4. Gráficos y diagramas

4.
Gráficos y
diagramas
Gráficos y diagramas
1.
Gráfica → Proceso
2.
Proceso → Gráfica
3.
Gráficos estadísticos
4.
Parámetros estadísticos
5.
Frecuencia y probabilidad
2
Taller de Matemáticas 3º ESO
1. Gráfica → Proceso
•
MERIENDA EN EL CAMPO
Ana ha quedado con sus amigos para merendar en el campo. Sale de casa y tiene que entrar en la
tienda a comprar coca-cola; después va al lugar donde han quedado y espera a que llegue el resto de
la panda. Por fin, ya están todos, y se van al río a merendar. Después de pasar la tarde, vuelve a
casa haciendo un alto para despedirse de sus amigos.
a) ¿Qué distancia hay de casa de Ana a la tienda?. ¿Y entre ésta y el lugar de la cita?. ¿A qué
distancia está el río?.
b) ¿Cuánto tiempo pasa en la tienda?. ¿Cuánto están en el río?.
c) Si sale de la tienda a las 4 h 15’, ¿dónde está a las 4 h 40’?. ¿Y a las 6 h?. ¿A qué hora salió de
casa?. ¿A qué hora regresó?.
•
CAPACIDAD PULMONAR
Para medir la capacidad espiratoria de los pulmones se hace una prueba que consiste en inspirar al
máximo y después espirar tan rápido como se pueda en un aparato llamado “espirómetro”. Esta curva
indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones mientras se realiza una “espirometría”.
a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial?.
b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?.
c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?.
d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?.
3
Gráficos y diagramas
•
AUTOMÓVILES O TRACTORES
Cierta empresa tiene capacidad para montar automóviles o tractores. Según los recursos que dedique
a la fabricación de unos, puede destinar el resto a la fabricación de los otros. En la gráfica se
representa la relación existente.
1) Construye una tabla como la siguiente con algunos valores. Observa el sentido de crecimiento de
dichos valores.
TRACTORES
X
0
AUTOMÓVILES
Y
800
Dominio de una función es el conjunto de valores de x para los que está definida la función;
es decir, para los que existe gráfica. Se representa por Dom (f).
Imagen o Recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la y para cada uno
de los puntos de su dominio. Se representa por Im (f).
Una función es decreciente si al aumentar la x, la y disminuye; es decir, al recorrer la gráfica
de izquierda a derecha, la gráfica baja.
Una función es creciente si al aumentar la x, la y aumenta; es decir, al recorrer la gráfica de
izquierda a derecha, la gráfica sube.
2) Esta gráfica, ¿es creciente o decreciente?. ¿Cuál es su dominio?. ¿Cuál es su recorrido?.
•
CURACIONES
Para el tratamiento de una enfermedad cardiaca se está experimentando, en un laboratorio, un
medicamento en distintas dosis para comprobar sus efectos favorables. La gráfica C muestra el
porcentaje de curaciones que se obtienen con una dosis de x miligramos.
4
Taller de Matemáticas 3º ESO
Por otra parte, se ha observado que este medicamento produce efectos secundarios que perjudican
el hígado. El porcentaje de enfermos afectados depende también de la dosis administrada y aparece
en la gráfica E.
¿Cuál es la dosis que consideras más adecuada?.
Para responder esta cuestión, te recomendamos que construyas dos tablas de valores como las
siguientes para cada una de las gráficas C y E. Extrae conclusiones de las tablas.
Nº de dosis
X
% de curaciones
C
Nº de dosis
X
% de efectos secundarios E
¿Hacia qué porcentaje de curaciones se acerca la gráfica C cuando se aumenta indefinidamente el
número de dosis del medicamento?.
•
TIPOS DE CRECIMIENTO
Las siguientes funciones son todas crecientes. Pero ¿crecen de la misma forma?. Si es preciso,
construye tablas de valores y analiza los distintos tipos de crecimiento.
Si una función es creciente entre a y b, la gráfica podría ser (entre otros) de los siguientes
tipos. El crecimiento no es siempre de la misma forma.
•
TIERRA Y LUNA
Lanzamos un objeto hacia arriba desde una cierta altura y con la misma velocidad en la Tierra y en la
Luna. Representamos gráficamente la relación entre la altura alcanzada y el tiempo empleado.
Describe cada uno de los recorridos, indicando desde dónde se lanza, la altura máxima que alcanza,
los tiempos empleados en subir y bajar. ¿Qué gráfica corresponde a la Tierra y cuál a la Luna?.
5
Gráficos y diagramas
Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando el valor de la función en
dicho punto es el mayor de su dominio. El máximo es relativo si el valor de la función en
dicho punto es mayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo la
función pasa de ser creciente a ser decreciente.
•
PÉNDULO
Si separamos un péndulo de su posición de equilibrio y lo soltamos, éste irá alternando su posición en
torno a dicho punto del modo que se describe en la siguiente gráfica:
6
Taller de Matemáticas 3º ESO
1) ¿Cuántos máximos tiene esta gráfica?. ¿Cuántos mínimos?. Intenta calcular, lo más
aproximadamente que puedas, las coordenadas de estos puntos extremos.
Una función tiene un mínimo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto es
menor que en los puntos cercanos. En un punto de mínimo relativo, la función pasa de ser
decreciente a ser creciente.
Una función tiene un máximo relativo en un punto si el valor de la función en dicho punto es
mayor que en los puntos cercanos. En un punto de máximo relativo, la función pasa de ser
creciente a ser decreciente.
Un extremo local de una función es un punto de máximo o mínimo relativo.
2) Estudia las regularidades de la gráfica. ¿Es simétrica la gráfica?.
3) Dibuja una gráfica simétrica que esté sugerida por la forma de esta curva e interpreta el
fenómeno que dicha función define.
•
OSCILÓGRAFO
Interpreta la imagen que ves en un oscilógrafo.
Una función es periódica si sus valores coinciden cada cierto intervalo de valores de x. Una
función es periódica de período P si el trozo de gráfica correspondiente a un intervalo de
valores de x de longitud P se repite indefinidamente a la izquierda y a la derecha.
•
UNA NORIA
Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira. Esta es la
representación gráfica de la función tiempo – distancia al suelo de uno de los cestillos:
a) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?.
b) Observa cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.
c) Explica cómo podríamos calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de continuar la
gráfica.
7
Gráficos y diagramas
•
UNA EXCURSIÓN
Un turista hace una excursión a la cima de un monte famoso y tarda desde su residencia a la cima 2
horas 30 minutos. La gráfica muestra con detalle las velocidades que ha llevado durante la excursión:
1) ¿En qué vehículo pudo viajar la primera hora y media?. ¿Y en la última media hora?. ¿Crees que
en algún período de tiempo fue andando?. ¿Estuvo en algún momento parado?.
2) ¿Indica la gráfica cuándo cambia el medio de locomoción. ¿Qué particularidad presenta la gráfica
entonces?.
