¡A cuenta gotas! Parte II. - UAM-I

¡A cuenta gotas! Parte II.
Marı́a del Pilar Beltrán Soria*, René Gerardo Rodrı́guez Avendaño**
Como muchos otros cientı́ficos (del pasado y del presente) el principal objetivo de Millikan al principio de su carrera era el reconocimiento cientı́fico, y
aunque, ya habı́a escrito algunos buenos textos escolares con anterioridad, estaba deseoso de realizar
una contribución verdaderamente importante en el
área de la Fı́sica. Millikan contaba ya con cuarenta años de edad y por esa época el interés estaba situado en la determinación de la magnitud de la carga del electrón, aunque dedicarse de lleno a tal labor
podı́a haber representado justamente todo lo contrario de lo que Millikan anhelaba.
Recibido: 10 noviembre 2009.
Aceptado: 24 noviembre 2009.
2. El problema (descripción a detalle del experimento de Millikan)
Roberts Andrews Millikan nació en Morrison Illinois,
Estados Unidos de Norteamérica, el 22 de Marzo del
año 1868, bajo el signo piscis del zodiaco, fue hijo de un ministro, obtuvo su doctorado en fı́sica en
la Universidad de Columbia y realizó trabajo post
doctoral en Berlı́n Alemania, ası́ como en la Universidad de Gotinga. Se incorporó al cuerpo docente de la Universidad de Chicago en 1896, y en 1910
fue profesor de fı́sica. Fue precisamente en la Universidad de Chicago donde estudio bajo la dirección
del astrofı́sico estadounidense Albert Abraham Michelson, quien recibió el premio Nobel de fı́sica en
1907 por desarrollar un extraordinario instrumento
para medir distancias mediante interferencia de ondas luminosas, con lo cual en 1878 determinó la velocidad de la luz, que cifró en 299,910 km/s, y posteriormente demostró, mediante el llamado experimento de Michelson–Morley (1901), que la velocidad
de propagación de la luz es independiente del movimiento de la Tierra.
Hay que establecer que en esa época en Inglaterra
otro de los grandes cientı́ficos J. J. Thomson después de haber descubierto la existencia del electrón
también se habı́a abocado a la tarea de la determinación de la carga del electrón (demostrando que el
átomo tenı́a partes internas) siendo además el director de tesis de Millikan y teniendo a su cargo el laboratorio Cavendish de la Universidad de Cambridge las posibilidades se hacı́an cada vez menores para Millikan. Uno de los colaboradores de Thomson
habı́a inventado ya un dispositivo llamado “cámara de niebla” (que inicialmente habı́a sido inventada
simplemente para estudiar las nubes de la atmósfera)
el cual era útil para seguir trayectorias de partı́culas cargadas y de movimiento rápido, esto se lograba haciendo que el aire supersaturado (lleno de vapor de agua) de su interior se condensara alrededor
de las partı́culas de polvo y otras partı́culas que flotaban libremente llamadas iones, lo cual suponı́a una
ventaja sobre otros cientı́ficos en la carrera por determinar antes que nadie la carga del electrón.
Michelson construyó instrumentos ópticos de precisión, con los que llevó a cabo diversas investigaciones espectroscópicas, y logró determinar de forma absoluta el diámetro de algunas estrellas, indudablemente la influencia de Michelson sobre Millikan fue determinante y quizá fue el principal motivo por el cual Millikan no abandonó la universidad hasta el año de 1921, cuando se le requirió para un puesto de mayor importancia al convertirse
en director del laboratorio Norman Bridge de fı́sica en el Instituto de Tecnologı́a de California.
Paradójicamente el dispositivo de niebla que parecı́a trazar la ruta adecuada para la determinación de la carga eléctrica del electrón dado que se
podı́an manipular las partı́culas cargadas eléctricamente (iones) tuvo un efecto negativo al retardar
la determinación adecuada, principalmente porque
utilizaba agua y presentaba la dificultad de que se
evaporaba rápidamente a este método se le conoció como método “Wilson” quien fue un estudiante
de Thomson.
* IEMS Plantel “Iztapalapa I” Calzada Ermita Iztapalapa No. 4163, Col. Lomas de Zaragoza, Del Iztapalapa. C.P. 09620, México D.F. pilysori@yahoo.com.mx, tel.
(55)59764790
** IEMS Plantel “Salvador Allende” GAM II. Av. Ferrocarril Hidalgo No. 1129, Col. Constitución de la
República, Gustavo A. Madero GAM. C.P. 07469, México
D.F.a rgra@yahoo.com.mx
53
54
Una breve descripción de algunos detalles de éste
método son que los iones generados por radiación externa en la cámara de niebla, actuaban como centros de nucleación de las gotas de agua por acción de la atracción de las moléculas de agua con
el vapor de agua supersaturado. Estas pequeñas gotas, podı́an ser observadas con ayuda de iluminación, cuando descendı́an lentamente por acción de
la gravedad.
