El sistema de la figura se compone de una varilla de masa 3ǫm y

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
APELLIDOS, NOMBRE:
GRUPO:
Mecánica II Problema de Dinámica del Punto
Curso: 07/08
Fecha: 11.6.2008
El sistema de la figura se compone de una varilla de masa 3ǫ m y longitud L articulada en
el origen O de un sistema de referencia inercial Oxyz y una partı́cula material M de masa m
que desliza sin rozamiento por la varilla; ésta, a su vez, está obligada mediante ligadura ideal
a describir el plano horizontal Oxy. En el instante inicial, t = 0, la partı́cula M se sitúa a
una distancia d del origen O, la varilla se encuentra situada sobre el eje Ox y en su extremo
~ = P ~j que comunica al conjunto una velocidad de rotación ω
libre se aplica una percusión P
alrededor de la vertical Oz. Para describir la dinámica del sistema se usarán, como coordenadas
generalizadas, las coordenadas polares (r, θ) de la partı́cula M .
Se pide:
1.- Determinar el valor de la percusión P . ¿ Cuales son las condiciones iniciales para (r, θ)?
2.- Deducir, razonadamente, las ecuaciones que gobiernan la evolución temporal de las coordenadas generalizadas (r, θ) en el movimiento posterior a la percusión.
3.- Deducir, razonadamente, dos integrales primeras de las ecuaciones del movimiento.
4.- Reducir el problema a cuadraturas.
5.- Realizar un análisis cualitativo del movimiento determinando, en particular, una expresión
que proporcione el tiempo que tarda la partı́cula M en abandonar la varilla.
6.- Describir claramente el movimiento en el caso en que ǫ = 0. Determinar la posición y
velocidad de M en el instante en que abandona la varilla. Valor de la reacción normal que
la varilla introduce sobre la partı́cula.
Se pretende describir la influencia de la masa de la varilla en el movimiento de M . Para ello, se
supone ǫ 6= 0 y pequeño, esto es, ǫ ≪ 1. Las cuadraturas obtenidas se desarrollan en potencias
de ǫ, se retienen los términos de orden ǫ y se desprecian los términos de orden superior. De esta
forma se describe la influencia incipiente de la masa de la varilla en el movimiento de M .
7.- Valor de la reacción normal que la varilla introduce sobre la partı́cula.
8.- Describir cualitativamente las diferencias más importantes que se obtienen con el caso ǫ = 0.
y
z
y
M
r
~
P
M
O
d
θ
x
O
x
Figura 1: Coordenadas generalizadas (r, θ): coinciden con las coordenadas polares de la partı́cula M
Puesto que las fuerzas externas que actúan sobre el sistema no dan momento en el origen O el mo1.-) Se aplica la ecuación de momento cinético
mento cinético se conserva. Se tiene ası́ la relación:
tomando momentos en O:
"
2 #
d
2
2
2
2
2
~ O = P L ~k
(r + ǫL )θ̇ = ωL ǫ +
(5)
∆H
⇒
mω(d + ǫL ) = P L
L
Solución:
y de ella se despeja el valor de P :
"
2 #
d
P = mωL ǫ +
L
4.-) Si se elimina θ̇ entre las ecuaciones (4-5)
se llega a una ecuación en la variable r que resulta
ser:
s
2 r 2
dr
r − d2
d
= ±ωL ǫ +
dt
L
r2 + ǫL2
Las condiciones iniciales para las coordenadas en la que ha de tomarse el signo (+) pues en el
instante inicial r̈ = dω 2 > 0. Llamando
y velocidades generalizadas son:
s
2
d
Ω=ω ǫ+
r0 = d, θ0 = 0, ṙ0 = 0, θ̇0 = ω
L
2.-) Si se aı́sla la partı́cula M y se aplica la
ecuación de cantidad de movimiento se tiene:
m(r̈ − rθ̇2 )~ur +
m d 2
(r θ̇)~uθ = N ~uθ
r dt
se obtiene la cuadratura:
Z r√ 2
r + ǫ L2
√
dr
Ωt =
2
2
d L r −d
(6)
que depende de la solución de una integral impropia
convergente.
