3. Primitivas - Universidad de Chile

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Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Diferencial e Integral 07-2
SEMANA 5: PRIMITIVAS
3.
Primitivas
Definición 3.1 (Primitiva). Una función F continua en un intervalo I ⊆
en Int(I), se llama primitiva de una función f sobre I ssi
R y derivable
Primitiva
∀x ∈ Int(I), F ′ (x) = f (x).
Observación:
1. Sean F1 y F2 dos primitivas de una función f sobre I, entonces:
F1′ = f ∧ F2′ = f ⇒ (F1 − F2 )′ = 0
⇒ F1 − F2 = cte = c
En consecuencia dos primitivas de una función diferen a lo más en una constante.
2. Además si F es una primitiva de f , entonces la función F +c, con c ∈
es otra primitiva de f .
Notación: El conjunto de todas las primitivas de f se anotará como
primitiva de f , entonces notaremos:
Z
Es habitual,usar la notación clásica:
Z
Z
Primitivas o integrales indefinidas inmediatas
Z
Z
f
f (x)dx = F (x) + c,
A continuación se presentan algunas primitivas cuyo cálculo es elemental:
Z
Z
xn+1
n
3.
sen xdx = − cos x + c.
1.
x dx =
+ c, ∀n 6= −1.
n+1
2.
f .. Si F es una
f = F + c.
donde dx corresponde a un sı́mbolo que sirve paraZidentificar a la variable.
También suele llamarse integral indefinida de f a f (x)dx.
3.1.
R arbitraria,
dx
= ln |x| + c = ln K|x|, K > 0.
x
4.
40
Z
cos xdx = sen x + c.
integral indefinida de f
1
e dx = eax + c.
a
8.
Z
sec2 xdx = tan x + c.
Z
cosec2 xdx = cotan x + c.
Z
dx
= arctan x + c.
1 + x2
5.
Z
6.
Z
senh xdx = cosh x + c.
9.
7.
Z
cosh xdx = senh x + c.
10.
Z
√
ax
dx
= arc sen x + c.
1 − x2
Z
p
xdx
√
12.
= 1 − x2 + c
1 − x2
11.
Observación:
Z
1.
f ′ (x)dx = f (x) + c,
2.
d
dx
Z
Z
f (x)dx = f (x),
Z
Proposición 3.1.
1.
Z
f ±g =
2.
Z
αf = α
Z
f ′ = f + c.
f
= f.
es un operador lineal, es decir:
Z
f±
Z
Z
f,
∀α ∈
g.
R.
1. Sean F + c =
Demostración.
′
Z
f y G+k =
Z
g, entonces F ′ = f y G′ = g ⇒
Z
g.
(f ± g) = (F ± G)′ . Luego (F ± G) es primitiva de f ± g, es decir:
Z
2. Sea F + c =
Z
f ±g =
Z
f±
′
′
f , entonces F = f y por ende (αF ) = αf . Ası́, αF =
se concluye que
Z
αf = α
Z
Z
αf , de donde
f.
41
3.2.
Teorema de cambio de variable
Teorema 3.1 (Cambio de variable). Si u = g(x), entonces
Z
Z
Z
Z
′
f (u)du = (f ◦ g)(x) · g (x)dx o, equivalentemente
f = (f ◦ g) · g ′ .
cambio de variable
Demostración. Sea F una primitiva de f , es decir F ′ (u) = f (u). Como u = g(x), entonces
F (u) = (F ◦ g)(x).
Calculemos:
(F ◦ g)′ (x) = F ′ (g(x)) · g ′ (x) = f (g(x)) · g ′ (x),
por lo tanto: (F ◦ g) es una primitiva de f (g(x))g ′ (x).
Es decir,
Z
Z
F (u) = f (u) y (F ◦ g) = (f ◦ g) · g ′ .
Pero F (u) = (F ◦ g)(x), luego
Z
f (u)du =
Z
(f ◦ g)(x)g ′ (x)dx.
Ejemplos:
Z
du
cos xdx
= arctan u + c = arctan(sen x) + c.
=
2
1 + sen x
1 + u2
Z arctan x e
2.
dx
1 + x2
1.
Z
u = arctan x → du =
=
Por lo tanto
Z
(
Z
por lo tanto:
4.
Z
cotan xdx =
eu du = eu = earctan x .
earctan x
)dx = earctan x + x
1 + x2
3.
Z
Z
dx
1
u′ =
1 + x2
1 + x2
tan xdx =
tan xdx
Z
Z
sen xdx
cos x
=−
Z
= − ln | cos x|
= ln | sec x|
u
du
= cos x
= − sen xdx
du
= − ln |u| = − ln |cosx|,
u
cos xdx
= ln | sen x| + c.
sen x
42
+c
.
+c
sec x(sec x + tan x)
dx = ln | sec x + tan x| + c.
sec x + tan x
Z
Z
cosec x(cosec x − cotan x)
6.
cosec xdx =
dx = ln | cosec x − cotan x| + c.
cosec x − cotan x
Z
u = ax + b
n
7. (ax + b) dx;
du
= adx
Z
1 un+1
du
=
+c
= un
a
a (n + 1)a
5.
Z
sec xdx =
Z
Z p
8
(3x − 7) 5
5
(3x − 7)3 dx =
8.
+c
3 · 58
=
9.
Z
5 p
5
(3x − 7)8 + c.
24
f ′ (x)dx
= ln |f (x)| + c.
f (x)
43