Propiedades de las series numéricas (18.03.2015)

Propiedades de las series numéricas
(18.03.2015)
1) Si intercalamos en la sucesión
{an }n∈N un número finito de términos de suma b,
P
el carácter de la serie n an no varı́a y, si converge, su suma aumenta en b.
D: Sea b1 + b2 + · · · + bq = b. Tomando una suma parcial suficientemente avanzada,
de modo que los contenga a todos, resulta
0
0
= lı́m (Sn + b)
= Sn + b =⇒ lı́m Sn+q
Sn+q
n→∞
n→∞
Entonces, por las propiedades de los lı́mites,
- Si Sn es convergente a S, Sn0 es convergente a S + b.
- Si Sn es divergente, Sn0 es divergente.
- Si Sn es oscilante, Sn0 es oscilante.
Nota: Si suprimimos en {an }n∈N un número finito de términos de suma b, el
carácter de la serie no varı́a y, si converge, su suma disminuye en b. Se demuestra
análogamente, sumando los opuestos de los términos que queremos suprimir.
2) Si multiplicamos todos los términos de una serie por un número real λ 6= 0, su
carácter no varı́a y, si converge, su suma queda multiplicada por λ.
D: La nueva sucesión de sumas parciales es
S10 = λa1
= λS1
0
S2 = λa1 + λa2
= λS2
..
.
Sn0 = λa1 + · · · + λan = λSn =⇒ lı́m Sn0 = lı́m (λSn ),
n→∞
n→∞
con lo que, por las propiedades de los lı́mites, ambas series tienen el mismo carácter.
3) Si una serie es convergente o divergente, se pueden sustituir varios términos
por su suma efectuada sin que varı́e el carácter (ni la suma, si converge).
D: Al sustituir algunos términos por su suma, la nueva sucesión de sumas parciales
{Sn0 } tendrá menos términos que la antigua {Sn }, pero todos los términos de la
nueva pertenecerán a la antigua. Es decir, S10 , S20 , . . . Sn0 es una subsucesión de
S1 , S2 , . . . Sn . Entonces Sn0 :
a) Tiene igual lı́mite que Sn , si ésta es convergente (prop. 7 de las sucesiones).
b) Diverge, si Sn es divergente. En efecto, al ser Sn0 subsucesión de Sn , los términos de Sn0 pertenecen también a Sn , por lo que cumplen la condición de
divergencia.
4) Si en una serie suprimimos los n primeros términos, la serie resultante se llama
resto de orden n: Rn = an+1 + an+2 + . . . Se cumple que el resto de orden n de
una serie convergente es convergente y su suma tiende a 0 cuando n → ∞.
P
D: Dada una serie convergente, su sumaPparcial de orden p es Sp = pi=1 ai y la
suma de la serie (que expresamos como ∞
i=1 ai ) valdrá S = lı́m Sp .
p→∞
Para un n dado, la serie resto
Pn Rn se obtiene eliminando de la inicial los n primeros
términos, de suma Sn = i=1 ai . Sus sumas
P parciales serán las de la serie inicial,
disminuidas en el valor Sn , es decir Rnp = pi=n+1 ai = Sp − Sn .
Entonces, haciendo p → ∞, la suma de la serie Rn será
∞
X
i=n+1
ai = lı́m (Sp − Sn ) = S − Sn ∈ R
p→∞
con lo que el resto Rn es una serie convergente.
Si ahora hacemos tender n → ∞, se cumple lı́m Rn = lı́m (S − Sn ) = S − S = 0.
n→∞
P
n→∞
P
5) Dadas an y bn , llamamos combinación lineal deP
ambas a la serie de término
general la combinación lineal de términos generales, (αan + βbn ). La c. l. de
series convergentes es convergente y su suma es la c.l. de las sumas.
P
P
D: Si ambas series convergen, sus sumas parciales Sna = ni=1 ai y Snb = ni=1 bi
cumplirán: {Sna }n∈N → S a , Snb n∈N → S b . La suma parcial de la serie c.l.
P
P
P
será ni=1 (αai +βbi ) = α ni=1 ai +β ni=1 bi = αSna +βSnb y tendremos, ∀α, β ∈ R,
lı́m αSna + βSnb = α lı́m Sna + β lı́m Snb = αS a + βS b .
n→∞
n→∞
n→∞
6) (Sólo para series de términos positivos) Si alteramos el orden de los términos
de una serie de términos positivos no varı́a el carácter (ni la suma, si converge).
P
P 0
D: Sean
an y
an las mismas series con los términos en distinto orden.
Al tener ambas los mismos términos, para toda suma parcial de la primera podemos
encontrar una suma parcial de la segunda que la supere y viceversa; es decir
0
0
0
∀Sn ∃m / Sn ≤ Sm
y ∀Sm
∃ p / Sm
≤ Sp .
0
Entonces ∀n ∃ m, p / Sn ≤ Sm
≤ Sp . Como lı́m Sn = lı́m Sp , resulta que
n→∞
p→∞
0
- Si Sn converge, Sm
también lo hace (propiedad 6 de los lı́mites de sucesiones).
0
- Si Sn diverge a ∞, al ser Sn ≤ Sm
, ésta tambien lo hace.
Luego
0
lı́m Sn = lı́m Sm
(finito o infinito).
n→∞
m→∞
7) (Sólo para series de términos positivos) Si se agrupan un número finito
o infinito de términos de una S.T.P. o se descomponen en suma de términos
positivos, no se altera el carácter de la serie (ni la suma, si converge).
P
D: Una S.T.P. nunca es oscilante. Entonces, dada una serie
an :
P
a) Si agrupamos términos de an , por la P.3, no varı́an el carácter ni la suma.
P
b) Si,
cambio, descomponemos
términos de
an obtenemos otra S.T.P.
P en
P
0
0
an . Si, partiendo ahora de
an , agrupamos P
los términos que antes descompusimos,
obtenemos
de
nuevo
la
serie
inicial
an . Pero, por la P.3, ésta
P
P 0
an tendrá igual carácter y suma que
an .
Ası́ pues, tanto si agrupamos términos como si los descomponemos en suma de
términos positivos, no varı́an el carácter (ni la suma, si converge).
Criterios de convergencia para S.T.P. (18.03.2015)
Estos cuatro criterios pueden enunciarse de dos formas. Para demostrarlos se utiliza
la primera de ellas, mientras que la segunda es más fácil de aplicar en la práctica. Si se
cumple la segunda condición, se cumple también la primera, como se muestra en 6.5.
6.5. Criterio de la raı́z (Cauchy-Hadamard).
√
P
m

