~
-j-x>
'....
'.
f d[{o f~xpt~i[{o(xo~~'o~~
. -x -,.,
:'
.
'-j-x>'
.....
,
~yx2'-[{o21;7';/llp'(x') ~t: '+ frre1(X"x'),r(x') d4x' .
Ir-r' I ':-".
.
. (281}
E!l foriná .similar. obtenemos
. : '~av(iX)" . 2~
. +x
-j-x>
fdl{oJ
.
exp [-i[{o(;xo-x'oY-
-:x
" (282)
. En la transición al caso estáticp', los términos (281) y
(282) que contienen a I: tienden hacia oero, y aquellos que provienen de Gil se transforman en la solución de Yukawa (278).
'Seve que la' transición de· un calJipo gene.raI a uno.cuasiestátic'O
es 'en realidad más interesante que la transición de un' caml)o
cuasiestático a uno estático. La situación no es exactamente igual
, en ,el caso de los campos 8lectdomag:llético y mes;ónico, porque
en un campo electromagnético avanz~do o retar:dado los efee-
'.
, ---'- 292 -::'
I
,
'tos de radiación desaparecen sólo en el caso estático, mientras que
ya desaparecen' en las campasmesónica cua:;;ieStáticas. La cansideración' de las efectos ,de rádiación m~estran que en lugar de
las descomposiciones (281) Iy (282), es físicamente más ínter,esaníe '
tomar
' " ,.
"
" '"
:,,
' '
-: .
.
.
. '
,
lJJr~I~X)
, f -Gis(X" Xi) p(X,) d4'x' +
-::o,
r
. ___
f r(~,Xi)p(x')d4X'+
-::o'
J..Xl
+ D(x-'-~') p(X,) dx"
":L",
,
, lJJ~u(x)~
I
4
\
f G Cx,x')p(x')d4x;+f
iS
f(x,xl)P(~I)d4X'\_
J,
',,'"
, -'J./~(~_~?p(XI) d 4
'.
.
\
.
x,. :'
(284),:' '
.'
"
Enlasecuacio~es (283), y (284) 'la parte radiativa que ]Jra- '
viene' de las frecuericiasha'isabaras, está sep'a~ádC?' de las ¿Ol~td- :
bucio.ues;no' radiativas, de estas, frecuencias;
,'
,
Pudimos obtener expresianes de' lassolucicmescle la' ecuu- _\
dón de Klei~.:Gordon quemúestran claramente' la "transiCión a,
"tos campos estáticas, pero na indicad canvenieritenlente Jas efec,to.s de alc~nce porque estos, ~fectos puede'user ,debid,os- tanta, a
frecuencias isobaras COIll{O a na isobaras, cama hemos visto en
la sección 7.,
"
... \
",
(283)
...L~,
"
.. +'40
'.
,
"-
f
"
,/
\
I
,/
, 21, ~ La fiuición' de Gre~n ,exterior.
Todas la.s {u~ciQnes de 'G;een quehemoscansiderada en'
lassecc,iones precedentes desaparecen en la parte ,exteriar del
'oo.n9 de luz del punto (xr Ahora examinaremas' una .;fu.r;,Cióri
de Green que desaparece en el interio.r del: có.na ele luz .(x)
- .
, ' ' x J (xs )
,GUg (x,x')=G(x,;¡;')+_,
,
",
',2
l
S
"
--:b(S2)
+ 1.. J l(XS)
,
4
s
+
[1-:sgn(s2)].
(285)
"
\ .
. .....,
, \
','
::
I
",1:1. ;
}~
-293-
:.
J1 (XS) cliverge. para s
.i
00;
pero podemos obtener solu-';
.
-
ciones 'ele la ecuación (~5) por medio ,ele G[ig(x! x') . ,cuandio .
p(x') tienele hacia cero -en el contorno del espacio, [ele tal ma:'
neta que
\
.'
lírri[1--sgn(s2)~.
-+
'
J (x s )
"
1
·s
p(X') =0,
,
,(286)'
'
?'!-?~
y la integral en (287) converge
):..:
~Zig(X)=
f'
,
.,
L
+.0
..
JGzig(x,'x')
. "
p(x') d4 x' ..
(287}
-7;)"
.
Aplicaciones fjsicas de este tipo de soluciones son desoono-.
cidas; sin embargo, son muymtei'esnntes porque' descrin.e!ll .
en fornla relativísticüinente invariante ,acciones' con v.elocidael de,
propagación mayor que c;
Es importante .notar que
(288).,
.
\
".
Por lo }allto, en el caso de campo de cuanto ele masaoerp
no existe la posibilidad ele obtener acciones con velocidad "de prop~gaciqll mayor que,Q por . medio' ~le"una . función ele Green
externa. '
PüéleÍnos también conseguir. ~a 'función de Greell que'
desaparece exponencialmente paras' = i 00 cnla región exte. rior al cono de luz ,de (x).
.
.
1
. ,G;(x, ~') . O(x, X')+Dl(:X;.....:.X').
'.
"'.1,
;
.
.
.
(289)
. G+(x,x') ,no se anula en el interio;· del cono de luz ele (Ji)'
y tiene singularjdades ordinarias sobre este cono de luz, que
pr<>vienen del tétmino Dj(x-x').
.
, No parece' ser posihlc'obtener;una función de :Greenel~ la, .
.. ,ecuación de KJein-Gordon que. tiénde haci~ oero eXp'onenc.ial~·
'. mente para ,.' = 00, en lú parte ex Lerior del cono de luz ele (x);
se a~ula en el interior de e3te cono ªe luz y e'srelativísti,camente
. invariant~. Todas .las funciones de Green de' la ecuación ele Klein-_
-294-
Gordon sólo pueden diferir de G(x, x') por' una solución de la
ecuación homogénea; conocemos solamente tres soluciones rela:"
tivÍsticamente c1is~intas D(+)(x-x') , DH(x-x') y
'
,
"
~(~)
s
; y
I
es muy prohale que no hay¡\ olras. Por medio de estas tres
soluciones evidentemente no es posi~le derivar de G(x, j;') rula
, ' función de. GreeO: que satisfaoe a las 'condiciones qué le hemos
imp~rtant~ hac~r
notar a este resp.ecto· que J 1 (xs)
,
"
s
no es una solución¡ de .la. ecuación homog6nea' de Klein-Gorclon .
en todo el espacio cuatridimensional, ya que
'impuesto. Es
. ( (O+Xw)
"Ni(xs)
. '()
-,-,-,.-=-2~·X~
s2 •
.
,s
(290)
,
La ecuación (290) es una consecuen,cia de la relación
_ X NtCxs)
2
s
(291)
que' resulta de lá expr,esión de Di ,en 'términos ,de funciones
, tilín'clricas y' de
'(O+x:t[ ,sgn(s2) Jl~XS») =4X ~(S2),' ,
(292}
,que es evidentemente, equivaLente a la ecuación -(206).
'
o,'
. 22. - R,?sultade-~.(290) que
e¡ (x, x')
(.) (x 'X') = ~'(S2) _ ~ Ni (xs) , ' .
2
'él. "
s "
I
\
es una función ele Greell
(O+X2)
(295) ,
.
,
e¡ (x, x') =41t ~(xo-x'o) ~(Xl-'-X'i) ~(X2~X'2) ~(X3-X'3)'
Por lo tanto_ G(i)(x, x') y G(2)(X, x')
"
. r¡(¡) (x,~') , ~(s~)- ~"
,..
H/i:(XS)",
(296)
;.
i '
'\
(297),'
.
,
,son' también ,funciones de Green. Estas funciones de GJ.'ieen son,
hotablemente más simples que aquellas' consideradas hasta ahora, pero ,~ienen singl.J.l{l.ridades o~dinarias sobre, el cono de luz
ele (x) y S<;i:O. "c~)Jnplejas.'
'
, ,Es 'importante 'hacer notar que las funciones
Hl(l)(XS)
s ,"
Hl(2)(XS) '
','
,
"
,ap:arte de tener un término que ,diyergle
s
como S-2 sobre el cono de luz, tienen también discontinuidades'
,sobre el cono de luz provenient.es de sus' iérminos logarítmi~
'"
,
\
~s,
y
s
\
I
'
•
í-
porque el argum1e!nto de s sa~ta de
o
1t
u2j cuando (x')
atraviesa el cono. de luz de ex). Dos términos logarítmicos
(lan tam,bié,n orig-~ a una, divergencia, aparte, de la, discoptinuidad. Todas las funciones de Green que hemos considerado.
tienen singularidades .análogas a h yCliscontinuidades simples ~o­
bre el ,cono de luz de (x), pero no. ,todas tienen divergeincias
/ o.rdinarias. Hemos ,visto en la sección 2 que las discontinuidades
simples y las del tipp 1) están, relacionacÍas, 'en el caso de las
funciones de Green ,G, Grel : Y G'flv' 'Veremos ahora que algo
·análogo existe también en el caso de (j, (j(l). Y r¡(2). ~Resulta
de (164) ,que
I
r¡(X,XI)=~.!:.-l\'O(XS)
, ' 2s ds
,'
--
(298)
(299)
O (2)(X,
7/.
'.
1 d
x') -:- - - -11 o(2)(XS)
'
2sds
','
(300)
r¡ (x, x') está relacionada con Gliy(x, x') por la ecuacióri
(301)
."
,
,
,
,
.
'
-296-
23. . . :. ., ACe/:oa de la elección de la solución fundamental.
"
,
','
.
'
Los matemáticos consideran genaralmente a l'(x, x'), ,como
la solución fu~damen:tal ele la eéuación de Klein-Gordon. Hemos visto ,que esto está justific~do por una' comparación con la
• ecuación elíptica (192). Sin embargo, la elecCión de V(x,x')
tiene algunos ~ inconvenientes PQrque no es' uná solución de la,
ecuáción homogénea de Klein-Gordon. Obtenemos de (290)
CO+X 2) V (x, x') .~ ireX2 b (~2).
(302)
Por lo tanto V ( x, x') no es enter,~mei1te, la análógá _~e 8--:2
para el caso ele la ec.uación de Klein,-Gordon. Pareoe pref~rible
elegir reD 1 (x, x') como solució,nfundarnental, porque es una
solución ele la e~uación hom(ogé.nea de K.lein-Gordon que -se ,
convierte en ~-2para X-=O: Otra ventaja de esta elección ,es
que la fwwión re D1 (x~x,) es real en todo el espacio:-tiem:p,o,
otra propiedad de s-:-2queno posee V(x, x').
'
I
IR
:El F :El
R E N Ó1 A S
J. HADA1.fARD: Le p¡'obUhnc de Calichy. París, 1932.'
'OOURAN'l'-HILBmVl': MethodelL c7m' MathlJ'I1latisc7wn Physik n. Berlín.
H. J. BHABHA:' P1'oc. EoiJ. Soo. A,' 172. 384, 1939.
E. O. C. S~'ÜCKELBERG: Sdoiété c7ePhJ/siq1w et cl'Histoi¡'e Nat-ltl'elle de
Gcn6vc, 19,39. (este trabajo no fué posible obtenerlo en el Brasil, el autol',
sólo conoce la ~'eferellc:a de Schrodillger acerca de su contenido).
(5) E. SOORODINGlm: Proo. Eoy. I1'ish Aoac7e'l1lY A, 57, v, 1941.
(6) 'M. S'CHONBERQ: Physio(i, 5, 553 Y 961, 1938.,Tom'nai -de PhysiqltC 1, 201, 1940:
(7) M. RIEsz: L'intégi'alc de E'icmann-LioliVillc. París. Gautbiers Villars,1938'>
(8) ,W., PAUÚ: Ecv. j[od::.Phy.~ 15, 175, 1943.
'
'
(9) M. SCHONBERG: ,Phys., llev., 67, 193, 1945.
'(10) P. A. M. DntAC: p¡,oo. Gam. Phil., 30, 100, 1934.'
(11) J.' LEl'l'E LoPES y, M. SCnONBERG: Phys. Eev., 67, 122, 1945.'