Claro está que Millikan seguı́a los pasos de su director de tesis y también utilizaba la “cámara de
niebla” y para ionizar la nube gaseosa en la cámara utilizó primero los rayos X de Roentgen y posteriormente pequeñas cantidades de radio, haciendo
la prueba con un campo eléctrico más potente en la
cámara, con el fin de contrarrestar la fuerza de la gravedad suspendiendo la nube manteniéndola inmóvil
todo con el afán de que por un hecho milagroso pudiera adelantarse a los resultados de los mismos creadores del dispositivo, cosa que a todas luces parecı́a
irracional, sin embargo Millikan acertó un golpe de
suerte cuando en un congreso en la universidad de
Chicago y después de haber expuesto sus primeros
resultados el afamado cientı́fico neozelandés Ernest
Rutherford (que habı́a demostrado que las sustancias radiactivas producen tres tipos de emanaciones
a las que llamo rayos alfa, rayos beta y rayos gamma)
le hizo ver a Millikan que una de las grandes dificultades era la gran velocidad con la que se evaporaban
las diminutas gotas de agua. Además se encontraba
el hecho de las propias limitaciones de la Ley de Stokes, que describe el movimiento de gotas minúsculas en un fluido y que desde tiempo atrás el equipo
de Thomson utilizaba para calcular el tamaño promedio de las gotas individuales que componı́an la
nube simplemente midiendo la velocidad con la que
caı́a la nube.
Rutherford le hizo ver que el generar una nube completa en la “cámara de niebla” no era adecuado para obtener el valor correspondiente de la carga del
electrón y, hay que considerar, que sabı́a de lo que estaba hablando ya que la naturaleza de los rayos beta que trabajaba Rutherford fue determinada después de cinco años de investigación, en los cuales utilizaba el propio aparato de Thomson para obtener finalmente la naturaleza de tales rayos y dar a conocer que estaban constituidos de electrones (misma conclusión a la que habı́a llegado Becquerel en el
año de 1900).
Pero ¿en donde radicaba entonces el error cometi-
ContactoS 75, 53–63 (2010)
do por el equipo de Thomson? quizá la respuesta tenga que ver con el procedimiento del cálculo que proseguı́a a la obtención de la velocidad de caı́da de la
nube ya que sabiendo además el volumen total de vapor de agua dentro de la nube y el tamaño medio de
las gotas, Thomson pudo calcular (con la colaboración de su estudiante de doctorado Charles Wilson) el número de gotas que contenı́a la nube y bajo la suposición de que cada gota de la nube se habı́a
condensado alrededor de un único electrón, se podı́a
dividir la carga de la nube por el número de gotas para obtener una estimación aproximada de cada electrón, sin embargo los valores tenı́an una muy
baja precisión.
Millikan después de las recomendaciones hechas por
Rutherford, modificó su aparato para estudiar gotas individuales en lugar de medir toda una nube. La nueva versión consistı́a en una cámara en
la que las gotas de agua cargadas caı́an por un
pequeño agujero, originado en una placa horizontal, entrando ası́ en un área donde, con la ayuda de un microscopio (que utilizó porque las gotas eran extremadamente pequeñas, tanto que aún
con el microscopio Millikan sólo observaba la gota como si estuviera viendo a una estrella lejana
en el firmamento), podı́a verse cómo subı́an o bajaban entre dos marcas de medición hechas al interior
de la cámara.
En 1909 Millikan envió su primer artı́culo sobre el
método que denominó “equilibrio de las gotas” (en
el cual se mantenı́a una nube en estado estacionario por efecto de un campo eléctrico lo suficientemente fuerte para evitar que se cayera por efecto gravitatorio) que fue publicado en febrero de 1910. El
artı́culo fue notable por la honestidad de su presentación, tanto ası́ que el historiador de la ciencia Gerald Holton lo describe como un gesto poco común
en la literatura cientı́fica. Millikan incluyo sus juicios personales sobre la fiabilidad y validez de cada una de las 38 observaciones de gotas. Cuestión
que seguramente después lamentarı́a.
Ese mismo año Felix Ehrenhaft (1879–1952) utilizarı́a diminutas partı́culas de metal en lugar de gotas afirmando, en una publicación que saldrı́a en
1910, que sus resultados probaban la existencia de
“subelectrones” con cargas inferiores a las que Millikan sostenı́a que era la menor, a la vez establecı́a que los mismos experimentos de Millikan soportaban la teorı́a de la continuidad de la carga
eléctrica.
¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodrı́guez A.
La siguiente modificación al experimento tenı́a que
ver con la rápida evaporación de agua que anteriormente habı́a sido cuestionada por Rutherford, Millikan trataba de resolver el problema, cuando la respuesta le llegó en un momento de inspiración (según
se establece en su autobiografı́a) en el cual comprendió que no tenı́a sentido luchar contra la evaporación de las gotas de agua cuando los aceites de relojerı́a se habı́an desarrollado explı́citamente para resistir a la evaporación. Por lo tanto la idea de Millikan era utilizar una sustancia más pesada que el agua
y que tuviera una tasa de evaporación menor como el mercurio o un aceite.
Tal idea, posteriormente ha sido causa de disputas
acerca de la originalidad ya que el mismo Millikan la
atribuye en los artı́culos escritos en esa época a su colega J. Y. Lee, mientras que un estudiante de doctorado de Millikan, Harvey Fletcher, afirmó más tarde
que era a él a quien se le habı́a ocurrido la idea de utilizar gotitas de aceite. En este punto habrá que establecer que Millikan habı́a asignado a Fletcher la
misión de encontrar el mejor método experimental,
y discernir entre utilizar mercurio, glicerina o aceite, por lo que no es nada descabellado pensar que
en realidad tal idea pudo provenir de los resultados de Fletcher. Sobre todo si se analiza el hecho
de que Fletcher fue quien diseño el instrumento mediante el cual una gota de aceite permanecı́a suspendida en el aire como si bailara, este fenómeno es conocido como movimiento Browniano, y actualmente es de gran interés cientı́fico. Cuando Fletcher comunicó sus resultados a Millikan éste desecho todo lo que se habı́a obtenido utilizando agua y puso su atención a los resultados obtenidos con las gotas de aceite.
