Guía Propiedades y operatoria de números enteros 2016

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Propiedades y operatoria de
números enteros
Matemática
Programa Entrenamiento
Desafío
Un número n, en los enteros positivos, tiene un total de p divisores positivos distintos. Luego,
es correcto afirmar que si
I)
p = 2, entonces n es un número primo.
II)
p = 3, entonces n es un cuadrado perfecto.
III)
p = 4, entonces n es un cubo perfecto.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo I y II.
solo II y III.
I, II y III.
ninguna de ellas.
Mis observaciones
GUICEN023MT21-A16V1
Resolución
1
Programa Entrenamiento - Matemática
Marco teórico
Introducción
El conjunto universo en matemática son los
números complejos (C). Entre ellos es posible
distinguir los números imaginarios (I) y ...
... los números reales (R). Este, se divide en
dos grandes conjuntos:
Los números racionales (Q) son aquellos
que pueden escribirse como una fracción
de números enteros, con denominador
distinto de cero, lo que incluye a...
Los números irracionales (Q*) son
aquellos que no pueden escribirse como
una fracción de números enteros, lo que
incluye a...
... los números enteros (Z), las fracciones,
los números decimales finitos y los números
decimales infinitos con periodicidad
(periódicos y semiperiódicos).
... los números decimales infinitos sin
periodicidad (por ejemplo, raíces y
logaritmos inexactos, π, etc.).
A los enteros positivos también se les
conoce como conjunto de los naturales
(N). Si a los naturales se agrega el cero,
resulta el conjunto de los cardinales (N0).
2
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
Características de los enteros
Todos los enteros se clasifican como pares o impares, (el cero es un
número par). Además, todo entero tiene un antecesor y un sucesor.
Cada número par tiene un antecesor par y un sucesor par. Asimismo,
cada número impar tiene un antecesor impar y un sucesor impar.
Divisores (o factores) de un número
entero son los números enteros que
lo dividen en forma exacta.
Múltiplos de un número entero son
todos los números que resultan
al multiplicar dicho número por
cualquier otro número entero.
Características de los naturales
El máximo común divisor (M.C.D.)
entre dos o más números naturales,
es el mayor de los divisores que
dichos números tengan en común.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.)
entre dos o más números naturales,
es el menor de los múltiplos que
dichos números tengan en común.
Un número natural es divisible por...
3: si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
5: si su última cifra es 0 ó 5.
6: si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7: si al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de
las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7.
10: si su última cifra es 0.
Los números primos son aquellos
números naturales que solo son
divisibles por 1 y por sí mismos. El 1
no es un número primo.
Si dos números naturales no tienen
factores primos en común se dice
que son primos relativos entre sí.
3
Programa Entrenamiento - Matemática
Ejercicios PSU
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
1
.
5
En el conjunto de los números enteros, el neutro aditivo es el cero.
A)
B)
C)
Solo I
Solo II Solo III
2.
Se toman dos elementos cualquiera, a y b, de un conjunto numérico S. Si la expresión
En los números enteros, la sustracción es conmutativa.
En los números enteros, el inverso multiplicativo de 5 es
D)
E)
Solo II y III
Ninguna de ellas.
a
siempre
b
representa un número real, ¿cuál de los siguientes conjuntos numéricos podría ser S?
A) Cardinales.
B) Enteros. C)Naturales.
D)Racionales.
E) Reales.
3.Sea a · b un número racional, con a, b y c distintos de cero. ¿Cuál(es) de las siguientes
c
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)Si a es un número racional, entonces (b · c) es un número racional.
c
es un número racional.
a
a
es un número racional.
III)Si c es un número racional, entonces
b
II)Si b es un número racional, entonces
4
A)
B)
C)
Solo I
Solo II
Solo III
4.
El producto entre el antecesor de – 4 y el sucesor de – 3 es igual al sucesor de
A)
B)
C)
– 11 – 9 9
D)
E)
D)
E)
Solo I y II
I, II y III
10
11
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
5.Sea n un número impar positivo distinto de 1. Se define S como la suma de todos los números
impares sucesivos desde 1 hasta n. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I)
S es un número impar.
II)
S es un número divisible por (n + 1).
