Qué es factorizar o factorear un polinomio? Factorizar o Factorear

CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:
¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?
Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también
se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de
términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una
multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).
¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?
Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores".
Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.
¿Para qué sirve factorizar un polinomio?
Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o
visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la
positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la
factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor,
hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones
trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de
Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de
sumas y restas.
¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?
Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de
sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una
expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego
multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De
esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:
Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):
x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)
Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):
(x + 2).(x + 1) = x2 + x + 2x + 2 = x2 + 3x + 2
En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o
"factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación
con la suma).
Factoreo de expresiones algebraicas
Primer caso
Factor común
9 + 15 - 12 +27
Figura el factor común 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:
9 + 15 - 12 + 27 = 3. ( 3 + 5 - 4 + 9 )
En el polinomio 3 x + xb - 1/2 xc el factor común es x y se tiene :
3x + xb - 1/2xc = x.( 3 + b - 1/2c)
En el polinomio 2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c
Sacando factor común x a se tiene:
2x4a - 4x3a2b + 1/2 xa5c = xa: ( 2x - 4x2ab + 1/2a4c )
Regla: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común,dicho polinomio es
igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese
factor.
Segundo caso
Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.
2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común
(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )
Saco el factor común de cada grupo
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(a + b) . ( 2x -y +5 )
Regla: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de
términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común.Si
queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis,se la saca,a su vez,como factor
común, quedando así factoreado el polinomio dado.
Tercer caso
Trinomio cuadrado perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados
perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
36x2 + 12xy2 + y2 + y4
Es un trinomio cuadrado perfecto
El primer término es el cuadrado de 6x pues (6x)2 = 36x2; el último es el cuadrado de y2,
pues (y2)2 = y4, y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es
decir de 6x por y2,pues 2 × 6x × y2 = 12xy2
(6x + y2 )2 = (6x + y2).(6x + y2 )
36x2 + 12xy2 + y4
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,en cambio el
término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los
términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado:
(6x - y2 )2 = (6x - y2 ).(6x - y2 )
6x2 - 12xy2 + y2
Cuarto caso
Cuatrinomio cubo perfecto
Todo cuatrinomio de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 en el que dos términos:
a3 y b3, son cubos perfectos; el tercer término : 3a2b, es el triplo del cuadrado de la base del
primer término por la base del segundo, y el cuarto término 3ab2,es el triplo de la base del
primer cubo por el cuadrado de la base del segundo
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8 y3
Es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:
x3 = (x)3
8y3 = ( 2y )3
6x2y = 3.(x)2.2y
12xy2 = 3.x.(2y)2
Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo
de un binomio :
( x+ 2y )3 = ( x+ 2y ). ( x+ 2y ).( x+ 2y ) =
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
En el caso de una resta :
( x -2y )3 = ( x - 2y ). ( x - 2y ). (x - 2y )
x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y 3
Quinto caso
Diferencia de cuadrados
El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer
número menos el cuadrado del segundo:
( a +b ) . ( a - b) = a2 - b2
25 a2y4 - 1/64 x6z8 =
( 5ay2 - 1/8x3z4) . ( 5ay2 +1/8x3z4)
Sexto caso
Suma o diferencia de potencias de igual grado
La suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible unicamente por la suma
de sus bases.
( x3 + a3 ) : ( x + a ) = ( x2 - ax + a2)
Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el
cociente. Luego:
( x3 + a3 ) = ( x + a ). ( x2 - ax + a2 )
La diferencia de potencias de igual grado de exponente impar es igual al producto de la
diferencia de las bases por el cociente de dividir la primera diferencia por la segunda
( m3 - 27 n3 ) : ( m - 3 n) = ( m2 + 3mn + 9 n2)
La diferencia de potencias de igual grado de exponente par, es divisible por la suma y la
diferencia de sus bases
( x6 - y6 ) : ( x + y ) =
( x + y ). ( x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5 )
( x6 - y6 ) : ( x - y ) =
( x - y ). ( x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 +y5 )