Notas escritas por Jordi Emanuel Hernández Gómez

ÁLGEBRA MODERNA
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
TOMÓ ESTAS NOTAS: JORDI EMANUEL HERNÁNDEZ GÓMEZ
FECHA: 28 DE ABRIL DE 2016
Índice
1. El polinomio mínimo de un elemento algebraico sobre un campo.
2. El campo de los elementos algebraicos sobre un campo F
1.
Proposición 1.
1
2
El polinomio mínimo de un elemento algebraico sobre un campo
Sean
E/F
una extensión de campos y
existe exactamente un polinomio
α
un elemento de
E
algebraico sobre
f ∈ F [x] \ F
con las siguientes propiedades:
0 6= g ∈ F [x]
que satisfaga
F.
Entonces
i) f (α) = 0.
ii) f
es mónico.
iii) gr(f ) 6 gr(g)
iii)0 f |F [x] g
para cualquier
para cualquier
g ∈ F [x]
que satisfaga
g(α) = 0.
g(α) = 0.
Demostración. Ya se vio en clase que existe un polinomio que cumple i), ii) y iii), así que sólo falta
probar la unicidad del polinomio respecto a esas propiedades. Si h ∈ F [x] \ F también verica i), ii) y iii),
entonces existen q, r ∈ F [x] tales que h = f q + r y gr(r) 6 gr(f ) (algoritmo de la división para F [x]).
Luego, 0 = h(α) = f (α)q(α) + r(α) = r(α) gracias a que la función evaluación en α es un homomorsmo
de anillos. Esto implica que r = 0, lo que a su vez permite concluir que f |F [x] h. Similarmente podemos
vericar que h|F [x] f , de modo que f y h son asociados. Como ambos son polinomios mónicos, es necesario
que f = h. Denición 2. Sean
E/F una extensión de campos y α un elemento de E algebraico sobre F . El único
polinomio f ∈ F [x] \ F que satisface las propiedades i), ii) y iii) de la proposición anterior recibe el nombre
de polinomio mínimo de α sobre F y es denotado con minF (α).
Corolario 3.
E/F una extensión de
minF (α)F [x] = ker(ev α : F [x] → F [α]). Sean
Proposición 4.
minF (α)
Sean
E/F una extensión
F [x]. campos y
α
de campos y
α
un elemento de
E
E
algebraico sobre
F.
Entonces
algebraico sobre
F.
Entonces
algebraico sobre
F.
Entonces
es irreducible en
Corolario 5.
Sean
E/F
una extensión de campos y
α
F [α] = F (α).
Date :
un elemento de
4 de mayo de 2016.
Key words and phrases.
Grupo, anillo, campo, teoría de Galois.
1
un elemento de
E
2
TOMÓ ESTAS NOTAS: JORDI EMANUEL HERNÁNDEZ GÓMEZ FECHA: 28 DE ABRIL DE 2016
. Gracias a la proposición anterior sabemos que
∼
= F [α], de modo que F [α] también es un campo. Demostración
F [x]
minF (α)F [x]
Corolario 6.
Sean E/F una
[F (α) : F ] = gr(minF (α)). extensión de campos y
Ejemplo 7. Sean d ∈ Z libre de cuadrados y
√
√
α
es un campo. Por otro lado,
F [x]
minF (α)F [x]
un elemento de
E
algebraico sobre
F.
Entonces
√
d ∈ C una de las raíces de d. Entonces minQ ( d) = x2 − d.
√
Si d = 2, entonces Q( 2) tiene base (1, 2) y tenemos la tabla de multiplicar:
√
√
√
√
√
√
(α + β 2) + (γ + δ 2) = (α + γ) + (β + δ) 2 y (α + β 2)(γ + δ 2) = (αγ + 2βδ) + (αδ + βγ) 2
√
Ejercicio 8. i) Sea √
E/F una extensión de campos de grado 2. Entonces E ∼
= Q( d) para algún d ∈ Z
libre de cuadrados y d ∈ C una de las raíces de d.
√
√
ii) ¾Q( 2) = Q( 3)?
√
. No. De ser así, se cumpliría que existen α y β racionales tales que α2 + 2β 2 + 2αβ 2 = 3,
de modo que 2αβ = 0 y α2 + 2β 2 = 3. De la primera ecuación sabemos que α = 0 o β = 0. En cualquier
caso, de la segunda ecuación obtendríamos que α o β es un irracional, lo cual no puede ser.
Solución
√
√
iii) Si a y b son enteros distintos libres de cuadrados, entonces Q( a) y Q( b) no son isomorfos como
anillos.
2.
Proposición 9.
i) α
Sean
El campo de los elementos algebraicos sobre un campo
E/F
es algebraico sobre
una extensión de campos y
α
un elemento de
E.
Son equivalentes:
F.
ii) [F (α) : F ] < ℵ0 .
iii) F [α] = F (α).
. i) ⇒ iii) y i) ⇒ ii) son los corolarios 5 y 6, respectivamente.
Demostración
ii) ⇒ i) Si [F (α) : F ] = n, entonces ya sabemos que (1, α2 , . . . , αn−1 ) es base de F (α) sobre F , de modo
que {1, α2 , . . . , αn } es linealmente dependiente sobre F . El resto es claro.
iii) ⇒ i) Supongamos que F [α] = F (α). Entonces existen un entero n > 0 y elementos a0 , a1 , . . . , an
en F tales que α1 = a0 + a1 α + · · · + an αn . Así, 0 = −1 + a0 α + a1 α2 + · · · + an αn+1 (observe que no todos
los ai son cero), por lo que α es algebraico sobre F . La proposición anterior prueba ser muy útil a la hora de demostrar que cierto elemento es algebraico
sobre un campo dado, como se puede apreciar en el siguiente teorema.
Teorema 10.
subcampo de
Sea
E/F
una extensión de campos. Entonces
L ={α ∈ E | α
es algebraico sobre
F}
es un
E.
. Primero veamos que L es subgrupo (aditivo) de E . Claramente 0 ∈ L. Supongamos que
α ∈ L. Entonces existen elementos a0 , a1 , . . . , an en F tales que a0 + a1 α + · · · + an αn = 0, por lo que
3
2
−a0 + a1 (−α) − a2 α2 + a3 (−α) · · · − an αn = 0. Ya que α2 = (−α) , concluimos que −α ∈ L. Ahora,
si α, β ∈ L, entonces [F (α, β) : F ] = [F (α, β) : F (α)] [F (α) : F ] = [F (α)(β) : F (α)] [F (α) : F ] < ℵ0 (debe
Demostración
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ser claro que si β es algebraico sobre F , entonces es algebraico sobre F (α)). Como F (α + β) ⊆ F (α, β),
entonces [F (α + β) : F ] < ℵ0 . Por tanto, α + β ∈ L. Luego, L es subgrupo (aditivo) de E .
Note que si α ∈ L \ {0}, entonces F (α) = F ( α1 ), por lo que α1 ∈ L. Además, si α, β ∈ L, entonces
F (αβ) ⊆ F (α, β), por lo que [F (αβ) : F ] < ℵ0 . Por tanto, también αβ ∈ L. Concluimos que L es subcampo
de E . Instituto de Matemáicas, Universidad Nacional Autónoma de México
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