III)
S es un número cuadrado perfecto.
A)
B)
C)
Solo I
Solo III
Solo I y II
D)
E)
Solo I y III
Ninguna de ellas.
6.Sean p1, p2, p3, p4,…, pn los n menores números primos, con n mayor que 2. ¿Cuál de los siguientes
números siempre es un número primo?
A)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 5
B)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 3
C)
p1 · p2 · p3 · … · pn – 2
7.
D)
E)
p1 · p2 · p3 · … · pn + 1
p1 · p2 · p3 · … · pn + 3
Si m es un número par positivo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)(6m + 12) es un número divisible por 4.
(
)
7m + 2
es un número entero.
B)
2
C)3(m + 1) es un número impar.
D)
(5 – 3m) es un número negativo.
E)2(2m + 2) es un número divisible por 6.
8.Sea n un número entero positivo de tal manera que 6n es un número divisible por 15. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
n es un número divisible por 3.
II)2n es un número divisible por 10.
III)3n es un número divisible por 6.
A)
B)
C)
Solo I
Solo II
Solo II y III
D)
E)
I, II y III
Ninguna de ellas.
5
Programa Entrenamiento - Matemática
9.
Se define D como el conjunto de los divisores de 78. ¿Qué fracción del conjunto D corresponde
a números primos ?
1 D)
1
A)
3
2
3 E)
4
B)
8
7
3
C)
7
10.Sean a, b y c tres números primos, de tal manera que b > a y a + b = c. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
a = 2.
II)(b – c) es un número par.
III)(b · c) es un número impar.
A)
B)
C)
Solo I
Solo III
Solo I y III
D)
E)
Solo II y III
I, II y III
11. 8 – 8 : 8 + (– 8) =
A)
B)
C)
– 15D)
– 8E)
–1
0
8
12. 6 – 3 · 8 – 24 : 3 =
A)
B)
C)
– 26D)
– 14E)
0
3
26
13. 3 · (– 2 + 1) : 3 · – 2 + 3 =
A) 1
B) 3,5
C)5
6
D)6,333…
E)9
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
14. El doble de la suma entre (– 5) y el producto entre 3 y 4 es
A)
B)
C)
– 8 2 4
D) 7
E) 14
15. Si al antecesor de (– 5) se le suma el sucesor del doble de 3, resulta
A)
B)
C)
0
1
2
D)
E)
3
4
16. El triple de la mitad de la suma entre una docena y una decena es
A) 11 B) 22 C)28
D)
E)
33
66
17. Marcelo y Claudia ahorran monedas, comenzando ambos el mismo día. Marcelo ahorra cada
día una cantidad de monedas constante, mientras que Claudia ahorra una moneda el primer día,
dos monedas el segundo día, tres monedas el tercer día, y así sucesivamente. Si al noveno día
ambos han ahorrado la misma cantidad de monedas, ¿cuántas monedas más que Marcelo tiene
Claudia al doceavo día?
A)
5
D) 60
B)
18E)
78
C)33
18. Una persona compra dos bandejas de 30 huevos cada una, pagando un total de $ 3.000 y luego
vende los huevos a $ 110 cada uno. Si vende 3 docenas de huevos bajo las mismas condiciones,
¿cuál es la ganancia que obtiene?
A)
B)
C)
$ 360
$ 720
$ 1.800
D)
E)
$ 2.160
$ 3.600
7
Programa Entrenamiento - Matemática
19. Álvaro y Eduardo están a una distancia de 100 metros uno del otro, en una calle recta que
tiene dirección norte-sur, siendo Álvaro quien se encuentra más al norte. Realizan los siguientes
movimientos: primero, Álvaro camina 10 metros y Eduardo camina 18 metros, ambos en dirección
sur. Luego, Álvaro camina hacia el sur y Eduardo camina hacia el norte, recorriendo 15 metros
cada uno. Finalmente, Álvaro camina 12 metros hacia el norte y Eduardo camina 20 metros hacia
el sur. Después de estos movimientos, el uno del otro están a una distancia de
A)
B)
C)
110 metros.
136 metros.
140 metros.
D)
E)
160 metros.
190 metros.
