METODO DUAL SIMPLEX TEORIA DE LA DUALIDAD Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. La solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro. Beneficios Se utiliza para disminuir esfuerzo de cómputo. Disminuir el número de variables. Información adicional sobre las variables en la solución óptima. Definición del problema primal Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma: Forma canónica (tiene una estructura, no es arbitrario). donde i=1,2,3,4,…………,m (número de restriciones) j=1,2,3,4,…………,n (número de variables) El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera: Pasos 1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro. 2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro. 3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar. 4. El problema de maximización tiene restricciones ( ≤ ) que y el problema de minimización tiene restricciones ( ≥ ) que. 5. Las variables en ambos casos son no negativas. Problema 1. Considere el problema primal siguiente: Maximizar Z = 5X1 + 6X2 Sujeto a: i=1 . . . n j = 1 ………... n X1 + 9X2 2X1 + 3X2 5X1 - 2X2 X2 X 1 , X2 ≥ 0 ≤ ≤ ≤ ≤ 60 45 20 30 (W1) (W2) (W3) (W4) Elaborar el Dual (el problema se encuentra en su forma canónica) Minimizar z= 60W1 + 45W2 + 20W3 + 30W4 Sujeto a W1 + 2W2 + 5W3 + 0W4 ≥ 5 9W1 + 3W2 - 2W3 + W4 ≥ 5 W1 , W2 , W3 , W4 ≥ 0 Nota Cuando el problema primal no está en forma canónica, es necesario hacer ajustes para poder presentarlo así. Los cambios más frecuentes son: Si la función objetivo es minimizar, se puede transformar a una función objetivo de maximizar. Minimizar Z = C1X1 + C2X2 + C3x3 +.……..+ CnXn Maximizar (- Z ) = - C1X1 - C2X2 - C3x3 -………- CnXn Una restricción mayor o igual ( ≥ )se transforma en una restricción menor o igual ( ≤ ). A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -….…- A1n Xn ≤ - bi Una restricción de igualdad ( = )se transforma en 2 inecuaciones ( ≥ , ≤ ). Restricción 1 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn = bi Inecuación 1.1 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn Inecuación 1.2 A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi (es una restricción ≥) ≤ bi Y la inecuación 1.1 debe transformase en A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -……- A1n Xn ≤ - bi Al final quedan tres inecuaciones A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≥ bi -A11 X1 - A12 X2 -…… - A1n Xn ≤ - bi A11 X1 + A12 X2 +……+ A1n Xn ≤ bi Problema 2 Considere el problema primal siguiente: Primal Maximizar Z = -10X1 + 20X2 Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 4 2X1 - 3X2 ≥ 6 X1 , X2 ≥ 0 Una restricción ( ≥ )se transforma en una restricción ( ≤ ). Maximizar Z = -10X1 + 20X2 Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 4 -2X1 + 3X2 ≤ -6 X1 , X2 ≥ 0 Dual Minimizar z= 4W1 - 6W2 Sujeto a W1 - 2W2 ≥ -10 2W1 + 3W2 ≥ 20 W1 , W2 ≥ 0 Problema 3 Considere el problema primal siguiente: Primal Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 +X3 ≤ 5 2X1 - X2 +3X3 = 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0 Una restricción ( ≥ )se transforma ( ≤ ). Una restricción de ( = )se transforma en 2 (≥ , ≤ ). Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 +X3 ≤ 5 2X1 - X2 +3X3 ≥ 2 2X1 - X2 +3X3 ≤ 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0 Max Z=5X1+12X2+4X3 Sujeto a: X1 + 2X2 + X3 ≤ 5 -2X1 + X2 - 3X3 ≤ -2 2X1 - X2 +3X3 ≤ 2 X1 , X2 ,X3 ≥ 0 Dual Min z= 5W1 - 2W-2 + 2W+2 Sujeto a W1 - 2W-2 + 2W+2 ≤ 5 2W1 + W-2 - W+2 ≥ 12 W1 - 3W-2 + 3W+2 ≤ 4 W1,W-2,W+2 ≥ 0 Problema 4 Considere el problema primal siguiente: Primal Forma Canónica Min Z = 5000X1 + 7000X2 Sujeto a: 100X1 + 140X2 ≥ 5000 10X1 + 6X2 ≥ 300 4X1 + 8X2 = 240 X1 , X2 ≥ 0 Max (- Z ) = - 5000X1 - 7000X2 Sujeto a: -100X1 - 140X2 ≤ - 5000 -10X1 - 6X2 ≤ -300 -4X1 - 8X2 ≤ -240 4X1 + 8X2 ≤ 240 X1 , X2 ≥ 0 Dual Min Z= -5000W1 - 300W2 -2402W-2 + 240W+2 Sujeto a -100W1 - 10W2 - 4W-2 + 4W+2 ≥ -5000 -140W1 - 6W2 - 8W-2 + 8W+2 ≥ -7000 W1 ,W2 ,W-2 ,W+2 ≥ 0 Problema 5 Considere el problema primal siguiente: Primal Maximizar Z = 2000X1 + 500X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≥ 36 3X1 + 6X2 ≥ 60 X1 , X2 ≥ 0 Forma Canónica Minimizar (- Z ) = - 2000X1 - 500X2 Sujeto a: - 2X1 - 3X2 ≤ - 36 -3X1 - 6X2 ≤ - 60 X1 , X2 ≥ 0 Dual Minimizar (- Z )= - 36W1 - 60W2 Sujeto a -2W1 - 3W2 ≥ -2000 -3W1 - 6W2 ≥ -500 W1 , W2 ≥ 0