3) ¿En qué períodos aumenta o disminuye la velocidad?. ¿Cómo dirías que es la función en esos
intervalos?.
4) ¿A qué hora alcanzó la velocidad máxima?.
5) ¿Cuántos kilómetros recorre en la última hora?.
Se dice que una función es continua en un punto si la gráfica de dicha función no presenta
saltos en dicho punto. La gráfica de una función continua se puede dibujar sin levantar el
lápiz del papel.
Una función es discontinua en un punto si en dicho punto la gráfica presenta un salto. Para
dibujar la gráfica de una función discontinua hay que levantar el lápiz del papel.
8
Taller de Matemáticas 3º ESO
2. Proceso → Gráfica
•
EXCURSIÓN
Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida,
cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos.
Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido.
a) Representa la gráfica tiempo – distancia a su casa.
b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada?. (Suponemos que la velocidad es
constante en cada etapa).
•
TIOVIVO
Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de 10 km/h. Permanece a esta
velocidad durante 7 minutos y decelera hasta parar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado,
comienza otra vuelta.
Dibuja la gráfica tiempo – velocidad.
•
APARCAMIENTO
El aparcamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa de precios:
PRECIO DESDE LAS 9 HORAS HASTA LAS 22 HORAS
Las dos primeras horas..................
3ª hora o fracción y sucesivas.......
Máximo diario...............................
gratuito
1 euro
10 euros
Representa la gráfica de la función tiempo de aparcamiento – coste.
•
ASCENSOR
En las playas españolas se han construido en los últimos años grandes rascacielos con potentes
ascensores. La siguiente tabla nos da la altura que alcanza uno de estos ascensores, desde su punto
más bajo, según el tiempo que está subiendo.
Tiempo (segundos)
0
1
2
3
4
5
6
7
Altura (metros)
-6
-3
0
3
6
9
12
15
a) ¿Qué variables se relacionan?.
b) ¿Qué significan los números negativos?. Haz la gráfica correspondiente.
c) ¿Qué escala has elegido en los ejes?.
d) ¿Es continua o discontinua esta gráfica?. ¿Es creciente o decreciente?. Explica tu respuesta.
e) ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al último piso (situado a 75 m del suelo)?. ¿A qué altura del
suelo llega a los 20 segundos?.
f)
9
Explica la tendencia de esta gráfica en cuanto a su crecimiento. Intenta hacer la gráfica de este
ascensor cuando baja.
Gráficos y diagramas
3. Diagramas estadísticos
• BARRAS, RECTÁNGULOS Y POLÍGONOS
Ejemplo 1.-Hacemos un recuento de glóbulos rojos en una muestra de sangre con un
aparato que tiene 169 casillas. Contamos el número de glóbulos rojos en cada casilla,
obteniendo los siguientes resultados:
Nº glóbulos rojos
F. absoluta
X
f
6
6
7
7
8
14
9
15
10
16
11
17
12
20
13
20
14
18
15
17
16
9
17
7
18
3
Representa gráficamente estos datos mediante un diagrama de barras.
Un diagrama de barras está formado por barras de altura proporcional a las frecuencias
absolutas o relativas. Se suele utilizar para datos estadísticos no agrupados en intervalos.
Ejemplo 2.- En cierto país las lluvias caídas en sus 100 estaciones metereológicas, durante
un año, se han representado en la siguiente tabla:
Precipitaciones (mm) X
F. absoluta
f
[ 60, 70) [ 70, 80) [80, 90) [ 90, 100) [100, 110) [110,120)
16
30
15
20
15
4
Representa estos datos en un diagrama de rectángulos y en un polígono de frecuencias.
10
Taller de Matemáticas 3º ESO
En un diagrama de rectángulos, las bases coinciden con la anchura de los intervalos y las
alturas son proporcionales a las frecuencias (absolutas o relativas). En el caso de que los
datos no estén agrupados en intervalos, todos los rectángulos tienen bases de la misma
longitud, centradas en cada uno de los valores.
El polígono de frecuencias se obtiene mediante una línea que une todos los puntos medios
superiores de los rectángulos del diagrama de rectángulos.
1) El porcentaje de ocupación de titulados universitarios en mayo de 1993 fue:
Informática Físicas
98%
97%
Ingeniero
Ingeniero
Derecho
Veterinaria Químicas
Industrial
Agrónomo
96%
95%
93%
91%
89%
Dibuja para esta distribución estadística, su correspondiente diagrama de barras.
2) El número de provincias cuya renta per cápita en el año 1979, expresada en miles de pesetas, se
halla en los siguientes intervalos:
Intervalos
[150, 200)
[ 200, 250)
[ 250, 300)
[ 300, 350)
[ 350, 400)
[ 400, 450)
Nº de
provincias
5
15
11
13
3
3
Construye el diagrama de rectángulos y el polígono de frecuencias de esta distribución.
• SECTORES Y PICTOGRAMAS
Ejemplo 1.- La distribución geográfica del terrorismo internacional en octubre de 1985 viene
dada por la siguiente tabla:
Europa Occidental Oriente Próximo América Latina Asia EE.UU. Otros países
40%
30%
20%
7%
2%
1%
Representa estos datos mediante un diagrama de sectores.
En un diagrama de sectores, los ángulos centrales de cada sector son proporcionales a las
frecuencias (absolutas o relativas).
11
Gráficos y diagramas
Ejemplo 2.- El número de alumnos matriculados en la Universidad en los cursos que
indicamos es el que se muestra en la siguiente tabla:
CURSO
Nº ALUMNOS
1985-1986 1987-1988 1989-1990 1991-1992
920380
1233771
1093086
1194008
Representa gráficamente estos datos mediante un pictograma.
En un pictograma, cada dato se representa por una figura de altura proporcional a su
respectiva frecuencia (absoluta o relativa).
1) El presupuesto del Insalud, por comunidades autónomas y en miles de millones, del año 1992 fue
el siguiente:
Comunidad
Comunidad
Gestión
Cataluña Navarra Andalucía Galicia
País Vasco
autónoma
Valenciana
directa
Presupuesto
379
29
417
146
243
132
1040
Construye el diagrama de sectores correspondiente a esta distribución de frecuencias.
2) La Secretaría General de Turismo publicó que la procedencia de los turistas, por continentes,
durante el año 1992 fue:
Europa
África América
85’43 % 4’09 %
Asia
2’81 % 0’82 %
Oceanía
Españoles residentes en el extranjero
0’15 %
6’69 %
Dibuja el pictograma correspondiente a esta tabla estadística.
