11. Factorización de polinomios

Matemática Secundario
Nivel 2
Módulo 2
Factorización de polinomios
¿Qué significa factorizar un polinomio?
Hay que recordar que la palabra factor se refiere a los números que intervienen
en una multiplicación, por ejemplo: 4 . 7 = 28, donde 4 y 7 son los factores y
28 el producto.
Volviendo a los polinomios:
Cuando se presenta:
4x + 7 y
(4x + 7). (3x + 2x3)
3x + 2x 3
Son los factores de la multiplicación
Entonces, para factorizar un polinomio hay que expresarlo como producto
entre polinomios.
Entonces, ¿Cómo se factoriza un polinomio?
Hay varias formas de realizar esto, sólo veremos 3 de ellas:

Factor común
Como el nombre lo indica, quiere decir que entre todos los términos de un
polinomio hay factor común (puede ser número, variable o ambas).
Ejemplos:
a) Sólo factor común entre los coeficientes
35x4 – 55m + 15p =
entre los coeficientes 35, 55 y 15 el dcm es 5
Luego escribimos el polinomio como producto entre 2 factores, el
primero será el dcm entre los coeficientes y el segundo será el polinomio
resultante de dividir cada coeficiente por el dcm hallado:
35x4 – 55m + 15p = 5. (7x4 – 11m + 3p)
1er factor
1
2do factor
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b) Sólo factor común entre las variables
2
7
x6 – 9x3 + x2 =
los coeficientes no tienen entre sí dcm
El factor común entre las variables es la que
aparece con menor exponente en este caso es x2
Luego la factorización será el producto entre la variable x2 y el polinomio
que resulta de dividir cada término por la variable elegida. Recorda que
se aplica el cociente de potencias de igual base (restar los
exponentes).
2
7
2
x2 . ( 7 x4 – 9x + 1 )
x6 – 9x3 + x2 =
1er factor
2do factor
c) Factor común entre coeficientes y variables
El dcm entre los coeficientes es 4
20x4 + 12x3 – 40x6 =
La variable común con menor exponente es x3
Se combinan los casos a) y b) vistos anteriormente:
20x4 + 12x3 – 40x6 = 4 x3 (5x + 3 – 40x3)
1er factor 2do factor 3er factor
Ejercicio 1
Factoriza los siguientes polinomios:
a) 10x – 2p3 – 4c6 =
b) 2x – 34=
c) 5 x3 + 12x10 – 7x8=
d)
5
3
x5+ x7 + 12x4 + 7x6 =
e) 24x2 - 2x3 + 4x5 =
f) 21x5 + 18x4=
g)
16
15
x5 -
8
25
x6 +
24 3
x
5
=
h) x8 – 100=
2
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
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Módulo 2
Diferencia de cuadrados
Para factorizar polinomios aplicando este caso de factoreo, tenés que recordar
uno de los productos especiales: producto de una suma por una diferencia, ya
que es proceso contrario a ese caso especial de producto.
Se te presenta una diferencia (resta) entre monomios que provienen de elevar
“algo” al cuadrado, por ejemplo:
9x2 proviene de elevar 3x al cuadrado
9x2 – 16x6 =
16x6 proviene de elevar 4x3 al cuadrado
A los términos 3x y 4x3 los llamaremos bases
Entonces la factorización se hará multiplicando la suma por la diferencia de las
bases:
9x2 – 16x6 =
(3x + 4x3) . (3x - 4x3)
1er factor
2do factor
Otro ejemplo:
x2 -
1
1
1
2
2
= (x + ). (x -
4
)
Ejercicio 2
Analiza cuáles de los siguientes polinomios son diferencias de cuadrados, a los
que sí lo sean, factorízalos, los que no, explica por qué:
a) 12x2 – m4 =
b) 25 – x4 =
c) x2 -
16
81
=
d) x10 – 100 =
e) x – 25=
Ejercicio 3
Completa cada
a)
de manera tal que la identidad sea verdadera.
- 16 = ( x3 + 4) (x3 – 4)
b) x4 c) x14 -
= (x
=(x
+ 2) (x
3
- 2)
+5)(x -
3
5
)
3
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
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Trinomio cuadrado perfecto
También este caso de factoreo se puede relacionar con un producto especial:
el cuadrado de un binomio, ya que es el desarrollo de dicho cuadrado.
Se aplica este caso cuando el polinomio a factorizar tiene ciertas
características:
1. Es un trinomio (tiene tres términos)
2. Dos de los términos son cuadrados de monomios (bases)
3. El tercer término es el duplo de las bases.
Ejemplo:
25x2 + 30x + 9 =
(5x)2
32
5x
y
3 son las bases
El duplo de las bases es 2.(5x). 3 = 30x
Entonces la factorización será
25x2 + 30x + 9 = (5x + 3)2
Para el caso en que el tercer término aparezca negativo, se escribe la resta de
las bases por ejemplo:
25x2 - 30x + 9 = (5x -3)2
Si se presenta:
1. P= x2 + 15 x + 9
Las bases serían x y 3, pero al efectuar el duplo de las bases 2.x.3 = 6x
que no es 15x, por lo tanto no es un trinomio cuadrado perfecto.
2. Q= x4 + 8x2 – 16
No es un trinomio, porque -16 no es cuadrado.
3. T= 9x3 + 6x2 + 1 no es trinomio porque x3 no es cuadrado
4
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Módulo 2
Ejercicio 4
Explica por qué siguientes trinomios no son trinomios cuadrados perfectos.
a) 4x2 + 4x + 25 =
b) x6 + 6x3 – 9 =
c) 16x2 + 24x6 + 36x4 =
Ejercicio 5
Factoriza:
a) x6 – 4x3 + 4 =
b) x4 +
2
3
1
x2+ 9 =
c) 16x2 – 8x + 1 =
5