Ası́ pues Millikan y Fletcher trabajando sobre el
nuevo y mejorado dispositivo encontraron dos valiosos resultados. Uno era la determinación de la carga eléctrica (conocida como e) y el otro era, la determinación del producto NA e donde NA es el número de Avogadro. El producto NA e pudo ser obtenido gracias a las observaciones del movimiento browniano de las gotitas de aceite en el experimento. Justo en este punto se establece uno de los pasajes más
oscuros dentro de la vida cientı́fica de Millikan ya
que le propuso a su estudiante de doctorado Fletcher ser el único autor del resultado del trabajo acerca del movimiento Browniano, siempre y cuando Millikan apareciera como el único autor en la determinación de la carga eléctrica del electrón, ya que
Fletcher necesitaba una publicación en donde apa-
55
reciera como autor único para poder obtener el grado de Doctor. Sin duda alguna Millikan sabı́a que
la medición de la carga del electrón podrı́a elevar en
gran medida su reputación como investigador y él
querı́a todo el crédito para sı́ mismo. Fletcher, también lo entendió ası́ y estuvo en desacuerdo con Millikan, pero Millikan habı́a sido su mentor y protector ası́ que no tuvo más remedio que aceptar el trato.
Según se tiene reportado aún con este incidente Millikan y Fletcher permanecieron siendo buenos amigos y fue hasta la muerte de ambos cuando finalmente se hizo público tal hecho. Sin embargo hay que tomar en cuenta que cuando Fletcher finalmente obtuvo el grado de Doctor en Fı́sica se separó indefinidamente de Millikan.
Como sea, la idea era crear cargas eléctricas negativas en el interior de una gota y dejarla caer durante unas pocas fracciones de segundo bajo la sola influencia de la gravedad. Sin embargo las gotas
de aceite eran también muy pequeñas y nuevamente tuvo que verlas a través de un microscopio.
En septiembre de 1910, Millikan publicó en solitario su segundo artı́culo importante sobre la carga de
los electrones, el primero basado en gotas de aceite, en la prestigiosa revista Science. En este artı́culo
no ordena las gotas según su fiabilidad, dice explı́citamente no haber incluido varias de ellas en sus
cálculos de la carga de un electrón. En algunos casos, según explica, la causa era un error experimental grande.
En 1913 Millikan publicó un artı́culo en el cual asegura que los datos que los datos que presenta provienen de una serie de observaciones sobre 58 gotas que, según señala no es un grupo selecto de gotas
sino que constituye el conjunto completo de las observadas experimentalmente. Posteriormente un examen cuidadoso de Holton sobre los cuadernos que incluı́an los datos experimentales de Millikan reveları́a
que en realidad habı́a estudiado 140 gotas y no las
58 que mencionaba en él, este el periodo comprendido entre el 11 de Noviembre de 1911 al 16 de Abril
de 1912 según obra en los archivos de Caltech. Los
divulgadores cientı́ficos al leer el trabajo presentado por Holton, han centrado su atención en la omisión de las gotas, y especialmente en la falsa afirmación de Millikan en su artı́culo de 1913, de que habı́a
incluido todas las observaciones.
3. Las consecuencias
La disputa entre R. Millikan y F. Ehrenhaft, que
56
duró varios años (1910 a 1925) concluyó finalmente cuando Ehrenhaft abandonó la causa de defender la teorı́a de los subelectrones. Años más tarde se obsesionó con otra: los monopolos magnéticos, algo ası́ como imanes con un solo extremo
imantado.
Sin embargo Holton y muchos otros historiadores de
la ciencia han centrado su atención y analizado tal
disputa desde otro punto de vista, presentado una
detallada reconstrucción de la metodologı́a de experimentación de Millikan y Ehrenhaft estipulando que
Ehrenhaft seguı́a el método cientı́fico tradicional (como el que se presenta en los libros de texto) permitiendo que la teorı́a sea dictada por datos experimentales. Mientras que la metodologı́a experimental
de Millikan fue guiada por las presunciones, cuando
Holton analizó los cuadernos que contenı́an los datos experimentales de las gotas de aceite del artı́culo de 1913 encontró que el 59 % de los datos de las gotas estudiadas fueron descartados ya que no concordaban con la hipótesis de Millikan de la carga eléctrica fundamental del electrón.
Es importante resaltar el hecho de que en muchos libros de texto actuales no se menciona la controversia Millikan–Ehrenhaft y que tiene gran importancia en la historia de la ciencia, sobre todo si se analiza que en muchos libros se enaltece el uso del método cientı́fico tal como lo hizo Ehrenhaft y que actualmente este cientı́fico se encuentra totalmente ignorado y olvidado. Para entender los diferentes puntos de vista entre ambos cientı́ficos habrá que establecer el contexto en el que se presenta tal discrepancia del método cientı́fico, es importante considerar que a finales del siglo XIX existen dos posiciones antagónicas sobre el carácter del trabajo
cientı́fico.