• HISTOGRAMAS
1) Dibuja el diagrama de rectángulos de la siguiente distribución de frecuencias:
INTERVALOS
FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Entre 15 y 20 años
15 empleados
Entre 20 y 30 años
25 empleados
Entre 30 y 40 años
40 empleados
Entre 40 y 60 años
30 empleados
Observa que la diferente anchura de los intervalos en este diagrama falsea la realidad, ya
que parece que el último intervalo tenga mayor frecuencia, lo que no es cierto. Para evitar
este problema se utiliza el histograma, que es un diagrama de rectángulos en el que el área
de cada rectángulo es igual a la frecuencia correspondiente. La altura de cada rectángulo
(que se denomina densidad de frecuencia) se calcula mediante la siguiente fórmula:
Densidad de frecuencia =
frecuencia
longitud del intervalo
12
Taller de Matemáticas 3º ESO
2) Halla las densidades de frecuencia y dibuja el histograma correspondiente a los datos del
apartado anterior.
2) Los diámetros de las 140 manzanas de una caja se midieron en milímetros. Los resultados son
los siguientes:
Diámetro de la manzana (mm) [30, 32) [32, 34) [34, 35) [35, 36) [36,37) [37, 40)
Nº de manzanas
12
20
25
31
22
24
Dibuja el histograma de esta distribución estadística.
• TELEVISIÓN
Entre los estudiantes de un Instituto se ha realizado una encuesta para conocer el número de horas
semanales que ven la televisión. Los datos se recogieron en la siguiente tabla:
Número de horas
0-3
3-6
6-9
9-12
12-15
15-18
Frecuencia
4
8
22
32
30
4
Dibuja el histograma correspondiente a esta distribución estadística.
Observa que cuando todos los intervalos tienen la misma anchura, el histograma coincide
con el diagrama de rectángulos.
4. Parámetros estadísticos
• MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética de dos números por ejemplo 4 y 8, se calcula como su semisuma:
x=
4 + 8 12
=
=6
2
2
Cuatro amigos tienen de estaturas: 1’68, 1’72, 1’74, y 1’66. La estatura media de todos ellos
se obtiene dividiendo la suma de las cuatro estaturas entre 4:
x=
1'68 + 1'72 + 1'74 + 1'66
= 1'70 .
4
Para calcular la media aritmética de los valores X que aparecen en la siguiente tabla de
frecuencias:
Valor
X
1
2
3
4
5
6
7
8
Frecuencia
f
3
5
4
7
12
8
6
3
hemos de tener en cuenta que hay tres unos, cinco doses, cuatro treses, siete cuatros, etc.
Así, la media aritmética sería:
x=
13
1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + ... + 7 ⋅ 6 + 8 ⋅ 3
=
= 4'729
3 + 5 + ... + 6 + 3
3 + 5 + 4 + ... + 6 + 3
Gráficos y diagramas
Este cálculo se puede disponer según el siguiente esquema:
x
f
x⋅ f
1
3
1⋅3=3
2
5
2⋅5=10
3
4
3⋅4=12
4
7
4⋅7=28
5
12 5⋅12=60
6
8
6⋅8=48
7
6
7⋅6=42
8
3
8⋅3=24
Total........ 48
x=
Por lo tanto, la media aritmética es:
227
227
= 4'729
48
La media aritmética de un conjunto de N datos estadísticos se obtiene dividiendo la suma de
los N datos entre N. Se representa por x . El cálculo de la media aritmética lo hacemos de la
siguiente forma:
x ⋅ f + x 2 ⋅ f 2 + x 3 ⋅ f 3 + ... + x n ⋅ fn ∑ x ⋅ f ∑ x ⋅ f
=
=
,
x= 1 1
f1 + f 2 + f 3 + ... + fn
N
∑f
donde el símbolo Σ significa “suma”.
En la práctica los cálculos se disponen de la siguiente forma:
x
f
x⋅f
x1
f1
x 1 ⋅ f1
x2
f2
x2 ⋅ f2
x3
f3
x 3 ⋅ f3
... ...
... ...
... ...
xn
fn
xn ⋅ fn
Total.....
P
Q
Por lo tanto, la media aritmética es:
x=
Q ∑ x⋅f
=
P
∑f
Si los datos están agrupados en intervalos, en lugar de los valores x i se utilizan las marcas
de clase, que son los puntos centrales de cada intervalo, es decir la semisuma o media
aritmética de los extremos.
1) Una fábrica de yogures empaqueta éstos en cajas de cien unidades cada una. Para probar la
eficacia de la producción se han analizado 80 cajas comprobando los yogures defectuosos que
contiene cada una y se han obtenido los resultados de la siguiente tabla:
Nº de yogures defectuosos
0
1
2
3
4
5
6
Nº de cajas
40
15
10
9
3
2
1
Calcula el número medio de yogures defectuosos.
14
Taller de Matemáticas 3º ESO
2) Hemos tallado los treinta alumnos de una clase. Con estos datos hemos agrupado las tallas por
intervalos, construyendo la siguiente tabla:
Talla (cm)
[150, 155)
[155, 160)
[160, 165)
[165, 170)
[170, 175)
Frecuencia f
1
3
10
12
4
Calcula la estatura o talla media de la clase.
•
MODA
Las notas que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en la primera
evaluación fueron:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
La calificación o nota moda es 5, ya que es la que más veces se repite.
En una estadística la moda es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa
por m.
1) Con el fin de estimar el grupo sanguíneo más abundante en un centro de 600 alumnos, hemos
extraído una muestra de tamaño 25. Los grupos sanguíneos obtenidos son:
A, A, 0, A, 0, 0, 0, 0, A, 0, 0, A, 0, 0, A, A, 0, 0, B, AB, B,
A, A, A, 0
Determina el grupo sanguíneo moda de esta muestra.
2) En la siguiente tabla se muestra el número de hijos en un grupo de 40 familias:
Nº de hijos
0
1
2
3
4
5
6
Nº de familias
7
10
10
5
4
3
1
Calcula la moda de esta distribución estadística.
Hay distribuciones estadísticas que tienen dos modas; se les llama bimodales. También hay
distribuciones estadísticas con tres modas; se les llama trimodales. Las distribuciones
estadísticas que tienen una única moda se llaman unimodales. Si los datos están agrupados
en intervalos, hablamos de intervalo modal. La moda es la marca de clase de este intervalo.
• CONSTRUCCIONES LA COLMENA, S. A.
El Sr. Lince, dueño de Construcciones La Colmena, S. A. quiere construir viviendas de forma que el
número de habitaciones coincida con el número de miembros de las familias. Necesita saber cuántas
habitaciones debe construir. Para saberlo ha encargado a su ayudante un estudio sobre el tamaño de
las familias. A la vista de los resultados, ha decidido construir viviendas con cuatro habitaciones y
media. ¿Te parece acertada esta decisión?. ¿Qué parámetro estadístico es el más adecuado en este
caso?.
• ES MUY FACIL ENGAÑAR CON ESTADÍSTICAS
Dos empresarios discuten sobre el sueldo de los empleados de una de sus empresas. El empresario
A considera que el sueldo más representativo es de 1620 euros, mientras que B afirma que el más
representativo es de 1200 euros. La distribución de salarios de dicha empresa se muestra en la
siguiente tabla. ¿Cuál de los dos empresarios tiene razón?
