La programación lineal 135 088.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2012 Una fábrica de cerveza produce cerveza negra y rubia. Para la elaboración de un bidón de cerveza negra son necesarios 2Kg de lúpulo, 4 kg de malta y una hora de trabajo. Para la elaboración de un bidón de cerveza rubia son necesarios 3Kg de lúpulo, 2 kg de malta y una hora de trabajo. Cada día, se dispone de 60 Kg de lúpulo, 80 Kg de malta y 22 horas de trabajo. El beneficio obtenido es de 60 euros por cada bidón de cerveza negra vendido y de 40 euros por cada bidón de cerveza rubia. (a) ¿Cuántos bidones de cerveza de cada tipo pueden producir al día para cumplir con todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Es posible que en un día cualquiera se hayan producido 15 bidones de cerveza negra y 20 de cerveza rubia? (b) Si vende todo lo que produce, ¿cuántos bidones de cerveza de cada tipo deberían producir para maximizar el beneficio? (c)* ¿Cuántos tendría que producir para maximizar el número de bidones de cerveza negra? RESOLUCIÓN apartado (a) DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x ≡ "Número de bidones de cerveza negra" y ≡ "Número de bidones de cerveza rubia" CONJUNTO DE RESTRICCIONES Elaboración de un bidón de cerveza negra Elaboración de un bidón de cerveza rubia Kg lúpulo Kg malta Horas de trabajo 2 4 1 3 2 1 2x + 3y ≤ 60 → lúpulo 4x + 2y ≤ 80 → malta x + y ≤ 22 → horas de trabajo x≥0 y≥0 Restricciones simplificadas 2x + 3y ≤ 60 2x + y ≤ 40 x + y ≤ 22 x≥0 ; y≥0 LA REGIÓN FACTIBLE Realizamos unas sencillas tablas de valores... 2x + 3y = 60 2x + y = 40 x y x y 0 20 0 40 30 0 20 0 x + y = 22 x 0 22 y 22 0 En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo, aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora gráfica, en nuestro caso, la fx – CG20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del Abel Martín 136 Del aula a la PAU alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la región factible en cada momento. El nombre de la función y la verificación de uno de los infinitos puntos del semiplano figuran, en cada momento, a la derecha de los mismos. Veamos, a continuación, todo el proceso descrito: 2x + 3y ≤ 60 Punto (0, 0) 0 ≤ 60 SÍ se verifica (0, 0) ∈ semiplano correspondiente 2x + y ≤ 40 (0, 0) 0 ≤ 40 SÍ se verifica (0, 0) ∈ semiplano correspondiente x + y ≤ 22 (0, 0) 0 ≤ 22 Sí se verifica (0, 0) ∈ semiplano correspondiente x≥0 Todos los valores del primero y cuarto cuadrantes y≥0 Todos los valores del primero y segundo cuadrantes Finalmente podremos observar la solución del sistema de inecuaciones en forma de zona sombreada, los vértices y los nombres de las rectas. Abel Martín La programación lineal 137 Las distintas combinaciones vienen representadas por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada), donde "x" es número de bidones de cerveza negra e "y" es el número de bidones de cerveza rubia, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. • ¿Es posible que en un día cualquiera se hayan producido 15 bidones de cerveza negra y 20 de cerveza rubia? No es posible pues esa combinación viene representada por el punto (15, 20) y se encuentra claramente fuera de la región factible. RESOLUCIÓN apartado (b) • Si vende todo lo que produce, ¿cuántos bidones de cerveza de cada tipo deberían producir para maximizar el beneficio? B(x, y) = 60x + 40y LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que constituye la región factible: CÁLCULO DE VÉRTICES A → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: A(0, 0) B → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: B(0, 20) C(x, y) Resolvemos el sistema ( −2) (1) x + y = 22 2x + 3y = 60 → − 2 x − 2 y = −44 2 x + 3y = 60 → y = 16 x + 16 = 22 x = 22 – 16 x = 6 → y = 16 → C(6,16) D(x, y) Resolvemos el sistema ( −2) (1) x + y = 22 2x + y = 40 → − 2 x − 2 y = −44 2 x + y = 40 x + 4 = 22 → –y=–4 → y=4 → x = 18 x = 18 → y = 4 → D(18, 4) E → Visualización directa en la gráfica y tabla de valores: E(20, 0) LA FUNCIÓN OBJETIVO B(x, y) = 60x + 40y ANÁLISIS DE ÓPTIMOS Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices A(0, 0) B(0, 20) C(6, 16) D(18, 4) E(20, 0) B(x, y) = 60x + 40y 60·0 + 40·0 = 60·0 + 40·20 = 60·6 + 40·16 = 60·18 + 40·4 = 60·20 + 40·0 = Valor 0 800 1000 1240 1200 Para maximizar el beneficio tendrá que producir 18 bidones de cerveza negra y 4 de cerveza rubia, momento en el que dichos beneficios ascenderán a 1240 euros. Abel Martín Del aula a la PAU 138 RESOLUCIÓN apartado (c)* - AMPLIACIÓN ¿Cuántas tendría que producir para maximizar el número de bidones de cerveza negra? Para contestar a la pregunta, habrá que observar cuál es el mayor valor que toma "x" dentro de la región factible. Vemos que se encuentra en el punto D(20, 0) Para maximizar el número de bidones de cerveza negra habrá que producir 20 bidones de este tipo de cerveza negra y ninguno de cerveza rubia. Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Plantear las inecuaciones: 0.75 puntos. Representar la región factible: 0.75 puntos. Cuestión: 0.25 puntos. (b) 0.75 puntos. Abel Martín