4. Propiedades de las series numéricas (5.03.2016)

4. Propiedades de las series numéricas
(5.03.2016)
1) Si intercalamos en la sucesión
{an }n∈N un número finito de términos de suma b,
P
el carácter de la serie n an no varı́a y, si converge, su suma aumenta en b.
D: Sea b1 + b2 + · · · + bq = b. Tomando una suma parcial suficientemente avanzada,
de modo que los contenga a todos, resulta
0
0
= lı́m (Sn + b)
= Sn + b =⇒ lı́m Sn+q
Sn+q
n→∞
n→∞
Entonces, por las propiedades de los lı́mites,
- Si Sn es convergente a S, Sn0 es convergente a S + b.
- Si Sn es divergente, Sn0 es divergente.
- Si Sn es oscilante, Sn0 es oscilante.
Nota: Si suprimimos en {an }n∈N un número finito de términos de suma b, el
carácter de la serie no varı́a y, si converge, su suma disminuye en b. Se demuestra
análogamente, sumando los opuestos de los términos que queremos suprimir.
2) Si multiplicamos todos los términos de una serie por un número real λ 6= 0, su
carácter no varı́a y, si converge, su suma queda multiplicada por λ.
D: La nueva sucesión de sumas parciales es
S10 = λa1
= λS1
0
S2 = λa1 + λa2
= λS2
..
.
Sn0 = λa1 + · · · + λan = λSn =⇒ lı́m Sn0 = lı́m (λSn ),
n→∞
n→∞
con lo que, por las propiedades de los lı́mites, ambas series tienen el mismo carácter.
3) Si una serie es convergente o divergente, se pueden sustituir varios términos
por su suma efectuada sin que varı́e el carácter (ni la suma, si converge).
D: Al sustituir algunos términos por su suma, la nueva sucesión de sumas parciales
{Sn0 } tendrá menos términos que la antigua {Sn }, pero todos los términos de la
nueva pertenecerán a la antigua. Es decir, S10 , S20 , . . . Sn0 es una subsucesión de
S1 , S2 , . . . Sn . Entonces Sn0 :
a) Tiene igual lı́mite que Sn , si ésta es convergente (prop. 7 de las sucesiones).
b) Diverge, si Sn es divergente. En efecto, al ser Sn0 subsucesión de Sn , los términos de Sn0 pertenecen también a Sn , por lo que cumplen la condición de
divergencia.
4) Si en una serie suprimimos los n primeros términos, la serie resultante se llama
resto de orden n: Rn = an+1 + an+2 + . . . Se cumple que el resto de orden n de
una serie convergente es convergente y su suma tiende a 0 cuando n → ∞.
P
D: Dada una serie convergente, su sumaPparcial de orden p es Sp = pi=1 ai y la
suma de la serie (que expresamos como ∞
i=1 ai ) valdrá S = lı́m Sp .
p→∞
Para un n dado, la serie resto
Pn Rn se obtiene eliminando de la inicial los n primeros
términos, de suma Sn = i=1 ai . Sus sumas
P parciales serán las de la serie inicial,
disminuidas en el valor Sn , es decir Rnp = pi=n+1 ai = Sp − Sn .
Entonces, haciendo p → ∞, la suma de la serie Rn será
Rn∞
=
∞
X
i=n+1
ai = lı́m (Sp − Sn ) = S − Sn ∈ R
p→∞
con lo que el resto Rn es una serie convergente.
Si ahora hacemos tender n → ∞, se cumple lı́m Rn∞ = lı́m (S − Sn ) = S − S = 0.
n→∞
P
n→∞
P
5) Dadas an y bn , llamamos combinación lineal deP
ambas a la serie de término
general la combinación lineal de términos generales, (αan + βbn ). La c. l. de
series convergentes es convergente y su suma es la c.l. de las sumas.
P
P
D: Si ambas series convergen, sus sumas parciales Sna = ni=1 ai y Snb = ni=1 bi
cumplirán: {Sna }n∈N → S a , Snb n∈N → S b . La suma parcial de la serie c.l.
P
P
P
será ni=1 (αai +βbi ) = α ni=1 ai +β ni=1 bi = αSna +βSnb y tendremos, ∀α, β ∈ R,
lı́m αSna + βSnb = α lı́m Sna + β lı́m Snb = αS a + βS b .
n→∞
n→∞
n→∞
6) (Sólo para series de términos positivos) Si alteramos el orden de los términos
de una serie de términos positivos no varı́a el carácter (ni la suma, si converge).
P
P 0
D: Sean
an y
an las mismas series con los términos en distinto orden.
Al tener ambas los mismos términos, para toda suma parcial de la primera podemos
encontrar una suma parcial de la segunda que la supere y viceversa; es decir
0
0
0
∀Sn ∃m / Sn ≤ Sm
y ∀Sm
∃ p / Sm
≤ Sp .
0
Entonces ∀n ∃ m, p / Sn ≤ Sm
≤ Sp . Como lı́m Sn = lı́m Sp , resulta que
n→∞
p→∞
0
- Si Sn converge, Sm
también lo hace (propiedad 6 de los lı́mites de sucesiones).
0
- Si Sn diverge a ∞, al ser Sn ≤ Sm
, ésta tambien lo hace.
Luego
0
lı́m Sn = lı́m Sm
(finito o infinito).
n→∞
m→∞
7) (Sólo para series de términos positivos) Si se agrupan un número finito
o infinito de términos de una S.T.P. o se descomponen en suma de términos
positivos, no se altera el carácter de la serie (ni la suma, si converge).
P
D: Una S.T.P. nunca es oscilante. Entonces, dada una serie
an :
P
a) Si agrupamos términos de an , por la P.3, no varı́an el carácter ni la suma.
P
b) Si,
cambio, descomponemos
términos de
an obtenemos otra S.T.P.
P en
P
0
0
an . Si, partiendo ahora de
an , agrupamos P
los términos que antes descompusimos,
obtenemos
de
nuevo
la
serie
inicial
an . Pero, por la P.3, ésta
P
P 0
an tendrá igual carácter y suma que
an .
Ası́ pues, tanto si agrupamos términos como si los descomponemos en suma de
términos positivos, no varı́an el carácter (ni la suma, si converge).