15
Gráficos y diagramas
•
Sueldo
(euros)
Nº de
empleados
900
6
1100
8
1200
24
1400
12
1700
8
2500
8
5000
4
MEDIANA
La mediana de una distribución estadística es el valor que deja a su izquierda un número de
datos igual a los que deja a su derecha; es decir, se trata del valor central de la distribución.
Se representa por M.
Ejemplo 1.- Las calificaciones de 7 alumnos en Lengua y de otros 8 en Matemáticas han
sido las siguientes:
2
4
5
6
8
9
10
1
3
4
5
6
7
9
10
En las notas de Lengua, la nota 6 deja tres notas a su izquierda y tres a su derecha; es el
valor central, porque el número de dados es impar. En las de Matemáticas, como no hay una
5+6
= 5'5 .
calificación central, tomamos la media aritmética de las dos centrales: M =
2
Si el número de datos es impar, la mediana coincide con el valor central. Si el número de
datos es par, hay dos valores centrales; entonces, la mediana es la media aritmética de los
dos valores centrales.
Ejemplo 2.- Las notas que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en la
primera evaluación fueron las siguientes:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
En primer lugar hay que ordenar todos los datos en orden creciente, teniendo en cuenta que
hay dos 1, dos 2, tres 3, cinco 4, siete 5, etc.
1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10
32
= 16 y
2
17. En la posición 16 hay un 5 y en la posición 17 hay un 5. Luego la mediana es
5+5
M=
=5.
2
Como hay 32 datos (que es par), hay dos valores centrales, cuyas posiciones son
También podemos calcular la mediana en este caso utilizando las frecuencias acumuladas:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
F
2
4
7
12
19
24
27
29
31
32
16
Taller de Matemáticas 3º ESO
Como el número de datos N=32 es par, la mediana es media aritmética de los dos
N 32
N
=
= 16 y
+ 1 = 17 , que a la vista de
valores centrales que ocupan las posiciones
2
2
2
la tabla de frecuencias acumuladas, son 5 y 5, respectivamente, ya que en dicha tabla se
observa que desde la posición 12 hasta la posición 18 los datos son siempre 5. Por lo
5+5
=5.
tanto la mediana es: M =
2
Si el número de datos N es par, hay dos valores centrales, cuyas frecuencias acumuladas
N
N
son
y
+ 1 . Entonces la mediana es la media aritmética de estos dos valores centrales.
2
2
Si el número de datos N es impar, hay un valor central, cuya frecuencia acumulada es
N +1
. Entonces la mediana es este valor central.
2
Si los datos están agrupados en intervalos, hablamos de intervalo mediano y la mediana es
la marca de clase de este intervalo mediano.
1) Las temperaturas medias en las capitales de 12 países europeos, en grados centígrados, son:
Amsterdam 13 Atenas
25 Berlín
14
Bruselas
15 Copenaghe
11 Dublín
14
Lisboa
20 Londres
15 Luxemburgo 15
Madrid
20 París
15 Roma
22
Calcula en esta distribución estadística la media, la moda y la mediana.
2) Esta tabla recoge las medidas de las cinturas de 100 personas:
Cintura (cm) 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100
Frecuencias
2
11
26
40
20
1
Calcula la mediana.
•
ATLETISMO
a) En un campeonato de atletismo se enfrentan dos equipos A y B de 50 corredores cada uno en la
prueba de 200 metros. La distribución de tiempos en cada uno de los equipos es la siguiente:
TIEMPO (segundos)
20
21
22
23
24
25
EQUIPO A (frecuencia)
5
8
12
15
7
3
EQUIPO B (frecuencia)
1
7
18
19
5
0
¿Qué equipo ha conseguido mejor tiempo?. Si todavía no te has decidido, calcula la media y la moda
y dibuja el histograma correspondiente a cada equipo. ¿Cuál crees que debe obtener mejor
clasificación?.
17
Gráficos y diagramas
En algunos problemas no basta con tener la media y la moda, es necesario también medir la
“dispersión” de los datos respecto al “centro” (respecto de la media). Para ello se utiliza un
parámetro estadístico llamado desviación típica o desviación estándar. Para calcular la
desviación típica se procede así:
Xi
fi
Xi⋅fi
N
P
Xi- X
( X - X)
i
2
⋅f
Q
X=
En esta tabla se cumple: media aritmética:
Llamamos varianza al cociente:
( X - X)
2
i
V=
P
N
∑ (Xi - X) ⋅ fi
∑ fi
2
Q
N
V=
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir:
∑ (Xi − X) ⋅ f
∑ fi
2
σ= V =
La desviación típica es un promedio de las desviaciones de dada dato Xi a la media X .
b) Calcula las desviaciones típicas correspondientes a los dos equipos de corredores. Con este
dato, ¿qué equipo debe tener mejor clasificación?.
•
USA TU CALCULADORA
Consulta en el manual de tu calculadora cómo efectuar cada uno de los pasos que se
indican a continuación:
Activa el modo SD de tu calculadora: [MODE] [SD]. Borra el contenido de la memoria
estadística, pulsando [INV] [AC] ó [SHIFT] [AC]. Introduce los datos y las frecuencias del
siguiente modo:
DATO x FRECUENCIA M+
f1
M+
X1
x
X2
f2
M+
.........................
...
......
.
x
fn
M+
x
...........
Xn
Para calcular la media, activa la función X , pulsando [INV] [7] ó [SHIFT] [7].
Para calcular la desviación típica, activa la función σ n , pulsando [INV] [8] ó [SHIFT] [8].
Además puedes hallar:
∑X f
∑Xf
∑f
2
mediante la función
mediante la función
mediante la función
∑X
∑X
2
n
donde el símbolo Σ significa “suma”.
18
Taller de Matemáticas 3º ESO
a) Utilizando la calculadora, halla la media y la desviación típica de la siguiente distribución:
X
7
6
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
f
2
5
7
10
18
22
15
12
6
5
3
b) ¿Cómo puedes usar la calculadora para borrar datos?. ¿Cómo puedes desactivar el modo SD,
volviendo al modo de uso normal?.
•
EMPLEADOS
La siguiente tabla muestra la distribución de edades correspondientes a los 140 empleados de una
fábrica:
EDADES
[15, 20)
[ 20, 30)
[ 30, 40)
[ 40, 60)
Nº EMPLEADOS
15
25
40
60
Calcula la media y la desviación típica y dibuja el diagrama de sectores.
•
PARQUE PÚBLICO
Se ha preguntado a 117 personas sobre el grado de aceptación de un proyecto de parque público en
determinada zona de la ciudad, diciéndoles que puntúen de uno a diez según estén muy poco de
acuerdo, hasta total grado de acuerdo. Los resultados han sido los siguientes:
Aceptación
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frecuencia
f
1
3
15
25
30
24
16
2
1
0
a) Calcula la media aritmética, la moda, la mediana, la varianza y la desviación típica.
b) Halla el porcentaje de datos que hay en cada uno de los intervalos
(X − 2σ, X + 2σ) y (X − 3σ, X + 3σ) .
