IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna Opción A Ejercicio 1 del Modelo 5 de la Opción A de sobrantes del Libro 1996_97. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m./s. por la gráfica (1) [1'5 puntos]. Calcula la función espacio recorrido. (2) [0'5 puntos]. Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido. (3) [0'5 puntos] .Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. Solución La velocidad es v (t) = e ‘(t) la derivada del espacio respecto del tiempo luego por el Teorema fundamental del calculo integral e(t) = ∫ v (t) dt = ∫ e ‘(t) dt v(t) = 2t si t ∈ [0,1) v(t) = 2 si t ∈ [1,3) v(t) = - t + 5 si t ∈ [3,5] las tres son rectas del tipo y = mx + n. En el primer caso la sustituimos en los puntos (0.0) y (1,2); en el segundo caso la sustituimos en los puntos (1,2) y (3,2) y en el tercer caso la sustituimos en los puntos (3,2) y (5,0). Veamos por ejemplo el tercer caso. y = mx + n (3,2) → 2 = 3m+n (5,0) → 0 = 5m+n Resolviendo sale m = -1 y n = 5, que es v(t) = - t + 5 si t ∈ [3,5] Si t ∈ [0,1), v(t) = 2t, luego e(t) = ∫ 2t dt = t + M Si t ∈ [1,3), v(t) = 2, luego e(t) = ∫ 2 dt = 2t + N 2 Si t ∈ [3,5], v(t) = -t + 5, luego e(t) = ∫ (-t + 5) dt = -t /2 + 5t + P La función es continua y ademas como parte del origen e(0) = 0 2 e(0) = 0 = 0 + M, luego M = 0 2 Como es continua en t = 1, e(1) = lim e(t) = lim e(t) . Sustituyendo t →1+ t →1- lim (2t + N) = lim ( t2 + 0). Sustituyendo t por 1 tenemos t →1+ t→1- 2 + N = 1, de donde N = - 1 Como es continua en t = 3, e(3) = lim e(t) = lim e(t) . Sustituyendo t →3+ t →1- lim (-t2/2 + 5t + P) = lim ( 2t + N). Sustituyendo t por 3 tenemos + - t →3 t →3 -9/2 + 15 + P = 6 - 1, de donde P = - 5’5 Luego la función espacio es 2 Si t ∈ [0,1), e(t) = t Si t ∈ [1,3), e(t) = 2t - 1 2 Si t ∈ [3,5], e(t) = -t /2 + 5t – 5’5 (2) 2 La gráfica de t es una parábola con las ramas hacia arriba y el vértice en el punto (0,0) 2 La gráfica de -t /2 + 5t – 5’5 es una parábola con las ramas hacia abajo y el vértice en el punto (5,17’875) La gráfica de 2t – 1 es una recta La gráfica aproximadamente es german.jss@gmail.com 1 IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna 8 6 4 2 1 2 3 4 5 (3) Área bajo la curva = área triángulo de base 1 y altura 2 + área cuadrado de base 2 + área triángulo de base 2 y altura 2 = (1/2).1.2 + 2.2 + (1/2).2.2 = 1 + 4 + 2 = 7 u.a. 2 1 3 2 5 Área por integrales = [t ] 0 + [2t – 1 ] 1 + [-t /2 + 5t – 5’5 ] 3 = = 1 + [(5) – (1)] + [ (7) –(5)] = 7 u.a. Luego coincide de las dos formas. Ejercicio 2 del Modelo 5 de la Opción A de sobrantes del Libro 1996_97. (1) [1'5 puntos]. Halla el punto P de la gráfica de la función f definida para x ≥ -3 por f(x) = √(2x+6) que está más próximo al origen de coordenadas. (2) [1 punto] .Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en P . Solución (1) d(O,P) = mínima P(x, √(2x+6) ) OP = (x, √(2x+6) ) 2 d(O.P) = || OP || = √[x + 2x + 6] 2 d ‘(x) = (2x+2)/[2√(x + 2x + 6)] d ‘(x) = 0 → 2x + 2 = 0, de donde x = -1. Veamos que es un mínimo viendo que d ‘’(-1) > 0 2 2 d ‘(x) = (2x+2)/[2√(x + 2x + 6)] = (x+1)/[√(x + 2x + 6)] 2 2 2 d ‘’(x) = [(1).