Programación Lineal - Modelos para la Toma de Decisiones 3 SEP 20

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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas
Departamento de Administración de Empresas
MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones
en honor a Carlos Dreyfus
PROGRAMA GENERAL
Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro
ministerio@atalayadecristo.org ;
rubenestrella@atalayadecristo.org ; rd_estrella@hotmail.com
www.atalayadecristo.org
SEPTIEMBRE, 2008
•
Modelos de Programación Lineal.
o Método Gráfico.
o Método Simplex.
o Método PERT.
o Diagrama de Gantt.
•
Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal.
• Bibliografía de Programación Lineal.
o
ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos
Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena
Edición. 2004 - Séptima Edición. 1999.
o
ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación
Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International
Thomson Editores: Primera Edición. 2003.
o
HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para
Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008.
o
HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para
Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima
edición 2003.
o
BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis
Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000.
o
BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis
Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.
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2
o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN
LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia
Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República
Dominicana: Tercera Edición, 1994.
o
HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introducción a la Investigación
de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997.
o
CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de la
Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995.
o
EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and
WEATHERFORD Larry.
Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000.
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• Modelos de Programación Lineal.
La Programación Lineal es una de la más vieja y aún una de las más
importantes herramientas de la investigación de operaciones, se utiliza
cuando un problema se puede describir utilizando ecuaciones y
desigualdades que son todas lineales.
La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática de optimización.
Por técnica de optimización se entiende un método que trata de maximizar o
minimizar un objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar
los costos. La programación lineal es un subconjunto de un área más
extensa de procedimientos de optimización matemática llamada
Programación Matemática.
La Programación Lineal trata la planeación de las actividades para
obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta
especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de
solución.
La Programación Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en
ninguna de las relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable
aleatoria. Por consiguiente, el problema de maximizar la función objetivo,
sujeta a las distintas restricciones, es conceptualmente simple. Cuando hay
sólo unas pocas variables, el sentido común y algo de aritmética pueden dar
una solución, y es que así se han resuelto esos problemas por generaciones.
Sin embargo, como es frecuente, la intuición es poco valida cuando el
problema es más complejo; ya que cuando el número de variables de
decisión aumenta de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafía los
procedimientos empíricos. La programación lineal ha hecho posible
manejar de una manera ordenada, problemas con grandes cantidades de
restricciones.
Esta técnica tiene excepcional poder y aplicación general. Es
aplicable a una gran variedad de problemas organizacionales de los negocios
modernos y puede manejarse como una rutina con la ayuda de los
computadores actuales. Es una de las técnicas cuantitativas que le ha dado a
la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto de problemas que
admitían sólo soluciones parciales hasta hace pocos años.
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En todo problema de programación lineal hay que tomar ciertas
decisiones. Estas se representan con variables de decisión xj que se utilizan
en el modelo de programación lineal. La estructura básica de un problema
de este tipo es maximizar o minimizar la función objetivo, satisfaciendo al
mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o restricciones (que
limitan el grado en que se puede perseguir algún objetivo).
La función objetivo.
En un problema de programación lineal, la función por maximizar o
minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existe un
numero infinito de soluciones para el sistema de restricciones (llamadas
soluciones factibles o puntos factibles), la meta es encontrar una que sea una
solución óptima (esto es, una que dé el valor máximo o mínimo de la
función objetivo).
Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad.
Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones
permisibles. Algunos ejemplos específicos de tales restricciones son:
1. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a
su disposición. Las decisiones están limitadas por la cantidad de
capital disponible y por las regulaciones gubernamentales.
2. Las decisiones del administrador de una planta están limitadas por
la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos.
3. Los planes de una aerolínea para llevar a cabo la asignación del
personal y los vuelos están restringidos por las necesidades de
mantenimiento de los aviones y por la cantidad de empleados
disponibles.
El Modelo de programación lineal se ocupa de maximizar o minimizar
una función objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:
1. Restricciones estructurales.
2. Restricciones de no negatividad.
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Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitación de
recursos y otras situaciones que impone la situación del problema.
Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable
de decisión sea negativa.
El Método Gráfico
Este método se fundamenta en la versión gráfica que presentemos de
todas las restricciones planteadas; las cuales se superpondrán una sobre otra,
hasta llegar a limitar un área, denominada área factible.
El procedimiento más funcional para la aplicación de este método es
introducir una pequeña modificación en las restricciones, las cuales
generalmente están planteadas como inecuaciones, transformándolas en
ecuaciones.
Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica
aplicamos el método de los interceptos consistente en determinar los puntos
donde la recta intercepta los ejes (X e Y).
Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta
dependiendo del tipo de inecuación.
Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima
de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del
gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las
restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto
en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero
infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o
minimice la función objetivo.
La condición de no negatividad hace que el grafico de la restricción X1,
X2 ≥ 0, sea todo en el primer cuadrante.
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Caso I.
Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de producción
para dos artículos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas
de mano de obra. Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6
horas de obra al máximo. Mientras que el producto x2 usaría 8 unidades de
material y 12 horas de mano de obra. El margen de beneficio es el mismo
para ambos artículos US$5. El fabricante prometió construir por lo menos
dos artículos del producto x1 Determinar la cantidad a producir y vender de
cada artículo que garanticen mayores beneficios.
Función objetivo: Z = 5x1 + 5x2
Restricciones
x1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad)
12x1 + 8x2 ≤ 96
6x1 + 12x2 ≤ 72
x1 ≥ 2
Maximice: Z = 5x1 + 5x2
1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.
12x1 + 8x2 = 96
6x1 + 12x2 = 72
x1 = 2
2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de
las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 12x1 + 8x2 = 96
a) Si x2 = 0 implica
b) Si x1= 0 implica
12x1 + 8(0) = 96
12x1 = 96
x1 = 96/12
x1 = 8
(8,0)
12(0) + 8x2 = 96
8x2 = 96
x2 = 96/8
x2 = 12
(0,12)
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Para 6x1 + 12x2 = 72
a) Si x2 = 0 implica
6x1 + 12(0) = 72
6x1 = 72
x1 = 72/6
x1 = 12
(12,0)
b) Si x1= 0 implica
6(0) + 12x2 = 72
12x2 = 72
x2 = 72/12
x2 = 6
(0,6)
Para x2 = 2
(2,0)
3. Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima
de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del
gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las
restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto
en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero
infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o
minimice la función objetivo.
Para 12x1 + 8x2 = 96
(8,0)
(0,12)
Para 6x1 + 12x2 = 72
(12,0)
(0,6)
Para x2 = 2
(2,0)
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Esta área factible tiene los siguientes vértices (8,0), (6,3), (2,0) y (2,5). Es
preciso aclarar que cualquier punto que caiga dentro del área factible
garantiza beneficios, pero son los puntos extremos o vértices de la figura lo
que garantizarían máximos beneficios.
Maximice: Z = 5x1 + 5x2
En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40
En el punto (6,3) implica Z = 5(6) + 5(3) = $45
En el punto (2,0) implica Z = 5(2) + 5(0) = $10
En el punto (2,5) implica Z = 5(2) + 5(5) = $35
El mayor valor es $45 lo que implica que habrá que vender 6 unidades del
producto x1 y 3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores beneficios.
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Caso II.
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos
alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas.
Los requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas
W, 50 unidades de vitamina X y 49 de unidades vitaminas Y, cada onza de
alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina
X y unidades de vitamina Y, cada onza de alimento B proporciona 10
unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y. El alimento A
cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza.
Vitamina W
Vitamina X
Vitamina Y
Costo
Requerimiento
Alimento A Alimento B Vitamínico Mín.
4unids/onza 10unids/onza
40
10unids/onza 5unids/onza
50
7unids/onza 7unids/onza
49
5cents/onza 8cents/onza
Determinar la combinación que disminuirá los costos:
Función Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B
Restricciones:
A, B ≥ 0
4A + 10B ≥ 40
10A + 5B ≥ 50
7A + 7B ≥ 49
1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.
4A + 10B = 40
10A + 5B = 50
7A + 7B = 49
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2. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de
las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 4A + 10B = 40
a) Si B = 0 implica
4A + 10(0) = 40
4A = 40
A = 40/4
A = 10
(10,0)
b) Si A = 0 implica
Para 10A + 5B = 50
a) Si B = 0 implica
b) Si A = 0 implica
Para 7A + 7B = 49
a) Si B = 0 implica
b) Si A = 0 implica
4(0) + 10B = 40
10B = 40
B = 40/10
B=4
(0,4)
10A + 5(0) = 50
10A = 50
A = 50/10
A=5
(5,0)
10(0) + 5B = 50
5B = 50
B = 50/5
B = 10
(0,10)
7A + 7(0) = 49
7A = 49
A = 49/7
A=7
(7,0)
7(0) + 7B = 49
7B = 49
B = 49/7
B=7
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(0,7)
3. Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima
de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del
gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las
restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto
en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero
infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o
minimice la función objetivo.
