Sistemas de residuos y la función φ de Euler

Sistemas de residuos y la función φ de Euler
J. Armando Velazco
Resumen
En esta ocasión se presentan algunas propiedades elementales de
la función φ conocida como la función indicatriz de Euler, ası́ como su
relación con los sistemas completos y reducidos de residuos módulo n.
1.
Introducción
Como parte de la aritmética modular surgen los conceptos de sistemas
completos de residuos y sistemas reducidos de residuos. Ambos conceptos son
de importancia no solo por las aplicaciones prácticas que pueden tener, por
ejemplo en criptografı́a, sino también por la riqueza que nos proporcionan
vistos como ejemplos de estructuras algebraicas. Comencemos por definir lo
que es un sistema completo de residuos módulo n.
Definición Sea n ∈ N, n > 1, un conjunto de enteros {x1 , x2 , . . . , xn } es un
Sistema Completo de Residuos módulo n, denotado por S.C.R(n), si
i) Dado z ∈ Z existe un único xi ∈ S.C.R(n) tal que
z ≡ xi (mod n)
ii) xi 6≡ xj (mod n) si i 6= j.
Ası́, para construir un sistema completo de residuos módulo n, basta
tomar un representante de clase de cada una de las clases de residuos.
Ejemplo Ejemplos de Sistemas completos de residuos módulo 5,7 son:
S.C.R(5) = {0, 1, 2, 3, 4}, S.C.R(7) = {49, −20, 16, 10, 4, 5, −1}
1
Definición Sea n ∈ N, el número de enteros positivos menores o iguales que
n que son primos relativos con n es denotado por φ(n), donde φ es la función
de Euler. Por convención se tiene que φ(1) = 1.
Desde luego, como se habrá notado, ningún entero es primo relativo consigo mismo, sin embargo se hace la definición ası́ para poder definir φ(1).
¿Qué tiene que ver la función φ con los sistemas reducidos de residuos módulo n? para responder a ello recordemos la definición de un S.R.R(n)
Definición Un conjunto de enteros {r1 , r2 , . . . , rs } es un sistema reducido
de residuos módulo n (denotado S.R.R(n)) si:
i) mcd(ri , n) = 1 para cada i.
ii) ri 6≡ rj (mod n) si i 6= j.
iii) Para cada entero m tal que (m, n) = 1 entonces existe un ri en el
conjunto tal que m ≡ ri (mod n).
Ejemplo Un S.R.R(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} y desde luego φ(9) = 6
Dicho de otra manera, un S.R.R(n) es un conjunto de enteros obtenido
de un sistema completo de residuos módulo n quitando todos los elementos
que no son primos relativos con el módulo. Ası́ tenemos entonces que φ nos
cuenta en un sistema completo de residuos el número de elementos que son
primos relativos con el módulo, por lo que en realidad representa la cardinalidad de un S.R.R(n) dado, desde luego, desde un punto de vista algebraico,
también podemos decir que la función φ nos dice la cardinalidad del grupo
de unidades en el anillo Z/nZ. Pensar en la función de Euler de tal manera
hace que se vuelvan bastante naturales las propiedades que se acostumbra
ver en los textos introductorios a la teorı́a de los números. Como función,
cabe mencionar aquı́, φ no es de tipo inyectivo:
φ(1) = 1 = φ(2); φ(3) = 2 = φ(4)
2.
Propiedades básicas
Si con P denotamos al conjunto de los números primos entonces p ∈ P
implica que
φ(p) = p − 1
2
Lo cuál es una consecuencia directa de la definición. ¿Podemos saber cuánto
vale φ(pn ), esto es, φ evaluada en la potencia de un primo? tomando la
definición de la función como base, tenemos que contar todos los enteros
menores o iguales a pn que no son primos relativos con pn . Ası́ tenemos que los
elementos p, 2p, . . . , (p−1)p, p2 , 2p2 , . . . , (p−1)p2 , p3 , . . . , pn−1 , 2pn−1 . . . , (p−
1)pn−1 no son primos relativos con pn (es decir, todos los múltiplos y potencias
de p pero menores o iguales que pn ), por lo tanto, hay kp de tales enteros,
con 1 ≤ k ≤ pn−1 . Por lo tanto hay pn − pn−1 enteros positivos menores que
pn y que son primos relativos con pn , lo cual, en términos de la función de
Euler significa
φ(pn ) = pn − pn−1
Como una aplicación directa de tal fórmula podemos ver que
n
X
φ(pi ) = pn
i=0
Pues
1+φ(p)+φ(p2 )+. . .+φ(pn−1 )+φ(pn ) = 1+(p−1)+. . .+(pn−1 −pn−2 )+(pn −pn−1 )
Ahora consideremos un número y sus distintos divisores. Por ejemplo n = 14
entonces, el conjunto de divisores de 14 es {1, 2, 7, 14} veamos que sucede al
calcular φ en cada uno de los divisores y realizar la suma:
φ(1) + φ(2) + φ(7) + φ(14) = 1 + 1 + 6 + 6 = 14
Análogamente, para n = 80 tenemos que el conjunto de divisores es
{1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}
y ası́
φ(1) + φ(2) + φ(4) + φ(5) + φ(8) + φ(10) + φ(16) + φ(20) + φ(40) + φ(80) = 80