(12) P. A. M. DiMe:', boo: Eoy Soo. A., 180, 1, 1942.
(13) A. SmUmRFELD: En 1?mn,7c-von Mises Ir, Braunschweig, 1935.
...
(1)
(2)
(3)
, ,,(4)
S. Paulo. Departamento de Física
~e
la Facultade de, Ciencias, 15 de agosto 1946.
NOTA: En un trabajo l'eciéÍlte ,(Nature, JU~le 1, 1946, pág. 734) el profesor
Gustafson cita un trabajo de N. E.Fremberg a' aparecer en los Proc. Roy. Soco
y', en el cual el método rle Riesz se aplica a In ecuación de K~cin-GOl·d'on. El
profesor Gustafson ~tiHza la félrmula (231) que es solamente un caso particular
, de l}h resultado generul elndo en'lapúg. 17 del trabajo de Riesz (referencia (7).
.
.
.
......
.
.
"
(l'¡'acllwido' 1)O¡' J.' Balsei!'o' y D.' Ganals Fm'll)
\,
, f
'
'.'
LE THEOREMEET· LE PROGRAMME DE· BOBEL el)
par
Professeur
GJiJORGES
a la l!'lÍculté
V ALI~N
des Sciences de Pads
Le se<::ünd des tr'avaux fondament~ux de Borel auquel ili a été
fait alluSlon. dans la troisieme conférenoe, créa toute' une théorie.
en posant le probleme. de l' étude des singularités esse~tiellesd'une .
faQOn entierement nOJlvelle. Avec Picar~ et son -lointain successeur.
/ Jriliá, l'étudedes points OU la fonction f(z) prend une valeur donnée arbitraire', Z es( qualitative: une valeur Z. est .ordinaire si elle
est prise une infip.ité 'defois dans le domaine envisagé,. sinon elle
es!. exceptionnelle. Avec Hadamard, le prbblemede la Clécomposition en facteurs avai'! conservé son aspect formeL' Des "propriétés
. des coeffic:ientsou. de la croissimce du module maximum, on déduisalt la forme des fá¿teurs expónenti~ls de la décomposition, ce
qui avait certes de l'importance, -Hadamard le Irióntra clans ,l'appli-cation de son ihéoreme a lá fonction de Riemann ..
" Borel s' es! proposé de pénélrer beaucoup plus profondement
clans l' étude ,de la fonction. Ses idéesa ce sujet, qui appa:raiss~nt
dans les conclusions de son Mémoire des Acta mathematicuLde
'1896, sont précisées dans son Livre sur . les fonctions ,entieres de'
1900. 11 s' agit de connaitre aulanl: que possíble la foIiction. Ce
n'est pas; dif-il, paree qu'elles sont données par des séries simples
. toujoursconvergentes, que les fonctions trigonométriquescos z,
sin z, sont bien' connues, e'est parce' qu' elles sont périodiques, donc
parce qu'on sait que' les points ou elles prennent une valeur .don'riée arbitraire se déduisent.les uns des autres par des trunsliüions.
" Connaitre une fonction, ce sera connaitrécles propriétés eles points
OU -elle prend une valeur donnée arbitraire. Pour une ,fonction entiere f(z), on sait que" si la valeur Z n'est pas exoeptionnelle au,
sens de Picard, eUeest prise une infinité elefciis. Quelles sont les
propriétés' générales deszéros Qn(Z) de -f(z) ~Z losque Z esí
quelconque? Borelfournit une premi~re réponse a cette question.
(*)Cuarta clase .(6 de agosto de 1946) del cursillo sobre Funciones ente1'l18
dictado en el llÍstituto de Matemática de la Universidad de Buimos Aires.
\
'
, ,
,
I
-298-'·
Si.la fonction est d'ordre p positif, c'est~a-dire si
-l'-log(log M (1')) _
un.
_
. p,
r~ir.>
. log l' .
111(1') . - max If(l'ép) I
OS'jl <2"
.'
-'
"
CVoir la premiere conférence) et si n( 1'; Z) est le nombre des zéros
.
de f(z) -'-Z qui appartiennent au cerde Izl<1', on a
'(2)
-'.-logn(1'; Z)
"
hm
=p
r=Y.>
10g1'"
pour toutes les vale~rs de Z, saufauplus,pout une, seule valenr
Z. CeUe yaleur exceptionnelle ne peut exisLer que si p' esL ;un
'norÍ1bre eIltier~ lavaleur du preiniei· membrede (2) est inférieure
, ti P lorsque Z, est, valeurexceplionnclle. Dans le cas de l'ordre
infini, Borel introc1uit un~ ordre co(1') qui dépencl de ;. et est tel,
que
,
Iim log 10gM(1') - 1
'm(l'~
1'=0'"
I
Iog l'
on a encore
lim lag n(l'; i)
m(r) log ¡.
1'~'"
1
saúf au plus pour une seule valeur eX,ceptionnelle de Z poUl'
laquelle la limite supérieure cst inféricure a 1. Mais il n'aUeint
par saméthode que cerlaines classe3 de foncliJQns d' ordre infini.
La mélhode' de Borel esL basée sur la décomposition ,en facleurs
eL sur la c1élerminalion de l' ordr'c de la fonclion entiere définié par
un produit de vVeierslrass-I-Iadamard, a partir de l' ordre du nombre do ces 'zéros. Dans le cas elo l'ordre f~ni non cntier p; il
monlre que si ron avait, .
~1·,logn(1';Z) .
1m.
' = Pl <,p, .
>
'/,.=/J
;,
log l'
le proJuit' :canol~ique figurant c1ans le théoreme el 'Hadamard, formé avec, les zérQ3 de f(z) - Z s8rait el' orc11-e Pl au plus; en le
, i
multipliant par une exponentielie eQ(z) OU Q(z) est un polyll()me ,
,ele elegré moinelre que p, on ne pourrait pasobtenir une fonetión
el'ordre p. Pour traiter le eas ~le l'orclre entier; il-s'agit de monb~er
qu'il ne, peJlt pas exister elenx valeurs ele Z ,pour lesquelles le
'premier :ín~inbre de (2)' 'sel~ait inférieur a p.' Il est loisiblc'de
supposer eesvaleurs exeeptionnelles ~gales ,a o ét 1. Ori aurait
f(z:)=:=::.Pe, Q ,
"
,done
(3)
" P et,P~ étant des 'proeluits infinis el'orelreinférieur ,a p el Q et Ql '
'elespolynomes dG c1egré p. En muHipliarít les eleux membres d9(3)
pare- Q\ on montre que e Q --: Q, , est aussi d'ordl~ p; Q-Q~est
un pólynome ele elegré p. r;>érivant (3), o~ 'obtient
.
(Pi+Q'P) eQ ~ (P/~+Q\Pl)
. (4)
e
Q
¡
=-0",:0
, done
, f
Ceei est, impossible paree que IQseeond membre est d'ordre inférieure a p (e'est ee que montre Rorel) tanelis que le premier meni...
bre est d'orc1i:-e p. Borel généraliseee raisonnement au eas de 1'01'elre infiúi; suree point, sa méthode qui ne' cotivrait pas tous les
,eas aMé repriseet eomplétéepar BhimenthaL Il eonvient de no ter
,qu'len ,éerivaút ~4) sous la forme
f"PeQ-·'L Pie Q,= O
'f
' 1-1'
et'éliminant P1eQ¡ entre ~,ette identité et (3)"oú obtient' en résolvant par' rapport a Pe Q qm esL
l'iclentité indépendante de
imite hypothese:
t,
,(5)
,1,
..
,
-300l
La méthode de Borel équivaut a écrir.e f sous ceHe' forme. si
l'ordre du nombre des zérós de fez) et fez) -1 est inférieur a p,
l'ordre du' second nombre' de (5) est infériellI a p, d'o,u contradictjon.
' .
.
Le théoreme de Borel met en évidence l'invariance 'del'ordre
du nombre des, zéros !le f( z) - Z lorsqu'on compte ces ,zéros dans
des cerdes de centre origine: sauf pour une yaleur exoeptionnelle
au plus, ,cet ordre est touj'ours le meme; e'est J'ordre de la·fonction '
fez). 11 ne s'agit évidemmeut que d'une premiere ápproximation.'
,. Les fon~tions sin
1tZ
rw··
et _1_ rema'rque Borel, ou't des nombres de
zéros dont le rapport est 2 alors que les modules inaxima ;80nt
comparables a elt /' et a erlogr respeetivement. 11 conviendra 'doll-e
de préciser les résultats obtenus, ce quí ne doi't pas' presenter de,
grosses diffi~ultés dans le eas de l'ordre non entier. En outre, dit
Borel, on sera sans daute amenéll tenir ~ompte des argume~tsdes
zéros. Co¡.nme exemple ,particulier ele cette néoessité, Borel signale ' '
le eas des fonetlóns d'ordre non, entier p dont les zéros sont alignés '
, el sont des fonctions régulieres dé leur nombre, ainsi, si le n icmd
.
l'
1
zéro ,est n P ,le maximum du inodule sera asymptotiqueme,nt égal .
, a AprP Inversement, si l'C)ll sait que le~' zéros sont alignés, ou·
'meqle si leurs arguments Olit une limite, 1t par exemple, ~m doit
pouvoir déduire' la vále'ur asymptotique de leurnombre de .la
valeur asy~ptotiqtJ.e de la fonction dalls la direction opposée, ici
ladroite d'argument o. D'une fayoll'gén~rale, connaitre les zéros,
c'est connaltre nOln seulemEmt leurs modules, mais' aussi leurs
, arg~ments.Mais" dit' eQeor~ Borel, s'il importe de poser ,des questions, il importe encoré pliIs' de trouver d(3s méthodes poui y ré- ,
, ponelre. On pourrait aussi di re qu'il faut que les questions soient,
. bienposées. Les questions posées par Borel dáns les ,conclusiOl18
',de son. l~vre sUr les fonetíons entieres étaicnt bonnes puisqu'el1es
sorít aujourel'hui a' peu pres résolues" ce quí ne' signifie pas
que la tlléorie soil achevée, bien an cón,traire: ehaque pas' en' avant .
découvre eles horiwl1s -nouveaux: et le plus souvent chaque question
résolue augmtmte au Heu de le eliminuer 113 nombre des quéstions
,a résoudre.
Parmi eeuxqui ont ,tout d',abord poursui.vi les recherches de
,Bo.re! el obtenu des résultats tres 'précis sur les fonetions d' ordre
fini positif, ilfaut citer á part Linde16f. Alors que Bor'el com7'
:\
'"
"./
i ,"
~
301-'-' ,
a
pare. la croiSsance it rp+e ,LindelOf la 'compare
. ('.;1:::
rP {log r )1'1 ..• (log p r )PP ,
iI ohtient des réstlltats' précis et traite le cas des fonctions d' ordre'
entier avec un grand succes. On peut étendre sas résultats et les
rendre applicahles a ~outes les fonctions d' ordre fini en intror.lui..,
sant l'ordre précisé defini dans la -premiere conférence. Pour les'
fonctions d'ordre non entier, le théoreme de Borel' est remplacé
par 'le suivant:
. ,
, Si f(z) estd'ordre non entier' p et d'ordre préci~é p(l'), on
.a, a partir d'une valeur r(Z) de r,
'
(5'),
[( étant une' constante fonction de p, el pour une suite de valeurs
rp de rindllpendante de Z,
.
n(r; Z):> [('I'p(r),
. (6).
"
,
-[{' étantaussi une constante dépendant de p.
Dans le cas de l'ordre entier;·l'inégalité (5') reste valablc,
mais (6) peut ne pas etre vérifiée. Les recherches r,elativtes a ce
cas de l'ordre enHer étaient genéespar la pl'ésence des exponen/ tielles dans ia décomposition en facteurs et, d'autre part les inégalités du type (6)valahles pour une suite seulement ,de valeurs
de r proviennentdes'irrégularités pQss,ibles de la fonction n(r; Z).