Para 4A + 10B = 40
(10,0)
(0,4)
Para 10A + 5B = 50
(5,0)
(0,10)
Para 7A + 7B = 49
(7,0)
(0,7)
Región
Factible
Minimizar C = 5A + 8B
a) En el punto (10,0)
b) En el punto (4.2,2.5)
a) En el punto (2.2,5)
a) En el punto (0,10)
implica C = 5(10) + 8(0) = $50
implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41
implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51
implica C = 5(0) + 8(10) = $80
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El menor costo a que se podría comprar es a $41, pero esto implicaría 4.2
onzas del producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendría el nivel
vitamínico.
Caso III.
Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los
departamentos 1 y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de
trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. También
se incluyen las capacidades de horas de trabajo semanales en ambos
departamento y los márgenes respectivos de utilidad que se obtienen con los
dos productos. El problema consiste en determinar el número de unidades
que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la
aportación total a los costos fijos y a las utilidades.
Producto A
Departamento 1 3h/unidad
Departamento 2 4h/unidad
Margen de utilidad $5/unidad
Capacidad de
Producto B Trabajo semanal
3h/unidad
120h
6h/unidad
260h
$6/unidad
Si se supone que x1 y x2 son el número de unidades fabricadas y vendidas,
respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la
aportación a las utilidades totales sumando las contribuciones de ambos
productos. La que hace cada uno se obtiene al multiplicar el margen de
utilidad por unidad por el número de unidades producidas y vendidas. Si z
se define como la aportación a los costos y utilidades totales, se tendrá:
Z = 5x1 + 6x2
Las restricciones vienen dada de la siguiente forma:
3x1 + 2x2 ≤ 120
4x1 + 6x2 ≤ 260
departamento 1
departamento 2
El modelo de programación lineal que representa el problema se formula así:
Maximice Z = 5x1 + 6x2
Sujeta a
3x1 + 2x2 ≤ 120
4x1 + 6x2 ≤ 260
x1 ≥ 0
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x2 ≥ 0
4. Convertimos las restricciones en ecuaciones.
Inecuaciones o Desigualdades lineales
3x1 + 2x2 ≤ 120 departamento 1
4x1 + 6x2 ≤ 260 departamento 2
Ecuaciones o Igualdades lineales
3x1 + 2x2 = 120 departamento 1
4x1 + 6x2 = 260 departamento 2
5. Utilizamos el método del intercepto determinamos los puntos que de
las respectivas líneas rectas interceptan los ejes.
Para 3x1 + 2x2 = 120
a) Si x2 = 0 implica
b) Si x1= 0 implica
Para 4x1 + 6x2 = 260
a) Si x2 = 0 implica
b) Si x1= 0 implica
3x1 + 2(0) = 120
3x1 = 120
x1 = 120/3
x1 = 40
(40,0)
3(0) + 2x2 = 120
2x2 = 120
x2 = 120/2
x2 = 60
(0,60)
4x1 + 6(0) = 260
4x1 = 260
x1 = 260/4
x1 = 65
(65,0)
4(0) + 6x2 = 260
6x2 = 260
x2 = 260/6
x2 = 43.33
(0,43.33)
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6. Graficamos.
Si la restricción tiene el signo ≥ se sombrea a la derecha y por encima
de la línea, pero si el signo es ≤ se subraya a la izquierda por debajo del
gráfico de la línea recta. La región que satisface de manera simultanea las
restricciones ya sombreada se llama área o región factible, donde cada punto
en esta región representa una solución factible. Aunque existe un numero
infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que maximice o
minimice la función objetivo.
Para 3x1 + 2x2 = 120
(40,0)
(0,60)
Para 4x1 + 6x2 = 260
(65,0)
(0,43.33)
3x1+2x2≤120
4x1+6x2≤260
7. Ya que la función objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a:
6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6
x2 = -5/6 x1 + Z/6
Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de –5/6
e intersección de y (0, Z/6).
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La pendiente de la función objetivo es –5/6, y no recibe el influjo del
valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos
variables de la función objetivo.
La intersección con el eje x2 está definida por (0,Z/6). Desde ella se
advierte que, al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la intersección
con el eje x2. Si Z aumenta el valor, también lo hace la intersección con el
eje x2, lo cual significa que la línea de utilidades iguales se desplaza hacia
arriba y hacia la derecha. Si quisiéramos maximizar las utilidades,
tendríamos que desplazar la línea de utilidades lo más afuera posible, sin
dejar de tocar un punto dentro del área de las soluciones factibles.
Una vez definida el área factible usted puede tratar de encontrar la solución
óptima, identificando combinaciones de los dos productos que generen un
nivel de utilidad previamente establecido, por ejemplo:
a) 5x1 + 6x2 = $120
b) 5x1 + 6x2 = $180
c) 5x1 + 6x2 = $240
8. A partir de la figura anterior vemos que el punto o vértice A del área
factible pertenece a las rectas:
3x1 + 2x2 = 120 departamento 1
4x1 + 6x2 = 260 departamento 2
Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior.
Por igualación:
x1 = 120 - 2x2
3
x1 = 260 - 6x2
4
120 - 2x2 = 260 - 6x2
3
4
480 - 8x2 = 780 - 18x2
- 8x2 = 300 - 18x2
10x2 = 300
x2 = 30
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3x1 + 2(30) = 120
3x1 = 60
x1 = 60/3
x1 = 20
Por eliminación:
3x1 + 2x2 = 120 (-4)
4x1 + 6x2 = 260 (3)
-12x1 - 8x2 = -480 departamento 1
12x1 +18x2 = 780 departamento 2
10x2 = 300
x2 = 30
3x1 + 2(30) = 120
3x1 = 60
x1 = 60/3
x1 = 20
Al deslizarse hacia fuera, el último punto que debe tocarse es A. Este punto
se encuentra en la línea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30
unidades, respectivamente, de los productos A y B.
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Ejercicios Propuestos. Optimice cada situación basado en el modelo gráfico
e interprete los resultados.
Caso I.
Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno
requiere para su fabricación del uso de tres maquinas, A, B y C. La tabla
siguiente da la información relacionada con la fabricación de estos artículos.
Cada artículo manual requiere del uso de la maquina A durante 2 horas, de la
maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un articulo eléctrico
requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora de la
maquina C. Además, supongamos que el numero máximo de horas disponibles
por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100,
respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 y por cada
artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede
producir, ¿cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar
la utilidad mensual?
Máquina A
Máquina B
Máquina C
Utilidad/unidad
Artículo
Manual
2
1
1
$4
Artículo
Eléctrico
1
2
1
$6
Horas
Disponibles
180
160
100
Caso II.
Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y
C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80
unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el
mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5
unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, y contiene
2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea minimizar el costo
mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, ¿cuántas bolsas de
cada marca debe comprar? La información se resume como sigue:
Nutriente A
Nutriente B
Nutriente C
Costo/bolsa
Crece
Rápido
3 unidades
5 unidades
1 unidad
$8
Crece
Fácil
2 unidades
2 unidades
2 unidades
$6
Unidades
Requeridas
160
200
80
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Caso III.
Resuelva por el Método Gráfico:
Maximizar
5000E + 4000F
E+F≥5
10E + 15F ≤ 150
20E + 10F ≤ 160
30E + 10F ≥ 135
E, F ≥ 0
(Máxima contribución a las ganancias)
(Requisito de Producción Mínima)
(Capacidad en el Departamento A)
(Capacidad en el Departamento B)
(Horas de trabajo empleadas en las pruebas)
(Condición de no negatividad)
Caso IV.
Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitiría el
traslado de una oficina del sector financiero.
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Descripción
Seleccionar sitio de oficinas
Crear plan organizacional y financiero
Determinar requerimiento de personal
Diseñar la instalación
Construir el interior
Seleccionar al personal que se va a transferir
Contratar nuevos empleados
Trasladar registros, personal clave, etc.
Hacer arreglos financieros con instituciones
Capacitar nuevo personal
Predecesores
Inmediatos
B
A,B
D
C
F
F
B
H,E,G
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MODELOS LINEALES
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada
situación e interprete los resultados.