20. Un juego de habilidad consiste en intentar derribar una pila de 80 tarros, para lo cual la persona
cuenta con 5 lanzamientos. Andrés es un aficionado a este juego, y posee la particularidad de
derribar en cada lanzamiento siempre 2 tarros menos que en el anterior. Si en el cuarto lanzamiento
Andrés derribó 10 tarros, ¿cuántos quedaron sin derribar cuando terminó de jugar?
A) 20
B) 30
C)50
D)60
E)62
21. Felipe observa, desde la ventana de su casa, que un tren se desplaza hacia el norte a 100
kilómetros por hora. Al interior del tren, Bastián, sentado en un asiento, observa que su hermano
se mueve por el pasillo, hacia el norte, a 10 kilómetros por hora. Si el hermano de Bastián, al mirar
por la ventana, observa que un ciclista se mueve hacia el sur a 80 kilómetros por hora, ¿cuál es
la velocidad del ciclista con respecto a Felipe?
8
A)
B)
C)
D)
E)
10 kilómetros por hora, hacia el norte.
10 kilómetros por hora, hacia el sur.
30 kilómetros por hora, hacia el norte.
30 kilómetros por hora, hacia el sur.
Ninguna de las alternativas anteriores.
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22. En la siguiente secuencia, ¿cuántos fósforos se necesitan para obtener la figura que se encuentra
en la posición 11?
1
2
3
4
A) B) C) 32
34
42
D) 44
E) Ninguno de los valores anteriores.
23. En la siguiente secuencia 1, 3, 6, 10, 15,...; el séptimo término es
A)
28D)
20
B) 25
E) ninguno de los valores anteriores.
C)21
24. Sea la secuencia 32, 28, 24, 20, 16, 12. ¿Cuál es la expresión general que representa a los
términos de la secuencia, en ese orden, para n desde 1 hasta 6?
A) 32 – n
D) 32 – 4n
B)
n – 4 E) 8n – 4
C) 36 – 4n
25. En la figura adjunta, el último número de cada fila se obtiene sumando los tres números
anteriores, y el tercer número de cada columna corresponde al doble de la suma de los dos
anteriores. Según esta regla, ¿cuál es el valor de m?
A)
6
B)
7
C)
9
D)11
E)18
3
2
22
m
8
10
9
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26. En la figura, cada número de la columna de la derecha corresponde al producto de los tres
números que están a su izquierda, y cada número de la fila inferior corresponde a la suma de los
tres números que están sobre él. ¿Cuál de los siguientes cuadrados podría reemplazarse en el
espacio en blanco, para obtener el resultado indicado?
0
4
0
4
2
4
A)
2
0
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
0
1
1
0
1
1
0
0
1
D)
2
0
1
E)
2 0
1
2
1
2
2
1
2
0
1
1
0
2
1
B)
2 0
1
C)
2 1
0
27. Se puede determinar que el número entero p es par si:
(1)
(2)
El cuádruple de p es par.
El quíntuple de p es par.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
28. Sean a y b dos números enteros positivos. Se puede determinar el máximo común divisor entre
ellos si:
(1)
a y b son números pares consecutivos.
(2) La suma entre a y b es 30.
10
A)
B)
C)
D)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA
E) Se requiere información adicional.
29. Si M = a · b, entonces es posible afirmar que M es múltiplo de 12 si:
(1)
a es múltiplo de 20.
(2)
b es múltiplo de 15.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere irformación adicional.
30. Sea N un número entero positivo menor que 10. Se puede determinar el valor de N si:
(1)
(2)
Al dividirlo por 2 el resultado es un número primo.
Al dividirlo por 3 el resultado es un número primo.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
11
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
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
1
ASE
2
Comprensión
3
ASE
4
Comprensión
5
ASE
6
ASE
7
ASE
8
ASE
9
Comprensión
10
ASE
11
Aplicación
12
Aplicación
13
Aplicación
14
Aplicación
15
Aplicación
16
Aplicación
17
Aplicación
18
Aplicación
19
Aplicación
20
Aplicación
21
Comprensión
22
ASE
23
ASE
24
ASE
25
Aplicación
26
Aplicación
27
ASE
28
ASE
29
ASE
30
ASE
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Prohibida su reproducción total o parcial.
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