Observemos además lo siguiente
1=
80
80
80
80
80
,2 = ,4 = ,5 = ,8 =
80
40
20
16
10
y
80
80
80
80
80
, 16 = , 20 = , 40 = , 80 =
8
5
4
2
1
Lo anterior ilustra lo que nos dice el siguiente
10 =
3
Teorema 2.1 Sea el conjunto de los d ∈ Z+ tales que d|n, n ∈ Z, entonces
X
φ(d) = n
d|n
Demostración El argumento de la demostración es de tipo combinatorio:
sea S = {1, 2, . . . , n}, Dn = {d ∈ Z+ : d | n} y para cada d ∈ Dn se define
Dd = {k : mcd(k, n) = d, 1 ≤ k ≤ n}
De la definición de máximo común divisor tenemos que la familia Dd forma
una partición de S y por lo tanto, tenemos, en particular, que
X
card(Dd ) = card(S)
d∈Dn
veremos que card(Dd ) = φ( nd ): Para tal fin, observemos que cada Dd consta
de múltiplos de d donde cada múltiplo es menor o igual que n y como
k n
mcd(k, n) = d ⇔ mcd( , ) = 1
d d
entonces contar los elementos de Dd equivale a contar los elementos q =
Dd que son primos relativos con nd esto es φ( nd ), ası́
X
d|n
Como
n
d
k
d
∈
n
φ( ) = n
d
∈ Dn ∀ d tenemos entonces que
X
φ(d) = n
d|n
Sabemos ahora que φ nos dice cuantos elementos tiene un S.R.R(n), por
ejemplo, o cuanto debe valer en la potencia de un primo p, pero no nos dice
como calcularlo de una manera explı́cita cuando nuestro n es compuesto, sin
realizar la búsqueda de divisores y el correspondiente conteo cuando tenemos
un S.C.R(n). Antes de continuar con tal tarea, serán necesarios dos resultados
acerca de los sistemas de residuos:
4
Teorema 2.2 Sean m, n, M ∈ N tales que mcd(m, n) = 1, mcd(M, n) =
1, r ∈ Z. Sean u tomando valores en un S.C.R(n) y v tomando valores en
un S.C.R(m), entonces los mn enteros de la forma
r + M mu + nv
forman un S.C.R(mn).
Demostración Observemos que 2 elementos cualesquiera del conjunto
{r + M mu + nv : u ∈ S.C.R(n), v ∈ S.C.R(m)}
no son congruentes, pues si hubiera dos elementos congruentes, digamos
r + M mu + nv ≡ r + M mu0 + nv 0 (mod mn)
Entonces se tendrı́a que
M m(u − u0 ) + n(v − v 0 ) ≡ 0 (mod mn) ⇔ n | (u − u0 ); m | (v − v 0 )
Lo cuál implica que u ≡ u0 (mod m) y v ≡ v 0 (mod n), pues tanto u como v se
encuentran en sistemas completos de residuos módulo n y m respectivamente.
Ahora se presenta un resultado análogo para sistemas reducidos de residuos:
Teorema 2.3 Supongamos m, n ∈ N tales que mcd(m, n) = 1. Sean u, v
tales que u toma valores en un S.R.R(n) y v toma valores en un S.R.R(m).
Entonces el conjunto de enteros de la forma mu + nv es un S.R.R(mn)
Demostración Tomando r = 0, M = 1 en el teorema anterior tenemos que
el conjunto de los enteros mu + nv forman un S.C.R(mn). Ahora veremos
que el S.C.R(mn) construido con estas hipótesis es un S.R.R(mn). Ası́, solo
tenemos que probar lo siguiente:
i) mcd(mu + nv, mn) = 1 para cualquier entero de la forma mu + nv ∈
S.R.R(mn), lo cual se deriva de las propiedades de mcd:
mcd(mu + nv, mn) = 1 ⇔ mcd(mu + nv, m) = mcd(mu + nv, n) = 1
Por otro lado tenemos que mcd(mu + nv, m) = 1 ⇔ mcd(nv, m) = 1 lo
cual es inmediato, pues por hipótesis v toma valores en un S.R.R(m).
Análogamente se tiene que mcd(mu + nv, n) = 1.
5
Por lo tanto, tenemos un sistema reducido de residuos módulo mn.
Definición Se dice que una función aritmética f es multiplicativa si dados
m, n ∈ Z tales que mcd(m, n) = 1 entonces f (mn) = f (m)f (n).
Desde luego φ es aritmética, más aún, φ es multiplicativa, lo cuál se establece
en el siguiente
Lema 2.4 Sean m, n ∈ N, si mcd(m, n) = 1 entonces φ(mn) = φ(m)φ(n)
Demostración Del teorema 2.3 vemos que en un S.R.R(mn), φ(mn) =
φ(m)φ(n).
Este teorema es el que nos facilita realizar cálculos con la función φ:
Ejemplo φ(30) = φ(2 · 3 · 5) = φ(2)φ(3)φ(5) = 8
Ejemplo φ(22484) = φ(22 · 7 · 11 · 73) = (2)(6)(11)(73) = 8640
Por último, tenemos una fórmula explı́cita para calcular φ(n):
a
k−1 ak
Teorema 2.5 Suponga que n = pa11 pa22 . . . pk−1
pk entonces
φ(n) = n
Y
1
(1 − )
pi
i
Demostración
a
k−1
φ(n) = φ(pa11 )φ(pa22 ) . . . φ(pk−1
)φ(pakk )
= (pa1 − pa1 −1 )(pa2 − pa2 −1 ) . . . (pak − pak −1 )
1
1
1
)(1 − ) . . . (1 − )
p1
p2
pk
Y
1
= n (1 − )
pi
i
= pa11 pa22 . . . pakk (1 −
6
Referencias
[1] Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers,
Oxford University Press
[2] Dence J. B., Dence T. P. Elements of the teory of numbers,
Academic Press.
[3] Fine B., Rosenberger G., Number Theory - An introduction via the
Distribution of Primes, Birkhäuser.
[4] Pineda Ruelas M., Aritmética y Teorı́a de Grupos, UAM - I.
[5] Rosen K. H., AT& T Labs Elementary Number Theory and Its Applications, Pearson Addison Wesley.
7