Caso I.
El costo de preparación de una línea de producción es de US$3,000, en el que
se incurre independientemente del número de unidades que finalmente se
produzcan. Además, los costos de mano de obra y material variables son de
US$2 por cada unidad producida.
Representa Gráficamente.
CT = 3000 + 2x
Caso II.
Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de
texto, de tipo de bolsillo, sobre la aplicación, sobre la aplicación de hojas de
cálculos en los negocios. El costo fijo de preparación del manuscrito, el diseño
del libro y la puesta en marcha de la producción se estima en US$80,000
dólares. Los costos variables de producción y materiales se estiman igual a
US$3 dólares por libro. La demanda durante la vigencia del libro se estima en
4,000 ejemplares. El editor planea vender el libro a las librerías de colegios y
universidades a US$20 dólares cada uno.
a. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
CF = 80,000
Cu=3
Pu=20
B = I – CT = 0
20x = 80,000 + 3x
17x = 80,000
x = 80,000/17 = 4,706
b. ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever, con una demanda de
4,000 ejemplares?
B = I – CT
B = 20x – (80,000 + 3x)
B = 17(4,000) – 80,000
B = 68,000 – 80,000
B = -12,000
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c. Con una demanda de 4,000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo
por ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de
equilibrio?
Q = CF / (Pu – Cu)
4000 = 80,000 / (Pu – 3)
4000 (Pu – 3) = 80,000
4000Pu – 12,000 = 80,000
4000Pu = 80,000 + 12,000
Pu = 92,000/4000 = 23
d. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar
hasta US$25.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4,000
ejemplares, ¿qué acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o
pérdida se podría prever?
B = 25.95x – (80,000 + 3x)
B = 22.95x – 80,000
B = 22.95(4,000) – 80,000
B = 11,800
e. Represente gráficamente.
Caso III.
Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio
de béisbol. Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y
rentabilidad de los palcos corporativos de lujo planeados para el piso superior
del estadio. Los palcos pueden ser adquiridos por empresas e individuos
seleccionados, a US$100,000 dólares cada uno. El costo fijo de construcción
del área en el piso superior se estima en US$1,500,000 dólares, con un costo
variable de US$50,000 dólares por cada palco construido.
a. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo
estadio?
Pu = 100,000
CF = 1,500,000
Cu = 50,000
I = CT
100,000x = 1,500,000 + 50,000x
50,000x = 1,500,000
x = 1,500,000/50,000 = 30 palcos
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b. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio
disponible para la construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los
promotores indican que hay compradores detectados y que si se
construyen, se venderían los 50. ¿Cuál es su recomendación
respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué utilidad se
puede esperar?
B = I – CT
B = 100,000(50) – (1,500,000 + 50,000(50))
B = 5,000,000 – 4,000,000 = 1,000,000
Caso IV.
Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores
de humo. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad,
incluyendo material, mano de obra y costos de mercadotecnia, son de
US$22.50 dólares. Los costos fijos relacionados con la formación, operación y
dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total
US$250,000 dólares. Estiman que el precio de venta será de US$30 dólares
por detector.
a) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para
que la empresa alcance el equilibrio en el negocio.
Cu = 22.5
CF = 250,000
Pu = 30
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 250,000 / (30 –22.5)
Q = 250,000 / 7.5
Q = 33,333.33
b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá
aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del
proyecto, si le pone un precio de US$30 cada uno. Determine las
utilidades esperadas en este nivel de producción.
B = I – CT
B = 30x – (250,000 – 22.5x)
B = 30(30,000) – (250,000 – 22.5(30,000)
B = 900,000 – 925,000
B = - 25,000
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Caso V.
Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Cada
una está dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un
tipo de cultivo. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada
granja, el costo anual de plantar 1 acre, el ingreso que es espera obtener por
acre y los costos fijos de la administración de las granjas. Además de esos
costos fijos, la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales de US$75,000.
Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas.
Granja
1
2
3
I (x1,x2,x3)
Cultivo
Soya
Maíz
Papas
Costo/acre
900
1,100
750
Ingreso/acre
1,300
1,650
1,200
Costo Fijo
150,000
175,000
125,000
= 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3
CT (x1,x2,x3) = (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000) + 75,000
U = I – CT = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 – (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 +
750x3 + 125,000 + 75,000)
U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525,000
Caso VI.
Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. Los costos
variables por unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de
US$27.50 por concepto de mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a
US$100,000. Formule la función de utilidad expresada en término de unidades
producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de
20,000 unidades?
Pu = 65
Cu = 20 + 27.5 = 47.5
CF = 100,000
U = I – CT
U = 65x – (100,000 – 47.5x)
U = 17.5x – 100,000
U = 17.5(20,000) – 100,000
U = 350,000 – 100,000
U = 250,000
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Caso VII.
Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares, 60,000
unidades) y ($30 dólares, 47,500 unidades).
a) Determine la función de la demanda.
m = tg θ = y2 – y1 = 20
30 = -10/12,500
x2 – x1 60,000 – 47,500
m = -1/1250
m (x – x1) = (y – y1)
-1/1,250 (x – 60,000) = (y – 20)
-1 (x – 60,000) = 1,250 (y – 20)
-x + 60,000 = 1,250y – 25,000
(-1) -x – 1,250y + 85,000 = 0
x + 1,250y – 85,000 = 0
b) Determine que precio originará una demanda de 65,000 unidades.
x + 1,250y – 85,000 = 0
65,000 + 1,250y – 85,000 = 0
1,250y – 20,000 = 0
1,250y = 20,000
y = 20,000 / 1,250
y = 16
c) Interprete la pendiente de la función.
d) Grafique la función.
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Caso VIII.
Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares, 28,000
unidades) y (US$7.5 dólares, 37,000).
a) Determine la función de la oferta.
m = tg θ = y2 – y1 = 6
7.5 = -1.5/-9,000
x2 – x1 28,000 – 37,000
m = 1.5/9,000 = 1/6,000
m (x – x1) = (y – y1)
1/6,000 (x – 28,000) = (y – 6)
x – 28,000 = 6,000 (y - 6)
x – 28,000 = 6,000y – 36,000
x - 6,000y + 8,000 = 0
b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la
venta?
x - 6,000y + 8,000 = 0
135,000 – 6,000y + 8,000 = 0
143,000 – 6,000y = 0
-6,000y = -143,000
y = -143,000/-6,000
y = 23.83
c) Interprete la pendiente de la función.
d) Interprete la intersección con el eje x.
e) Grafique la función.
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Caso IX.
Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes
compran 20% más de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio
unitario. Cuando el precio es US$12 la compañía vende 500 unidades.
a) Formule el modelo de demanda.
Y
X
Pu=12 D=500 unidades
Pu=12 - 2 = 10
20% más de D=500+(0.20*500) = 600
Pu=10 D=600
m = tg θ = y2 – y1 = 12 - 10 = 2/-100
x2 – x1 500 – 600
m = -2/100 = -1/50
m (x – x1) = (y – y1)
-1/50 (x – 500) = (y – 12)
-1(x – 500) = 50 (y – 12)
-x + 500 = 50y – 600
-x –50y + 1,100 = 0
x + 50y – 1,100 = 0
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(0) – 1,100 = 0
x = 1,100
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
x + 50y – 1,100 = 0
(0)+ 50y – 1,100 = 0
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50y – 1,100 = 0
y = 1,100/50 = 22
d) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?
x + 50y – 1,100 = 0
600 + 50y – 1,100 = 0
50y – 500 = 0
50y = 500
y = 10
e) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(8) – 1,100 = 0
x + 400 – 1,100 = 0
x – 700 = 0
x = 700
Caso X.
Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de
US$5 por unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía
sólo se compromete a entregar un 40% de la oferta anterior.
a) Formule el modelo de la oferta.
Y
X
Pu=5 D=5,000 unidades
Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5
D = 5,000 * 0.4 = 2,000
Pu=3.5 D=2,000
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m = tg θ = y2 – y1 = 5
- 3.5 = 1.5/3,000
x2 – x1 5,000 – 2,000
m = 1/2000
m (x – x1) = (y – y1)
1/2000 (x – 5,000) = (y – 5)
x – 5,000 = 2,000 (y – 5)
x – 5,000 = 2,000y – 10,000
x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0
x – 2000y + 5,000 = 0
b) ¿Cuál sería la menor oferta?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2000(0) + 5,000 = 0
x = -5,000
c) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2,000(7) + 5,000 = 0
x – 14,000 + 5,000 = 0
x – 9,000 = 0
x = 9,000
d) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?
x – 2000y + 5,000 = 0
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6000 – 2,000y + 5,000 = 0
11,000 – 2,000y = 0
-2,000y = - 11,000
y = -11,000/-2,000 = 5.5
Caso XI.
Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado
producto. Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio.
Ox+y=5
D 2x – y = 5.5
y=5–x
- y = 5.5 – 2x
y = 2x – 5.5
5 – x = 2x – 5.5
- x – 2x = - 5.5 – 5
-3x = -10.5
x = 3.5
3.5 + y = 5
y = 5 – 3.5
y = 1.5
Caso XII.
Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante
dispone de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos
productos. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos.
Además, como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias, a la
dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana. Cada unidad del
producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del
producto B requiere 2.5 horas.
a) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo
dedicadas a la producción “x” unidades del producto A y “y” unidades
del producto B son 120.
3x + 2.5y = 120
b) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30
unidades del producto B?
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3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(30) = 120
3x + 75 = 120
3x = 120 – 75
3x = 45
x = 15 unidades del producto A
c) Si la gerencia decide producir sólo un artículo, ¿cuál será la cantidad
máxima que puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad
máxima que puede fabricarse del producto B?
3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(0) = 120
3x = 120
x = 40 unidades del producto A
3(0) + 2.5y = 120
2.5y = 120
y = 120/2.5
y = 48 unidades del producto B
Caso XIII.
La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión
alimentos y suministros médicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen los
cuatro suministros que urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente.
El primer avión que se enviará a la zona tiene una capacidad de volumen de
6000 pies cúbicos. Determine la ecuación cuyo conjunto solución contenga
todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que llenarán el
avión en toda su capacidad.
Suministro
Volumen/Caja, ft3
Sangre
20
Equipo médico
30
Alimentos
8
Agua
6
Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos +
Volumen de agua = 6,000 pies cúbicos
Cajas
X1 = Numero de recipientes de sangre
X2 = Numero de contenedores de equipo medico
X3 = Numero de cajas de alimentos
X4 = Numero de recipientes de agua
20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6,000
Total
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30
Sangre
Equipo M.
Alimentos
Agua
x1
x2
x3
x4
pies3
20
30
5
6
cajas
40
65
350
250
Volumen
800
1950
1750
1500
6000
Caso XIV.
Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de
la televisión, la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de
personas vean los anuncios. La experiencia revela que, por cada 1000 dólares
asignados a la publicidad por televisión, radio y prensa, la publicidad llegará a
25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente. Las decisiones que han de
adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de publicidad, a
fin de llegar a 10 millones de personas. Determine el modelo (ecuación) cuyo
conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por
resultado la obtención de esta meta.
25,000x1 + 18,000x2 + 15,000x3 = 10,000,000
TV
RADIO
PRENSA
x1
x2
x3
Inversion
Alcance por Publicidad Alcance en
USD 1000 en miles Personas
25,000
250
6,250,000
18,000
150
2,700,000
15,000
70
1,050,000
Personas 10,000,000
Caso XV.
Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que
expresa el costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas.
Los contadores indican que los gastos cada año son de US$50,000 dólares.
También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad
producida ascienden a UD$5.50 y que los costos de mano de obra son de
US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de acabado y
US$1.25 en el departamento de empaque y embarque.
CF = 50,000
Cu1 = 5.50 materia prima
Cu2 = 1.50 mano de obra de montaje
Cu3 = 0.75 mano de obra de acabado
Cu4 = 1.25 de empaque y embarque
Cu = 9
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CT = 50,000 + (5.50x + 1.50x +0.75x + 1.25x)
CT = 50,000 + 9x
Caso XVI.
Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para
rentarlas. Los automóviles nuevos cuestan US$12,000 dólares. Se emplean
tres años y luego se venden en US$2,500 dólares. El dueño de la agencia
estima que los costos variables de operación de los automóviles, sin contar la
gasolina, son de US$0.25 por milla. Los automóviles se alquilan en US$0.40
por milla (sin incluir gasolina).
a) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los
automóviles por millas.
Pu = 0.40/milla
I = 0.40x
b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil
por millas.
Cu = 0.25/milla
CT = 12,000 + 0.25x
c) Formule la ecuación de utilidad.
U = I – CT
U = 0.40x – (12,000 + 0.25x)
U = 0.15x – 12,000
Punto de Equilibrio:
0.40x = 12,000 + 0.25x
0.40x – 0.25 x = 12,000
0.15x = 12,000
x = 80,000
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d) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60,000 millas durante el
período de los tres años?
U = 0.15x – 12,000
U = 0.15(60,000) – 12,000 = - 3,000
e) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la
función que describa el valor en libros de V en función de la edad del
automóvil t.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R
Vida útil
n
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12,000-2,500
Vida útil
n
3
D = 3,166.67
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor en libros V(t) = 12,000 – 3,166.67(t)
Calendario de Depreciación en línea recta
12,000.00
12,000.00
12,000.00
Menos: Depreciación acumulada (la parte del
costo original que ya se ha cargado en forma
de un gasto)
3,166.67
6,333.33
9,500.00
Valor neto en libros
8,833.33
5,666.67
2,500.00
Automovil (al costo original de adquisición)
Caso XVII.
Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El
precio por galón es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para la
de primera calidad sin plomo. El costo por galón que cobra el proveedor es de
US$1.66 y US$1.88, respectivamente.
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a) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para
ambas.
I = Pu * x
I1 = 1.80x1
I2 = 2.00x2
IT = 1.80x1 + 2x2
b) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.
CV = Cu * x
C1 = 1.66x1
C2 = 1.88x2
CT = 1.66x1 + 1.88x2
c) Formule la función de utilidad total.
U = I – CT
U = 1.80x1 + 2x2 – (1.66x1 + 1.88x2)
U = 0.14x1 + 0.12x2
d) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200,000 galones de
gasolina regular y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin
plomo?
U = 0.14x1 + 0.12x2
U = 0.14(200,000) + 0.12(80,000)
U = 28,000 + 9,600
U = 37,600
Caso XVIII.
Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de
servicio computacionales.
Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En
el momento actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los
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pacientes. Debido al enorme volumen de facturas, el gerente administrativo
piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación
manual a la computarizada. Están estudiándose dos opciones:
1) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer
él mismo la facturación (la opción de hacer) o
2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se
encargue de efectuar la facturación (contratar).
Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. La
oferta más baja presentada por una empresa de servicios
computacionales originará una cuota de US$3,000 dólares anuales más
US$0.95 por factura procesada.
Con ayuda de un experto en
computación, el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar
un pequeño sistema de cómputo para negocios, junto con los programas
necesarios, a un costo de US$15,000 por año. Se estima en US$0.65 por
factura los costos variables de realizar la facturación de este modo.
Servicios de Facturación = S(x) = 3,000 + 0.95x
Alquilar y Facturar = A(x) = 15,000 + 0.65x
3,000 + 0.95x = 15,000 + 0.65x
0.30x = 12,000
x = 12,000/0.3
x = 40,000
Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40,000, la
opción de alquilar es más barata. Si se espera que el número de facturas sea
menor que 40,000, la opción de contratar los servicios cuesta menos.
Caso XIX.
Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Los costos
de desarrollo (costos fijos) son US$150,000 dólares y la firma pagará
US$15,000 dólares por minutos en cada spot de televisión. La firma estima
que, por cada minuto de publicidad, se obtendrá un aumento de US$70,000 en
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las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir el costo variable
de producir los artículos y US$15,000 sirven para pagar el minuto de
publicidad. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad.
a) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de
desarrollo de la campaña publicitaria?
Costos de Desarrollo
CF = 150,000
CV= Cu * x = 15,000x
CT = 150,000 + 15,000x
Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70,000-47,500)x = 22,500x
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 150,000 / (22,500 – 15,000)
Q = 150,000 / 7,500
Q = 20 minutos
b) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración, determine
el ingreso total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad
( o pérdida) total que resultan de la campaña.
I = 22,500x
I = 22,500 * 15 = 337,500
CT = 150,000 + 15,000(15) = 375,000
U = I – CT = 337,500 – 375,000 = -37,500
Caso XX.
La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dólares se deprecia
linealmente de manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1,000
dólares.
a) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y
dibuje la gráfica.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20,000 – 1,000
Vida útil
n
10
D = 1,900
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
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Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años.
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(4) = 20,000 – 7,600 = 12,400
c) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede
no esperar tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los
aspectos que el fabricante puede considerar para decidir cuándo
venderla.