an es convergente
 am ≤ k < 1 ⇒
a) Si ∀m ≥ n0

P
√
m a
an es divergente
m ≥ 1 ⇒

P

l<1⇒
an es convergente

P
√
n
b) Si ∃ lı́m an = l l > 1 ⇒
an es divergente
n→∞

√

l = 1 ⇒ dudoso, salvo si n an → 1+ (D)
P
√
D: • ∀m ≥ n0 , m am ≤ k < P
1 ⇒ am ≤ k m , k < 1 ⇒
an es minorante de una
geométrica convergente ⇒
an es convergente.
P
√
• ∀m ≥ n0 , m am ≥ 1 ⇒ am ≥ 1 ⇒
anPes mayorante de una serie divergente
o
an es divergente.
(la de t¯ general constante e igual a 1) ⇒
Nota: Si se cumple la condición con lı́mite, se cumple también la otra, pues:
√
1 , de modo que l < k < 1. Por las
• Si lı́m n an = l < 1, tomamos k = l +
2
n→∞
√
P
propiedades de los lı́mites, ∃n0 m am < k < 1, ∀m ≥ n0 ⇒ an converge.
√
P
√
• Si lı́m n an = l > 1, entonces ∃n0 m am > 1, ∀m ≥ n0 ⇒ an diverge.
n→∞
• Si lı́m
n→∞
√
n
an = 1+ , entonces ∃n0
√
P
m a
an diverge.
m ≥ 1, ∀m ≥ n0 ⇒
6.6 Criterio del cociente (D’Alembert).
a
P
m+1
an es convergente

 am ≤ k < 1 ⇒
a) Si ∀m ≥ n0

P
 am+1
≥
1
⇒
an es divergente
am
b) Si ∃ lı́m
n→∞
an+1
an

P

l < 1 ⇒ P an es convergente
=l l>1⇒
an es divergente

a

→ 1+ (D)
l = 1 ⇒ dudoso, salvo si an+1
n




∞
 an0 +1 ≤ k an0

X
2
am+1
a
≤
k
a
≤
k
a
n0 +2
n0 +1
n0
D: • ∀m ≥ n0 , am ≤ k < 1 ⇒
⇒
an ≤


 ...