J'ai introduit a la place de cette fonction'sa moyennelogarithmiqu~ qui s'introduit ~dans.le théoreme de ensen:
1
r
N (r; Z)
-~f[n( t; Z) -
•
u
.
n(o,;Z)] d;
+ n( o; Z) l~gr..
'
'On sait en effel' que, dans le cas qes fonctions d' ordre nul
croissance assez ,lente, On a
a
N(r; Z) '" log M(r, f).
"
(VOIT la :deuxieme conférence). On peut d' autre pa;t reprendre l,a
"
.
,"
'
-'-302-
.méthode de démonstration ,de Borel, mais en écrivant .'
P .el P1 étant des polyriÓmes formés avec les zéros de f et f ---' 1
intérieurs a un cercle Izl<l" el en. faisant l'hypothese ,que, p'our
~ne suite de valeurs r indéfiniment croissantes,
on aurait '.
,
'
,
,
N(l';o)<':Hlogjjf(~),.. N(1'; 1) <Hlog~M (~).
.'
On arrive a une contradiction si 1", H et le 80nt convenablem(ml'
éhoisis (Voir Lectures on the gerieral theory óf integra(fundions)
et ron a le résultat suivanf: ,
Si f(z)est d'ordre' fini, a le> i correspondun nombre H(k)
'b~l qUe,Sl Zl:-j=Z2' on a, pour 1'>l'(ZVZ2):
Dans le cas de l' ordre infini, on a un' résultat analogue, mais.
précis; il peut d'ailleurs existerdans ce ,cas un ensemble
de valeufs Z ayant la püissance du continu 'pour lesquelles
~oins
I
.1:un'. log N(l';Z)
,
1'=>:>
log 2 M(1')
1
<,
I
que
Je me borne a indiquer
de l'inégalité (7) et de l'inégalité de Jensen (Voir Prémiere conférence), on cléduit apres mul-
tipliQ~ti,on
par _}1+
l'
r,
etintégration, la proposiLion suivante:
,- Si l'intégrale
X>
, (8)
f
lOg M(r) dl' '
"l+r
1
div,ei'ge, la, série
, !
<Y.>
-;S
,.
1
•
1
lan(Z), I Ir
.
",-303-
diverge pburtous í~s Z sauf un au' plus. Si l'ordr,e.p n'esl pas
'entier, la valeur e'xcepÜonnelle ll'existe pas. Si nntégral~ (8) con,~verge, la: 'série (9) converge po{¡r tous le's Z (Il est entenduquep
'est l'orclre et les .a~( Z) les zéros non nuE dé f(z) - Z).
,
qe résultat régle enc.ore quelques questions posécs par Borel
e~permet cletra:iter la questioÍl du genre, La questipn relative 'aux "
Jondions a zéros alignés. fut également traitéedan~ ,le casdn
l'ordre non entier. Si ron suppose que les argtiinents" des ;¡;éros
' ¡.
ont pour limite 1t et si
n(r) = n(1'; ~) r-v I'p('l'),
,
,
p(r) jouissant des prbpriétés de l'o,rdre précisé, on obticnl l'éga"lité asynwtotique,
- . - + E(r, qr) ]' rP(l'); z'= l'e i<p "
log fez) = ['1tépP'
.
sm 1tp
.
,,
,,~).lable
pour
~.. Cett~
ICf' 1< 1t,
la fonctioIl
égalité permet
E
·d'éh~clicr
(1', ep) teudant vers zéro avec
I
les zéros ele f(z) - Z (l'une '
falfon tres p r 6 c i s e . .
"
" InversemeÍlt, si 1'0n sait qu¿ les arg~ment5 ~les zéro; ,ont pOUl~
limite 1t el que .
,,
i
•
,10g/(r)r-v(-1)PI'P(1'1,
p=partie enLicre de p,
la résolutioIl c1ei'équation intégrale asymptotique
..
(10
log
l'
I
j n(
f(l') ,
" .
~J
•
'1
x) 1'1'+1 ,
r-v (-l)p "
dx
'xP+!( X+l:) "
o
•
.
~
'.
'
(-1)1' r~('I')
:
est possíble el montte que
n(l') ."
ISll1 1tp I- rP (1).,
1t
Le procéc1é ele ré~cilution de l'équation (10) que j"avais titilisé a
"
,
,
"
-304-, '
" 'Slmp
. l·f·
"dans l
, , P()
~p
Pi ,par H al' d',yet
ete
1 le,
e 'cas Ol!
r ,=~"
" '
logr
'Titchmarsh .. Tout récemment Delange (Comptes. Rendus" 1944),
:a repris la question et obtenu de jolis résultats meme dans le cas
de l'ordre ent.ier.
L'étude circulaire du nombre des zérosa, pris'une fornican-',
,core plus vrécise aVEle .l'introduction par R. Nevanlinna d'uné
fonction caractéristique nouvelle, quipérmet en outre de traiter
le' cas des fonctionsméromorphes. Le théoreme de JensElD, dans
le cas général d'une fonction méronlorphe qui n'est. ni ,nulle ni
infinie pour z=O, s'écrit'
.
+--,
21t
".
N(r; O) - N(r; 00)-. 2~poglf(rei.) Id~ -log 1t.(0) l..
R.Nevanlinna 'eut l'idéede séparer daris l'intégrale du ,second
membre les termes positifs et le3 termes négatifs: Si Ton désigne,
par log+ a le nombre log a ,lorsque a, est > 1 lit si a <1, la fON
mule peut s' écrire
'
'
°
21t
. N(r;
O).+~ ~og+i. '
, 21t
J'
o
de¡>+lóg If(O)I=
'1 f(re¡CP) 1
21t
"= 'N(r; (0)
+~
{tog+I f(reiCP) 1de¡>.
21t) ,
o
"
, R.Nevanlinna prend pour fonclion caractéristique
.
21t
T(r,f) , , N(r; (0) +~flog+lf(reiCP) Ide¡>.
','.
,
.21t'
o
\
.
,
.
Dans le cas' OU fez) 'est une fonction entiere, T(r,f) sé'réduit ,3.
, son second terma qu'on désigne par m(r;f). On. a, si le> 1,
/¡;-1'
(r)
. < log M(r,f)
.-logM
- ' ,f; ,<m(r,!)
/,+1
le '
I"
:' <..
~ ""
.... 1.
-305-
-... ~,
ce qui établit le lien, entre 'le~ résultats obtenus .3. partir de la llOU-,
velle fonction caractéristique et l'anciemie. L'orche déÍini par
lim,log T(r, f)
r-co .~ logr
coincide avec l'ordre de ,Borel dans le cas des fonctions entieres ,et '
aussi avec eclui qú'il a"ait défini, et dontnous n'avons pas parlé,
dans le cas, des fonctions méromorphes. La fonction T(r, f) .•
comme log M(r,!) lorsque fez) est entiere, est une fonction con',vexe de log r; cette p'ropriété joue un role fondamental dans certaines dérrionstrations~ Utilisant l'identité (5), R: Nevanliima übtint de premiers résultats qui étendént et précisentmoninégalité
(7). Saméthode prit sá forme' défi..w.tive a lª suite d'une remarque
de Littlewood, et Collingwood qui introduisent non plUs deux
valeurs Z, 'mais p valeurs dans les formules. L'identité (5) de
Borel est alors remplacée par .
les' bj étant des con'stantes convenables qui s'expriment au moyen
des, ajo On obtient notammentl'inégalité'
. ,
P'
': (11)
(p~2) T(r, f) -s.'~
N(r;, .aj) +S(r) , .
l'
,
'. le reste Ser) 6tant de l'ordr~ de log r pour les fonctions d'ordre
. fini. Mon but n'est pas de dira 'ici tout oe qu'on peut tiI:er de
cette remarquable inégalité. On 58 reportera, pour be point áu
Livre de Nevanlinna de la CoHection Borel. Je signalerl¡li'-$eulement
qqe, 'dans la définition des valeúrs déficient~s, valeurs Z pour
. ,lesquelles
NCr; Z)< 1
T(r, f) ,
:---1'
HU' ----'-----'-
. ,
r=X)
il convient de, reinplacer la- fonction
T(r, f)
par ~e fonctiori majo-
..
, I
-306-,
I
rante, a croissance réguliere; rrM par exémple dans le c¡.ts de l'ordre fini. De T'inégalité (11')" j'avais eléduit que, pour mie fonctión
'el' ordre fini, on a'
.
.
lim N(r; Z)
(12)
~
r~';
.1
T(r, f)
pour tous les Z sauf ceux' el'un ensemble: de mesme linéaire nuÜe;
pour. l' orc1re infilli, lo résultal ÓtaÍt plus compliqué. A la sliite
de elivers travaux, l'égalité (12) a été 'étenel~epa'r AhIforsa
toutes les fonctions ~néromorphes, l' ensemble yxceptionnol, .qui
peut. exister étant elu type indiqué. Cett~ proposilion est liéc .a un
théoreme el'He'nri Cartan, qui a établi que :la fonction T(r, f)
est la, moyenne superficiello ~u linéaire 'elo >1V(r; Z).. lorsqu.e Z
décril un c1o~naine Otl uné courbe, 1l. un terme additif· fini pres.
A la meme époque, ~'esl-a-dire vers 1929-30, la théorio ele Nevanlinna a élé . élendue aux fonclions algébfoieles u(z) eléfinies
par une équation
. ,
'. "
J.
ou les coefficien ls ;1 j( z). son t des· fonctions entiercs. Mais le.
théorje générale de ces fonctions algébroldes reste moins déve'loppée que' celle eles fonclions mé'romorphes;
La méthode de. Neva:nlinna pern~et de géneraIiser le \;héol'~rne
de Scholtky. On obtient (['abord laproposilion suivante:'
Si F(z) est méromorphe pour Izl<B, siF(O)esl différent- , ,
des vaIeurs 0,1,00 el st F'(O) est Íini non llUI, on a,pour l' < R,"
.
"
'
\
T(r, F) < 5 {N(R, O) +N(R 1) +N(R,00)}t405 + 10 10g+IF(d) I
. l'
-+ 5 log-!'
.
1
~I F'(O)R
I+ . R
¡4Iog
..
R-r .
..
--,o
.. CeUe inégalité donue' le théoreme c1eLandau, elle fournit, une
. borne du nombre des zéros de. F(z) - Z lorsque Z est arbil:raire
et Izl<.r<R. On obtient ce résultal.
.
. I-Si·F(z) ,est n~éromorphe pour Izl<Rc~ prencl n fois au'
plus d~ns ce cerde trois v~leurs a, b, e telles que les distances
eles images sphériques de a, b, e soient -supérieures .al); dans
.
le'
, .
I
,;
i
-'
."
'.
~307'-,
I
-~,
"
cerde
z < J¡;R,
,1 1
'-
"
l'
(l~le)B
'¡e < 1, ' F( z) prend au' plus'
l
-
2
,l-1e
',1'
1 ]
(An+B) log -,'--+ Gldg.- +D log-'
~'d
,
'
f'Ois 'toute valeur Z donl la disLance sphérique il un point Z (1;;)
,est au moins d. Les non~bres,n, le, b, 'd,sont arbitr.all~es; A, B,e, D
sontcles constantes numériques positives.
CeUe inégalité a été remplacée pour'lHilloux par une autre
qüi semble etro la plus précise possible, mais elle suffil pour l' étudé de la distribution eles ,val!3urs des fon~tioris ·méromorphes. Enfii1,
,le théorcmé .<;le Schottky se généralise comme suit, (Pour les ,démOIistr~tions; voir: Mémorial des Sciences math., nO. 89, 1938):
. 11- Si F(z) e'sl holomorphe pou.r'lzl<l, prend n fois au plus.,
daos, ce cerde les valeurs Z et Z' - telles que 1Z 1< P, , ,1 Z'I <. P..
,.
'1
IZ'-ZI> '-,ou P>l, et si .