Caso XXI.
Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes:
CASO
1
2
3
4
5
PRECIO DE
COSTO
TOTAL DE
MARGEN DE
COSTOS
VENTA POR
VARIABLE
UNIDADES
CONTRIBUCION
FIJOS
UTILIDAD
UNIDAD
POR UNIDAD
VENDIDAS
TOTAL
TOTALES
NETA
10
20
30
10
25
6
15
20
8
19
100,000
20,000
70,000
80,000
120,000
400,000
100,000
700,000
160,000
720,000
330,000
89,000
688,000
110,000
640,000
70,000
11,000
12,000
50,000
80,000
Caso XXII.
Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:
Oferta => p = 1 q + 8
300
Demanda => p = - 1 q + 12
180
a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio.
1/300q + 8 = - 1/180q + 12
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1/300q + 1/180q = 12 – 8
480/54,000 q = 4
480q = 216,000
q = 450
p = (450/180) + 8
p = 9.5
b) Representar gráficamente. Indique el punto de equilibrio, cuando hay
excedente y cuando hay escasez.
c) ¿Por qué se llama punto de equilibrio?
Caso XXIII.
La Compañía RL & RG, S.A. se dedica a la producción y venta de neveras.
Los costos fijos son $24,500 y el precio de venta de las utilidades producidas es
de $250. De los datos de producción se conoce que el costo variable/unidad es
de $180. Si se espera que esos valores permanezcan constantes durante el año
y siendo la capacidad de la planta de 1,000 unidades por año, se desea
determinar:
a) El punto de equilibrio de la compañía en unidades, dinero y % de
capacidad de producción.
CF = $24,500
Pu = $250
Cu = $180
Capacidad/año = 1,000 unidades
P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 24,500/(250-180) = 350 unidades
Comprobación:
CT = 24,500 + 180* 350 = $87,500
I = 250 * 350 = $87,500
P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 350 * 250 = $87,500
P.E.($) = CF /RMC = 24,500 /[(250-180)/250] = 24,500/0.28 = $87,500
P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad
P.E.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35%
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Con la utilización del 35% de la capacidad de producción cubre todos sus
gastos. La importancia de conocer este punto es que si la compañía opera por
debajo de ese punto tendrá pérdidas; si opera por encima, tendrá ganancias.
b) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de
300, 350 y 500 unidades.
B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q)
B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF
B= I * RMC – CF
B(300) = (250 * 300 * 0.28) – 24,500 = - $3,500
B(350) = (250 * 350 * 0.28) – 24,500 = $0
B(500) = (250 * 500 * 0.28) – 24,500 = $10,500
Caso XXIV.
La empresa CADESA produce el artículo AD12, a un costo unitario de $10 y lo
vende a $15 la unidad. Los costos fijos de la empresa son de $18,000 al año.
La capacidad de la empresa es de 60,000 artículos por año.
a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades, dinero y % de
capacidad de producción?
Cu = $10
Pu = $15
CF = $18,000
Capacidad = 60,000 artículos/año
P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 18,000/(15-10) = 3,600 artículos
Comprobación:
CT = 18,000 + (10 * 3,600) = $54,000
I = 15 * 3,600 = $54,000
P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 3,600 * 15 = $54,000
P.E.($) = CF /RMC = 18,000/[(15-10)/15] = 18,000/0.3333 = $54,000
P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad
P.E.(%) = 3,600 * 100 / 60,000 = 6%
b) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de
capacidad?
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0.80 * 60,000 artículos = 48,000 artículos
B(q) = [q * (Pu – Cu)] – CF
B(48,000) = [48,000 * (15-10)] – 18,000 = $222,000
Caso XXV.
Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas,
lámparas, y sillas. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso:
Producto
Mesas
Lámparas
Sillas
Precio
Unitario
70
50
40
Costo
Unitario
50
40
30
% Valor
ventas ($)
40
25
35
Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000.
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un
nivel de producción del 75% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
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40
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Mesas
= [(70-50)/70)] * 0.40 = 0.1143
% Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.25 = 0.0500
% Sillas
= [(40-30)/40)] * 0.35 = 0.0875
∑ del % de contribución de cada producto = 0.1143+0.0500+0.0875 = 0.2518
P.E.($) = 250,000/0.2518 = $992,851.47
Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.
I = 0.75 * $1,800,000 = $1,350,000
B = I * RMC – CF
B = 1,350,000 * 0.2518 – 250,000 = $89,930
Caso XXVI.
Una empresa produce bicicletas y velocípedos. Los costos fijos de la empresa
son de $60,000 al año, la capacidad total anual es de $250,000 en ventas. La
participación de cada producto es la siguiente:
Producto
Bicicleta
Velocípedo
Precio
Unitario
120
50
Costo
Unitario
70
25
% Valor
ventas ($)
60
40
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando
esté trabajando a un 70% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
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% Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.60 = 0.25
% Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.40 = 0.20
∑ del % de contribución de cada producto = 0.25+0.20 = 0.45
P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto
P.E.($) = 60,000/0.45 = $133,333.33
Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad.
I = 0.70 * $250,000 = $175,000
B = I * RMC – CF
B = (175,000 * 0.45) – 60,000 = $18,750
Caso XXVII.
La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado:
Estado de Ingresos
Ventas
100,000
Menos Costos y Gastos Variables
65,000
Margen de Contribución
35,000
Menos: Costos Fijos
20,000
Ingresos Netos
15,000
Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de
$120,000 y el nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de
$25,000.
RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
B = RMC * Ventas - CF
a)
RMC = 1 - (65,000/100,000) = 0.35
P.E.($) = CF/RMC = 20,000/0.35 = $ 57,142.86
b)
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B = RMC * Ventas - CF
B = 0.35 * 120,000 – 20,000 = $22,000
c)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
Ventas para un nivel de beneficio = (20,000 + 25,000) / 0.35 = $128,571.42
La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso
para ese nivel de ventas. Suponemos que los costos variables mantienen una
proporción constante de las ventas.
Estado de Ingresos
Ventas
128,571.42
Menos Costos y Gastos Variables
83,571.42
Margen de Contribución
45,000.00
Menos: Costos Fijos
20,000.00
Ingresos Netos
25,000.00
Caso XXVIII.
Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes
informaciones:
Alimento
% ventas
para
Precio Costo
($)
Gallinas
30
15
40
Vacas
40
16
20
Puercos
36
16
25
Perros
32
12
15
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la
fábrica.
b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200
unidades de alimentos.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/∑ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto,
podemos usar la fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
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[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.40 = 0.2000
% Vacas = [(40-16)/40)] * 0.20 = 0.1200
% Puercos = [(36-16)/36)] * 0.25 = 0.1389
% Perros = [(32-12)/32)] * 0.15 = 0.0938
∑ del % de contribución de c/producto = 0.20+0.12+0.1389+0.0938= 0.5527
P.E.( $) = CF/∑ del % de contribución de cada producto
P.E.($) = 80,000/0.5527 = $144,743.98
P.E. (%) = 144,743.98/200,000 =0.7237 = 72.37%
Alimento
para
P.E($)
% ventas ($)
Ventas
Precio
Unidades
Gallinas
Vacas
Puercos
Perros
144,743.98
144,743.98
144,743.98
144,743.98
40
20
25
15
100
57,897.59
28,948.80
36,186.00
21,711.60
144,743.98
30
40
36
32
1,930
724
1,005
678
4,337
Alimento
% ventas
para
Precio Costo
($)
Gallinas
30
15
40
Vacas
40
16
20
Puercos
36
16
25
Perros
32
12
15
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad.
∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas)
Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.40 = $6/unidad
Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.20 = $4.8/unidad
Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.25 = $5/unidad
Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = $3/unidad
∑ (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.8+5+3= $18.8/unidad
En función de unidades el punto de equilibrio viene dado:
P.E.(q) = CF/Contribución promedio por unidad
P.E.(q) = 80,000/18.8=4,256 unidades
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P.E.($) = P.E.(q) * pu
P.E.(q) = P.E.($)/pu = $144,743.98/33.8 = 4,283 unidades
b. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200
unidades de alimentos.
Precio de Gallina = 30 * 0.40 = $12/unidad
Precio de Vaca = 40 * 0.20 = $8/unidad
Precio de Puerco = 36 * 0.25 = $9/unidad
Precio de Perro = 32 * 0.15 = $4.8/unidad
I = 1,200 * 33.8 = $40,560
Alimento
para
Gallinas
Vacas
Puercos
Perros
1200
0.4
480
1200
0.2
240
1200
0.25
300
1200
0.15
180
30
40
36
32
14400
9600
10800
5760
40560
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada
situación e interprete los resultados.