Una de ellas la podemos identificar con cientı́ficos como el fı́sico y filósofo austriaco Ernest Mach, quienes
siguen una lı́nea filosófica que defiende una base fenomenológica basada en correlaciones de observaciones directas evitando usar cantidades “hipotéticas”.
Por otro lado tenemos a cientı́ficos como el fı́sico austriaco Ludwing Boltzmann que defienden el uso de
entidades ocultas a la observación directa como medio para entender la realidad. Sin embargo, para ambas concepciones el carácter experimental del método cientı́fico es crucial.
Esta distinción de posiciones filosóficas es fundamental porque es claro que el éxito de una teorı́a depende no de uno, sino de muchos experimentos realiza-
ContactoS 75, 53–63 (2010)
dos por muchas personas y la importancia asignada a los diferentes experimentos depende de las diferentes orientaciones filosóficas, además de que un
mismo experimento puede significar cosas diferentes en diferentes tradiciones.
Bajo este punto de vista, quizá se pueda establecer el por qué los resultados obtenidos por Ehrenhaft fueron desechados y los de Millikan prevalecieron, más allá de considerar que existı́a entre ambos cientı́ficos una rivalidad mal canalizada. Aunque hay que establecer que realmente Ehrenhaft nunca fue considerado por Millikan como su más reconocido adversario, sino más bien fue su propio director de tesis J. J. Thomson quien hasta la fecha es recordado como el “padre del electrón”.
Por otra parte los resultados no mostrados del trabajo de Millikan han provocado que el hecho sea presentado como ejemplo de conducta contraria a la ciencia, y especı́ficamente al método cientı́fico, quizá esa
sea la razón por la cual en la universidad de Chicago no exista evidencia alguna de la labor realizada por este gran cientı́fico. Holton establece como
hipótesis en su trabajo de 1982, la importancia trascendental que tienen los factores temáticos o metafı́sicos en la investigación cientı́fica de Millikan
y Ehrenhaft.
Lo cierto hasta ahora y lo que aparece en los libros
de texto es que a través del experimento de Millikan y otros experimentos adicionales, se ha determinado que la carga de un electrón es 1.6 × 10−19 C
(Coulombios). A continuación se presenta la secuencia matemática que describe la fenomenologı́a
fı́sica en el experimento de la gota de aceite de
Millikan.
Descripción cuantitativa del experimento de
las gotas de aceite de Millikan.
Una descripción de este experimento puede ser resumida de la siguiente manera: en primera instancia
hay que considerar que el comportamiento de las gotas de aceite, es muy diferente a la nube de agua que
se formaba en la cámara de niebla, ya que las gotas individuales de aceite se pueden manipular individualmente, esto se debe a que la gota queda cargada eléctricamente entre las placas, cuyo voltaje se
puede variar para que la gota no caiga al fondo. Modificando el voltaje entre las placas se podrı́a hacer
que las gotas de aceite ascendieran a velocidad constante. La carga en cada una de las gotas fue generada utilizando irradiación con rayos X, la cual se ad-
¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodrı́guez A.
hirió a las gotas, implicando con ello un pequeño
número de electrones (n = 0, 1, 2, 3, . . .).
Cuando se eliminaba el campo eléctrico la gota estaba sometida exclusivamente a la fuerza de la gravedad y, debido a la resistencia del aire, la gota no
caı́a aceleradamente sino que alcanzaba una velocidad terminal. Para la descripción matemática de lo
anteriormente comentado se puede considerar que
el aire tiene una viscosidad η conocida y que se
puede establecer el valor de la fuerza gravitacional
como:
F g = m∗ g = F f
Donde Fg es la fuerza de la gravedad, y m∗ es la masa
aparente, tomada en cuenta en la frontera del aceite
y el aire, mientras que Ff es la fuerza de fricción
que se opone al movimiento por lo que la ecuación
se puede escribir como:
Entonces despejando el radio de una de las gotas de
aceite
s
9ηv0
r=
(ρaceite − ρaire )2g
puede ser estimado ya que como se estableció anteriormente la viscosidad del aire η es conocida. Si un
campo eléctrico E0 ahora es aplicado, entonces una
fuerza eléctrica F = qE0 actúa sobre la gota de aceite, donde q = −ne, donde finalmente aparece la carga eléctrica del electrón. Con el campo eléctrico adecuado compensando la gravedad se tiene:
4
meE0 = −g(ρaceite − ρaire ) πr3
3
Con lo cual se puede calcular la carga de la gota de
aceite de la manera siguiente:
−q = ne = −
Fg = (ρagua V − ρaire V )g = −6πηrv
Donde m∗ = ρagua V − ρaire V y Ff = −6πηrv para partı́culas esféricas (considerándose a la gota como tal) según se establece en la ecuación de Stokes,
(la resistencia opuesta por un fluido al movimiento de una esfera en su seno es proporcional a la velocidad relativa) la cual debe su nombre al fı́sico y matemático irlandés George Gabriel Stokes.
4
F = qE1 − g πr3 (ρaceite − ρaire ) − 6πηrv
3
En la cual la velocidad terminal en este caso:
v1 =
Fg = g(ρagua − ρaire )V = −6πηrv
4
Fg = (ρagua − ρaire ) πr3 = −6πηrv
3
De donde se puede despejar la velocidad terminal
constante y obtener:
v=
m∗ g
6πηr
La cual depende de la viscosidad del gas (ηaire ), el
radio de la gota r (que puede ser determinado a partir de la masa total condensada en la parte inferior de la cámara de niebla), la constante de aceleración gravitacional g, y la masa de la gota m.