. '
P
IF('z)I<M
.~
,
,
en des points du cerde Iz 1<1: qui ne peuvent pas elro enlermés
dans 2n' cerdes dont la s0111me des rayoIis est inférielire, a d -< 1:,
" ()na, 'pour Izl< r el 1: < r.< 1,
1 '
- 2 "
2'
'- log JF(z'),l< .
[un log
+~ log -.- + y 10g(P+M)],
, ( 1 - 1 ' ) 2 . "-d(l-r)
1-1'
-.
"
. ui
~,y'
\','
étanl des conslantes numériques p03itives;
Ces propositions permettent dis remplUcer l'étude des fonctions autour d'une singularité ,essentielle faile au moyen de la~
. théorie des familles normales OH meme quasi~normalos de Montel'
(J ulia, Saxer) par une ,élude directie qui fournit eles ',réslutats
quantitatifs. Le théorc}11e 1 s'uliliso comme surt:,
Supposonsque- F(z) soit méromorphe. dans un domaine D et
soit D' complctement inLérieur a D. Couvrons D' par p ¿ercles,
Cj (j--:-'1, 2, ... , p) int6rieurs'ilD él:lels que,pour cl~aqu'e i
exisle un cerde ,I'j ;concentriquea Cj, intérieur ~ D, dont le
rayon soitk fois le rayon ele Cj;k étant un nombredonnée supérieur aL -Considérons le nonibre 'des' .zéros de F(z)' - Z (chis
poles si Z =(0) 'appartenant a l'j, il a un minill1um 7í"{ aUeint
,
-308- ,
pour Z'~'j. Supprimonsde la sphere OU l'on représente Z le,
cerde de centre'Z"'ret rayon b. Pour les points r,estants, oua un
nouveau minimum n'¡ atteint pour Z"j; supprimons de lasphere
le cercle de centre' Z"j et rayon b. On a encore un minimum ni '
pour les points restants atteiut pour Z' j. ~es distances sphériques de
Z'j, Z"j, Z"'j étant au moins b, F(z) prendra daos Gj,
"
.-
.
fOls au plus les ,valeuis Z pour lesquelles, Zj étarit uncertain
- point; on a: distance Z" Z/>Ibj. En ajoutánt cés nombres, on a
une borne .du nombre des zeros de F (z) --.:. . Z dans D' lorsque Z'
est extérieur a certains 'cerdes (sur la sphere)'. En comparant,·
cette borne áu nombr,e effecfif -des zéros, on obt1ent une borne
inférieure de ,Snj, donc de nj dans l'un des cerdes T'j. '
Dans le cas le plus simple, celui des fonctions d;ordre fini
positif~ on obtient des résultats préCis que l'on. trouvera dans le
Mémorial cité. De ces résultats, on déduit ceco~ollairé:
. Si' fez} 'e~tune fonctlon méromorphe d'ordre fini positif p,'
il existe úne suite de cerdes Aj' définis ,'par
lim
j-x>
IZjl=oo, '
lim el.
j=x>
.0;
,
,1
tels que, daos Aj, fez) prend
limT\j=O.
j.=oo
fois au inoins toute valeur' Z sauf celles représentés dans deux
'1
Ip-r¡j
'.
.
cerdes de ray()n e~Zj
de la sphere.
De tels cerdes sont des cerdes de r~mplissage ¿i'ordre p.
En prenant une direction D, arg z = Gle; d'accumulation des arguments des Zj, on a ce que j'ai appel~ une direction ,de Borel
(d'ordre p). ,
,
'
Une directiohde Borel est une drrection D telle que le théo, reme de Borel, soit vrai dans tout angle de sommet origine'et
blssectrice D, si petite que soit son ouverture. Si r(n; Z) est le
module den ier1l6 zéro de fez) - Z dans cet angle, ,la série
, I
l'
"".
r.
"
...
'
).;.~.
l·
-309"":'"
~
1 .
r(n, Z)P-o .
~.
est divergente, pour ,E> O si petit. soit-il, sauf IPOur deux: valeUl'S
de .Z au plus.
L'enoncé 11 donné plus haut, qui complete le théoreme de
. Schottky, sert a étlidier les directions de Borel des fonctions rentieres, en cherchaÍlt les relations entre' ces dir?ctions et J'ord~e de '
,grandeur du maximuin du modulé dans un angle. Il,montre par
exemple, que, pour une fOI).ction entiere d'ordre fini p supérieur a
~,
2 il
existe
directions de.
Borel.
Tout angle dont
' au moins deux
,
,
l'ouverture Iest
supérie1.J.~e
au plusgTand des
deux~oinbl'es . ~
p
et 21t - ~ en contiént une ,ce qui. complete un 'théoreme de Biep ,
, ,
'
,' .. berbach. Si' p > 1 Iet s'il n'y a' que deux directions de, Borel, .1eur
1t
angle est-.
p
De nombreu~es recherches 'onl: étéfaites sur' les directioÍis
de Borel, la plus grande partie est exposéedans 'le Mémorial cité.
Mais béaucoup de 'questions restenta résoudre, par exemple: la
comparaison des,directions de Borel d'une fonction -et de sa déri.:.
vée; l' étude' des directioñs de Borel· des fonctions algebroldes
d' ordre 'fini.
I
•
,
'
-
I
CHEMINSD.E DETERMINATION. 'FONCTIONS
INVERSES 'DOMAINES D'UNIV KLENCE (;t,) , "
"
'Lorsqu'on considere les valeurs ,d'une~onction entiere f(z}
, sur une courbé ou chemin quí' joint un poiót, a distance !inioau
point a l'infinie, les circonstances les plusdiversespeuvent se
présenter. On saÍt 'que p-our la fonction e z", ou h; est (un élltier '
positif, on aura une yaleur limite qui sera zéro lorsque z ira a
l'infiní sur les c1emi-elroites cp=ar.g. z pour lesquelles coskep ,
. e.stnég'utif, infinielorsquecos l~ep ost positif, tundis que s,i cos lecp=O
il n'y a, pas 'de limite, la valeur Z· ele la fOllction tourne :indéfini.:. '
,m~nt 'sur la circonférence IZI.....:-l. On a de meme des' secteurs'
epo < ep < ep1 c1ans lesquels fez) tenel vers zéro lorsque 1 z,l __ 00 et
d'autres' ou If(z) l-roo, pour les -fonctiol1s' dont les' zéros sont.
alignés el régulicremenL distribués, lorsque ,l'ordra est, supérieur a
~.
',2
Ponr les fonctlons ele Mittag-Leffler
' v
,
..~, zn
1
Ep(z)::=;.s-,- - - , ' P>-2'
,:-1.
,
"
'
'o
1"(1 +%)
lafonclion ,se comror,t.e comIne
, peor
lorsquc 1ep = arg zl
,
','
<.2r-,Ja. différence e~ltre
" ,2p
,
F;p(z) et cette expres-
',;'
"
" .síon tendant verszéro lorsque 1z I'-r 00, tundís qu' a l' extéricur de
l'angle Icpl<;p +e, e>O, :Ep(z) tenel v~rszéro.'Lorsquep
'c1evient tres granel, l' angle dans lequel la fondión tend vers zéro
'(*) Quinta y úiti~l1a clase (10 ele agosto ele 1946) elel cursillo sobreF1tneio~e8
enteras elictado eu ,el Instituto de Matemática ele la Ulliversiclad de Buenos Aires.
",
~ .... -:
-311,\
,
dcvient tres voisin ele 2n:. Mitlag-Lefflev a indiqué des fonctions
d' ordre infini pour lesquélles la. valeur de la fOÍlctiQn a pour limite zéro lorsque z tend vers l'infini SU,r toute ~lemi~droite cp =
consL (rriais,cette Gonvergence n'est pas uniforme).
Wiman U inontré que, Jorsqu'une fonction entiere f( z) est
d' ordre
inférie~l: a!-,. il
",
2,'
existe
u~c
I
suite -ele circonféri:ll1ces
',,'
telles que lé m1l1unum Cle If( z) I pO,ur Iz I= A~t soit ge l"ordre
du max;imum M(An)' On a d'une faljon plus précise
le est un nombre positif. On a vu ensuite (Littlewood, Winnaó. et
Valiron) que ron peút prendre pour le tout nombre inférieur a
1
cos (n:p ), p étanL l' onh'e. Les fonctions d' ordre moindre que .
.
. . 2
son1 donc a rapljroeher des polyn6mes, !l ne p::lUt pus e'xister elé
,courbes allant a l'infiúi sur lesquelles le module' de la fonetion
:r.est~rait' borhé.
p'une faljon géúérale, soít f(z) uile fondion mérómorphe, uutour dU,point al'infini, quiestlimite de poles, ou point cssentíel, ,
ét une, courbe continue C qui va a l'infini. Prenons les valeurs de
l~ fonétion :f( z) sur la portion de C -pour )aquelle Iz I> 1" ,et ,
ad,loigPous a cet ensémble,ses valeurs lirílites; nous obtcnons un
, ensembleE(i·'). ,Lorsque ,.' erol/; indéfiniment, l'ensémble E(l")
tend vers UlleI1senible limite' D( C, f) qui est eontepuelans lons les
E'(r'). ,Bien que D(C, f) puisse se ~éduire a un poirit ou it une
cOUl;,be, nous Tappellerons le domaine, d'indétermination de f(z) \
sür' C (sous-entendu, a l"infini). Lorsque D(C, f) se réduit a un
• i)oint w, la courbe (] sera appelée ehemin de déterminatioil w, eL
'w,sera une valeur asymptotique. Pour les foncl:ions entieres exanlinée::; plus haut, , ona .trouvé· des cheinins de détermination' o,, '
d'aixtres de détermination 00 et des ehemins d'indéten;lination finie; D(C,f) étant bornó 'et étant une ~ourb;. Si ron prend la
foneJion ez , z-:-x+iy et la' eóurbe' x=sinley; le étant incommensurable, onobtient un domaiIie d'ind&termillátion qui est une
couronne. Pour la f?nctíOll elliptique pz, toute praJiehe pal'abolicjue
"
1, "
' .
-312-
, d'~ne courbe algébrique est chemin, d'indétermination complete,.
D( e, f} comprand tont le plan.
HU!'witz et' Denjoy ont montréén 1907 que les valeurs
asymptotiques sont les points singulie.rs transcendants de la :fonc. , tion inverse z=cp(Z) de la ,fonction considerée Z~f(z). Cette
,fonction inverse peut etre définié par prolongement analytiquede
l'un quelcunque de ses éléments,' c'est une fonction multiforme a
"me infinité de brartches;' elle est uniforme sur une surface' de
Riemann a un~ infinit~ de feuillets qui est aussi la sUrface décrite
par le point Z = f( z) lorsque z décrit son plan. Les points de'ramification"ele la surface 'sont les points critiq~esalgébriquesdé­
finis par Z'=f(z'), f'(z') =0 eL les points singuliers tl'anscendanls w' correspondant ,auxvá.1eurs asymptotiques de fez). Car, si
, w est une singularité quelcorique de la fonction inv,erse z = cp(Z).
lorsque Z tenel vers w, z ten el ve1rs une limite finie ouvers l'infini.
En eHet, soit
une 9irconférenoe Iz I=R ele granel -rayon sur
laquelle fez) - w ne s'annule pas If(z) - wl y reste supériel~r a
un nombre positif '11. Si Zv Z2, ••• , zp sont les z~ros de f(z)-w,
intérieurs au ~ercle Iz I<R et si l' on trace ele,s cercles ,ayant pOUl'
oentres ces zéros et poul' 'rayon p, p étant ~ssez petit pour que{)es
cercles soient extérieurs les uns aux autl'e~ et necoupent. pas,
Izl . R, on aura sur ces cercles el: a leur extérieur If(z)-wl:?: '11'.