Caso I.
La función de demanda de un producto particular es:
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función del
ingreso total, I es una función de p o sea R = g(p).
A. ¿Cuál es la concavidad de la función?
B. ¿Cuál es la intersección con el eje x?
C. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?
D. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?
E. ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?
A.
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I=500,000p - 3000p2
25,000,000.00
Ingresos
20,000,000.00
15,000,000.00
Serie1
10,000,000.00
5,000,000.00
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Precios
I=p*q
I = p * (500,000 – 3,000 p)
I = 500,000p - 3,000p²
C.
I = 500,000(20) - 3,000(20)²
I = 10,000,000 – 1,200,000
I = 8,800,000
D.
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
q = f(20) = 500,000 – 3,000 (20)
q = f(20) = 500,000 – 60,000
q = f(20) = 440,000
E.
I = 500,000p - 3,000p²
x = -B = -500,000 = US$83.33
2A 2(-3,000)
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46
Caso II.
La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que
se encuentran en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).
a) Determine el modelo de la oferta.
( p, q)
(60, 2,750)
(70, 6,000)
(80, 9,750)
q = f(p)
q = ap² + bp + c
Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general
cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones:
2,750 = a(60)² + b(60) + c
6,000 = a(70)² + b(70) + c
9,750 = a(80)² + b(80) + c
A
B
3,600a + 60b + c = 2,750
4,900a + 70b + c = 6,000
6,400a + 80b + c = 9,750
c
y
3,600.00
60.00
1.00
2,750.00
4,900.00
70.00
1.00
6,000.00
6,400.00
80.00
1.00
9,750.00
A
a=
o
o
o
B
c
2,750.00
60.00
1.00
6,000.00
70.00
1.00
9,750.00
80.00
1.00 =>
numerador
-5,000.00
3,600.00
60.00
1.00 =>
denominador
-2,000.00
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
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a=
2.50
47
a
b=
c
3,600.00
2,750.00
1.00
4,900.00
6,400.00
6,000.00
9,750.00
1.00
1.00 =>
numerador
3,600.00
60.00
1.00 =>
denominador
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
a
c=
B
B
0.0
-2,000.0
b=
0.0
c
3,600.00
60.00
2,750.00
4,900.00
6,400.00
70.00
80.00
6,000.00
9,750.00 =>
3,600.00
60.00
1.00 =>
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
numerador
12,500,000.0
denominador
q = f(p) = 2.5p² - 6,250
b) Calcule e interprete la intersección con el eje x.
c) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75?
q = f(p) = 2.5p² - 6,250
q = f(75) = 2.5(75)² - 6,250= 7,812.50
Caso III.
La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática. Tres
puntos que se encuentran en ella son (5, 1600), (10, 900) y (20, 100).
Determine el modelo correspondiente de la Demanda. ¿Qué cantidad se
demandará a un precio de mercado de $15?
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-2,000.0
c=
-6,250.0
48
Caso IV.
Las funciones de demanda y oferta de un producto son:
Oferta
qs = p² - 400
Demanda qd = p² -40p + 2600
Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado.
qo = qd
p² - 400 = p² -40p + 2600
p² - 400 - p² +40p – 2600 = 0
40p – 3,000 = 0
p = 3,000 / 40
p = 75
Oferta
Demanda
qs = (75) ² - 400 = 5,225
qd = (75) ² - 40(75) + 2600 = 5,225
Caso V.
Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de
recreo. Ha cotizado un precio de $300 por persona, si reúne a 100 o menos
pasajeros. Por cada pasajero después de los 100, el precio que se cobra a todos
ellos disminuirá en $2.50. Por ejemplo, si se inscriben en la excursión 101
pasajeros, cada uno pagará $297.50. Sea x el número de personas después de
100.
a) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de
x, o sea p = f(x).
p = $300 si x ≤ 100
p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100
p = 300 – 2.5x + 250 si x > 100
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49
p = 550 – 2.5x si x > 100
b) Formule el modelo I = h(x), que exprese el ingreso total en boletos I en
función de x.
p = $300 si x ≤ 100
I = 300x
p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100
I=p*x
I = [300 – 2.5(x – 100)] * x
I = 300x – 2.5x(x – 100)
I = 300x – 2.5x² + 250x
I = 550x – 2.5x²
c) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I?
I = 550x – 2.5x²
x = -B = - 550 = 110
2A 2(-2.5)
d) ¿Cuál es el valor máximo de I?
I = 550x – 2.5x²
I = 550(110) – 2.5(110)²
I = 60,500 – 30,250 = 30,250
e) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo?
30,250 = 110p
p = 30,250 / 110
p = 275
Caso VI.
Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada
uno. El vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y, a este
precio los consumidores han estado demandando 40 artículos al mes. El
vendedor planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada
$5 de reducción en el precio se venderán 10 artículos más cada mes.
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a) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta.
pc = 50
pv = 80 40 artículos
Bu = pv – 50
Por c/$5 menos se venderán 10 artículos más
10/5 = 2 artículos por cada $1
q = 40 + 2 (80 – pv)
q = 40 + 160 – 2pv
q = 200 – 2pv
B = Bu * q
B = (pv – 50) (200 – 2pv)
pv – 50
200 – 2pv
200pv – 10,000
-2pv² + 100pv
==================
-2pv² + 300pv – 10,000
B= -2pv² + 300pv - 10,000
b) Dibuje el gráfico.
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B = -2pv2 + 300pv - 10,000
1400
Beneficio
1200
1000
800
Serie1
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
Precio de Venta
c) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios.
x = -B = - 300 = $75
2A
2(-2)
Caso VII.
El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más
10 centavos por cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra $10
por mes más 14 centavos por cheque girado. Halle el criterio para decidir cuál
banco ofrece el mejor negocio.
CT1 = 12 + 0.10x
CT2 = 10 + 0.14x
12 + 0.10x = 10 + 0.14x
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Caso VIII.
A un editor le cuesta US$74,200 preparar un libro para publicación (digitación
de texto, ilustración, edición, etc.) Los costos de impresión y encuadernación
son US$5.50 por ejemplar. El libro se vende a las librerías a US$19.50 cada
ejemplar.
a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2,000, 4,000, 6,000 y
8,000 ejemplares.
CT = 74,200 + 5.5x
I = 19.5x
b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2,000, 4,000,
6,000 y 8,000 ejemplares.
c) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función
del número de libros producidos.
d) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una
función del número de libros vendidos.
e) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada.
f) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso?
g) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para
producir un ingreso de por los menos US$85,000. ¿Cuánta utilidad deja
este número de libros?
Caso IX.
Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje
adaptado para tal fin. El alquiler del garaje cuesta US$1,500 en el verano, y los
materiales necesarios para construir un kayak cuesta US$125. ¿Pueden
venderse los kayaks a US$275 la unidad?
a) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de
equilibrio?
CT = 1,500 + 125x
I = 275x
275x = 1,500 + 125x
150x – 1,500 = 0
x = 1,500 / 150 = 10
b) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad
e US$1,000?
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B = I – CT
B = 275x – (1,500 + 125x)
B = 150x – 1,500
150x – 1,500 = 1,000
150x = 2,500
x = 2,500 / 150 = 16.67
Caso X.
Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad. A este precio, los
consumidores compran 3,000 lámparas al mes. El fabricante desea incrementar
el precio y estima que por cada incremento de US$1 en el precio, se venderán
1,000 lámparas menos cada mes. El fabricante puede producir las lámparas a
US$18 la lámpara.
Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que
se venden las lámparas.
pu = 30
q = 3,000
pu = x - 30 1,000 lámparas menos
Cu = 18
Bu = pu – 18
q = 3000 - 1000 (Pu – 30)
q = 3000 – 1000pu + 30,000
q = 33,000 – 1000 pu
U = Bu * q
U = (pu – 18) (33,000 – 1000pu)
pu – 18
33,000 – 1000pu
33,000 pu – 594,000
-100pu² + 18,000 pu
=======================
-100pu² + 51,000pu – 594,000
U=
-100pu² + 51,000pu – 594,000
Dibuje la gráfica.
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Y calcule el precio óptimo de venta.
U = -100pu² + 34,000pu – 594,000
x = -B = - 34,000= $170
2A
2(-100)
Caso XI.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el
ejemplar. La librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200
ejemplares. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y estima
que por cada reducción US$1 en el precio, se venderán 20 libros más cada mes.
Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este libro como una
función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de
venta.
cu = 3
pu = 15
se venden 200
Bu = pu – 3
q = 200 + 20 (15 - pu)
q = 200 + 300 – 20pu
q = 500 – 20pu
U = Bu * q
U = (pu – 3) (500 – 20pu)
pu – 3
500 – 20pu
500pu – 1,500
-20pu + 60pu
==================
-20pu² + 560pu – 1,500
U = -20pu² + 560pu – 1,500
x = -B = - 560= $14
2A 2(-20)
Caso XII.
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Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y
D(p)=5,600/p, respectivamente.
a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades
ofrecidas y demandadas.
b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
c) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación
económica de este punto.
S(p) = p –10
D(p) = 5,600/p
P – 10 = 5,600/p
P(P – 10 – 5,600/p) = 0
p² - 10p – 5,600 = 0
S(80) = 80 –10 = 70
D(80) = 5,600/80 = 70
p=80
p=-70
Caso XIII.
Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y
D(p)=-3p+480, respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número
correspondiente de unidades que se ofrecieron y se demandaron, y dibuje las
curvas de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
S(p)=4p+200
D(p)=-3p+480
4p – 200 = -3p + 480
4p – 200 + 3p – 480 = 0
7p – 680 = 0
Caso XIV.
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Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x
unidades del artículo. Si se venden todas las x unidades a este precio, exprese
el ingreso derivado de las ventas como una función de x.
P = 35x + 15
Q=x
I=p*q
I = (35x + 15) * x
I = 35x² + 15x
x = -B = - 15= $2.14
2A 2(35)
Caso XV.
La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades.
Una gran organización para la conservación de la salud desea construir una
clínica satélite para dar servicio a las tres ciudades. La ubicación de la clínica x
deberá ser tal que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias entre
la clínica y cada ciudad. Este criterio puede formularse así:
3
Minimice S = Σ dj²
J=1
3
S= f(x) = Σ (x - xj)²
J=1
Donde xj es la ubicación de la ciudad j, y “x” es la de la clínica.
a) Determine la función distancia S = f(x).
b) Determine la ubicación que minimice a S.
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
===========*===============*=========================================*================= MILLAS
0
20
50
120
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57
Caso XVI.
Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. Según los
estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los
paneles dependerá del precio al que se venden. La función de su demanda
ha sido estimada así:
q = 100,000 – 200p
p= (100,000 – q)/200
p = 500 – 0.005q
Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q
paneles está representado muy bien por la función:
C = 150,000 + 100q + 0.003q²
a) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q)
I = 500q – 0.005q2
b) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual
en función del número de unidades q que se producen y venden.
U = -0.008q2 + 400q – 150,000
c) Determine el punto de maximización de las utilidades.
-B/2ª = -400/2(-0.008) = 25,000
d) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades
producidas y vendidas.
X1 = 378,125
X2 = 49,621,875
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58
Caso XVII.
Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad. A
este precio, los jugadores han comprado 50 unidades al mes. El propietario
del almacén desea aumentar el precio del juego y estima que por cada
aumento de US$1 en el precio, se venderán 3 unidades menos cada mes. Si
cada unidad cuesta al almacén US$25, ¿a qué precio debería venderse el
juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente.
Pu = 40 => q = 50
Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3
Cu = 25
q = 50 – 3 (x-40)
q = 50 – 3x + 120 = 170 – 3x
bu = x – 25
U = bu * q
U = (x – 25) * (170 – 3x)
170 – 3x
x – 25_________
75x – 4,250
-3x² + 170x______
-3x² + 245x – 4,250
-b/2ª = - 245/2(-3) = 40.83
x1 = 25
x2 = 56.67
Caso XVIII.
Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad
depende de la tarifa mensual que cobra a sus clientes. Específicamente, la
relación que describe la utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa
mensual de renta r (en dólares) es la siguiente:
U = - 50,000r² + 2,500,000r – 5,000,000
a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad
máxima. 25
-b/2ª = - 2,500,000/2(-50,000) = 25
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b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 26,250,000
c) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía
la obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20.
a. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía?
b. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la
rentabilidad de la empresa?
Caso XIX.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el
ejemplar. La librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200
ejemplares. La librería planea bajar el precio para estimular las ventas y
estima que por cada reducción US$1 en el precio, se venderán 20 libros más
cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por la venta de este
libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el
precio óptimo de venta.
Cu = 3
Pu = 15 => q = 200
Por cada reducción en el Pu en 1 => q aumenta en 20
Bu = x – 3
q = 200 + 20 (15 – x)
q = 200 + 300 – 20x
q = 500 – 20x
U = Bu * q
U = (x – 3) * (500 – 20x)
500 – 20x
x – 3__________
60x - 1,500
- 20x² + 500x______
- 20x² + 560x – 1,500
-b/2ª = - 560/2(-20) = 14
x1 = 3
x2 = 25
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60
Caso XX.
Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana
de vacaciones en el Caribe. Se trata de una actividad tendiente a recaudar
fondos. Se ha contratado un paquete con una aerolínea comercial, y la
organización pagará un costo fijo de US$10,000 más US$300 por persona.
Esta última cantidad cubre el costo del vuelo, los traslados, el hotel, las
comidas y propinas. La organización proyecta cobrar el paquete a US$450
por persona.
a) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el
equilibrio en esta actividad.
I = 450x
CT = 10,000 + 300x
I = CT
450X = 10,000 + 300x
150x = 10,000
x = 67 personas (66.67)
b) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10,000.
¿Cuántas personas han de participar para poder conseguirla?
U = I – CT
U = 450x – (10,000 – 300x)
U = 150 x – 10,000
10,000 = 150x – 10,000
150x – 10,000 = 10,000
150x = 20,000
x = 134 personas (133.33)
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61
Caso XXI.
Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la
unidad. El minorista vende las cámaras a US$80 cada una; a este precio, los
consumidores compran 40 cámaras al mes. El minorista planea reducir el
precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción de US$5 en
el precio, se venderán 10 cámaras más cada mes. Exprese la utilidad
mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras como una función
del precio de venta. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta.
Cu = $50
Pu = $80 => q = 40 cámaras
Por cada $5 menos se venderán 10 cámaras más
10/5 = 2 cámaras por $1
q = 40 + 2 (80 – p)
q = 40 + 160 – 2p
q = 200 – 2p
Bu = p - 50
U = B = Bu * q
U = B = (p – 50) * (200 – 2p)
U = B = -2p² + 300p – 10,000
p = 50
p = 200/2 = 100
p.m. = (50 + 100)/2 = 75
-b/2ª = -300/2(-2) = -300/-4 = 75
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Caso XXII.
La función de demanda de un producto es:
q = f(p) = 450,000 – 30p
donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares.
Determine la función del ingreso total.
a) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el
producto para generar beneficio?
b) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo?
c) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)?
d) ¿Cuál es la concavidad de la función?
I=p*q
I = p * (450,000 – 30p)
I = 450,000p – 30p²
p=0
p = -45,000 / -3 = 15,000
precio máximo = 7,500
Caso XXIII.
Las funciones de oferta y demanda de un producto son:
qs = 4p² - 500
qd = 3p² - 20p + 1000
Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado.
4p² - 500 = 3p² - 20p + 1000
4p² - 500 – 3p² + 20p – 1000 = 0
p² + 20p – 1500 = 0
X = - B ± √B²-4AC Fórmula Cuadrática
2A
X = - 20 ± √20²-4(1)(-1,500) Fórmula Cuadrática
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2(1)
X = - 20 ± 80 Fórmula Cuadrática
2(1)
X1 = 30
X2 = -50
Caso XXIV.
La función de demanda para un producto es p = 1,000 – 2q, donde p es el
precio en dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por
semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que
maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso.
I=p*q
I = (1,000 – 2q) * q
I = 1,000q – 2q²
Caso XXV.
La I. M. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Y
actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras.
La empresa necesita ayuda para analizar este nuevo producto. Los
ingenieros de manufactura estiman que los costos variables de producción
serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se requieren para establecer
la línea de producción se calculan en $2,500,000. Los investigadores de
mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la conclusión
de que la función de la demanda para el nuevo producto será
aproximadamente lineal. Es decir, el número de unidades demandado, q,
variará según el precio, p, en forma lineal. Dos puntos de datos (p, q) que se
utilizarán al definir esta función son (100 ; 26,000) y (500 ; 10,000).
