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Ingenierı́a Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS
FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo Diferencial e Integral 08-2
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y problemas, además de información
Ingenierı́a acerca
Matemática
del curso.
Universidad de Chile
SEMANA 5: PRIMITIVAS
3. Primitivas
Definición 3.1 (Primitiva). Una función F continua en un intervalo I ⊆
y derivable en Int(I), se llama primitiva de una función f sobre I ssi
Primitiva
∀x ∈ Int(I), F ′ (x) = f (x).
Observación:
1. Sean F1 y F2 dos primitivas de una función f sobre I, entonces:
F1′ = f ∧ F2′ = f ⇒ (F1 − F2 )′ = 0
⇒ F1 − F2 = cte = c
En consecuencia dos primitivas de una función difieren a lo más en
una constante.
2. Además si F es una primitiva de f , entonces la función F + c, con
c ∈ arbitraria, es otra primitiva de f .
Notación: El conjunto de todas las primitivas de f se anotará como
F es una primitiva de f , entonces notaremos:
Z
f = F + c.
Z
f . Si
Z
f
Es habitual,usar la notación clásica:
Z
f (x)dx = F (x) + c,
donde dx corresponde a un sı́mbolo que sirve paraZidentificar a la variable.
También suele llamarse integral indefinida de f a f (x)dx.
3.1. Primitivas o integrales indefinidas inmediatas
A continuación se presentan algunas primitivas cuyo cálculo es elemental:
Z
Z
xn+1
n
3.
sen xdx = − cos x + c.
+ c, ∀n 6= −1.
1.
x dx =
n+1
2.
Z
dx
= ln |x| + c = ln K|x|, K > 0.4.
x
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Z
cos xdx = sen x + c.
integral indefinida de f
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1 ax
e + c.
a
8.
Z
sec2 xdx = tan x + c.
Z
cosec2 xdx = cotan x + c.
Z
dx
= arctan x + c.
1 + x2
5.
Z
6.
Z
senh xdx = cosh x + c.
9.
7.
Z
cosh xdx = senh x + c.
10.
eax dx =
Z
dx
√
= arc sen x + c.
1 − x2
Z
p
−xdx
√
= 1 − x2 + c
12.
1 − x2
11.
Observación:
Z
1.
f ′ (x)dx = f (x) + c,
2.
d
dx
Z
Z
Z
f (x)dx = f (x),
Proposición 3.1.
1.
Z
f ±g =
2.
Z
αf = α
Z
f ′ = f + c.
f
= f.
es un operador lineal, es decir:
Z
f±
Z
Z
f,
∀α ∈
g.
.
1. Sean F + c =
Demostración.
′
Z
f y G+k =
Z
g, entonces F ′ = f y
G′ = g ⇒ (f ± g) = (F ± G)′ . Luego (F ± G) es primitiva de f ± g, es
decir:
Z
2. Sea F +c =
Z
f ±g =
Z
f±
Z
′
g.
′
f , entonces F = f y por ende (αF ) = αf . Ası́, αF =
de donde se concluye que
Z
αf = α
Z
Z
αf ,
f.
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3.2. Teorema de cambio de variable
Teorema 3.1 (Cambio de variable). Si u = g(x), entonces
Z
Z
Z
Z
′
f (u)du = (f ◦ g)(x) · g (x)dx o, equivalentemente
f = (f ◦ g) · g ′ .
Demostración. Sea F una primitiva de f , es decir F ′ (u) = f (u). Como u =
g(x), entonces F (u) = (F ◦ g)(x).
Calculemos:
(F ◦ g)′ (x) = F ′ (g(x)) · g ′ (x) = f (g(x)) · g ′ (x),
por lo tanto: (F ◦ g) es una primitiva de f (g(x))g ′ (x).
Es decir,
Z
Z
F (u) = f (u) y (F ◦ g) = (f ◦ g) · g ′ .
Z
Z
Pero F (u) = (F ◦ g)(x), luego f (u)du = (f ◦ g)(x)g ′ (x)dx.
Ejemplos:
Z
du
cos xdx
=
= arctan u + c = arctan(sen x) + c.
1.
1 + sen2 x
1 + u2
Z arctan x e
dx
2.
1 + x2
Z
u = arctan x → du =
=
Por lo tanto
3.
Z
Z
(
tan xdx =
4.
Z
Z
cotan xdx =
eu du = eu = earctan x + c.
earctan x
)dx = earctan x + x + c.
1 + x2
=−
por lo tanto:
Z
dx
1 + x2
Z
Z
sen xdx
cos x
u
du
du
= − ln |u| = − ln | cos x| = ln | sec x|,
u
tan xdx = ln | sec x| + c.
Z
= cos x
= − sen xdx
cos xdx
= ln | sen x| + c.
sen x
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cambio de variable
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sec x(sec x + tan x)
dx = ln | sec x + tan x| + c.
sec x + tan x
Z
Z
cosec x(cosec x − cotan x)
dx = ln | cosec x−cotan x|+
6.
cosec xdx =
cosec x − cotan x
c.
Z
u = ax + b
7. (ax + b)n dx ;
du =
adx
Z
1 un+1
1 (ax + b)n+1
du
=
+c=
+ c.
= un
a
a (n + 1)
a (n + 1)
5.
Z
sec xdx =
Z
Z p
8
(3x − 7) 5
5
+c
(3x − 7)3 dx =
3 · 58
5 p
5
(3x − 7)8 + c.
=
24
Z ′
f (x)dx
= ln |f (x)| + c.
9.
f (x)
8.
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