Par suite si IZ-:-w I esi inféricur au plus' petit eles nombres J,\ et '11'
z = cp(Z) sera extérie\u' au cercle Izl> R ou intérieur aux cercles
/z""":'Zql<Jp, q~,l" 2, ... , p. Loi'sqrie Z~w,cp(Z) tenel \vers
l'irifini.ou ,vers un zéro· ele f(z)-.,-w. Les singulari~.ésde la f~ll1c­
tion cp(Z),.~utres q;te les singularités algébriques, sont les valenrs
"
. \
1
asympLotiques .:w. ,En charigeant f(i) en
on voit que ceci vaut, '
e
fez)
encore si 00: est \ vale:u'r ,asympLotiqtie.
Si tu esi une valeurasympto,tique qu'on petIt supposer '~inié
et si
estun chemin ele dctermination ,w, Tun, d~domaines, D s'
011 If(z)-wl<E contient Ca partird'un d'e ces points. Sil'mi
prend une suite de valeurs, E,V E2 , ••• , Eq, ; •• décl'oissántes el teil~
daI).t vers' zéro, .on a une' suite de domaines DSq tels que D~q
contient DSq+l . Toute courbe .qui va a l'infini en restanta' partir
de l'un ,ele. seS points dans Df. q ' sigranel que soi: q, est aussi ~n
. cheminde détermination w. Ce chemin est équivalent a e, il définiL la me me singularité w ,sur 'la sul'face de Riemann.
e
-313 -'-
"
,
"
L' étude des chemins de détermination des fonctions entieres·
repose sur quelques propositions simples dues en grande' partie a
Lindel~f. TC~}lit d'abord, une généra1isation du théoreme, de Cauchy
sUr le module maximlill:
i
I-Si F(.z) ;est llOlomorphe dans'un domaine 'bo~né D, sien
tout poi~t de' la frontiere e de D sauf en un nombre fini de points,
'aj'de e (j~1,2" ... ,p) ona W(z)I<IC et si ¡F(z)! estbornée
dans D par un nombre M, On a dans tout le d:omaine D .
W(z)I<!C
I
,
Car; on peut touver un nombre H tel que dans D et sur
e
1<I>.(z) !=!HII(z-:-dj) 1< 1.
.....
"
"Si e esl. pos¡tif arbitrairement petit, 011 a encore, pour toutes les
.branchesde <j>(z),e, qui ,sont holomorphes dans D el sur e sauf
a~x poin~s aj, _
Sur
e,
sauf aux points aj, on a
"
(1)
Mais si z -:- aj tend vers, zéro, f<l>,(z) e1 tend vers zéro, et puisque ,
W(z)I<M l'in~galité (1) vaut encore pour !z-aj!<Pe' j=l, ... ,
p; siPe est assez petit. Soit alors zl un point de D. Pour e donné,
l'inégalité (l)vaut sur la frontiere d'un domaine con,tenant Zv
frontiere constituée par des portions de' e el d' ares' cde cerde.:;
Iz-ajl=Pe' On'3 done
'
....
,
Comme!:: est"arbitraire, et comm~ ,1 <p(zl)e 1 tend vers 1 lorsque
e tend vers zéro, on voit que le théoreme est établi:
Une transformation homographique permet d'étendre le ré,
suItat aux domaines non bornés.'
De ce .théoreme de ,Lindelof, on déduit une proposition ijui
, avait, été ,démontré autrement par 1versen:
II- Si fez) est méromorphe dans :t~ut le ,plan a,distance finie, si S est la surface de Riemann décrite par Z . fez)' et si Zl
l'
-314-
est Ún püint de S, ~t w únrtümbre quelcü'nqué, ilexiste Un ché- \
J11in ele S' jüignant Zl a un póint' Z, qui appartient au cercle
"
jZ-'- wj< E, arhitraire.
(Lürsque 'w üu Zl est infini, il fauL cünsielérel: les imáges
sphériques).
'
- '
SoitD celui eles. elümaines cléfinis par If(z)":'-:¡uj<1Z1-w\
dont la früntiere cüntient lepoint zl pour lequel f(zl) ~Zl' S:iÍ "
existe elans D un püinl' Zo tel' que f( ?o) = w, le tlléürelne est établi.
Supposüns clünc que f(z)-w ne s'annule pas elans D. La fonctiorl
.'
1 , ~st holomorphe clans D. g(z) n'esl pas bürnée elans '
f(z)-w
"
"
, D. Cal' si g(z)' était bürnée,dans D, le théo'reme 9.eCauchy: üu le
g(z) =
thlloreme I ele, Linelel6f :müntrerait que Ig(z)l< , ,1
",'
et
rÜJ~.,
'I Z1 -w l "
aurait dans D, Ig(z) 1=
1 ,g(z) et par suiteaus'5í fez) so-:-'
Z l - w j,
"
"
'raíl constant.,-Dünc g(z) n'est pas bürnédans D, Ü,existe: elans D
j
un poiht
,
Z2
en lequel' jg(z)j>
' , , '
2"
j
Z l -W
ün IJeutJ'üindre zl'
j"
,
"
a Z'Q~
par une courbe appartenanl ~, D puis'prendre le elümain D 1 défini par'jf(z)-wj<\f(z2)-w\ ,dout la früntiere cüntient ZÍ!' D 1
appartient a D et ron peut recümmencer le raisünnement, et ainsi
de silite. On eléfinit un chemin cia~s le plan des z Iluquel' corresponel sur, S le chemin cherché.
En parti«ulier, on vüit que si fez) est bürnée :elaris un do-'
maine D, ne s'y annule pas, et si If(z) j=const. ,sur, la früntiere
de j)' sauf en un püint O de cette 'früntiere, il existe un chemÍ\ll
aboutissant a o sur lequel fez) ten el vers ,zérüi' ~t jI suffit de
supposer fez) hülümorphe dans D eL continue' sur la frontiere sauf',
au poinl O.
Notamment, ün' voit que
L'infini es:t valeur 'asymptotiquc püur tüute fanction eriliQl:e:
Une valeur exceptionnelle ,au sens dcPic~rdesl valeur asymp'tütiqlle.
111. - Théüreme ele Linelel6f. -:' Süit e une cüurbe fermée simple el, fez) une fünctiü~ gui esl hülou'Iorpheel' bornée d~ns le,
~lomainé D intérieur it C. Sif(z) est encüre continue súr ,e sauí
en un püint O de e et sises yaleurs ünt une limite finiew lors.,. ,
quee z tenel vers O,sur e, fez) tenel uniformément vers' wJorsque
z ten el vers
elans D óu sur e . '
,'
I
\ ,
o
\
,
1",
'- 315---;
.
.
" . ,,t\u moyen'el'une ~eprésenb.i.ti?ncbnforme,on peut se ramenef .
. a,u ca$ ou Dest un seeteur :I de. sommet. O, derayon R et de
..
'
"
'
:petit~
."
/"
.
ouverture' 0" 'Si
.'
.
.-
., .
~oestunpoint dú secteur.etlzol<~2 R,..
' ¡ ' .
'
.•
,'
•..
{O est l'orii,ine} l~ secteur _,I' syméttique de ~par rappoi·t
. .:
aij ..
"
",
"
.:
',.
\
l ..
,
,poin~
Zo a une portion eommun avee :S; eeUe portion commune
Aest limitée par,des' segments'O.4, OB el leurs symétriques,les
points de ces segmenls étaiit respectivement a ~les rlis"tances de Q
et 0 ' inférieures a.2Izol. La fonction
est holomorphe elans A el y est bornée. Si Ton suppose, ceqUl
est ldisible, que f( z) ten el verS.zéro lcirsque z tenel v,ers O sur
OAet OR, on a sur la frontiere deA
Ig(z) I<ME'
M étant. la borne elelf(z) I elans Aet E 'arbitmirement· petit,
pouryu que IZol soit 'assez petit. En appliquant, le théoremeI, ,on
que
~voit
ce qui démontre le théoreme~
. .Comme .corollaire; on voit que, les autres hypotheses. du
théoreme étant les memos, si l'on suppose seulement que f(z). a
e,' de part et d' autro .
des limites finies lorsquez tenel vers O
de. C, 'ces .lüuites sorü les memes. Carsi a et b· son,t c~s limites,
sur
.
'
-, ,
-316-
b
tend uniformément vers ,( 2
a)
"
2
'
lorsqmiz tend vers O dans D
e
ou sur , dorrc t()
z, - a+b'
- - dOlt. ten dre' .
SOlt vers b-ci.
SOlt vers
"
,,2,'
2'
,a-:-b,
1fniformément, ce qm eXIge a = b:
,2
I
Par des considérations analogues, Liríde16f montreque
,IV. - Si F(z) est bornée ,daria lln angle I~rg zl <: a, et ,si F(z).
tend vers une limité firiie w lorsque z tend v,ers le\sommet de
l'angle en restant sur un chemin appartenant a cet angle, F(z)
tend uniformément vers w lorsque z tend vers le sommet dans un
angle intérieur au premier:1 arg'zl < a,- E, E positif arbitraire.
'Úne méthode analogue a celle qui a donné le théoremeI
fournit le théoreme de Phragmén (Voir Valiron, I, p . ..496).
•
"
"
1t
'1
V.-Solt un secteur r=lzl>R, Icp=argzl<- avec y2:,
,
~,2
Soit <I>(z) unefonction holomorphe' dans, ce secteur et 'SUr son
contour a distance finie, dont le module vérifie da~s ce secteur
l'inégalité
10g/9>(z) /<r b ,
O<b < y,
des que Izl> R'·> R. Si 1<I>(i) I reste inférieur' ou égal a un',
nombre lf sur le contour du 'secteur, a distance finie, on a dans
tout le sectew
1
<1>( z) 1 ::.: K.
A ces théoreines d~ Llnde16f, Phragmén, Iversen, donlon
trouvera, quelques "appliyatio~s dans le livre cité,' iI faut joindre"
un' théoreme de Gross dont on trouvera la' démonstration dans
l'Ouvrage de Nevanlinna: Eindentige analytische Funktionen, (p.
276):
VI. ~ Si z=cp(Z) est la fonction inverse d'une fonction
Z . fez) méromorphe dans, tout le plan a. dislance finie el' si
'l'une de ses brarichesest holomorphe '~n 'un 'paint Zo, celte
, branche' peut etre, prolongée radialement jusqu' a l'infini, dans
presque toub.:lS Les directions (c'est-a.:-dire s\lr les demi-droites "
arg (Z'-Zo'r, :q)= oo'nst., sauf au 'pl~s pour un ensembb (le
mesure nulle de nombres <p');
:\
;
"
.",~
..:,'.'
-317-'
Ceci dLt, on' doit observer que l'étude de la fonction inverse '
, d~unc f9nction méromorphe dans tout le, plan ,a distance finie,
admettant le: point a l'infini pour pointlimite de poles oupour
point essentjel, et' de la surface de Ri;emann sur laquell,e cette
fonction est uniforme, rem,1cigne sur la ~orme de ées surfaoes
de Riemann,dites du type parabolique. Les difficult~ proviennent
notamment' de l'existence possible de singularités transcendentes
non iso,lées. Sire a donné le premier exemple d'une fonction
tiere 'dont la fonction inv,erse a dessingularités transcendentes
ayantla puissance ducontinu (1913), Gross en 1921 a construit
une 'for.clion 'admettant toule valeur pour valeur asymptotique. Mais
Denjoy'avait prévu en 1907 qu'une fonctionentiere d'ordre p a
au plus 2p valeurs asymplotiques' finies et l' avait prouv6', dansoer.,tains cas particuliers. En 1921, Carlenia,n a établi un théo~em:e
moins précis en montrant que le llombreae ces valems asyniptu-
en-
2
'.
. '
"
11:
tIques
est au plus egal
a-p; onpourra se reportér p,ourson'
"
2
in téress~nte démonstratio'n 11 mes Lectures oh the general theory
'oí integralfunctions: Le ,résultat definitif a été' donné par Ahl-,
fors en 1932. Pour ,énoncer le résultat d'Ahlfqrs" iI fau! el'abord
douner, deux défirÍitions.
