AD2_4_Contrastes_Bil... - Horarios de los centros asociados de la

UNED Tudela
Problemas de contraste de hipótesis
Contrastes bilaterales sobre la media.
Resolver los contrastes mediante los dos métodos (por el de los valores críticios y por el del p-valor)
1.- El tiempo necesario para terminar una unidad en una línea de montaje sigue una
distribución normal con desviación típica igual a 3 minutos. Bajo condiciones de operación
estándar el objetivo es tener un tiempo medio de montaje de 14 minutos (tiempos menores
dan lugar a un número excesivo de unidades defectuosas y tiempos mayores suponen una
pérdida en la capacidad de producción). El gerente de la planta decide continuar con el proceso
de montaje a no ser que encuentre una evidencia sustancial de que el tiempo promedio no es
de 14 minutos. Así pues, considera una muestra aleatoria simple de 10 unidades y obtiene que
la media es de 12 minutos. ¿Podemos asegurar con un nivel de significación del 5% que la
media es distinta de 14 minutos?
2.- Un fabricante de bombillas asegura que su duración, en miles de horas, sigue una normal
de media 26 y desviación típica 5. Se extrae una muestra de 10 bombillas de este fabricante y
se obtuvieron las siguientes duraciones: 23,5 ; 35; 25,5 ; 31 ; 23 ; 33,5 ; 27 ; 28 ; 30,5 y
29. Se desea contrastar con un nivel de significación del 5% si estos datos son compatibles con
el valor medio afirmado por el fabricante.
a) Plantear el contraste
b) Hallar la región crítica.
c) ¿Qué se puede concluir?
3.- La duración media de una muestra de 100 frigoríficos de determinado fabricante ha sido de
40.800 horas. Si la desviación típica poblacional es de 6.400 horas,
¿Podemos aceptar la hipótesis de que la media poblacional es igual a 45.000 con un nivel de
significación del 5%? ¿Y con un nivel de significación del 1%?
4.- El peso de las latas de espárragos de una conservera siguen una distribución desconocida
con una desviaci0ón típica de 80 gramos.
Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y resulta que la media de la misma es
de 490 gramos.
a) ¿Puede aceptarse la hipótesis de que el peso medio es igual a 500 con un nivel de
significación del 5%?
b) Sin realizar ningún cálculo más, ¿podemos llegar a alguna conclusión si tomamos un
nivel de significación del 10%? ¿Y con el 1%?
c) Halla la potencia del contraste para µ=490
5.- El peso de los niños de Educación Infantil de una localidad sigue una distribución normal de
desviación típica 3 kilogramos.
Se extrae una muestra de 16 niños y su media es de 18’7 kilos.
a) Halla un intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 99%.
b) ¿Podemos aceptar, con un nivel de significación del 1% que la media de todos los niños
de esta etapa educativa de la localidad es de 18 kilogramos?
c) En el contraste del apartado b), halla la potencia del contraste para µ=19
6.- Se ha contrastado la hipótesis de que la media de determinada población es igual a 215. Se
ha utilizado una muestra de 80 sujetos y se desconoce si la distribución es normal. Se ha
trabajado con un nivel de significación del 8% y el resultado ha sido que se ha rechazado la
hipótesis nula.
a) ¿A qué conclusión habríamos llegado si, con el mismo nivel de significación, hubiéramos
obtenido la misma media muestral pero con 100 sujetos?
b) ¿Y si mantenemos el tamaño de la muestra y aumentamos el nivel de significación?
UNED Tudela
Problemas de contraste de hipótesis
SOLUCIONES:
Nº 1
Región de aceptación para la media: (12'14, 15'15). Se rechaza H o
Estadístico de contraste Z=2'11 que no está en (-1'96, 1'96). Se rechaza H o
p-valor=2P(Z>2'11)=0'0348
Como p≤α, se rechaza Ho (el que la media sea 14)
Nº 2
Media muestral=28'6
a) Ho: µ=26
b) Re. de aceptación: (25'5, 31'7), Región crítica: la complementaria
c) Como la media muestral, 28'6, está en la región de aceptación, aceptamos H o
Usando Z: Z=1,65. Como está entre -1'96 y 1'96, aceptamos H o.
Con el p-valor: p=2P(Z>1,65)=0'099 que es mayor que α, por lo que aceptamos H0
Nº 3
R. aceptación para la media; (43.746, 46.254)
Como la media muestral, 40.800 no está en la R.A., rechazamos H 0
Usando el estadístico Z, su valor es -6,56, que como no está entre -1'96 y 1,96, rechazamos H 0
Usando el p-valor: p=2P(Z>6,56)=2P(Z<-6,56)≈0, que como es menor que 0'05, rechazamos H 0
Con un nivel de significación del 1%, como p es menor que 0'01, también rechazamos H 0
Nº 4
a) R.A. para la media muestral: (484'3, 515'7)
Como la media muestral, 490 está en la R.A., se acepta H 0
Usando el estadístico Z: Z=-1'25, que como está entre -196 y 1'96, aceptamos H 0
Usando el p-valor: p=2P(Z>1'25)=2P(Z<-1'25)=0'2112, que como es mayor que 0'05,
aceptamos H0
b) Con un n.s. del 1%, la región de aceptación es más amplia, por lo que aceptaremos.
Con un n.s. del 10%, la región de aceptación es más reducida. No se sabe a priori si
aceptaremos o rechazaremos H0
c) potencia para 490= P(rechazar H0|siendo H0 falsa)=P(rechazar H0|siendo µ=490)=
=1 – P(aceptar H0|siendo µ=490) = 1 - P( 484'3 <Media muestral< 515'7|siendoµ=490) =
= (tipificando con µ=490 y σ=8) = 1 – P(-0'71<Z<3,21)=1 - (0'9993 – 0'2389) = 0'24
Nº 5
a) I.C. (16'76, 20'64)
b) Otra forma de hacer el contraste. Como la media poblacional, 18, está en el intervalo de
confianza, aceptamos H0 de que la media poblacional es 18.
c) R.A. para la media muestral: (16'6, 19'94)
potencia (para µ=19 ) =
1 – P(aceptar H0|siendo µ=19) = 1 - P( 16'06 <Media muestral<19'94|siendoµ=19) =
= (tipificando con µ=19 y σ=0'75 = 1 – P(-3'92<Z<0'01)=1 - (0'4960 – 0) = 0'504
Nº 6
a) Con un tamaño mayor, la región de aceptación disminuye (el error de estimación disminuye),
por lo tanto también rechzaríamos H0
b) Al aumentar el n.s. (disminuye el nivel de confianza), el error de estimación disminuye, por lo
tanto la región de aceptación disminuye y también rechzaríamos H 0