n=n0
P
an0 (1 + k + k 2 + . . . ) ⇒ an converge (1 + k + k 2 + . . . es una S.G. de r < 1).
a
≥ 1 ⇒ am+1 ≥ am ⇒ {an } es monótona creciente, a partir de
• ∀m ≥ n0 , am+1
m
P
n = n0 . Al ser an > 0, ∀n ≥ n0 ⇒ lı́m an 6= 0 ⇒
an no converge, luego diverge.
n→∞
6.7. Criterio de Raabe-Duhamel (demostración en J. Burgos, pg. 456).
 P
am+1

m
1
−
≥
k
>
1
⇒
an es convergente

am

a) Si ∀m ≥ n0


m 1 − am+1 ≤ 1 ⇒ P a es divergente
n
am

P

l
>
1
⇒
an es convergente


P
an+1
an es divergente b) Si ∃ lı́m n 1 −
=l l<1⇒
n→∞

an

l = 1 ⇒ dudoso, salvo si n 1 − an+1 → 1− (D)
an
6.8. Criterio Logarı́tmico.

P
ln (1/am )

an es convergente

 ln m ≥ k > 1 ⇒
a) Si ∀m ≥ n0


P
 ln (1/am )
≤1⇒
an es divergente
ln m

P

l>1⇒
an es convergente


P
ln (1/an )
an es divergente
b) Si ∃ lı́m
=l l<1⇒
n→∞

ln n

l = 1 ⇒ dudoso, salvo si ln (1/an ) → 1− (D)
ln n
ln (1/am )
D: • ∀m ≥ n0 ,
≥ k > 1 ⇒ ln (1/am ) ≥ k ln m = ln mk ⇒ a1m ≥ mk ⇒
ln m P
am P
≤ 1/mk , k > 1 ⇒
an es minorante de una serie de Riemann, convergente
⇒ an es convergente.
ln (1/am )
1 ⇒ Pa
≤ 1 ⇒ ln (1/am ) ≤ ln m ⇒ a1m ≤ m ⇒ am ≥ m
• ∀m ≥ n0 ,
n
ln m
P
es mayorante de la serie armónica ⇒
an es divergente.
Series hipergeométricas
a. Definición. Son aquellas que cumplen:
(18.04.2012)
an+1
αn + β
=
(α > 0, γ 6= 0).
an
αn + γ
b. Carácter. Aplicamos el criterio de Raabe.
a
αn + β
γ−β
γ−β
=
lı́m
n
1
−
lı́m n 1 − an+1
=
lı́m
n
αn + γ
αn + γ = α .
n
n→∞
n→∞
n→∞
γ−β
α > 1 ⇐⇒ α + β < γ , la serie es convergente.
γ−β
• Si α < 1 ⇐⇒ α + β > γ , la serie es divergente.
γ−β
• Si α = 1 ⇐⇒ α + β = γ , caso dudoso (veremos al final que es divergente).
• Si
c. Suma. Utilizamos la relación ai+1 (αi + γ) = ai (αi + β) ∀i ∈ N.
i=1:
a2 ( α + γ) = a1 ( α + β)
i=2:
a3 (2α + γ) = a2 (2α + β)
i=3:
..
.
a4 (3α + γ) = a3 (3α + β)
..
.
i=n−1:
an ((n − 1)α + γ) = an−1 ((n − 1)α + β)
an (nα + β) = an (nα + β)
(añadimos una identidad)
Simplificamos los α en ambos lados y sumamos las igualdades que resultan. Llamando Sn a la suma de los n primeros términos, obtenemos:
(Sn − a1 ) γ + an (nα + β) = Sn (α + β) =⇒
Sn [γ − (α + β)] = a1 γ − an (nα + β) =⇒
Sn =
a1 γ
an (nα + β)
−
.
γ − (α + β) γ − (α + β)
|
{z
}
(1)
(2)
bn
a1 γ
− lı́m b .
γ
−
(α + β) n→∞ n
n→∞
Al existir S, el lı́m bn debe existir. Demostraremos que, además, es nulo. De no
Si α + β < γ, la serie converge, por lo que ∃S = lı́m Sn =
n→∞
serlo, a partir de la expresión (2) obtenemos
1
1
an (nα + β)
bn =
=⇒ lı́m bn =
lı́m an :
= k 6= 0,
n→∞
γ − (α + β)
γ − (α + β) n→∞
nα + β
P
P
1 , que
de donde resulta que la serie
an tendrı́a el mismo carácter que
nα + β
es divergente. Ası́ pues, la suma de una serie hipergeométrica vale
a1 γ
S=
, (α + β < γ).
γ − (α + β)
d. Caso dudoso. Si α + β = γ, a partir de la igualdad (1), resulta
a1 γ
0 = a1 γ − an (nα + β) =⇒ an =
(divergente).
nα + β
Carácter y suma de series (17.04.2015)
Se muestran a continuacion los principales pasos que conviene seguir en el estudio
del carácter y suma de una serie.
1.- Series de términos positivos.