La compañía solicita al lector lo siguiente:
a) Formulación de la función de la demanda q = f(p).
b) Formulación del ingreso total I = f(q).
c) Formulación de la función del costo total.
d) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción.
e) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que
muestre el punto o puntos de equilibrio.
f) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o
puntos de equilibrio.
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g) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en
caso de que existan varios).
h) Formulación de la función de las utilidades totales.
i) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de
maximizar las utilidades totales. ¿Cuál es la utilidad esperada?
j) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción
correspondiente a la maximización de utilidades.
CU =
CF =
p1
p2
100.00
2,500,000.00
100.00q1
500.00q2
26,000.00
10,000.00
M
-40.00
-40 (x-100) = y - 26,000
-40x + 4,000 - y + 26,000 = 0
-40x - y + 30,000 = 0
40x + y - 30,000 = 0
40p + q - 30,000 = 0
q = 30,000 - 40p
p = (30,000 - q)/40
p = 750 - q/40
I=p*q
I = (750 - q/40) * q
CT = 2,500,000 + 100q
I = CT
U = (750q - qq/40) - (2,500,000 + 100q)
U = 650q – qq/40 - 2,500,000
Q
4,693.38
4,000.00
5,000.00
6,000.00
7,000.00
8,000.00
9,000.00
10,000.00
11,000.00
12,000.00
13,000.00
14,000.00
P
632.67
650.00
625.00
600.00
575.00
550.00
525.00
500.00
475.00
450.00
425.00
400.00
cu
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
CF
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
CT
2,969,337.61
2,900,000.00
3,000,000.00
3,100,000.00
3,200,000.00
3,300,000.00
3,400,000.00
3,500,000.00
3,600,000.00
3,700,000.00
3,800,000.00
3,900,000.00
I
2,969,337.61
2,600,000.00
3,125,000.00
3,600,000.00
4,025,000.00
4,400,000.00
4,725,000.00
5,000,000.00
5,225,000.00
5,400,000.00
5,525,000.00
5,600,000.00
U
0.00
-300,000.00
125,000.00
500,000.00
825,000.00
1,100,000.00
1,325,000.00
1,500,000.00
1,625,000.00
1,700,000.00
1,725,000.00 1,725,000.00
1,700,000.00
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15,000.00
16,000.00
17,000.00
18,000.00
19,000.00
20,000.00
21,000.00
22,000.00
21,306.62
26,000.00
375.00
350.00
325.00
300.00
275.00
250.00
225.00
200.00
217.33
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
4,000,000.00
4,100,000.00
4,200,000.00
4,300,000.00
4,400,000.00
4,500,000.00
4,600,000.00
4,700,000.00
4,630,662.39
5,100,000.00
5,625,000.00
5,600,000.00
5,525,000.00
5,400,000.00
5,225,000.00
5,000,000.00
4,725,000.00
4,400,000.00
4,630,662.39
2,600,000.00
1,625,000.00
1,500,000.00
1,325,000.00
1,100,000.00
825,000.00
500,000.00
125,000.00
-300,000.00
0.00
-2,500,000.00
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Caso XXVI.
Una firma vende cada unidad de un producto en $400. La función de costo
que describe el costo total en términos del número de unidades producidas y
vendidas x es:
C(x) = 40x + 0.25x² + 250
a) Formule la función de utilidad U = f(x). Represente gráficamente.
U = I – CT
= 400x – 40x - 025x² - 250
= 360x - 025x² - 250
X = - 360 ± √360²-4(-0.25)(-250) Fórmula Cuadrática
2(-0.25)
X = - 360 ± 359.65 Fórmula Cuadrática
- 0.50
x1 = 0.7
x2 = 1,439.30
Max = 720
b) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar
la utilidad total?
c) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción?
I = 400 * 720 = 288,000
d) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción?
CT = 40(720) + 0.25 (720) ² + 250
CT = 158,650
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Caso XXVII.
La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1,200
– 3q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q
unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el
ingreso total del fabricante y determine este ingreso.
p = f(q) = 1,200 – 3q
I = p * q = 1,200q – 3q²
q = -b/2a = - 1,200/2(-3) = 200
Caso XXVIII.
Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades
ofrecidas y demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) =
p² + 3p – 70 y la función de demanda es D(p) = 410 – p. Represente
gráficamente.
p² + 3p – 70 = 410 – p
p² + 4p – 480 = 0
X = - 4 ± √4²-4(1)(-480) Fórmula Cuadrática
2(1)
X = - 4 ± 44 Fórmula Cuadrática
2
x1 = 20
x2 = 24
-b/2a = -4/2a = -4/2 = -2
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Caso XXIX.
Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricante ofrecerán
p²/10 licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local será
60 – p licuadoras. ¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de
los consumidores, y la oferta de licuadoras de los fabricantes. ¿Cuántas
licuadoras se venderán a este precio?
p²/10 = 60 – p
p² = 600 – 10p
p² - 600 + 10p = 0
Caso XXX.
Producción Agrícola.
Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos, la
producción media por árbol será 400 naranjas. La producción media
disminuirá en 4 naranjas por árbol adicional plantado. Exprese la
producción total como una función del número de árboles adicionales
plantados, dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que el
cultivador debe plantar para maximizar la producción.
Producción = (60 + n) (400 – 4n)
Caso XXXI.
Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son:
S(p) = 4p + 200
D(p) = 5,600/p
a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades
ofrecidas y demandadas.
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5,600/p = 4p + 200
5,600 = 4p² + 200p
5,600 - 4p² - 200p = 0
b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
Caso XXXII.
Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la
información siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2;
ingreso total por la venta de q unidades, 100√q.
Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las
funciones anteriores.
100√q = 1,200 + 2q
(100√q)/2 = (1,200 + 2q)/2
(50√q)² = (600 + q)²
2,500q = q² + 1,200q + 360,000
q² - 1,300q + 360,000 = 0
CT = 1,200 + 2q
I = 100√q
q =400
q = 900
Caso XXXIII.
Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50
personas a grupos de 35 personas o más. Si un grupo tiene exactamente 35
personas, cada persona paga US$60. En grupos grandes, la tarifa se reduce
en US$1 por cada persona adicional a las 35. Determine el tamaño del
grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses será máximo.
Represente gráficamente.
P = 35 + x
Tarifa = 60 – x
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I = (35 + x) (60 – x)
I = 2,100 + 25x - x²
I max. = 2,256
Caso XXXIV.
Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos
Torre Alegro, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales
puede ser rentado en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales
de aumento en la renta, se tendrán tres departamentos desocupados sin
posibilidad de que se renten. La Compañía quiere recibir $54,600 mensuales
de rentas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada departamento?
Apartamentos = 96
Renta = $550/mensuales
Renta + 25 3 apartamentos menos
550 + 25x
96 – 3x
Solución 1:
54,600 = (550+25x) (96-3x)
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550 + 25x
96 – 3x
52,800 + 2,400x
- 1,650x – 75x²
====================
52,800 + 750x – 75x²
54,600 = 52,800 + 750x – 75x²
– 75x² + 750x – 1,800 = 0
- x² + 10x – 24 = 0
(x – 6) (x-4) = 0
x=6
x=4
Solución 2:
q = 96 – [3 (r – 550)/25]
54,600 = [96 – 3(r – 550)/25] r
54,600 = r [(2,400 – 3r + 1,650)/25]
3/-25 (x-550) = y – 96
3x – 1,640 = -25y + 2,400
3x – 4,050 + 25y = 0
25y = 4,050 – 3x
y = (4,050 – 3x)/25
y = q = 162 – 0.12 p
I = (162 – 0.12 p) * p
I = 162p – 0.12 p²
54,600 = 162p – 0.12 p²
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p² - 1,350p + 455,000 = 0
X = - 1,350 ± √1,350² - 4 (1)(455,000) Fórmula Cuadrática
2(1)
p = 750
p = 650
Caso XXXV.
Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus
procesos de producción. El proceso creará un “ambiente hostil” para los
hombres.
En concreto, requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones
potencialmente tóxicas. Se han identificado dos robots que parecen tener la
capacidad para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al parecer
no hay importantes diferencias en la velocidad a que ambos trabajan. Un
robot cuesta $180,000 y tiene costos estimados de mantenimiento de $100
por hora de operación. El segundo modelo cuesta $250,000 con costos de
mantenimiento estimados en $80 por hora de operación.
a) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo
mismo los dos robots?
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73
b) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro?
CT = 180,000 + 100h
CT = 250,000 + 80h
180,000 + 100h = 250,000 + 80h
h = 3,500
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