( X − σ, X + σ) ,
Bajo condiciones muy generales, en toda distribución estadística, al menos un 75% de los
(
datos se encuentran en el intervalo X − 2σ , X + 2σ
(
)
)
y al menos un 89% de los datos se
encuentran en el intervalo X − 3σ , X + 3σ .
Para histogramas aproximadamente simétricos, los porcentajes son mayores:
(
)
En el intervalo ( X − 2σ , X + 2σ ) se encuentra el 95% de los datos.
En el intervalo ( X − 3σ, X + 3σ ) se encuentra el 99% de los datos.
En el intervalo X − σ, X + σ se encuentra el 68% de los datos.
En general, es muy difícil que un dato se aparte de la media más de tres desviaciones
típicas.
19
Gráficos y diagramas
5. Frecuencia y probabilidad
• FRECUENCIA ABSOLUTA
La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número total de veces que aparece este
valor o dato en dicha estadística.
1) Hemos preparado una encuesta para cada uno de los alumnos de tu clase. La pregunta
formulada ha sido: ¿cuántos hermanos sois en tu familia?. Estas son las respuestas que hemos
obtenido:
2
3
3
2
2
3
3
1
1
2
2
3
1
1
4
2
2
3
4
2
1
2
4
2
5
Construye la tabla de frecuencia absolutas.
Cuando existen muchos valores diferentes de la variable estadística, es más comodo
agrupar los datos en intervalos o clases. El punto medio de cada intervalo se llama marca
de clase y se calcula como la semisuma de los extremos del intervalo.
Para construir intervalos o clases, calcularemos la diferencia entre el valor más grande y el
más pequeño (rango o recorrido de la variable). Para calcular la amplitud o anchura de cada
intervalo se divide el recorrido por el número de intervalos que se desean crear.
En los intervalos incluimos el número inferior pero no el superior, excepto el último que
incluye los dos extremos.
2) En una clínica se ha analizado la albúmina circulante, medida en gramos, en 30 hombres de
edades comprendidas entre 25 y 35 años y hemos obtenido los siguientes datos:
110
109
132
126
142
138
124
130
124
120
140
127
123
139
116
105
122
145
121
114
115
125
144
131
139
125
123
137
133
112
Agrupa los datos en cinco intervalos y construye la tabla de frecuencias absolutas, mostrando
una columna con las marcas de clase.
3) Hemos lanzado al aire 4 monedas 20 veces y hemos anotado el número de caras en cada
lanzamiento. Los resultados obtenidos son:
3
4
2
2
1
1
1
0
2
3
0
3
2
2
65
59
69
60
2
1
3
1
1
2
Haz el recuento y la correspondiente tabla estadística.
4) Los pesos de 30 alumnos de tu clase, en kg, son:
48
57
48
52
50
60
55
53
59
57
54
53
60
45
60
54
64
47
57
57
62
66
70
62
59
55
Construye la correspondiente tabla estadística con las marcas de clase, utilizando cinco intervalos
de igual amplitud.
20
Taller de Matemáticas 3º ESO
• FRECUENCIAS RELATIVAS Y FRECUENCIAS ACUMULADAS
La frecuencia absoluta acumulada, F, de un valor x es la suma de todas las frecuencias
absolutas correspondientes a los valores anteriores a x y su propia frecuencia absoluta. F
= f 1 + f 2 + f 3 + ... + f i
La frecuencia relativa f
de un valor x es igual a su frecuencia absoluta partido por el
f
fr =
número total de datos o pruebas.
N
r
La frecuencia relativa puede expresarse en forma de porcentaje (basta multiplicarla por
100).
La frecuencia relativa acumulada Fra de un dato x es la suma de las frecuencias relativas
correspondientes a todos los valores anteriores a x y su propia frecuencia relativa.
Fra = fr1 + fr2 + fr3 + ... + fri
Por ejemplo, para la siguiente tabla estadística, correspondiente a las notas que obtuvieron
32 alumnos de una clase de 3º de ESO en Matemáticas:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f
2
2
3
5
7
5
3
2
2
1
la correspondiente tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas es la siguiente:
Nota
x
frec.
absoluta
f
f. a.
acumulada
F
1
2
2
0’06
6
0’06
2
2
4
0’06
6
0’12
3
3
7
0’09
9
0’22
4
5
12
0’16
16
0’37
5
7
19
0’22
22
0’59
6
5
24
0’16
16
0’75
7
3
27
0’09
9
0’84
8
2
29
0’06
6
0’91
9
2
31
0’06
6
0’97
10
1
32
0’03
3
1
frec. relativa porcentaje
fr
%
f. r.
acumulada
Fra
1) Construye, para cada una de las actividades del problema anterior, una tabla estadística en la
que figuren marca de clase o valores de la variable, frecuencias absolutas y relativas y
frecuencias absolutas y relativas acumuladas.
2) Comprueba en las tablas estadísticas anteriores que:
a) La frecuencia absoluta está comprendida entre 0 y el número total de pruebas, N.
b) La frecuencia relativa está comprendida entre 0 y 1.
c) La última frecuencia absoluta acumulada es igual al número total de datos o pruebas.
d) La última frecuencia relativa acumulada es igual a 1.
21
Gráficos y diagramas
• FENÓMENOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
Fenómenos o experimentos deterministas son aquellos que, realizados en las mismas
circunstancias, sólo tienen un resultado posible.
Fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin
que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la
realización del experimento.
1) Analiza si los siguientes fenómenos son deterministas o aleatorios e indica los posibles resultados
que pueden aparecer en cada caso. ¿Cuál de ellos crees que aparecerá con más frecuencia?.
∗
La hora a la que amanecerá el 14 de Julio.
∗
Lanzar una moneda al aire.
∗
El número de hijos de una familia.
∗
Lanzar dos dados.
∗
Abrir un libro al azar y anotar el número de la página de la izquierda.
∗
Número obtenido al girar una ruleta.
∗
El número de accidentes de tráfico durante un fin de semana.
∗
Medir la longitud de una circunferencia de 3 metros de radio.
∗
Extraer dos cartas de una baraja española.
2) Busca tres ejemplos de fenómenos deterministas y otros tres de fenómenos aleatorios. Analiza y
describe todos los resultados posibles que puedan suceder.
• SUCESOS
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un
fenómeno o experimento aleatorio. Se representa por E. Los resultados posibles del
experimento se llaman sucesos elementales.
Suceso es un subconjunto del espacio muestral E.
Suceso seguro es el que siempre se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
formado por todos los resultados posibles del experimento y coincide con el espacio
muestral E.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Φ.