Retomando la definición hecha para la masa aparente m∗ se tiene que se puede calcular la velocidad de caı́da v0 .
v0
g(ρaceite − ρaire ) 34 πr3
6πηr
g 4 3
πr (ρaceite − ρaire )
E0 3
Una variación del experimento de un campo eléctrico
mayor E1 es aplicado, con lo cual se mueve la gota de
aceite hacia arriba, y la gota experimenta una fuerza
total de:
Por lo que se puede reescribir como:
O bien, considerando el volumen de una partı́cula
esférica.
57
qE1 − g 43 πr3 (ρaceite − ρaire )
6πηr
Por lo que al restar v1 − v0 se obtiene:
v1 − v0 =
qE1
6πρr
De la cual la carga es:
q
= −ne = 6πηr(v1 − v0 )
η 23 r
36π
v0
=
(v1 − v0 )
E1
2
g(ρaceite − ρaire )
Cuando la gota cambia su carga, su velocidad terminal v1 cambiará. La carga más pequeña será observada cuando ∆n = 1. Lo cual proporciona la carga elemental del electrón.
Se puede obtener valores para la carga elemental del
electrón que sean dos veces la carga elemental, tres
veces la carga elemental, nueve veces la carga elemental y muchos otros números enteros de esta carga elemental. Pero nunca se verá una parte fraccional de esta carga elemental, asumiendo que la carga no se puede dividir.
58
ContactoS 75, 53–63 (2010)
q
q
q
q
Peso de cada canica
= 3.2 × 10−19 C
= 6.4 × 10−19 C
= 8.0 × 10−19 C
= 11.2 × 10−19 C
1g
2g
1/2 g
Cuadro 1.
Número de canicas
en el saco
8
4
16
Cuadro 2.
Es decir, para cada una de las gotas individuales se
puede establecer que:
Qgota = n(1.6 × 10
−19
C)
Peso de cada canica
8g
4g
Número de canicas
en el saco
1
2
Cuadro 3.
Donde n es un número entero positivo, que denota
el número de electrones que fueron añadidos en el
experimento de Millikan a cada una de las gotas de
aceite y que en conjunto contribuyen a la carga neta
de la gota.
Millikan obtuvo valores para la carga del electrón
como los mostrados en la tabla 1.
Teorı́as actuales de fı́sica declaran que cargas de
1/3 y 2/3 de la carga elemental del electrón pueden existir. Hay evidencia para estas cargas fraccionadas y los cuarks (los componentes más pequeños de los cuales está hecha la materia) están
asociados.
Para poder acoplar los resultados de Millikan con estas nuevas teorı́as habrá que considerar que los resultados de la gota de aceite de Millikan hasta ahora pueden establecer la conclusión de que los cuarks
siempre se unen para hacer una carga total de +1
ó −1, lo cual no contradice de ninguna manera los resultados del experimento de las gotas de aceite.
Una manera muy práctica y fácil de entender los resultados obtenidos por Millikan, es a través de la situación de encontrar la masa y la cantidad de canicas que se encuentran en un costalito, con la condición de que no se puede abrir y observar su contenido y con la ayuda que se conoce la masa de varios de ellos que contienen diferentes números de canicas, tal y como se describe en el ejemplo numero uno y dos que a continuación se presentan.
Ejemplo 1
Se tienen varios sacos cada uno con un número determinado de canicas. Los pesos de los sacos son de
8, 14, 18, 20, 26, 40 gramos respectivamente. ¿Cuál
es el peso de cada canica y cuantas canicas hay en
cada saco?
En el primer saco las posibilidades más sencillas de
pesos en las canicas son: 1, 2, 4, 8. A esos números
les llamaremos los factores o divisores del 8 ya que
son los números naturales que dividen al 8 y no hay
más. Si formamos parejas, primer número con último
y segundo con penúltimo, podemos formar las dos
primeras filas de la tabla 2.
Hay que hacer notar que también es permitido considerar que el peso de una canica sea un número fraccional, por sencillez nos limitaremos al análisis de
1/2 g exclusivamente. Para los dos primeros pesos
de canicas, también funciona intercambiando los datos de las columnas, tabla 3.
O podemos ponerlo en una sola tabla 4, p. 58.
Sin embargo cuando se propone que cada canica pese
16 g se obtiene la tabla 5, p. 59.
Lo cual es fı́sicamente imposible ya que el número de
canicas debe ser siempre un número entero positivo,
con lo cual queda descartado el hecho de que cada
canica pueda pesar 16 gramos y con esto cualquier
otro peso en el cual se obtenga un número de canicas
no entero positivo.
Restricción 1: el número de canicas en los sacos debe ser un número entero positivo.
Hay que hacer notar una restricción adicional, en
el primer saco el número de gramos obtenidos es
de ocho, por lo tanto ninguna canica puede pesar
más de esa cantidad lo cual nuevamente concuerda con la eliminación de 16 g como respuesta.
Peso de cada canica
1
2
4
8
Número de canicas
en el saco 1
8
4
2
1
Cuadro 4.
¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodrı́guez A.
Peso de cada canica
16 g
Número de canicas
en el saco
1/2
Peso de cada
canica
Cuadro 5.
