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FI41A: MECANICA CUANTICA I - Otoño 2008
Departamento de Fı́sica – FCFM, Universidad de Chile
Prof. H. F. Arellano
Prof. auxiliar: Sebastián Dı́az
TAREA 03 (SOLO PROBLEMAS PARES)
Entrega: Martes 29 de abril – 12:30 horas1
3.00 Como vimos en clases, dadas
de coordenadas
³ las relaciones de ortogonalidad y completitud en espacio
1
1
1
| xydxxx | 1, y en espacio
? de momentum, xk | ky δpk1 kq y
³xx | xy δ px xq y
ikx
| kydkxk | 1, entonces se obtiene xx | ky e { 2π. Sin embargo, en algunos casos resulta
práctico usar otro tipo de normalizaciones. Por ejemplo,
»
xx1 | xy δpx1 xq ,
| xydxxx | 1 ,
xx | ky N eikx ,
con N una constante arbitraria. Determine bajo esta convención xk 1 | k y y
³
| kydkxk |.
3.01 Definiendo rÂ, B̂ s ÂB̂ B̂ Â, demuestre las siguientes propiedades
– rÂ, B̂
–
–
Ĉ s rÂ, B̂ s
rÂ, Ĉ s
rÂ, B̂ Ĉ s rÂ, B̂ sĈ B̂ rÂ, Ĉ s
rÂ, B̂ ns °nk01 B̂ k rÂ, B̂ sB̂ nk1
3.02 Sea  un operador (matricial o en el espacio de Hilbert). Se define
eÂ
con Â0
I, la identidad.
– Demuestre que eÛ ÂÛ
1
8̧ 1
k!
k 0
Û eÂ Û 1.
Âk ,
– Si rÂ, B̂ s conmuta con  y con B̂, entonces e eB̂
eÂ
B̂
rÂ,B̂s{2 .
3.03 Calcule p∆pqp∆xq para una partı́cula de masa m en el n-ésimo nivel en un pozo infinito de ancho b.
Compárelo con el del oscilador armónico en el estado fundamental. Comente.
3.04 Considere dos estados normalizados | ψ1 y y | ψ2 y de un hamiltoniano Ĥ a los que les corresponden
dos autovalores, E1 y E2 , respectivamente.
– Demuestre que | ψ1 y y | ψ2 y son ortogonales.
– Considere el estado ψ
dispersión ∆E.
?
p| ψ1y | ψ2yq{ 2.
– Considere que en t 0,
máximo su expresión.
| ψpt 0qy | ψy.
Evalúe el valor de expectación x E y
Determine
| ψptqy.
– Considere un observable Ŝ definido por Ŝ | ψ1 y | ψ2 y, y Ŝ
autovalores s de Ŝ en el subespacio generado por | ψ1 y y | ψ2 y.
x Ĥ y y
Asegúrese de simplificar al
| ψ2y | ψ1y.
Determine los
– Suponga que en t 0 el sistema se encuentra en el estado | ψ y correspondiente al autovalor
s 1. Determine la probabilidad de encontrar s 1 en una medición de Ŝ en un instante
t posterior.
1
Entrega en Secretarı́a Docente. Pasada esta hora la escala de notas será 1–6. Hasta el miércoles la escala será de
1–5. Pasado ese dı́a la tarea se considera no entregada.
3.05 Una partı́cula clásica de masa m oscila armónicamente con amplitud B. Demuestre
que la densidad
?
de probabilidad de encontrar la partı́cula entre x y x dx es P pxq 1{π B 2 x2 . Contraste este
resultado con el del oscilador cuántico para el estado fundamental n 0, y para un nivel muy alto
de energı́a, n " 1. Grafique tales funciones de onda para n 5. Estime el valor de n para un bloque
de 100 g de masa, oscilando con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 10 cm.
3.06 Considere el vector | χy definido, en representación de coordenadas (3D), por
xr | χy eβr ,
2
con β un parámetro real. Considere además el operador Ŵ | χy Γ xχ |. Determine los elementos
de matriz de Ŵ y Ŵ 2 en las representaciones de coordenada y momentum.
2m1 P̂ 2 V pX̂ q, con X̂, P̂ i ~. Las autofunciones
de este hamiltoniano satisfacen Ĥ | ny En | ny. Demuestre entonces que
3.07 Considere el hamiltoniano unidimensional Ĥ
¸
m
2
pEn Emq2 |xn | X̂ | my|2 ~m x P̂ 2 yn .
3.08 Una partı́cula se encuentra en el estado fundamental en una barrera infinita de ancho a. Súbitamente
la barrera se contrae, simétricamente con respecto al centro, a un ancho λa. Determine la probabilidad
de que la partı́cula se encuentre en el nuevo estado fundamental. Grafı́quela como función de λ y
comente su resultado.
3.09 Evalúe, utilizando los operadores de subida y bajada, los elementos de matriz xn 2 | x̂2 | ny,
xn 2 | p̂2 | ny y xn | p̂2 | ny para un oscilador armónico. ¿Porqué xn | x̂ | ny 0, es un resultado
trivial?.
3.10 El hamiltoniano de cierto sistema de dos niveles está dado por
Ĥ
²p| ayxa | | byxb |
α | ayxb |
β | byxa |q,
con | ay y | by ortonormales, y ² una constante con dimensiones de energı́a. Determine las condiciones
sobre α y β para que Ĥ sea hrmı́tico. Encuentre las autoenergı́as y autovectores respectivos para
este sistema. ¿Cuál es la forma del hamiltoniano en esta nueva base?
3.11 Un operador hermı́tico  (observable) tiene dos autoestados normalizados | ψ1 y y | ψ2 y, con autovalores a1 y a2 , respectivamente. De igual forma, el operador B̂ representa un observable, el cual
tiene dos autoestados normalizados | φ1 y y | φ2 y, con autovalores b1 y b2 , respectivamente. Los
autoestados se relacionan por
| ψ1 y | ψ2 y cos β
sin β
| φ1y sin β | φ2y ;
| φ1y cos β | φ2y ;
1. El observable B̂ es medido y se obtiene b1 . ¿Cuál es el estado del sistema inmediatamente
después de la medición?
2. Si enseguida se mide Â, ¿Cuáles son los resultados posibles y sus respectivas probabilidades?
3. Inmediatemente después de se vuelve a medir B̂. ¿Cuál es la probabilidad de medir b1 y b2 ?
4. Evalue e interprete sus tres resultados anteriores para el caso β
π{4.
1
pp̂ β x̂q2. Exprese este operador en términos de operadores de
3.12 Considere el hamiltoniano Ĥ 2m
subida y bajada definidos adecuadamente. Explique porqué el pérmino no cinético de este hamiltoniano corresponde a un potencial no local. Calcule los elementos de matriz xn | Ĥ | ny, en la base
de autofunciones del operador a: a. ¿Qué puede decir acerca de los elementos no diagonales?