Por ejemplo, en el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado
cúbico, el espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Podemos considerar algunos
sucesos asociados a este espacio muestral:
A = Salir par = {2, 4, 6}
C = Salir número primo = {2, 3, 5}
F = Salir número mayor que 7 = Φ
B = Salir impar = {1, 3, 5}
D = Salir número menor que 3 = {1, 2}
G = Salir número menor que 8 = E
22
Taller de Matemáticas 3º ESO
1) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1al 9. Realizamos el experimento que
consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Halla el espacio
muestral y construye los siguientes sucesos: A={obtener número impar}, B={obtener número
primo}, C={obtener número mayor que 6}.
2) Hemos observado la distribución por sexo de los hijos en las familias compuestas de cuatro hijos.
Halla el espacio muestral. Sean los sucesos: A={el hijo mayor es varón}, B={los dos hijos
menores son hembras}, C={los dos hijos mayores son de diferente sexo}. ¿Cuáles son los
sucesos elementales de A, B y C?.
3) Dos amigos A y B juegan unas partidas de ping-pong y deciden que el ganador será aquél que
gane dos partidas seguidas o tres alternativas. Halla el espacio muestral. Si decidiesen que el
ganador va a ser aquél que gane dos partidas consecutivas, ¿cuál sería el espacio muestral?.
• OPERACIONES CON SUCESOS
Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de dichos sucesos y lo representamos por
A∩B, al suceso que ocurre cuando ocurren A y B al mismo tiempo. Sus sucesos
elementales son los comunes a A y B.
Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de dichos sucesos y lo representamos por A∪B,
al suceso que ocurre cuando ocurre A, ocurre B o bien ocurren A y B al mismo tiempo. Sus
sucesos elementales son los que pertenecen a A, a B o a A∩B.
Dos sucesos A y B son compatibles si A∩B ≠ Φ. Dos sucesos A y B son incompatibles si
A∩B = Φ.
Dado un suceso A, llamamos suceso contrario de A al suceso que se verifica cuando no se
verifica A. Se representa por A, por A' o por A c .
La unión de dos sucesos contrarios es el suceso seguro: A ∪ A = E .
La intersección de dos sucesos contrarios es el suceso imposible:
El contrario del suceso seguro es el suceso imposible:
E=Φ.
El contrario del suceso imposible es el suceso seguro:
Φ=E.
A∩B= Φ.
Ejemplos.- En el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado cúbico cuyo espacio
muestral es E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, consideramos los sucesos: A={salir impar}={1, 3, 5},
B={salir mayor que 2}={3, 4, 5, 6}. El suceso unión es: A∪B={salir impar o mayor que
2}={1, 3, 4, 5, 6}. El suceso intersección es: A∩B={salir impar y mayor que 2}={3, 5}. Los
sucesos A y B son compatibles. El suceso contrario de A es A = {salir par} = {2, 4, 6}. El
suceso contrario de B es B = {salir menor o igual que 2} = {1, 2} .
23
Gráficos y diagramas
1) Realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico y anotar el resultado. Para cada
una de las parejas siguientes de sucesos, halla su unión y su intersección y estudia si son
compatibles o incompatibles:
a) A={salir par} y B={salir número primo}.
b) E={salir impar} y F={salir múltiplo de 3}
c) M={salir menor que 7} y N={salir número primo}
2) Consideramos el experimento aleatorio que consiste en sacar una carta de una baraja española y
anotar el resultado. Sean los sucesos: A={salir copas}, B={salir caballo}, C={salir as o rey de
copas}. Expresa en lenguaje cotidiano el significado de los siguientes sucesos:
a) A∪B, A∪C, B∪C
b) A∩B, A∩C, B∩C
c) A , B, C .
3) Tenemos una bolsa con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento que
consiste en sacar una bola de la bolsa, anotar el número y devolverla a la bolsa. Consideramos
los siguientes sucesos: A={salir número primo} y B={salir un número cuadrado}.
a) Calcula los sucesos A∪B y A∩B.
b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
c) Halla los sucesos contrarios de A y B.
4) Lanzamos tres monedas del mismo tipo y observamos los resultados obtenidos. Halla el espacio
muestral. Construye los sucesos A={salir una cara} y B={salir alguna cara}. Halla A∪B y A∩B.
Halla los sucesos contrarios de A y B.
• DADO Y MONEDAS
1) Con un dado cúbico realiza 120 lanzamientos anotando los resultados. Considera los sucesos:
A={sale puntuación par}, B={sale puntuación impar}, C={sale número primo}.
Calcula f r ( A ) , f r ( B) , f r ( C) , f r ( A ∪ B) , f r ( A ∩ C) , f r ( A ∪ C) , f r ( A ∩ C) , f r ( B ∪ C) , f r ( B ∩ C) . Extrae
conclusiones.
2) Disponemos de dos monedas del mismo tipo. Las lanzamos al aire y anotamos el número de
caras obtenidas. Realiza esta experiencia 100 veces. Considera los sucesos A={ninguna cara},
B={una cara} y C={Por lo menos una cara}.
Calcula f r ( A ) , f r ( B) , f r ( C) , f r ( A ∪ B) , f r ( A ∩ C) , f r ( A ∪ C) , f r ( A ∩ C) , f r ( B ∪ C) , f r ( B ∩ C) .
¿Cuáles son tus conclusiones?.
Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces f r ( A ∪ B) = f r ( A ) + f r ( B) .
Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces f r ( A ∪ B) = f r ( A ) + f r ( B) − f r ( A ∩ B)
24
Taller de Matemáticas 3º ESO
• ASIGNA PALABRAS Y NÚMEROS
1) Asigna las palabras improbable, posible o seguro, según convenga, a las siguientes situaciones:
a) Que un equipo de la División de Honor de baloncesto gane algún encuentro de la temporada
regular.
b) Que Juan coja un catarro este invierno.
c) Que el día 12 de diciembre haga buen tiempo.
d) Obtener un doble uno al lanzar dos dados.
e) Que se descubra un remedio para el cáncer.
f)
Que en clase haya dos compañeros que cumplan años el mismo día.
2) Asigna un número entre 0 y 1 a cada una de las siguientes expresiones, según el grado de
posibilidad que consideres que implican:
Dudoso
Muy probable
Posibilidad razonable
Quizás
Alta posibilidad
Es posible que
Casi seguro
Es seguro que
Casualmente
Poca posibilidad
Podría ser
Incierto
• PRISMAS DE MADERA
Se admiten apuestas: Lanzamos un dado prismático que consta de dos cuadrados y cuatro
rectángulos. Pero disponemos de dos tipos de estos dados: uno con cuadrados pequeños y otro con
cuadrados más grandes:
En cada uno de los dados anteriores, ¿qué es más fácil, que salga cuadrado o que salga rectángulo?.
¿En qué proporción deberían hacerse las apuestas en cada dado para que el juego sea equitativo?.