√(x + 2x + 6) – (x+1). (2x+2)/2√(x + 2x + 6)] / (x + 2x + 6) = 2 3/2 = 5/(x + 2x + 6) 3/2 d ‘’(-1) = 5/(1 -2 + 6) > 0 luego es un mínimo El punto es P(-1, √(-2+6) ) = P(-1,2) (2) La recta tangente en P(-1,2) es y – f(-1) = f ‘(-1)(x + 1) f(x) = √(2x+6) → f(-1) = √(-2+6) = 2 f ‘(x) = 2/2√(2x+6) → f(-1) = 1/√(-2+6) = 1/2 Luego la recta tangente pedida es y – 2 = (1/2).(x + 1) Ejercicio 3 del Modelo 5 de la Opción A de sobrantes del Libro 1996_97. (1) [1'75 puntos]. Determina según los valores del parámetro α cuándo tiene solución el sistema 2 αx + y + z = α , 2 αx + (1- α)y + (α -1l)z = α , 2 αx + y + αz = 2α . (2) [0'75 puntos]. Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. Solución (1) 2 αx + y + z = α , 2 αx + (1- α)y + (α -1l)z = α , 2 αx + y + αz = 2α . α 1 1 1 1 α2 α * Sea M = α 1 − α α − 1 y M = α 1 − α α − 1 α 2 la matriz de los ceficientes y la matriz ampliada. α α 1 1 α 2α 2 α * Para que el sistema tenga solucvión por el Teorema de Rouche tiene que ser rango(M) = rango(M ) german.jss@gmail.com 2 IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna α 1 1 2 3 2 |M| = α 1 − α α − 1 = α - α = α (1 - α) α 1 α |M| ≠ 0 si α ≠ 0 y si α ≠ 1 * Luego si α ≠ 0 y si α ≠ 1 rango(M) = rango(M ) = 3 y el sistema es compatible y determinado Si α = 0 0 1 1 0 1 1 0 * M = 0 1 −1 y M = 0 1 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 En M como = -2 ≠ 0, rango(M) = 2 1 −1 1 1 0 * En M como 1 −1 0 = 0, rango(M ) = 2 1 0 0 * * Como rango(M) = rango(M ) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Que es el caso que resolveremos en el apartado (2) Si α = 1 1 1 1 1 1 1 1 * M = 1 0 0 y M = 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 En M como = -1 ≠ 0, rango(M) = 2 1 0 1 1 1 * En M como 1 0 1 = -1 ≠ 0, rango(M ) = 3 1 1 2 * Como rango(M) = 2 -1 ≠ rango(M ) = 3, el sistema es incompatible. (2) * Si α = 0 rango(M) = rango(M ) = 2, el sistema es compatible e indeterminado. Nos quedamos con dos ecuaciones y dos incónitqas y+z=0, y-z=0, Sumando tenemos 2y = 0, de donde y = 0, con lo cual z = 0. x puede tomar cualquier valos, luego la solución del sistema es (x,y,z) = (λ, 0, 0) con λ ∈ ℜ Ejercicio 4 del Modelo 5 de la Opción A de sobrantes del Libro 1996_97.Una circunferencia con centro en el punto C = (5,3) es tangente a la recta que pasa por el punto P = (0, 2) y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (I) [1'25 puntos]. Calcula el punto de tangencia. (2) [1'25 puntos]. Halla la ecuación de la circunferencia. Solución (1) * La recta tangente es de la forma y = mx + n, como es paralela a y = x tiene la misma pendiente que es 1 german.jss@gmail.com 3 IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna (y ‘ = 1) La recta pendiente es y = x + n, y como pasa por (0,2) 2 = n, es decir la recta tangente es y = x + 2 Como el centro es C(5,3) la recta perpendicual ala de tangencia y = x + 2 y que pas por C es y – 3 = (-1)(x – 5) porque las pendientes de recta perpendiculares verifican m.m’ = -1 Resolvemos el sistema y=x+2 y – 3 = (-1)(x – 5) y obtenemos el punto de corte que es x = 3 e y = 5, es decir A(3,5) (2) 2 2 El centro de la circunferencia es C(5,3) y el radio es r = d(C,A) = ||CA|| = √(2 +2 ) = √(8) CA = (-2,2) 2 2 2 La ecuación de la circunferencia pedida es (x – 5) + (y – 3) = [√(8) ] La figura real es 10 8 6 4 2 2 4 6 8 Opción B Ejercicio 1 del Modelo 5 de la Opción B de sobrantes del Libro 1996_97. 