Peso de cada
canica
1/2
1
2
7
14
59
Número de
canicas en el
saco 2
28
14
7
2
1
Factibilidad
del
resultado
SI
SI
SI
SI
NO∗
Cuadro 6. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8 g derivado del primer saco de canicas.
1
2
1
2
4
5
10
20
Número de canicas
en el saco 4
40
20
10
5
4
2
1
Factibilidad del
resultado
SI
SI
SI
SI
SI
NO*
NO*
Cuadro 8. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8g derivado del primer saco de canicas.
¿Qué pasa para el segundo saco? véase tabla 6, p. 59.
¿Qué pasa para el tercer saco? véase tabla 7, p. 59.
¿Qué pasa para el cuarto saco? véase tabla 8, p. 59.
¿Qué pasa para el quinto saco? véase tabla 9, p. 59.
¿Qué pasa para el sexto saco? véase tabla 10, p. 59.
Ya tenemos todas las posibilidades, pero las canicas
en los seis sacos son iguales, por lo que deben pesar
lo mismo, entonces se reducen las posibilidades. De
las seis tablas, los pesos que coinciden en las 6 tablas
son el 1/2, 1 y el 2.
En este problema tenemos las siguientes posibles soluciones:
Si cada canica pesa 1/2 gramo:
Para el saco uno tenemos 16 canicas.
Para el saco dos tenemos 28 canicas.
Para el tercer saco tenemos 36 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 40 canicas.
Para el quinto saco tenemos 56 canicas.
Para el sexto saco tenemos 80 canicas.
Peso de cada
canica
1/2
1
2
3
6
9
18
Número de canicas
en el saco 3
36
18
9
6
3
2
1
Factibilidad
del resultado
SI
SI
SI
SI
SI
NO∗
NO∗
Cuadro 7. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8 g derivado del primer saco de canicas.
Peso de cada
canica
1/2
1
2
13
26
Número de canicas
en el saco 5
56
26
13
2
1
Factibilidad del
resultado
SI
SI
SI
NO*
NO*
Cuadro 9. *El peso de una canica no debe ser mayor de
8g derivado del primer saco de canicas.
Peso de cada
canica
1
2
4
5
8
10
20
40
Número de canicas
en el saco 6
40
20
10
8
5
4
2
1
Cuadro 10.
Factibilidad del
resultado
SI
SI
SI
SI
SI
NO*
NO*
NO*
60
Si cada canica pesa 1 gramo:
Para el saco uno tenemos 8 canicas.
Para el saco dos tenemos 14 canicas.
Para el tercer saco tenemos 18 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 20 canicas.
Para el quinto saco tenemos 26 canicas.
Para el sexto saco tenemos 40 canicas.
Si cada canica pesa 2 gramos:
Para el saco uno tenemos 4 canicas.
Para el saco dos tenemos 7 canicas.
Para el tercer saco tenemos 9 canicas.
Para el cuarto saco tenemos 10 canicas.
Para el quinto saco tenemos 13 canicas.
Para el sexto saco tenemos 20 canicas.
Otra posible solución a este problema es observar
los números de los pesos en cada uno de los sacos de
canicas y determinar si existe alguna relación entre
ellos. Si se obtiene la diferencia que existe entre estos
valores tenemos la tabla 11, p. 61.
Analizando los incrementos nos damos cuenta de que
el menor de ellos es de 2 g por lo que debe existir un
número entero positivo de canicas que proporcione
dicha cantidad. Elaboremos, entonces, la tabla 12,
p. 61.
Llegando nuevamente a los valores de 1/2 g, 1 g y
2 g que se habı́an obtenido con el método anterior
sólo que este método presenta la ventaja de que puede aplicarse aún cuando las mediciones de los pesos no sean números enteros como se presenta a continuación, en el ejemplo número dos. Los valores que
son las tres posibles respuestas pueden también escribirse como:
Primera posibilidad: mc = 21 g ó mc = 0.5g ó mc =
2−1 g.
Segunda posibilidad: mc = 1g ó mc = 20 g.
Tercera posibilidad: mc = 2g ó mc = 21 g.
Ejemplo 2:
Consideremos ahora que las mediciones en cada uno
de los sacos que contienen las mismas canicas del
ejemplo uno son 2.82, 6.58, 10.34, 14.1, 17.86 y 23.5
gramos respectivamente y que tenemos que determinar la masa y el número de canicas de cada uno y
que además concuerden con los resultados del ejemplo uno.
Habrá que establecer nuevamente lo siguiente:
Restricción 1: el número de canicas en los sacos debe
ser un número entero positivo.
ContactoS 75, 53–63 (2010)
Masa
propuesta
Masa
propuesta
Diferencia de
valores
Ejemplo 1
Ejemplo 2
1g
0.94 g
0.6 g
0.5 g
0.47 g
0.3 g
Cuadro 15.
A continuación si se obtiene la diferencia que existe
entre estos valores tenemos la tabla 13, p. 61.
Analizando los incrementos nos damos cuenta de que
el menor de ellos es de 3.76 g por lo que debe existir un número entero positivo de canicas que proporcione dicha cantidad. Hay que hacer notar que en el
primer saco solamente se tienen 2.82 g por lo automáticamente se tiene la restricción de que una canica no puede pesar más de esa cantidad.
Restricción 2: mcanica ≤ 2.82 g
Elaboremos entonces, la tabla 14, p. 61.