Para verificar tus conjeturas, efectúa con cada dado una tanda de 20 lanzamientos, anotando los
resultados de cada lanzamiento. Recoge la información obtenida en tu clase en dos tablas como las
que siguen:
CARA
cuadrado
pequeño
rectángulo
25
RECUENTO
FRECUENCIA
Gráficos y diagramas
CARA
RECUENTO
FRECUENCIA
cuadrado
grande
rectángulo
¿Qué conclusiones obtienes?.
Compara en cada dado las áreas de “cuadrado” y “rectángulo”. ¿Cómo puedes hacerlo?. ¿De qué
depende, pues, la frecuencia de “cuadrado” o de “rectángulo”?.
• DADOS POLIÉDRICOS
En el mercado existen muchos tipos de dados. Aquí tienes unos cuantos:
ICOSAEDRO
DODECAEDRO
TETRAEDRO
PRISMA
TRIANGULAR
OCTAEDRO
CUBO
PRISMAS DE BASE CUADRADA
a) Observa detenidamente cómo están distribuidos los puntos y números en las caras de cada dado.
¿Observas algo interesante?. ¿Por qué crees que se han construido de esa forma?.
b) En cada uno de los dados anteriores, cuenta el número de caras, vértices y aristas. ¿Cómo
puedes hacerlo?.
c) ¿Cuántas veces has de lanzar un dado cúbico para obtener un 6?. ¿Y un octaedro?. ¿Y un
dodecaedro?.
Para averiguarlo, puedes realizar la siguiente experiencia: lanza cada uno de los dados anteriores
hasta que te salga un 6 y cuenta el número de lanzamientos que has necesitado. Repite esta
experiencia 10 veces. La información obtenida en tu clase, puedes recogerla en una tabla como la
siguiente y hallar la media en cada caso:
DADO
Nº DE LANZAMIENTOS
RECUENTO
FRECUENCIA
CUBO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
26
Taller de Matemáticas 3º ESO
• ESTABILIDAD DE LAS FRECUENCIAS
Seguramente ya sabes que:
a) Si lanzas una moneda muchas veces (cuantas más mejor), la frecuencia (relativa) que esperas
para la aparición de “cara” (éxito) es 1 / 2.
b) Si lanzas un dado muchas veces, la frecuencia relativa que esperas para la aparición de un “seis”
(éxito) es 1/6.
c) Si extraes, devolviendo después de la extracción, una bola de la urna adjunta, la frecuencia
relativa que esperas para la aparición de una bola “negra” (éxito) es 4/10.
En cada caso, repite la experiencia 10 veces, anotando la frecuencia relativa de éxito. Recoge la
información obtenida en tu clase y dibuja la gráfica que dé la frecuencia relativa del de éxito según el
número de pruebas:
Comprueba que, en cada caso, la frecuencia relativa obtenida se acerca cada vez más a la esperada.
Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que las
frecuencias relativas de un suceso A se acercan cada vez más y más a un cierto número,
estabilizándose en torno a él. Este número se llama probabilidad del suceso A y se
representa por p(A). Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números.
• DIAGRAMAS
a) Lanza una moneda dos veces y anota el número de éxitos (éxito=cara). Repítelo 50 veces.
b) Lanza un dado seis veces y anota el número de éxitos (éxito=seis). Repítelo 50 veces.
c) Extrae una bola de la urna adjunta, diez veces, y anota el número de éxitos (éxito=bola negra).
Repítelo 50 veces.
Agrupa los resultados en cada caso y dibuja el diagrama de rectángulos correspondiente. Comenta
los resultados.
Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que los
diagramas de rectángulos se acercan cada vez más y más a la distribución esperada.
27
Gráficos y diagramas
• CHINCHETAS
Se lanza una chincheta al aire. Puede caer con la punta hacia arriba o tocando el suelo. ¿A cuál de
las dos posibilidades apostarías?.
Para fundamentar un poco tus opiniones, efectúa 30 lanzamientos de una chincheta y anota los
resultados. La información obtenida en tu clase puedes recogerla en una tabla como la siguiente:
RESULTADOS
RECUENTO
FRECUENCIAS
¿Qué conclusiones obtienes?. ¿Qué probabilidad asignarías a cada uno de los resultados?.
Hay ocasiones en que la experiencia que se va a realizar tiene unas condiciones de simetría
tales que es posible conocer, antes de efectuar ninguna prueba, cuál será la probabilidad de
un suceso. Posteriormente, la experimentación dará unos resultados que confirmarán la
conjetura previamente formulada. La probabilidad asignada al suceso antes de la
experimentación se llama probabilidad a priori.
Pero hay otras ocasiones en las que no tenemos ninguna referencia a priori. Entonces sólo
la experimentación dará unos resultados que serán tanto más fiables, cuanto mayor sea el
número de pruebas realizadas. En este caso, la probabilidad asignada al suceso coincide
con su frecuencia relativa (para un elevado número de pruebas) y se llama probabilidad a
posteriori.
• LEY DE LAPLACE
En algunos experimentos aleatorios, podemos suponer que, por las condiciones de simetría,
todos los sucesos elementales son equiprobables. En estos casos, la probabilidad de cada
suceso elemental es:
p(suceso elemental) =
1
nº de sucesos elementales de E
Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de cualquier suceso
A es:
p(A) =
nº de sucesos elementales de A nº de casos favorables al suceso A
=
nº total de sucesos elementales
nº de casos posibles
Esta fórmula se conoce como ley de probabilidad de Laplace.
1) En el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas diferentes, calcula la probabilidad de cada
uno de los siguientes sucesos:
A={obtener dos caras}, B={obtener al menos una cruz}, C={obtener tres caras}.
2) De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Sacar una bola roja;
b) Sacar una bola verde;
c) Sacar una bola roja o verde;
d) Sacar una bola no roja.
28
Taller de Matemáticas 3º ESO
3) Calcula la probabilidad de tener cuatro hijas en las familias formadas por cuatro hijos.
• SUMA DE PUNTOS
Lanzamos dos dados cúbicos de diferente color y anotamos la suma de los puntos obtenidos. Calcula
la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener suma igual a tres.
b) Obtener suma igual a seis.
c) Obtener suma mayor o igual a diez.
• DOS MONEDAS
Lanzamos al aire dos monedas y observamos los resultados obtenidos. Consideramos los siguientes
sucesos: A={salir una cara}, B={salir alguna cara} y C={no salir cara}.
Calcula p(A ), p(B ), p(C), p(A ∪ B ), p(A ∩ C), p(A ∪ C), p(A ∩ C), p(B ∪ C), p(B ∩ C) .
Extrae conclusiones.
Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces p(A ∪ B) = p(A ) + p(B) .
Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces p(A ∪ B ) = p(A ) + p(B ) − p(A ∩ B )
• BARAJA
Extraemos una carta de una baraja española.
a) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea sota o caballo.
b) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea una copa o una sota.
c) Halla la probabilidad de que la carta extraída sea una copa o el as de bastos.
