Examen de Matem´aticas

Examen de Matemáticas
1o de la Diplomatura en Óptica y Optometrı́a. Grupos A y B
29 de noviembre de 2008.
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. Curso:
Elegir cuatro de los siguientes ejercicios.
Ejercicio 1. Esbozar la gráfica y enunciar las propiedades (dominio, imagen, inyectividad, sobreyectividad, biyectividad, acotación, crecimiento, paridad y periodicidad) de las siguientes funciones:
p
x
|x| (indicación para dibujar la gráfica: te(III)
(I) 12
2
ner en cuenta cómo es la
pgráfica de x ası́ como las propiedades de |x|)
(II) arc sen(x)
√
2
Ejercicio 2. Consideramos la función f (x) = e x −4 . Estudiar: dominio, imagen, inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. A partir de ella, obtener una función biyectiva y calcular su inversa.
Ejercicio 3. Estudiar si existen a y b números reales de modo que la función sea continua.

bx
si x < −1

e


2

x
1 + √
si − 1 ≤ x < 0
g(x) =
x+1−1





√

log2 ( x2 + a) si x ≥ 0
Ejercicio 4. Estudiar las ası́ntotas de la siguiente función, ası́ como la posición de la misma respecto de
las ası́ntotas

x3



si x < −1
2
1)
h(x) = 2(x −
2

x −x−6


si x > −1
3
2x − 4x2 − 2x + 4
Ejercicio 5. Consideramos la función f : R+ → R,
f (x) = arc tg(x) sen(x).
π
tiene al menos una solución.
3
π
(II) Demostrar que f (x) = tiene infinitas soluciones (indicación: recordar que la función seno es
3
periódica y las propiedades de la arcotangente).
(I) Demostrar que f (x) =
(III) Demostrar que f (x) = −
π
tiene infinitas soluciones.
3
(IV) ¿Qué puedes decir entonces del lı́mite de f cuando x tiende a +∞?