De los resultados de la tabla se puede verificar que las
cantidades que son enteros positivos para el número
de canicas dentro de los sacos son:
Primera posibilidad: mc = 0.94 g.
Segunda posibilidad: mc = 0.47 g.
Con lo cual al comparar con los resultados del ejemplo número uno, tenemos que, la masa de cada una
de las canicas debe ser de 0.47g, ya que si analizamos la diferencia entre ambos problemas tenemos
que la diferencia es menor, tabla 15, p. 60.
Ejemplo 3:
Una vez realizada la metodologı́a para el caso de
las canicas y los sacos podemos extrapolar el procedimiento al problema de la determinación de la carga del electrón con los datos obtenidos por medio del
experimento de Millikan, los datos son los de la tabla 16, p. 62.
A continuación si se obtiene la diferencia que existe
entre estos valores tenemos la tabla 17, p. 62.
Por lo que la menor diferencia es de 3.2×10−19 C, con
lo cual habrá que determinar ¿Cuántos electrones
son necesarios para generar tal carga? véase tabla 18,
p. 63.
Lo cual establece que los posibles valores para la carga eléctrica del electrón son: 1.6 × 10−19 C y 0.8 ×
10−19 C. Sin embargo Millikan nunca encontró valores de carga eléctrica menores a 1.6 × 10−19 C, por
¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodrı́guez A.
Peso de los sacos de canicas
8g
14 g
18 g
20 g
61
26 g
40 g
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas.
∆m
∆m1 =
(14 − 8)g
∆m2 =
(18 − 14)g
∆m3 =
(20 − 18)g
∆m4 =
(26 − 20)g
∆m5 =
(40 − 26)g
∆m
∆m1 = 6g
∆m2 = 4g
∆m3 = 6g
∆m4 = 2g
∆m5 = 14g
Cuadro 11.
Masa propuesta de cada una
de las canicas
Número de canicas que contribuyen al valor del incremento de 2 g
Número de
canicas en el
saco 1
Número de
canicas en el
saco 2
Número de
canicas en el
saco 3
Número de
canicas en el
saco 4
Número de
canicas en el
saco 5
Número de
canicas en el
saco 6
mc = 2g
1
4
7
9
10
13
20
mc = 1g
2
8
14
18
20
26
40
mc = 12 g
4
16
28
36
40
52
80
Cuadro 12.
Peso de los
sacos de las
canicas
2.82 g
6.58 g
10.34 g
14.1 g
17.86 g
23.5 g
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas
∆m
∆m1 =
(6.58 − 2.82)
∆m2 =
(10.34 − 6.58)
∆m3 =
(14.1 − 10.34)
∆m4 =
(17.86 − 14.1)
∆m5 =
(23.5 − 17 − 86)
∆m
∆m1 = 3.76
∆m2 = 3.76
∆m3 = 3.76
∆m4 = 3.76
∆m1 = 3.76
Cuadro 13.
Número de canicas que contribuyen al valor del incremento de 2 g
Número de
canicas en
el saco 1
Número de
canicas en
el saco 2
Número de
canicas en
el saco 3
Número de
canicas en
el saco 4
Número de
canicas en
el saco 5
Número de
canicas en
el saco 6
mc = 3.76
2
= 1.88
2
3
2
= 1.5
7
2
11
2
= 5.5
15
2
19
2
25
2
mc = 3.76
3
= 1.2533
3
9
4
= 2.25
21
4
33
4
= 8.2
45
4
mc = 3.76
4
= 1.88
4
3
mc = 3.76
5
= 0.752
5
15
4
mc = 3.76
6
= 0.6266
6
9
2
mc = 3.76
7
= 0.5371
7
21
4
mc = 3.76
8
= 0.47
8
Masa propuesta
de cada una de
las canicas
6
= 3.5
= 5.25
7
= 3.75
= 4.5
= 5.25
11
35
4
21
2
55
4
= 8.7
= 10.5
49
4
=
=
= 7.5
=
= 9.5
57
4
=
= 12.5
75
4
=
11.25
14.25
18.75
15
19
25
75
4
=
95
4
=
125
4
=
13.75
18.75
23.75
31.25
33
2
45
2
57
2
75
2
= 16.5
77
4
=
= 225
105
4
=
= 28.5
133
4
=
= 37.5
175
4
12.25
19.25
26.25
33.25
43.75
14
22
30
38
50
Cuadro 14.
=
62
ContactoS 75, 53–63 (2010)
q = 3.2 × 10−19
q = 6.4 × 10−19
q = 8.0 × 10−19
q = 11.2 × 10−19
Cuadro 16.
Valores obtenidos en las
mediciones
q = 3.2 × 10−19 C
q = 6.4 × 10−19 C
q = 8.0 × 10−19 C
q = 11.2 × 10−19 C
Diferencia entre cada uno de los sacos que contienen las canicas
−19
∆q = (6.4 × 10
− 3.2 × 10−19 )
∆q1 = 3.2 × 10−19
∆q = (8.0 × 10−19 − 4.8 × 10−19 )
∆q = (6.4 × 10−19 − 3.2 × 10−19 )
∆q3 = 3.2 × 10−19
∆q4 = 3.2 × 10−19
Cuadro 17.
lo que la segunda opción queda descartada y se tiene el resultado de:
qelectrón = 1.6 × 10−19 C
Propuesta adicional:
1. Se les indica a los estudiantes que elaboren un
listado de materiales a partir de los cuales pueden obtener datos similares a los obtenidos en los
ejemplos de las canicas para describir el experimento de Millikan.