• SUCESOS CONTRARIOS
Aplicando la regla de Laplace, puedes comprobar que:
La probabilidad del suceso seguro es igual a 1:
p(E)=1
La probabilidad del suceso imposible es igual a 0:
p(Φ)=0
Si A y A son sucesos contrarios, entonces se cumple que
(
)
( )
p A ∪ A = p( A ) + p A = p( E ) = 1
Por lo tanto se cumple que: “la suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios es
igual a la unidad”.
( )
p( A ) + p A = 1 →
( )
p A = 1 − p( A )
Luego: “la probabilidad de un suceso es igual a uno menos la probabilidad del suceso
contrario”, fórmula que es muy útil en el cálculo de probabilidades.
29
Gráficos y diagramas
1) Halla la probabilidad de no sacar ningún oro al extraer una carta de la baraja.
2) Halla la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de cinco monedas.
3) ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un cuatro cuando lanzamos un dado cúbico?.
4) Lanzamos tres dados. Calcula la probabilidad de obtener por lo menos un cuatro.
• AL MENOS UN SEIS
a) Se dice que es ventajoso apostar por “al menos un seis en 4 lanzamientos de un dado cúbico”
una cantidad igual contra otra igual. ¿Estás tú de acuerdo?.
b) Intenta descubrir a cuántos lanzamientos de un dado octaédrico es ventajoso apostar por la
obtención de al menos un seis.
• DOBLE SEIS
¿A partir de cuántos lanzamientos de dos dados cúbicos es ventajoso apostar por la aparición de “al
menos un doble seis”?.
Vamos a lanzar tres dados cúbicos. ¿Es justo que el que apuesta por la aparición de “suma de puntos
10”, ponga el mismo dinero que el que apuesta por la aparición de “suma de puntos 9”?.
• LA PARTIDA INTERRUMPIDA
Dos jugadores A y B han apostado 32 monedas cada uno en un juego de “cara” y “cruz”, en el que el
primero que gane cinco veces se quedará con las 64 monedas. Cuando A va ganando por 4 a 3 a B,
la partida se interrumpe por causas ajenas a ellos y ya no será reanudada. ¿Cuál es el reparto más
justo del dinero?.
• EXPERIMENTOS COMPUESTOS
1) Lanzamos un dado tres veces. Calcula la probabilidad de obtener las tres veces un 6.
2) Extraemos consecutivamente con devolución, dos cartas de una baraja española. Calcula la
probabilidad de que ambas sean sotas.
3) En una bolsa tenemos 10 bolas amarillas, 12 bolas rojas y 13 verdes. Extraemos tres bolas.
Calcula la probabilidad de que las tres sean verdes: a) reemplazando las bolas extraídas; b) sin
reemplazarlas.
Sea A=sale bola verde en la 1º extracción y B=sale bola verde en la 2º extracción. Si las
extracciones se hacen sin devolución, la probabilidad de B sabiendo que ha ocurrido A no
es la misma que si las extracciones se hacen con devolución.
El suceso “ocurre B sabiendo que ha ocurrido A” se llama suceso B condicionado por A y se
representa por B/A. Su probabilidad se llama probabilidad condicionada y se representa por
p(B/A) y se lee “probabilidad de B condicionado por A”.
4) Se extraen dos bolas, con devolución, de una urna que contiene 2 bolas blancas, 4 rojas y 6
negras. Calcula la probabilidad de que:
a) las dos sean rojas;
b) las dos sean negras;
c) ninguna sea roja.
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Taller de Matemáticas 3º ESO
5) Resuelve la actividad del apartado (4) suponiendo que las extracciones se efectúan sin
devolución.
• DADO Y RULETA
Un juego de azar consiste en lanzar un dado y hacer girar una ruleta como la de la figura. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Obtener la misma cifra en el dado y en la ruleta.
b) Sacar un 4 con el dado.
c) Obtener una suma de puntos inferior a 5.
d) Sacar un 5 con el dado y una suma de puntos inferior a 5.
e) No sacar un cuatro con el dado.
• TRES RULETAS
Este es un juego para dos jugadores.
El primer jugador elige una ruleta. El segundo elige una de las dos que quedan. Cada jugador hace
girar su ruleta y gana quien obtenga mayor puntuación.
¿Qué jugador prefieres ser, el primero o el segundo?. ¿Hay una ruleta que sea la mejor de las tres?.
• ABUNDANCIA DE VOCALES
La palabra “abundancia” tiene 5 vocales y 5 consonantes; la palabra “vocales” tiene 3 vocales y 4
consonantes. Nuestro alfabeto consta de 5 vocales y 23 consonantes; la relación 5: 23 entre vocales
y consonantes está lejos de cumplirse en las dos palabras anteriores, 1 : 1 y 3 : 4, respectivamente.
Si eliges al azar varios textos, de cinco líneas cada uno, por ejemplo, la proporción de vocales y
consonantes variará seguramente de uno a otro. Por eso será más natural hacer conjeturas del tipo
“la proporción de vocales en cualquier texto oscila entre el 60% y el 70%”.
Vas a elegir otro texto al azar. ¿En qué intervalo apostarías que está el porcentaje de vocales?. ¿En
el 20%−30%?, ¿en el 30%−40%?...
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Gráficos y diagramas
• LA TRAVESÍA DEL RÍO
Es un juego para dos jugadores. Material: 12 fichas de cada color para cada jugador. Dos dados
cúbicos. Cada jugador tiene 12 fichas que sitúa en su lado del río. En cada casilla, puede poner
tantas fichas como quiera.
Los jugadores van lanzando los dos dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide
con el número de una casilla en la que tiene colocadas fichas, puede pasar una de esas fichas al otro
lado del río. Gana el primer jugador que pasa al otro lado todas sus fichas.
Juega varias partidas con un compañero y analiza el juego. ¿Cuál es la mejor manera de distribuir las
fichas?. ¿Qué estrategia utilizarías para ganar?.
• IRREVERSIBILIDAD
En el cielo hay millones y millones de estrellas. En un pequeño volumen de gas hay millones y
millones de moléculas... Cada una de ellas está en un instante determinado en un lugar... ¿Volverán
a ocupar, todas a la vez, el mismo lugar alguna vez?.
Es una pregunta nada fácil. Para poder fundamentar un poco nuestras opiniones, te proponemos la
resolución de un problema similar, pero con números mucho más pequeños.
Dispones de dos cartas con una A dibujada en una de las caras, y una B en la otra.
1)
Toma dos cartas y colócalas así:
A
B
Lanza una moneda al aire por cada carta. Si sale cara, coloca la carta correspondiente de forma
que muestre el lado A; si sale cruz, el B.
¿Puedes dar una estimación del número de tiradas que tendrías que realizar para volver a la
configuración de partida AB ?.
2)
Haz lo mismo con 4, 6 y 8 cartas, partiendo respectivamente de las configuraciones:
¿Depende la espera (para volver a la configuración inicial) del número inicial de cartas?. ¿Mucho
o poco?.
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