3 (1) [1 punto]. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x - 3x en el punto de abscisa x = -1. (2) [1'5 puntos] .Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada y calcula su área. Solución (1) La recta tangente en x = -1 es y – f(-1) = f ‘(-1).(x+1) 3 f(x) = x - 3x → f(-1) = -1 + 3 = 2 2 f ‘(x) = 3x - 3 → f ‘(-1) = 3 – 3 = 0 La recta tangente es y – 2 = 0, es decir y = 2 (2) 3 f(x) = x - 3x es una cúbica 3 2 f(x) = 0 → x - 3x = 0 = x(x – 3), de donde x = 0 y x = ± √(3), luego los cortes con los ejes son (0,0), (+√(3), 0) y (-√(3), 0) 3 3 Como f(-x) = -x + 3x = - (x – 3x) = - f(x), la función es impar y simétrica respecto al origen (0,0) 2 De f ‘(x) = 3x - 3 = 0, obtenemos x = ± 1 que son los posibles máximos y mínimos relativos. f ‘’(x) = 6x Como f ‘’(1) = 6 > 0, x = 1 es un mínimo relativo que vale f(1) = -2 Como f ‘’(-1) = -6 < 0, x = -1 es un máximo relativo que vale f(-1) = 2 lim f(x) = lim (x3) = + ∞; lim f(x) = lim (x3) = - ∞ x→ + ∞ x→ + ∞ x→ - ∞ x→ - ∞ Con estos datos ya podemos esbozar la gráfica de f(x) y de su recta tangente y = 2 (en azul) 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 -4 german.jss@gmail.com 4 2 3 IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna 3 Para calcular el área veamos el corte de la función f(x) = x - 3x con la recta y = 2. Una de sus soluciones es x = -1 pues donde hemos calculado la recta tangente 3 3 x - 3x = 2 → x - 3x – 2 = 0 Por Ruffinni 1 0 -3 -2 -1 -1 1 2 1 -1 -2 0 3 2 Luego x - 3x – 2 = (x+1).(x – x - 2) = 0 2 3 Las soluciones de x – x – 2 = 0 son 2 y –1, luego las soluciones de x - 3x – 2 = 0 son –1 (dos veces) y 2. Área = ∫ Área = ∫ +2 −1 +0 −1 3 4 2 [2 – (x - 3x)] dx = [2x –x /4 +3x /2] 3 [2 – (x - 3x)] dx + ∫ 0 3 2 -1 = (4 – 4 + 6) – (+2 – 1/4 + 3/2) = 11/4 u.a. 3 [2 – (x - 3x)] dx + ∫ 2 3 3 [2 – (x - 3x)] dx = = [2x –x /4 +3x /2] -1 + [2x –x /4 +3x /2]√(3)0 +[2x –x /4 +3x /2] √(3) = = [(0) – (-2 – 1/4 + 3/2)] + [(2√(3) – 9/4 + 9/2) – (0)] +[(4 – 4 + 6) – (2√(3) – 9/4 + 9/2)] = 27/4 u.a. Ejercicio 2 del Modelo 5 de la Opción B de sobrantes del Libro 1996_97. (1) [1 punto]. Describe el método de integración por cambio de variable. 2 (2) [1'5 puntos]. Usa el cambio de variable t = tg(x) para hallar ∫ dx / [cos x + cosx.senx] Solución (1) Dada ∫ f(x) dx si podemos sustiruir x por g(t), siendo g(t) una función derivable tenemos x = g(t) → dx = g ‘(t) dt y sustituyendo en la integral original nos queda ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)). g ‘(t) dt que suele ser una integralmas facil de hacer. Este método está basado en la derivada de la función compuesta (2) 2 2 I = ∫ dx / [cos x + cosx.senx] = ∫ dx / [cos x.(1 + tg(x) )] 2 Cambio t = tg(x) → dt = dx / cos x 2 I = ∫ dx / [cos x.