2. De los objetos propuestos por los estudiantes se
elige, el que presente las mejores condiciones experimentales.
3. Se permite a los estudiantes conformar equipos
de tres personas y realizar las mediciones experimentales, reportando cada una de las masas para poder iniciar con la metodologı́a antes
expuesta.
4. Se les pide determinar la masa y el número de
objetos, al igual que se hizo con las canicas.
5. Se analizan los resultados obtenidos, ası́ como la
valoración del procedimiento experimental para
obtenerlos, si los valores no son satisfactorios se
debe evaluar las causas y confrontar las soluciones
por parte de cada uno de los equipos.
6. Se contrasta la metodologı́a experimental de cada
uno de los equipos con los pasos que se describen
en el método cientı́fico y se sacan las conclusiones
pertinentes.
7. Por último, se les aplica un cuestionario de reflexión, elaborado por el profesor de la asignatura en la cual se trata de evaluar el impacto
de la estrategia didáctica en la adquisición de
conocimiento.
4. Conclusión
Indudablemente el experimento de Millikan para la
determinación de la carga del electrón es un ejemplo de la ingeniosa creatividad del hombre, ası́ pues
es indudable que debe pertenecer al selecto grupo
de los experimentos más bellos de la Fı́sica. Sin embargo la conducta de R. Millikan de ninguna manera puede ser aceptable, no por el hecho de su acertada eliminación de datos no relevantes en su artı́culo publicado en 1913, sino por no haber dado el crédito que le correspondı́a a aquellos que contribuyeron
a su éxito y reconocimiento.
Desde el punto de vista académico el experimento
de las gotas de aceite de Millikan presenta una metodologı́a para poder entender una manera de obtener el resultado de que la carga elementarı́a del
electrón, estudiando a la vez en la parte matemática, números enteros, números racionales, notación
cientı́fica, incrementos, etc., en el área de la fı́sica entender el electromagnetismo, la reactividad, los rayos X, la carga eléctrica, etc., y finalmente en el
área de la quı́mica, el átomo, el electrón, la composición quı́mica y los modelos atómicos .
Es importante también señalar la conveniencia de
utilizar la historia de la ciencia como un instrumento en la enseñanza de asignaturas como matemáticas, fı́sica o quı́mica, quedando como una propuesta factible y concreta para su uso en la enseñanza en el nivel medio superior.
Otro aspecto importante que se puede abordar con
esta estrategia didáctica es el hecho de poder presentar de una manera totalmente diferente a lo que
tradicionalmente se encuentra en los libros de texto el conocido “método cientı́fico” y abordar las diferentes aristas desde los diferentes puntos de vistas de los cientı́ficos aquı́ mencionados.
¡A cuenta gotas! Parte II. Ma. del Pilar Beltrán S., René Gerardo Rodrı́guez A.
Carga de cada uno de
los electrones
Número de electrones
63
Número de electrones en la gota
1
Número de electrones en la gota
2
Número de electrones en la gota
3
Número de electrones en la gota
4
mc = 3.2×10
2
2
= 1.16 × 10−19
2
4
5
7
mc = 3.2×10
3
3
= 1.06 × 10−19
3.01
6.03
7.54
10.56
mc = 3.2×10
4
= 0.8 × 10−19
4
8
10
14
−19
−19
−19
4
Cuadro 18.
Y por último, pero no menos importante permite
realizar un análisis con los estudiantes acerca de los
valores y conductas de las personas y en especial de
los cientı́ficos. Los valores éticos pueden ser abordados hasta el detalle deseado, estableciendo un vı́nculo directo con el quehacer diario de cada uno de
los estudiantes y su manera de proceder en su vida
diaria.
5. Bibliografı́a
1. Cantoral, R. (2003). Desarrollo del pensamiento
matemático (pp. 5–7). México: Trillas.
2. Cantoral, R. (2008). Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, Un reporte iberoamericano. (pp. 41–53) Ed. Dı́az de
Santos.
3. Crease, R. (2006). Ver el electrón. El prisma y el
péndulo. (pp. 153–169). Barcelona: Crı́tica.
4. Bruce, C. (1997). La paradoja de Einstein y otros
misterios de la ciencia resueltos por Sherlock Holmes. (pp. 65–79). España: Granica.
5. Garritz, A. y Chamizo, J. A. (1994). Quı́mica. Wilmington, Delaware, USA: Addison–Wesley
Iberoamericana. La segunda edición de este libro
es (2001) Tú y la quı́mica. México: Pearson Educación.
6. Becker P., History and progress in the accurate determination of the Avogadro constant, Rep.
Prog. Phys. 64 (2001) 1945–2008.
7. Carmona F. J. E., Gallego B. H. A., Orozco G.
H., Automatización y control del experimento de
la gota de aceite de Millikan, Scientia et Technica,
año XIII, 37 (2007) 545–549.
8. Córdova J. L., El número de Avogadro N0 =
6.023 × 1023 . Contactos 3 y 4, vol. 1, 1984.
9. The Historical and Conceptual Development of
the Electron and Measuring the Fundamental
Electric Charge. Development of Ideas in Physical Science. Fall 2005. Professor Etkina
cs