Si se trata de una S.T.P., aplicamos alguno de los criterios estudiados, teniendo en
cuenta su mayor o menor adecuación al tipo de serie de que se trate. Para sumarla,
si converge, podemos reordenar sus términos, agruparlos o descomponerlos en suma
de términos positivos, pues no cambia la suma (propiedades 3, 6 y 7 de las series).
2.- Series de términos positivos y negativos.
Si la serie tiene infinitos
términos positivos e infinitos negativos, el primer paso es
P
estudiar la serie
|an |, con lo que obtenemos dos posibles resultados:
a) Convergente. Al ser la serie absolutamente convergente, es incondicionalmente convergente (Dirichlet), lo que nos permite reordenar o agrupar sus
términos, p. ej. separando positivos de negativos.
b) Divergente. Si sólo diverge una de las dos subseries (la positiva o la negativa), la serie diverge incondicionalmente a ±∞ (apdo. 7.1). Si divergen ambas
(será lo más frecuente), distinguimos dos casos:
b.1 Si se trata de una alternada, aplicamos el teorema de Leibnitz.
b.2 De lo contrario, recurrimos al método general: tomamos una suma parcial
Sn (donde podemos agrupar, simplificar, etc.) y estudiamos su lı́mite.
Nota. En ambos casos, si existe convergencia, es condicional (se cumple para
la ordenación de términos dada, pero puede no verificarse para otras).
3.- Caso particular: series convergentes que se descomponen en S.T.P.N.
En ocasiones, para sumar una serie convergente descomponemos su término general
an en sumas o diferencias de términos (bn ± cn ± . . . ), con lo que tenemos dos
posibilidades:
a) Si los términos bn , cn , . . . corresponden a series convergentes, aplicamos la
propiedad 5 (“la c.l. de seriesPconvergentes converge a la c.l. de
de
Plas sumas
P
las series”). Como la serie
an es combinación lineal de
bn , c n . . . ,
su
P suma
P valdrá Sb ± Sc ± . . . , siendo Sb , Sc , . . . las sumas de las series
bn , cn , . . . , respectivamente.
b) Si dos o más de los términos bn , cn , . . . corresponden a series divergentes,
debemos analizar Sn , aplicando alguno de los métodos estudiados: telescópicas, descomposición en fracciones, series In y Pn , etc.
1
converge por comparación con 12 y su
n(n + 1)
n
1 − 1 (diferencia de términos generales de
término general se descompone en n
n+1
series divergentes).
Ejemplo (resuelto en clase):
P
Ejercicio. Hemos distinguido las posibilidades a) (todas convergentes) y b) (dos
o mas divergentes). Razónese que no puede ocurrir que sólo uno de los términos
bn , cn , . . . corresponda a una serie divergente.
Ejercicios resueltos de suma de series (6.04.16)
a) Descomposición de
P
an en suma o diferencia de series convergentes.
Utilizamos la P.5 de las series: “La combinación lineal de series convergentes es convergente y su suma es la c. l. de las sumas”. Si al descomponer el término general de la
serie resulta an = bn ± cn , donde bn yPcn corresponden
a series convergentes de sumas Sb
P
y Sc , la serie estudiada será c. l. de
bn y
cn . Entonces su suma será Sa = Sb ± Sc .
∞
∞
X
X
1
π2
2n2 + 2n + 1
.