siendo N ~uθ la reacción normal que la varilla introLa ecuación (5), teniendo en cuenta el resultado
duce sobre la partı́cula. De esta ecuación vectorial
de
(6),
conduce a una nueva cuadratura que adopta
se deducen las siguientes ecuaciones escalares:
la forma:
Z
m d 2
Ω r
Ldr
(r θ̇)
r̈ − rθ̇2 = 0,
N=
p
θ
=
(7)
r dt
ω d
(r2 − d2 )(r2 + ǫ L2 )
Si se aı́sla la varilla y se aplica la ecuación de moy que proporciona, en coordenadas polares, la
mento cinético en el origen O se tiene:
trayectoria seguida por la partı́cula M .
d
5.-) Nótese que el integrando de la cuadratura
(1)
(ǫmL2 θ̇) = −N r
dt
(6) es siempre positivo; por tanto la función t = t(r)
Introduciendo en esta ecuación el valor de N deter- que determina dicha cuadratura es monótona creciente. Ası́, según el tiempo crece el valor de r crece
minado previamente se llega a:
hasta que se alcanza el valor r = L, instante en el
d 2
que la partı́cula abandona la varilla y comienza un
r θ̇ + ǫL2 θ̇ = 0
movimiento como punto material libre. El tiempo
dt
Tf que tarda en alcanzarse esta condición está daEn resumen, las ecuaciones que gobiernan el
do por la integral
movimiento del sistema son:
Z √
1 L r 2 + ǫ L2
2
√
dr
(8)
Tf =
r̈ − rθ̇ = 0
(2)
Ω d L r2 − d2
2
2
r θ̇ + ǫL θ̇ = c
(3) que es convergente y finita. Por tanto, en un tiempo
finito la partı́cula abandona la varilla. El valor θf
donde c es una constante determinada por las condidel ángulo θ en ese instante está dado por:
2
2
ciones iniciales (su valor es c = ωL [ǫ + (d/L) ]).
Z
Ω L
Ldr
3.-) Dado que sobre el sistema no actúan
p
θf =
(9)
2
ω d
(r − d2 )(r2 + ǫ L2 )
fuerzas directamente aplicadas y las fuerzas de ligadura no realizan trabajo la ecuación de la ener6.-) Si ǫ = 0 la cuadratura (6) se convierte en
gı́a proporciona un integral primera y la energı́a
Z r
cinética se conserva:
p
rdr
√
Ωt =
⇒ r = d2 + L2 Ω2 t2
2
2
dT
d L r −d
= 0 ⇒ T = T0
dt
Ahora bien, el producto ΩL cuando ǫ = 0 resulta
ser ΩL = ωd. Ası́ se tiene
Esta ecuación proporciona:
p
"
2 #
r = d 1 + ω 2 t2
d
(4)
ṙ2 + (r2 + ǫL2 )θ̇2 = ω 2 L2 ǫ +
L
La relación (7) proporciona:
Z
donde ya se han tenido en cuenta las condiciones
Ω r
Ldr
√
θ=
iniciales.
ω d r r2 − d2
sobre la partı́cula:
Con el cambio de variable
d
= cos ξ
r
N = −ǫmL2
la integral se reduce a θ = ξ y por tanto se verifica
la condición d = r cos θ que nos dice que la trayectoria recorrida por la partı́cula es una recta paralela
al eje Oy. Dicha recta se recorre con velocidad constante dω igual a la velocidad inicial de la partı́cula.
Del valor anterior obtenido para r se deduce:
1
cos θ = √
1 + ω 2 t2
⇒
tan θ = ωt
θ̈
r
Si se pretende determinar N salvo términos de orden superior, basta con introducir en el segundo
miembro de esta ecuación los valores de (r, θ) determinados en el análisis anterior (cuando ǫ = 0).
Ası́ se llega a la siguiente expresión
N ≈ǫ
2ωt
mL2 ω 2
d
(1 + ω 2 t2 )3/2
Nótese que, al ser ǫ = 0 el valor de la reacción nor8.-) Dado que N es positivo siempre, sobre la
mal es N = 0; la varilla, al no tener masa, no intropartı́cula actuará una componente en dirección −~i.
duce ninguna fuerza sobre la partı́cula que evoluComo consecuencia, la trayectoria dejara de ser recciona como si estuviese libre.
ta y se curvará hacia la izquierda. El tiempo que
7.-) Si se observa la ecuación (1) se puede de- tarda en desprenderse la partı́cula de la varilla se
spejar la reacción normal N que la varilla introduce incrementará.