Problema 18 Un determinado satélite de 300 kg de masa seca (ms ) describe una trayectoria elı́ptica ecuatorial alrededor de la Tierra dada por la expresión: r = 9009.0/[1 + 0.3 cos(θ)] (r en km) Se pide: a) Determinar el periodo de la órbita y el ángulo que forma el vector velocidad con el vector posición cuando la altitud hx del satélite es de 1200 km. b) En el momento en que el satélite se halla en su apogeo, se pretende inclinar el plano orbital y transformar la trayectoria en circular, todo ello con una maniobra de un solo impulso. Sabiendo que la masa mp de propulsante disponible es de 450 kg y que el impulso especı́fico Isp del motor es de 250 s, calcular el ángulo máximo de inclinación del plano orbital. Datos: µT = 4.e5 km3 /s2 RT = 6378.0 km Solución Parámetro gravitacional de la Tierra: µT = 4.e5 km3 /s2 Radio ecuatorial de la Tierra: R = 6378.0 km Excentricidad orbital e: e = 0.3 Altitud en el punto dado: hx = 1200 km Masa seca del satélite: ms = 300.0 kg Masa del propulsante: mp = 450.0 kg Impulso especı́fico del motor: Isp = 250.0 s Aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9.8e-3 km/s2 a) Momento angular orbital: √ h = 9009.0µT = 59925 km2 /s2 Semieje mayor a: a = 9009.0/(1 − e2 ) = 9900 km 1 Periodop orbital: P = 2π a3 /µT ) = 9803 s = 2.72 h Radio orbital en el punto dado: rx = hx + R = 7570 km Velocidad p orbital en el punto dado: vx = 2µT /rx − µT /a = 8.07 km/s Ángulo entre vector posición y vector velocidad en dicho punto: α = sin−1 (h/rx /vx ) = 78.8 grados b) Radio de apogeo: rα = a(1 + e) = 12870 km Masa inicial total: mi = ms + mp = 750 kg Masa final: mf = ms = 300 kg Variación de velocidad disponible: ∆V = g0 Isp ln(mi /mf ) = 2.24 km/s Velocidad en el apogeo: vα = h/rα = 4.66 km/s Velocidad p circular en r = rα : vc = µT /rα = 5.57km/s Ángulo de inclinación máximo: cos i = (vα2 + vc2 − ∆V 2 )/(2vα vc ) i = 23.26 grados 2