Si w est une singularité transcendente 'de la, fonction inverse
de la fonction méroniorphe fez),. on dit que w est un point di~
, rectement cr~tique si Ton peut trouver _un nombre E, assez petit
pour que dans celui aes domaines ou-lf(z)-wl<E qui fourni~,'
cette singularité, fez) ne preuna pas la valenr w. On dira d'autre
parto. que l'or:,dre inférieur ele fez) est le nombre
,,
p
= l'
log T(r,f)
log r
ll11~--,
r~",.
T(r,j) 6tant la fonction caracléristique' de Nevanlinna. Le théoreme el' Al1lfors est alors:
'
Le 'J1ombre 'des points elireclement critiques ele l'inve~se el\ine
,
.
,
.' '1
fonction d'orelre inférieur p' est au plus égal a 1 si p' < -'et a
2
,>1
'
2p Slp =2'
Pourune fonction .entiare, les pO,ints critiques de la fonction
1l1verse situé s a l'infini sont directement critiques. D'apres les
\~'
.
-318,
théoremesde Lin:deIOf, enireeleux: chemin's ele eléterminat"ion finia
se trouvent des éhemins eleelétermination infinie si ces cleuxche:":
sontpas ,équivaleút~,Sim ~st le 'ilOmbrc'eles ,singularités
, nlÍns
direcles á d~stancefinie, n le J:ombre eles imtres singularités ti'ans-,
cenelenlesa distance finie, il y a m n poinls critiques al'infin~
pour la" fonclipn.inverse; done
ne,
+
j,
'~> l'
2m+n,<2p',
p
=2:'
Le maximum 2p' de poinls' criliques a dislante, finie rÍe peut 8tre',
,iitteint qUI;) pour m ' b, C'estce' qui a lien po~ les' fonctionsd'dl'- ,
p' entier
',elre
f '
'j'
'o
,
,
sinP.z
:
, zp
"
:sinPl
tP ,
dt
(1
On trouvera ladél11ol1slralio~ el' Ahlfors 'dán's le livre cité
dé Nevarilinna, El il' faul signaler que dan~ la Note eles COl11ptes
llendrís de 1907, p,enjoy énonce un autre théoreme qui reste a
déinonlrer, J'ai d'aulre part élabli (Circolo Palermo, 1925) qu'ime
fcip.clion mérol110rphe l?0tir laquelle
'
, T(r, f) , ,
'
=0:1
r~oo" (100'
1 1')?
' b,
'lnli
1
. peut avoir uneinfiniténon c1énombrablé de valeurs asymplotiqu.:is.
tandis que les fonctions pour !e.squelles
'
-T(l' f)
lim
'
<00
1'""COO (log 1') 2
, "
'nepeuvent avoir qu'une seule valeUr asymptotiq'ue et, n'en out pas "
en général. Ce résultat s'élenc1 ¡un fonctions algébroieles '(Comptes
,
"
"
,','"
"
'.
Tttmdus, 1935). 1
,
'Rl)ulronx" .(I,vait elonné, une ,classification des singularÜés ,i<u>léesdes fonctions inverses eles fop.clions entieres qrii a été eomplétée el précisée par Iversen (These, 1914) et étenc1ueau fonctioIls
,
,
"
.
I
'-
'.
"
"
-319-
inverses desfonctions méromorphes. Un exemple simple de singu'
lafité non isolée est fournipar qnverse de
,'
..
(2)
,
,Z = (ee~.....,.l) eiz ,
' 1
e
"
';soit z-cp(Z); Iin(f singularité Z -Cf:l n'est pasisolée. Elle correspOri.Cl:au chemin z ' .iy, i -, 1/' '1, Y < O; tundis que les chemins
z = 2ir:Í1,., x >0,' h 'entier, fournissent á l'infini des singularités'
,isolées les unes eles autres.
,
Ona' déjá dit ce qu' on entend'iJar' point directement critique
ele la fonction inverse z=cp(Z)., Si w est l!n telpoint el E assez
petit, lorsque le point Z reste elansun cercle ,Z--'w, < E, qui a
,nécessairement une infinité, de feuillets; et tencl. 'vers w, ep (Z) , .
tenel vers l'infini. Si, en outre, ce cel'ele peut etre pris de rayon E,
assez petit pour qu'ilhe contienne pas ele sihgularité' alg6brique,: le
poiní Ul' est' elit de premiere' especo (ou point logarithm~que); si~
non, w est pO,int 'limite ele points critiques algébriques, le point
'estele seconde espece.
Lorsque ,w n'est pas elirectement critique, ,il existe' dans
,Z~w
E eles chemins SlJ,f Jesquels cp (Z) a une. limite fiIi.ie lors:-' •
que Z tenel vers w. Si ceci a lien,lorsque Z-+w avec arg(Z-w) "
c0!lsl., quelle que soit cette constante, le poiri.t w est dit inc1irectement critique. Ce neser,aen 'quelque sorte q~e sur eles ch~mins
en spirale \tendant vers w que cp( Z) tenCIra vers l'infini.
VI)., poin,tqui' n'est nidir~ctement Cl~~tique, úi inc1irectemerít
critique est, dit dlrectement et üic1irectement critique.
Si j(z) est une fonctioll'entiere, le dómaine du plan eles ,z qui
~orr.espond á, ullcerele ',Z~w, < E, w fini, esi siniplement, connexe
au sens, large on resteinl., Par exemple pour la foilction ,(2) ;,et
Z -:- 0, l~ elomaine
< E est simplement connexe an sens large
.
'
' . '
I
,<
,Z,
~ ens
~ens/orge
re.s!reinf
seúlemenl. Mais pour une foncLioll, entie~e cl'ordre, fini, et w fini,.
les, don~aines cOllsiclérés., sont simplementconn8xes au sens strict
,
"
..
~.
./
-320~
des quee E est assez petit. Pou.!' la fonction inverse d'une fonction '.
· entiere d'ordre fini les points directement critiques a distance finie
sont· tous ,de premiere espece;' mais le point a l'infini est de
deuxieme e~peC-e "porir les inverses des fonctions entieres. d'orc1re
Iin;férieur
a .~ .~
.
La faGon la plus simple de définir lasurfacede Riemann
décritepar Z = I(z) es't a priori la suivante, dan s lecas ou iI n'y
a qu'un nombre fini desingularités transcendantes (Pour le cas
général, voir les trávaux de Marty' et de Shimizú). Prenons les.
branches de z 'ép(Z) quisont holomorphes autour de Z =0;
prolongeons radialement,ces branches, on obtient pour eh acune
d'elles une lltoile d'holomorphie. "Pour 'les branches qui présentent
a l'origine ,un pole ou un point critique alg~brique, ,on coupera
'd'ab«;>rd par un rayon arg Z= consL eL onprolongera radialement
les diverses branches dans les deuxsens a pa,'l'tir d'une petite circonférencel Z l' .consto Si Z = o est point' critique transcendant¡
on coupe enco~e par un ráyónarg Z = const., ce qui rénd les .di· verses branches uniformes. Si· Z - O est directement critiqUe. de
prelllÍere espece, on obtient en prolongeant radialement a partir '
d'un petit,cercle IZI--:-E, des étoiles d'ouverture 2n:. Si Z=O est
directement critiqqe ~e seconde espoce (cas desfonetions mé'"
romorphes) ou est elirectement et indireCtement critique, on pe~lt
obtenir eles étoiles d' ouverture iriférieure a2n:. A ceUe elivision en
·f~uiI1ets ele la sur~ace de Riemann corresponel elans le plan des ~
. une. division en domaines el'univalenoe- dans chacun elesqu,els la
fonction prend une serile foisla meme valeur~ A une étoile cl'ouverture 2n: dont toute leJrontiereest accessible corresponcl un domaine complet d'univalence, dan s ún tel domaine auquelon adjoint
.sa fronliere a distance finie, la fónction I(z) prend toutevaleul".
fini~. Si une p~rtie de la fronliere cl'ti~é:·etoileicl~9.u,.yertlire:2n: est' . . ,
. inaccessible, le ,domaine correspondant esturi:'dQ~aiIl~'-·~c.O.~Í?]et ; '.
,'..
.,si,ngulier d'ünivalence ;dans' cedomaine el sur sa~rqiit\?ir~::i:t~.~)!~W;-{;:;~.,«:' '.
prenel toute valeur sauf ceJles appartena~t a certames. 11g~éS;·>i~~·":}f.~f~~X%~~;X.~;
une étoile, d'ouverturemoinelre que 2n: corresponcl un doma~ne m~ ...... ,.:r~:t;¡'~f
complet el'univalence. dans lequel la' fonction ne prencl p~s les' .
. yaleurs -app·artenanl.a undorr,taine" On pe~tévi~le?l~ent, S'll.l~'y ,
a qu'un ,nombrefini de valeurs asymptotlques, evIter cette Clrconstance en prenant pour origine Z = O urie valeur non asympto,. tique.
':..
"
'.
',"
,
,-
..
"1
"
~ .... -
-321-
'D'autres ,anomalies peuvent ~e ,présenter, meme lor~que f(z)
est une ';Íonction entiere d'ordre fini, dans la jónction des' feuillets
entre eux, ,c'est-a-dire dans la jux.taposition, dans le plan des z,
desdomaines d'univalence. On pourra avoir une division impropre,
telle, que IPOur pas~er de certaines deeesdomain,esa d'autres, il,
~oit ' nécessaire,~ de' traverser une inf~itéde domaines.
On trouvera dans le JournaJ de Math., '1940, p. 339; une,'
étudede·.la division du 'plan des z ,en domáines d'univalence, ¡par,
, la méthóde qui vient d'~tre sommairement indiqué, dans les trois
cas
(1)
ez-1
Z=-.
z
(Ir) ,
( (111)'
z= ezz ,1+1.
'
Dans le cas 1, Z = O e~t pointcritique, on a un domaine ~ncomplet
d'univalence; 'o.'ans le cas 11, Z = O est point d'holomorphie ISur
tous les feuillets,mais il' y a un domaine complet singulier d'univalence; dans ,le cas III, la division est impropre. "
'
, La division ,du plan en domaines' d',univalencE:) par des mé-,
thodesélémentaires á été abordée par Hibbert. Máis il importorait
'de poursuivre ',ces études et classifications.
'
'
,
, Dans tous les cas étudiés jusqu'ici d'une fayon précise, on
trouve que, a la concliLion de supprimer sur la 'sphe;re OU 1'011 pout
représenter Z, le voisinage- de quelques points, puis de rendre simplement connexe, on peut former un do~aine a~quel correspond
dans le pian des z un clómaine cl'univalenoo_ qui peutetre aussi
éloigné que l'pn veut 'de l'origine et qui est vu de oeUe origine iSOUS
un angle 'qui tenel vers zéro-. Cettc propriété est-ellegénérale?
Les métliocles' nouvelles introduites par Ahlfqrs et developpées, par
Dufresnoy a' partir de 1941 n'ont pas' encore permis de répondre
a. ceLte ,ques.tion. On a vu dans la deuxleme conférence que la:
réponse est affirmative pour les fonctions d'ordre' nul' assez 1'egulieres el ,pour toutescelles pour lesquellc,S
,
- l ''log M(r)
1'-)0
(log 1')2
f 1In
,
'
"
I
< +"
oo. '..
\
;
,/
'
••
"-322-'-
¡
, La, théorie des fonctions -entieres e~ des fonctions 'mérol11orJ?hes a été étenclueaux fonctions ~lOIomorphes et aux fo~ClioIlS:·
mérolhorphes dans un cerde et' satisfaisant a oertaines :conditions.
Le thé~rcme de Weierstras~sur lit décomposition en facteursdes
fonctions entieresa été étendue par Pica~cl "aux fonctions holomorphes dans un cerde et s,'y annulan.l une infinité de fois. On.
, étendit éga,leI11ent a. ées . fonctions holomorphes cIans un cerde la
'dhéorie ele la crbissaIwe du module maxi)TIum,9'est-a-díre la recherche des relatlons entre les c()effícíentsdu développement taylo:..
rien et la fonction, M (r). 'Plus lard la théorie de, Nevanlinna ti
été ét.endue ainsi que la clefinition eles cerdes. de remplisság0. et
l'étude de points ele Picarelou ele Borel Gorrespondant aux c1ireetions 'de Picarcl et de Borel.