,
tomando
como
dato
=
Ej. 1.- Calcular
2
2
2
6
n
(n
+
1)
n
n=1
n=1
Descomponemos 2n2 + 2n + 1 = n2 + n2 + 2n + 1 = n2 + (n + 1)2 =⇒ an =
Entonces
∞
X
n=1
1
1
.
2+
n
(n + 1)2
∞
∞
X
X
1
1
π2 π2
π2
an =
+
=
+
−1=
− 1.
6
6
3
n2 n=1 (n + 1)2
n=1
∞
X
2n + 1
1
1
.
2 . Observamos que an = · · · = 2 −
n (n + 1)
n
(n + 1)2
n=1
2
∞
∞
∞
X
X
X
2n + 1
1
1
π2
π
Por lo tanto
=
−
=
−
− 1 = 1.
6
6
n2 (n + 1)2
n2 n=1 (n + 1)2
n=1
n=1
Ej. 2.- Calcular
2
Nota 1.: En ambos ejercicios es fácil ver previamente que la serie que estudiamos
2
converge (an ∼ α con α > 1). Pero no es imprescindible hacerlo, pues se descomponen
n
en suma o diferencia de convergentes, luego serán convergentes.
Nota 2.: El Ej. 2. puede también resolverse como serie telescópica.
b) Descomposición de an en suma o diferencia de series divergentes.
Si varios de los términos en que se descompone an corresponden a series divergentes,
no podemos sumarlos por separado, sino que hay que estudiar una suma parcial del
término general en conjunto. En el siguiente ejemplo, que se resolvió en clase por otro
método, se utiliza la serie armónica.
∞
X
3/2
2
1/2
n+2
. Descomponemos el to¯ general: an =
− +
.
Ej. 3.- Obtener
3
n−1 n n+1
n −n
n=2
La suma parcial vale:
n
n
n
n
X
X
3/2
2
1/2
3X 1
1 1X 1
Sn =
=
− +
−2
+
=
n
−
1
n
n
+
1
2
i
−
1
i
2
i
+
1
i=2
i=2
i=2
i=2
3 1 1
1
1
1
1 1
1
+ ···
−2
+ ···
+
+ ···
=
2 1 2
n−1
2
n
2 3
n+1
3
1
1
1
1
Hn −
− 2 (Hn − 1) +
Hn − 1 − +
=
2
n
2
2 n+1
3
1
3 1
1 1
13
5
3
1
5
−2+
Hn −
+2+
−
= −
+
=⇒ lı́m Sn =
n→∞
2
2
2n
2 n+1 2 2
4 2n 2n + 2
4
∞
X
1
1
Propuesto:
. Solución: S = .
3
4
n −n
n=2
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Test de Autoevaluación
Tema III. Series numéricas
(12 minutos)
Nota: Se marcarán con V las afirmaciones que se consideren correctas y con F
las consideradas falsas. Se puntuarán con +1 los aciertos, –1 los fallos y 0 las
respuestas en blanco. Los ejercicios 9.1 a 9.4 valen +1 (correcto) o 0.
• 1.-
Decimos que
P
an es divergente si y sólo si lı́m
n
X
n→∞
ai = ±∞.
i=1
• 2.-
Si lı́m an 6= 0, la serie es divergente.
n→∞
• 3.-
La suma del resto de orden n de una serie convergente tiende a 0 cuando n → ∞.
• 4.-
Sea una serie de términos positivos y negativos. Sea la suma parcial Sn =
n
X
ai =
i=1
n n X
X
P
a+ −
a− = Sn+ − Sn− . La serie
an converge incondicionalmente si y sólo si
i
i
i=1
i=1
convergen Sn+ y Sn− .
P
• 5.- Si
an es absolutamente divergente, entonces es incondicionalmente divergente.
• 6.-
Las series de término general
descomposición en fracciones simples.
Pk (n)
son convergentes y pueden sumarse por
Qk (n)
1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 − 1 . . . calcularemos el
• 7.- Para sumar 1 + 15 + 31 − 21 + 17 + 11
9 4 13 17 15 6
términos. El método es válido porque
lı́mite de la suma parcial de
X P3 (n)
• 8.- Para sumar
, hemos de realizar la descomposición:
(n + 3)!
n∈IN
P3 (n) = A + B(n + 3) + C(n + 3)(n + 2) + D(n + 3)(n + 2)(n + 1).
9.-
Averiguar el carácter de las series siguientes:
P 1
• 9.1 , α>1:
αn
P 1
• 9.2 , α>1:
nα
P 1
• 9.3 :
ln n
P
1
• 9.4 :
n + ln n
Nota (sobre 12):
.
.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Test de Autoevaluación
Tema III. Series numéricas
(12 minutos)
SOLUCIONES
• 1.- F.
P
n
X
ai = ∞
an es divergente si y sólo si lı́m |Sn | = lı́m n→∞
n→∞ i=1
• 2.- F. Si lı́m an 6= 0, la serie no cumple la condición necesaria de convergencia, luego
n→∞
será divergente u oscilante.
• 3.- V. Propiedad 4 de las series numéricas.
• 4.- V. Ver apdo. 7.1 (Convergencia y divergencia absoluta e incondicional).
P
• 5.- F. Si
an es incondicionalmente divergente, entonces es absolutamente divergente
(segundo teorema de Dirichlet).
• 6.- F. Si numerador y denominador tienen grado k, el término general no tiende a cero,
luego la serie no converge.
• 7.- Calcularemos el lı́mite de una suma parcial de 4n términos. En cada grupo de 4
términos habrá 3 positivos y uno negativo, por lo que en S4n habrá
3n positivos y n
√
negativos. Se cumplirá: S4n = I3n − Pn y la suma valdrá S = ln 2 3.
Este método es válido porque lı́m an = 0, de modo que las sumas parciales de cualquier
n→∞
otro tipo (S4n+1 , S4n+2 , S4n+3 ) tendrı́an el mismo lı́mite. Efectivamente, para i = 1, 2, 3,
se verifica lı́m S4n+i = lı́m (S4n + an+1 + . . . + an+i ) = lı́m S4n .
n→∞
n→∞
n→∞
• 8.- V. Ver apdo. 8.4 del programa.
9.-
Carácter de las series:
• 9.1- Convergente. Geométrica de razón 1/α < 1.
• 9.2- Convergente. Serie de Riemann, con α > 1.
• 9.3- Divergente. Mayorante de la armónica.
1 , término
• 9.4- Divergente. El término general an es equivalente al infinitésimo n
general de la armónica, divergente.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Tema III. Series numéricas
Cuestión de autoevaluación
(5 minutos)
Cuestión.
P
Sea la serie
an de términos positivos. ¿Qué sabemos –y porqué– de su carácter
(convergente, divergente, oscilante, condicional, incondicional)?
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Solución a la cuestión
Tema III. Series numéricas
(5 minutos)
Cuestión.
P
Sea la serie
an de términos positivos. ¿Qué sabemos –y porqué– de su carácter
(convergente, divergente, oscilante, condicional, incondicional)?
Solución.
P
Si
an es de términos positivos (ai ≥ 0 ∀i ∈ IN), la sucesión de sumas parciales
S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; . . . Sn = a1 + a2 + . . . an ; . . .
verifica
S1 ≤ S2 ≤ S3 ≤ . . .
es decir, será monótona creciente. Si está acotada, la serie será convergente (pues toda
sucesión monótona creciente acotada superiormente es convergente). De lo contrario,
será divergente a +∞. Es decir, una serie de términos positivos nunca es oscilante.
La propiedad 6 de las series dice que “si alteramos el orden de los términos de una serie de
términos positivos no varı́a el carácter, ni la suma si es convergente”. Esto significa que el
carácter de las series de términos positivos es siempre incondicional.
P
Podemos pues afirmar que el carácter de la serie
an sólo puede ser incondicionalmente
convergente o incondicionalmente divergente.