Coordinaci´on de Matemática II (MAT022)

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Guı́a de ejercicios N◦ 8 parte Cálculo
Funciones Hiperbólicas y Trascendentes
1. Probar las siguientes identidades:
a) cosh2 x − senh2 x = 1
b) senh 2x = 2 senh x cosh x
c) cosh 2x = cosh2 x + senh2 x
cosh 2x + 1
d) cosh2 x =
2
cosh 2x − 1
2
e) senh x =
2
f ) tanh2 x = 1 − sech2 x
g) coth2 x = 1 + csch2 x
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) senh x = −3/4
b) senh x = 4/3
c) cosh x = 17/15
d) tanh x = 1/2
3. Reescribir en términos de exponenciales y simplificar lo más posible:
a) 2 cosh (ln x)
b) cosh (3x) + senh (3x)
4
c) (senh x + cosh x)
d) ln (cosh x + senh x) + ln (cosh x − senh x)
e) senh (2 ln x)
4. Mostrar las identidades
senh (x + y)
=
senh x cosh y + cosh x senh y
cosh (x + y)
=
cosh x cosh y + senh x senh y
5. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) y = 6 senh x5
b) y =
1
2
senh (cosh x)
c) y = ln (senh x)
d) y = ln cosh x − 12 tanh2 x
e) y = x2 + 1 sech (ln x)
f ) y = 4x2 − 1 csch (ln 2x)
6. Usando integración por partes mostrar que:
Z
x2
1p
a)
arcsech x −
1 − x2 + C
x arcsech xdx =
2
2
Z
x2 − 1
x
b)
x arccoth xdx =
arccoth x + + C
2
2
Z
1
c)
arctanh xdx = x arctanh x + ln 1 − x2 + C
2
1
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7. Calcular las siguientes primitivas:
Z
Z
4
(a)
senh (2x) dx
(b)
6 cosh (2x − ln 3) dx
Z
Z
2
(d)
sech (x + 3) dx
tanh (2x − ln 3) dx
(c)
Z
2
csch (3 − x) dx
(e)
Z
(f)
sech
√
√
t tanh t
√
dt
t
Z
(g)
tanh (2x) dx
8. Calcular las siguientes integrales definidas
Z ln 4
Z ln 2
(a)
coth xdx
(b)
tanh (2x) dx
ln 2
0
− ln 2
Z
2ex cosh xdx
(c)
Z
− ln 4
1
Z
0
0
Z
cosh2
(g)
cosh (tan x) sec2 xdx
−π/4
Z
cosh (ln x)
dx
x
(e)
π/4
(d)
x
− ln 2
3
4
(f)
1
Z
dx
1
(h)
√
2 cosh ( x)
√
dx
x
√
1 + cosh 2xdx
0
9. Muestre que:
√
a) arcsenh x = ln x + x2 + 1 para x ∈ R
1+x
para |x| < 1
b) arctanh x = 12 ln 1−x
10. Utilizar funciones hiperbólicas inversas para calcular:
Z
√
2 3
√
a)
0
Z
1/2
√
b)
0
Z
2
1
e
d)
1
Z
dx
x 4 + x2
dx
q
2
x 1 + (ln x)
π
√
e)
0
Z
dx
1 + 4x2
√
c)
Z
dx
4 + x2
3/13
f)
1/5
cos xdx
1 + sen2 x
dx
x 1 − 16x2
√
11. Graficar la función y = x arctanh x
12. Sea
Z
cos x
y=
ln x
cosh t
dt, Calcular
t
13. Encuentre el valor de
Z
π/3
−π/3
dy
dx
dx
1 − sin x
2
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14. Sabiendo que ambas integrales existen, compruebe que
0
Z
Z
1
ln (sec x) dx =
π/2
√
0
15. Calcular
Z
1/2
cos x ln
−1/2
1+x
1−x
ln x
dx
1 − x2
dx
16. Sea
f (x) = ln(x)x + arccosh(x)
0
Determine f (x)
17. Establecer:
−1
coth
1
(x) = ln
2
x+1
x−1
,
|x| > 1
18. Determine una fórmula de recurrencia para calcular
Z
xn sinh(x)dx
y utilizarla para obtener
R
x4 sinh(x)dx
19. Demostrar que
arcsenh(−x) = − arcsenh(x)
∀x ∈ R
20. Determinar (si existen) x ∈ R tales que
arcsin(x + 1) = 2 arc cos
√ !
3
2
3