En deh()rs de léur :intéret propre, certaines de ces recherches,
op,t une' application irnmécÜate, elans l'étucle 'des propriétés anS'~lai­
,res eles fonetions entieresou mél'omo'rphes clans tont le plan la
c1istance finie. 'Si fez) est uncielle fonCtion etsi-lion se propose
,
'"
\
cl'étudier les zéros de' f(z)~Z cians
tÚl
"'
,
,',',
.
'
',
'ir
angle Icp......:cpol<~, oú
l .
,
~,
cp , arg·z; une transforniation r; =
ramene a uhe étúcle
pourunefonction g(~) définiepour R~>O ,et la transformation
zct.e ioo
~-1
u=l;+l
au cas d'une fonction F(u) définie, pour
lul<l.
pe
telles considérations ,.auraienl: dú s'imposer qe~ que Schottky, cut
établi son théoreri.le, rhais ce ne futqu' en "1918:..1919, en meme '.
temps que. J\llia aborda1t l'étude des'zéros, que cette transforma- "
,tíon simple fut utili,é'3. Le théorem':l de Schottky,sous la forme
; pl'écise fournie par l'eníploi de la fonction modulaire, pel'met
. el'affil'mel' .qué, si F(z) est holomol'phc pour Izl<let si
.
l
,
" M(r) , , max JF(rép) 1,
I
F(z) "prenel nécessaÍrement toute valeur sauf une au plus clans
.ce
cercle' si..
"
'-l·-logM(r) ,
un , . '1
. __
1....,... '1'
"'=1
'
=00,
.
Les transfol'mations pl'écédentes conduisent alors a une extensi?n
du théoreme ele Pical'd a une fonction holomol'phe eluns-un anglo
1: . .
.
','
.~
:..
/',
.'
\
"
,
cl'ouverture
1t
pourvu \que rorelre ele la fonction' dans'cetaúgle
el.
, (ordre elMini a p~rtir de 111(1'), maximum du module pour 1z 1'- ,..
·le p()int z élaÍ1t~lans l'angle) soit supérieur a el.. En combiIi'ant ce
résultatavec unthéoremede Plü·agn'léil:-Lincle16f, Bieberbach montra que, f(z)étanl: une fonciion:'e~tiere d'~rclrep>~, le ~héoreme
, ','
,,',
.
2
'
de' Picards'applique-il f(z) clans tout angle dont l'ouverl:~e est':'
supérieure au plus grand des deux' nOhlbrt:;~ ~ el: '2-ri: .
i
.
P
1t
P
•
On a
.vuqu'il'avait été prouvé ~ltérieure~entque1e théoreme de Borel'
, vaulaussi clans un tel angle..
'
'_
Cecí montre le genre d'application que ron peut faire ele la'
considération des fonctions holom?rphes d~ns uncercle. _ 0.11 a'
.cYailleursauSsí él:udié clirectement les fonctÍons holomorphesou'
méromorphes dans un angle et ~Ul> ses cotés a distanoe firÚe. II esf
clair que' lo~squ'oh prend, par exemple, les valéur~ el'une fonction
entiere en supposant z, intérieur a un "~mgl~ A,on obtienl: une
fonétionholomorphe dansA mais qui esl: particullere. Lesanoma,lies que" peuvent préseri.ter· les fonctions holomorphes dans un
angle ne 'se transposent' donc pa,> aulomatiquemcrit aux' .foncl:ions
entieres .. Par exemple, illosf clair que ron pout définir eles fonc-'
tions holomorphes ,c1ans un· angle el: qui' n'y 'a:dmettent laucune
" va.-Ieur asymptotiquealors qu'elles sont bornées. '" Mais iI faut , '
, 'faire' up. efIort supplémentair~ pour monlrer qu'un.i fonction e11-,
'" . tierepeút.restérbórnéedarís un angle de sommet.origine el: ,n'y ,
'admettreaucune valéur: asymptotique. Un exemple simple de ce
cas ,estfourni ,par
'
,
'/
. l. . ·•
'E(z) - M(z) (e 1ty2Z -1) (e 21tz -1)
ou
,
,
'" 2n_z2
M(z)=U--:
"
o 2n+z2
vérifie' l'équ~tiOl~ fo~ctionnplle
""-
(1~2~2) M(z) ~(1 + 2z2) M(1/2z». '
1t
'
31t
E(,"z) esl:, bornée IJour·.:.......+e<argz< - -e, e>O, mms le do2
"
2
!
.'
-324-,'/
maine d'indét~Í'mination a l'infini de toutedemi-droite arg z=
const., est une courbe .D'apres le théoreme IV il en résulterait qu'
il.no,y a pas de valeurasymptotique' dan s cet angle, ce qu!on' voit
directement. On forme des. exemplesplus .généraux en utilisant
des fonctions d'ordre nul générales (Journal d·:lmath., 1928).
Parmr les fonctiohs méromorphes.dans.1,ln cerde, il faut don~
ner une place a part a celIes qüi ne sont pas prolongeables au-d.cla
~ de ce cerde. La sllrfaoe de Rierriann décrÍte par 'les valéurs de la
fonction. est alors du type hyperbolique. En particulier, si 'j(z) =
;E en zn est holomorphe pour Iz i< 1, le cerde de convergence de.
la série étalltl z I< 1,: on sait que si l' on multiplie lescn par .±l,.
le signe + ou' - étant pris on .hasard, on obtient une fonctio,n.
non prolongeable. 'Cette opération ne changera pas eñ général 1'0l"-:
elre.ele la fonction .M(r). Vétllcle eles 'fonctions holomorphhes
ponr Ii I< 1et non prolongeables fourIiiraeles' renseignements sur
'les surfaces ele Riemann elu type hyperbolique. Si Z =/(z) est
une . fonction holomorphe ponr Iz I< 1. et .nón .prolongeal;>le' et
z = er (Z). sa fónction inversB, le raisonnement 'fait plus haul pour
montrer que, 10r~que'Z tenel vers une singularit6 non alg~brique,z
a une limite, tombe en' eléfaut et montre seulement que; oU.bien z
a une limite de module moindre que un, oubien Izl tend verso
un. On peut former eles exemples de cas OU z n'a pas de limiLe.
Onpeut en effet ¿onstruire des fonctioris bolomorphcs ponr 1 z 1 <1
· et co .. t .le module croit indéfinirnent lorsque z d3crit une spirale
asymptote a la circonférence Iz I 1~ la valeur infinie' étant la
, seule valeur asymptbtique. On. pe;t meme faITe en sorte que
· Z = 00 soit'lasenle singularité ele la fonctión inverse er( Z) et qu"
elle soit isolée des poi~ts critiques algébiiqnmL Pour fairecetLe
constrll~tion (l'une fac;?n général~, on peut utiliser des théor~mcs
.
géÍ1.éraux sur les'fonctions entie~es quí ont d'abord été obt,~nus par
· la considérationelll polygone'de New\:on el'Hadamard, (Voir Pre-
~~
....
·f
"1,.
.
,\'
-325-
, miere conférence). On moiltre que" dans le voisinage despoints, Zo
o~ une fonction endere fez), atteint l~ maximum de son module
,
. '
Z
n
pour lzl=lzol, elle se comporte senslblement comme (-,) f(zo),
,
:
'
>n étant le rang du terme maximum de la série
Zo
de, Taylor; la partie
réelle. passe rapidement ,de' Yale~s voisines ~c M(1 Zo 1) a des valeurs voisiries de,-M'(lzol). 'La 'fonctiJonef(z) passe.de valeul's
tres' grandes, a des valeurs tres petites en, module. On pourra
constrüire une fonction eritiere dont le module' tend rapidement
vers .zéro ,lorsque z décrit lescoutbes froñtier'esd'un domaine D
rapidement asymptote it l'axe rOOl Ox; ·tar.dis que le module lend
vers l'infini sur certames, coutbes appartenant it D. Une transformation, ~ =,eiz transformer a D en un domaine Adu cerde \~ I< 1
asymptote á la circonférence \~1=1 etla fonctionentierc se transformara dans A en up:e fonction g(~) holomo~phe dan:s ,A et
, tendant rapidemim! vers zéro lorsque.\ ~ I tend -yers un, tandisque
sur des'courbes intérieures a A, Ig(~) \ tend vers l'infinL L'inté'grale de.'Cauchy
1~(~~ d~
calculée' sur
l~s bords
.....:
de A définira
a l'extérieur ele A une fonction holomorphe que I'on prolongera .len'
eléformal1t A. On' aura pour Iz I < 1 . une 'fonction ele l' espece
:oherchée.
" Pour les fonctions ainsi construites, le maximum elu modúle
pour 1~I=r croit tres rapielement lorsque r tenel vers un. Cette
propriétéele M(r) est assez caractéristique. On pourrait chercher
a caractériser el'uné faQon analq,oue el'autres ano,malies' du meme
genre. Pour le elétail eles calculs on pourra se reporter au J ournal
de mathématiques ele 1936.
.
.'
.. ' "..
"
,
l."
\,
"UN RECONOCIMIENTO DE ESTRELLAS DOB:LE~ QUE TIENEN
COMPONENTES ENANAS BLANCAS"
pOl: WILLEM
J.
LUY'l'EN
Errata dél artículo publicado en,·Vol. XII, p{¡gs. 94·8
En la tabla (pclg.97)
El encabezamiento de'In 12') :columna' (lebe decir" época de la observaciÓn?'
en lugar de "época de la medición?'.
Para LDS 275 la' "separación'" es 3"9 en ltigai· de 30 "9.
]]ú ba~e a los. resulta(los de la medición de una placa .. tomada \por Luyten
. y Dartayet en Bosque Alegre,' en septiembre d? 1946, deben introducirse ad~más
las siguientes correcciones:
Para LDS 766"- separÍtci61l 8"9' en lugar le 9 ":
{¡ilgulo de posición 330Q en lugar de 329Q
época de la' observación 46.72 en lugar de 45.85.
Para LDS 785 . separación 8"7 e~l 'lugár de 9"4
{¡ngulo . de posición. 1980 en. lugar. de 19'7 0
época de la ob~ervac:ón. 46.72 en lugar. d~ 45:98.
-.,
", ,,'
.'
(
"
,
.'
", I
/,
"
.. ,.
,\,
'.
IN D,I CE
.....
'"
Ji'lJcllJrigo ]JJ1!?'iq.1tl!s.Homenaje de la Unión MatcmáÚ~a Argcntina
,llALSEIRO, José A. '. 'Impulso' angular °del cnmpo de rad:''lción 153· l(í7;
.
,PÁGS.
3-9
209·224
BARRAL ~OU,TO, José." Plazos ópth.nos parapró~t~mos CO;1 ,se~ro de
I vida " .......... ,..... '........ ' .. : ......... '.:.: ... '........... .
75'- 77
BROGGI, Ugo:,: - Notas sobre funciones ".eleterminantes ...... " .•.....
225 - 237
(;()ROÚll~AS, Ernesto. - Sobre eleTivaelas ,generalizadas ele PeD-no,'. " .. '
88: 93,'
DE Crcco, J olmo -- Cartogrtlfía y. curvas 'ele escnla ............. : ..
62- 74."
'LUY~'E~,
Willell1' J. - Un re<\onocimiento de 'estrellas que tienen/componentes enanas blancas ......•............. '.. ; '; . ; ........ .
"-1
94 - 98
I!UYTEN, Willem J. - Errata elel artículo anterior .... :......... _... .
~26
N AOIIBIN, Leopolelo . . Sobre el axioma ele las' sucesiones no convergentes en algunos espacios' topológicos, lineales .- ............ .
