REGLA DE CRAMER Demostración de la regla de Cramer Supongamos que tenemos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1i xi + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2i xi + ... + a 2 n x n = b2 ... ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + aii xi + ... + ain x n = bi ... a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a ni xi + ... + a nn x n = bn Si queremos saber si es compatible hallaremos el rango de la matriz del sistema y el de la ampliada. Para esto podemos usar determinantes: Determinante dela matriz del sistema (A): a11 a12 ... a1i ... a1n a11 a12 ... a1i ... a1n a 21 a 22 ... a 2i ... a 2 n a 21 a 22 ... a 2i ... a 2 n ... ... ... ... ... ... ... ... → det( A) = A= ai1 a i 2 ... aii ... ain ai1 ai 2 ... aii ... ain ... ... ... ... ... ... ... ... a a n1 a n 2 ... a ni ... a nn n1 a n 2 ... a ni ... a nn si este determinante no se anula el rango de la matriz del sistema será n. Además, si el rango de A es n también lo será el de la matriz ampliada A’ (porque contiene a A). Podemos elegir una columna de A y cambiarla por la columna de los términos independientes de A’. Supongamos que hacemos esto con la columna i-ésima: a11 a12 ... b1 ... a1n a 21 a 22 ... b2 ... a 2 n ... ... ... ... a i1 ... ai 2 ... ... bi ... ... ain ... a n1 an 2 ... bn ... a nn Sustituimos los valores b por las expresiones que vienen dadas en el sistema. a11 a12 ... b1 ... a1n a11 a12 ... a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1i xi + ... + a1n x n ... a1n ... a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2i xi + ... + a 2 n x n ... a 2 n a 21 a 22 ... b2 ... a 2 n ... ... ... ... a i1 ... ai 2 ... ... bi ... ... ain ... a n1 an 2 ... bn ... a nn = a 21 a 22 ... ... a i1 ... ai 2 ... ... a n1 an 2 ... a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a ni xi + ... + a nn x n ... ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + aii xi + ... + ain x n ... ... ... ain ... ... a nn y, utilizando la propiedad que permite separar un determinante en sumas queda: 2º Bachillerato – Matemáticas II – David Miguel del Río – I.E.S. Europa (Móstoles) 1 REGLA DE CRAMER a11 a12 a 21 ... a 22 ... ... a11 x1 ... a1n ... a 21 x1 ... a 2 n ... ... ai1 ai 2 ... ai1 x1 ... ain ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a n1 x1 ... a nn a11 a12 ... a1n x n ... a1n + a12 ... a12 x 2 ... a1n a11 a12 ... a1i xi ... a1n a 21 ... a 22 ... ... a 22 x 2 ... ... a 2 n ... a 21 ... a 22 ... ... a 2i xi ... ... a 2 n ... a i1 ai 2 ... ai 2 x 2 ... a i1 ai 2 ... ... ... a n1 ... an 2 + ... + ain a11 ... ... ... a n 2 x 2 ... a nn a12 ... a11 ... a1n a 21 a 22 ... a 21 ... a 2 n ... ... = x1 ain a i1 ... ai 2 ... ... ai1 ... ... ... ... ... a nn x n ... a nn a n1 an 2 a 21 a 22 ... a 2 n x n ... a i1 ... ai 2 ... ain x n ... ... a n1 an 2 + xi + a11 ... ... a 2 n ... ... a11 a 21 a12 a 22 ... a1i ... a 2i ... a1n ... a 2 n ... ... ... ... a i1 ... ai 2 ... ... a n1 an 2 ... a ni aii ... ... ain ... ... a nn + ... + x n aii xi ain ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a ni xi ... a nn a11 a12 ... a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 22 ... ... + x2 ain a i1 ... ai 2 ... ... ai 2 ... ... ... ... ... ... a n1 ... a nn a n1 an 2 ... a n 2 ... a nn ... a11 a 21 a12 a 22 ... a1n ... a 2 n ... a1n ... a 2 n ... ... ... ... a i1 ... ai 2 ... ... a n1 an 2 ... a nn ain ... ... ain ... = xi ... a nn ... a 2 n ... ... + ... + ain a11 a 21 a12 a 22 ... a1i ... a 2i ... a1n ... a 2 n ... ... ... ... a i1 ... ai 2 ... ... a n1 an 2 ... a ni aii ... ... ain ... ... a nn Todos los determinantes se anulan por tener columnas repetidas excepto aquel que corresponde a la variable xi Hemos obtenido: a11 a12 ... b1 ... a1n a 21 a 22 ... b2 ... a 2 n ... ... ... ... xi A = ai1 ai 2 ... bi ... ain ... ... ... ... a n1 an 2 ... bn ... a nn Por lo tanto: xi = + ... + a11 a 21 ... a i1 a12 a 22 ... ai 2 ... b1 ... a1n ... b2 ... a 2 n ... ... ... bi ... ain ... a n1 ... an 2 ... ... ... bn ... a nn A 2º Bachillerato – Matemáticas II – David Miguel del Río – I.E.S. Europa (Móstoles) 2 = xi A