(1 + tg(x) )] = ∫ dt / [(1 + t) )] = Ln|1 + t| = quitando el cambio = = Ln|1 + tg(x)| + K Ejercicio 3 del Modelo 5 de la Opción B de sobrantes del Libro 1996_97. Por la abertura A del mecanismo de tubos de la figura se introducen 50 bolas que se deslizan hasta salir por B. Sabemos que por el tubo W han pasado 10 bolas. 4 2 0 4 2 4 2 2 (1) [1 punto] Justifica si es posible hallar el número de bolas que pasan exactamente por cada uno de los tubos X, Y y Z (2) [0'5 puntos] Supongamos que podemos controlar el número de bolas que pasan por el tubo Y Escribe las expresiones que determinan el número de bolas que pasan por los tubos X y Z en función de las que pasan por Y. (3) [1 punto] Se sabe un dato nuevo: por Y circulan 3 veces más bolas que por Z, ¿cuántas circulan por X, Y y Z? Solución (1) W + Y + Z = 50 W = 10 Tenemos Y + Z = 40, que es una ecuación con dos incógnitas y depenede de un parámetro λ ∈ Ζ entero Tomano Z = λ. Y = 40 - λ λ varía de 0 a 40 y en consecuencia Y varía de 40 a 0, por tanto hay 40 posibilidades La solución genérica es (W,Y,Z) = (10, 40 - λ, λ) con 0 ≤ λ ≤ 40 y además λ ∈ Ζ entero (2) W + Y + Z = 50 W = 10 El tubo Y es controlable, le ponemos otro parámetro Y = µ con µ entero Y + Z = 40 → Z = 40 - µ con µ fijo german.jss@gmail.com 5 IES Francico Ayala Examen modelo 5 del Libro 1996_97 con soluciones Germán Jesús Rubio luna X = W + Y = 10 + µ con µ fijo (3) Y = 3Z W + Y + Z = 50 → Y + Z = 40 W = 10 X=W+Y Tenemos Y = 3Z Y + Z = 40 → 3Z + Z = 40 → Z = 10 Y = 3Z = 30 X = W + Y = 10 + 30 = 40 Luego X = 40, Y = 30, z = 10 y W = 10 Ejercicio 4 del Modelo 5 de la Opción B de sobrantes del Libro 1996_97. 3 (1) [1 punto] Define el concepto de producto escalar de vectores de ℜ y enuncia tres de sus propiedades (2) [1'5 puntos] Encuentra un vector w cuya primera componente sea 2 y que sea perpendicular a los vectores u = (1, -1,3) y v = (0, 1, -2) Solución (1) 3 Sean u y v dos vectores de ℜ y sea α el ángulo que forman los vectores u y v en el sentido de u a v, se define el producto escalr de los vectores u y v como el siguiente número: u • v =||u||.||v||.cos(α)., es decir el módulo del vector u por el modulo del vector v por el coseno del ángulo que forman. En el caso de bases ortonormales si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) el producto escalar es u • v = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3 En el caso de que los vectores u o v sean alguno el vector nulo o, se define el producto escalar u • v = 0 como el número cero Una propiedad es la conmutativa u • v = v • u Otra propiedad es que el producto vectorial de dos vectores es igual al producto vetorial de uno de ellos por la proyección del otro sobre el u • v = u • proy(v)u El producto escalar de un vector consigomismo siempre es positivo u • u > 0 (2) w = (2,m,n) u = (1, -1,3) y v = (0, 1, -2) Como w es perpendicular a u su producto escalar es cero es decir w • u = 0 = 2 – m + 3n Como w es perpendicular a v su producto escalar es cero es decir w • v = 0 = 0 + m - 2n Resolviendo el sistema 0 = 2 – m + 3n 0 = 0 + m - 2n obtenemos n = -2 y m = -4 El vector pedidoi es w = (2,m,n) = (2, -4, -2) german.jss@gmail.com 6