129 -154
EANTALÓ,' Luis
convexos
tr. -
Unas fórmulas integrales refen'ntes a cuerpos
,
"
••••
,
•••••••••••••••••••••
o",
•••••••••••
•
0, • • • • • • • • •
f:,Q1IONBE'RG; Mario. - IJas funciones ele, Green ele b ecuación ele
Klein - Gorelon ....................... ;.......... 238 - 264;
TERRAOiNI, Alejanelr~. . Para la geometrí~ ele 'los polinoúüos mono,
elifricos ....... :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. '
USPENSKY, J.' V .. Sobre un problema ele ,J~all Bernoulli (conclusión)
V ALIRON, Georges . . Dhections ele Julia et elirectioIl ,ele, Picnrel eles
, fOIlctions entieres· ............ .' ...... ,............. : ...... '; ..
,
78 - 87
\~
265 - 296
"
55- 61
10 -19
48·54
,GeneraÍités sur les' fonctions entieres .................. ; .. .
105·117
Les fonctions entiores el 'orelre nul ................. ,...... .
168 -18,0
'.:..... --'- ,Le théoreffle ele, Picarel ................. ' ...... ',~ ........ .
181·193
-
Lo théorell1e et le programme ele Borel ....... '. ", .......... .
297 - 309
~ CllCIllillS de' eletel'l~ination. FoolCtions iIlYer~e3. DOlllaine el 'univalimcc
•••••••••
o',
....................................
0, • • • • • • •
3JO·32ií
WA'l;AGuíN, G. - Sobre la raeliación cósmiéa,generaelol'a de los grupos
de partículas llPnetrantcs ..................... '. . . . . . . . . . . . .
99 - 101
'\\'i.jRSOUMIDT, José. -En' torno elel fotón, en un meilio material ..
118 - 128
ASOCIACION FISIQA ARGENTINA
,
'- .-
Illformes y e,omunicaciones ,de 1n sexta reunión
Informes y comunicaciones· ele la séptinm reunión..............
)',-
20 - 40
194 -200
"
INDIOE
PÁGS.
BIBLIOGRAFIA
1'. PI' OALLEJA.- Introducción al álgebra véctorial' (M. Balanzat) ... 150 - 152
C. DE LosADA y PU'G;A. - Curso dl) Análisis matemáticó. -Tomo II
(L. A. f\antaló) ........................... ' ..... ,.........
200 --201
CRONICA
41- 42
'Ji'ondo Fedei'igo Enriques
Llj' séptima
reuni6n; d!3 la Asociaci6n J)'ísica Argentinn, por G. Beck'
.Uni6n Matemática Arg{ll¡tina. Re)lniones del_8 y d¿l ] 1 de, julio de
1946, 'por M.VnlílJltinuzÚ .................................
42 - 44
45 - 48
~odas ck'plat,a dél Observatorio NacioIial de Córdoba y octnva reunión
de la Asociaci6n Física Argentina ....... ',: . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
}] Congreso de México ele 1947 .......... '.' . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
. 48
La estada en la Argentina del pI'ofesor G. Valiron ................
101 - 102
El" fallecimieúto del profesor Enriques
102 -103
~""""";"""""""""",,,
103: 104
GO,nferencia del doctor Gross ................... '.... : ......'. . . . .
_ 104
]!'unqacióll Federigo Enriques
.
I
¡,-,
,1
"
¡.
Conferencia del doctor Sehonberg .............. '~ ...... ~ . . . . . . . . . .
104
Ing.Eduardo Chichiz,ola, por F. L. Gaspal' ...... :,:...............
202
La octava reuni6n de la Asocia!)i6n Física Argentina, por' G. Beck y
E. Gavioln
203 - 208
/
"PUBLICACIONES DE LA U. M. A.
(1936-1937). Vol. II (1938-1939), Vol. VII (1940-1941), Vol. VIII
(1942), Vol. IX' (1943), Vol. X (1944-1945), Vol. XI (1945-1946)
Vol. I
Notas y memorias de J. BADINI, M. BALANZAT, J. BARRAL SOU'l'O, A. BAT'l'IG,
G. BEcre, C. BIGGERI, G. BIltKIlO~'F, C. A. BULA, M. BUNGE, H. E_ CALCAGNO,
l!'. CERNuscm, A. W. CONWAY, C. CRESPO, E_ A. DE CESARE, J. DE CIOCO,
J'. A. DEL PERAL, J. FAVE'l', E. FERRARI, V. y-A. FRAILE, Y. FRENKEL, R.
FltUCH'l'; E. GASPAR, E. GAVIOLA, A. GONZÁLEZ DOMíNGUEZ; A. J. GUÁRNIERr,
J. E. HERRERA, E. KASNER,' G. KNIE, N. KruVOSHEIN, ~'. LEVI-CI'rTA, W. MKcIlr,ER, J. L. MASSERA, M. PE'l'ROVlOH, M. lVL PEIX01'1'O, A. PETRAcaA, E. R. RÁIMONDI, J_ J. REBELLA, J. REY PAS'JIOR; S. Ríos, P. ROSSELL SOLER, M. SADOSKY, R. SAN JUAN,' L. A. SAN~l'ALÓ, S. SISPÁNOV, A. ~'ERRÁCINI, P. THUILLEN,
F. ~'ORANZOS, J. V. USPENSKY, J. WÜRSOHMID'r.
lllformes do. las reuniouGs ele la Asociación ·Física Argentina.
Soluciones ele temas propuestos. Bibliografía, Crónica, etc.
Vol. III 1938-1939). Vol. IV (1939). Vol. V (1940). Vol. VI (1940-1D42)
Fascículos separados
NQ 1. - GINO LoRIA. Le Matc711atiche in Ispagna e in .Argentina.
%>. 2. - A. GONZÁLEZ DOMíNGUEZ. Sobl'e las sm'ics dé funciones de Her711ite.
,
3. - MICIlEL P.n:1'ItOVICIl. Remarques arithméUql¿es sU?' une équation cli/fe.
.
l'enUelle dl¿ pl'emier ol'dl·e.
~ . 4, - A. GONZÁLEZ DOMíNGUEZ. Una nueva de?lLOs"traci6n del "teol'e711a límit,l
elel Cáloulo de Pl·obabilíelaeles. Conelioiones neoesarias y sufioientes pa'
ra J17te 'ltna fmtoi6n sea in·tegral ele Laplaoe.
)
5. - NmOLA ODRECIlKOFF. Sur la sommation absolue pal' la transfor?llatic"l
el 'Eulcr eles séries el·ivm'gentcs. - .
. "
,~
)
6, - RICARDO SAN JUAN. Derivaoi6n e integra.oi6n ele se1'Íes asint6ticas.
)
7. - Resolueión aeloptaela por la U. M. A. en. la cuestión promovic1a pOI
'el Sr. Carlos Biggeri.
Origen y 'clesar?'ollo ele la Gco?lletl'ía P?'oyeotiva.
BULA. J.'coría y cáloulo ele los ?nO?lwntos elobles.
Bur,A, Cáloulo ele supm'f'icies ele freoumw·ia.
Zm' Geo?lletl'ia a7¿f eine?- FUiohe ?nit inelefinitm' Met?-i'k
(Sobre la Geometl'fa ele 7¿na s7¿pel'fioie oon ?nétrioa inelefinicla).
A .. GONZ,tLEZ DOMíNGUEZ. Sobre 7tna ?nemoria elel Pl'of. J. C. Vignaux.
F. 'rORANZOS. Sobl'e las singl¿la1'ielaelos ele las OUl'vas ele J01'elan.
M. BALANZA'l'. FÓ1'mulas integrales ele la inte¡'seooi6n ele conjuntos.
G. KNIE, El pro.ble?1llt de Val'ios ,cleot¡'o¡WS en la ?ncoánioa cuantisl,i.
A. ~'ERRAarNr. Sobre la existencia' ele supe¡'ficies cuyas líneas pr'inoi,
'. pales son dacIas.
.
L. A. SANTALó.Valor ?neelio elel número ele partes en que 7tna' fig7¿ra
'
convexa es el'ivieliela pOI' n ?'ectas a?'bi'tm¡·ias.
A. WrN'l'NER. On. the itemtion
elist¡'ibution fmwtions in the -calculll&
of lJ)'obabili'ty (Sobl'e la itemci6n' de funciones de distribuci6n en ul
cálculo de probabil'idades j.
.
E. FERltARI. Sobre la pamelo,1a ele Be¡'tranel.
J. BADINI. 'Sobl'e algunas pl'opieelaeles ele las dm'ivaelas y oiel'tas pri?Jlitivas de los polin01nios ele Legenelre.
R. SAN JUAN. Un algo¡'itmo ele su?naoión ele se¡'ies elivergentes.
A,'TERRACINI. Sobrc algm!os lugal'es geométi'ioos.
V .. y A. FRAILE Y C, CRESPO. El ¡uga?' geomét?'ioo y luga?'es ele punto!
árcas en el plano.
R. FRUCH1'. Cm'OllaS elt¿ grupos y sus s1¿bgn¿pos, con 7tna aplioación
a los determinantes,
E. R. RAIJlIONDI.· Un problema ele p,'obabilielaeles geométricas sobre
.
los con.iuntos ele t¡'iángulos.
» 8, - F. AlIIODEO.
» 9. --" CLO'l'ILDE A.
» ID, - CO'l'ILÍlE A.
» 11. - R. FRucm.'.
12. 13, l> 14. ) 15, ) 16, l>
~
, 17. • 18. ) 19, ~ 20. ,
21. -
:) 22. l> .23. -
,- 24. ,
25, -
01
En 1942 la U. M. A. 1m ini'ei"ado la publicación ele una nueva serie ele
"MenlOrias y monografías" de las que hall aPD:recido hasta ahora las si,!;'uientcs:
Vol. Ii N9 1, -- GUII,LER:MO KNIE, Mecánioa onell¿la·toria en el espaoio'c7t!'VO. NQ 2, - GUIDO BEcre, El espacio fís'ico. NQ 3. - JULIO REY PAs'rOR, Intcgrales ¡Jct!'ciales de las f'u.nciones ele elos va¡'iables en intervalo infinito. NQ 4.
J'ULTO l{EY PAS1'OR, Los. últd?1wS teoremas geomét¡'ioos ele Poinca¡'é y sus
aplicacione~, Homenaje póstumo al Prof. G. D, BIRKIlOFF.
Vol. II; NQ l. - yANNY FRENreEÍ., C¡'itm'ios ele bico?npacielael y cle. H-CO?llplA'tielad ele 1m c,spacio ·topo16gico accesible ,.cle Frechet-Riesz.
Además ¡IOn aparecielo tres cuadernos ele Miscelánea ?natemátioa.
._--~--
---
._--._---~
~~-~---
-~~~-~-~-~~~
~-
--~-~--~-
------- - - - - - - ,-.. '-,1
---:1
s
U, M A R 1 O
PÁG.
Las funciones de Green de' la ecuación ele Kleill-Go,nlon, por M.
Schonberg (COl},clusión)
265.
Le théoreme et le prog'rp.mme de Borel. Chc·mins de determination.
Fonctions invel'ses. Domaines d'univalence, par G. Valiron ...
297
\
/
'1
Contribuyen especialmente al sostenimiento de las publicaciones de
la UNION MA'l'EMA'l'ICA ARGEN'l'INA los siguientes
(--
MIEMBROS PRO'l'ECTORES
CoMPAÑíA INDUS~'ItrAL DEL N OIyl'E DE SAN~'A FE. INGENIO AZUCARERO "ARNO"
(Villa Ocampo. F. C. S. F.). - JULIO REY PAS'l'OR (Buenos Aires). - T. G.
BERLENGIERI Y CIA. (Rosario) . .:.:.... 'l'UIC.ElmI i:·INOS. (Rosado). - MANUEL GUIT1i.RTE (Buenos Aires). - CLm'ILDE A. BULA (Rosario). - ELBA R. RAIMONDI
(Buenos Aires). - FERNANDO L. GASPAR (Rosario). - CARLOS ISELLA (Ro:
sario). - PEDRO J. TRIOERRI (Rosario).
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