Propuesta_Prueba_1_-_IO1_-_2_2014

Propuesta Problema Modelamiento – Prueba 1 – Investigación Operativa 1
Grace Maureira A.
PROBLEMA 1
El ejército ruso utilizó un modelo de programación lineal para planificar la invasión a Ucrania. El plan
consistió en desembarcar tropas y vehículos militares en la Península de Crimea, comenzando por la ciudad
de Kerch, para luego avanzar por tierra a la ciudad de Feodosiya, luego a Kirovsky, a continuación a
Simferopol y finalmente a Belbek.
El número de tropas requeridas para tomar cada una de las cinco ciudades se calculó en 𝑇𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5). Se
estimó que en cada asalto podrían fallecer el 5% de las tropas y podrían perderse el 2% de los vehículos
militares. El costo unitario de trasladar las tropas y vehículos por tierra entre las ciudades 𝑖 y 𝑗 se estimó en
𝑘𝑖𝑗 y 𝑚𝑖𝑗 , respectivamente.
Una vez conquistada una ciudad, el número de soldados necesarios para asegurar su control se estimó en 𝐶𝑖 .
Evidentemente, las tropas dejadas en una ciudad para asegurar su control no pueden seguir en la campaña
de invasión.
En cada tropa, en las que participan en la invasión y en las que aseguran cada ciudad, se debe asegurar que
al menos exista un vehículo cada 10 soldados.
Previo a la invasión de cada ciudad, es posible reforzar el contingente militar enviando paracaidistas. El
costo de enviar cada soldado en avión se estimó en 𝑝, independiente del punto de destino.
Los costos de desembarco se estimaron en 𝑏 para los soldados y en 𝑑 para los vehículos militares.
a.- [18 puntos] Formule un modelo de programación lineal que permita planificar la invasión la Península
de Crimea a costo mínimo. Defina claramente los parámetros, variables, función objetivo y restricciones.
b.- [1 punto] Si al resolver el modelo, la respuesta sugiere 5,8 vehículos para llegar a una ciudad. ¿Cómo
lo interpreta usted, dado que es una variable continua y necesita concretar una respuesta entera?
c.- [2 puntos] Indique dos supuestos (dos líneas para cada uno) que simplifican el modelamiento
matemático
a.
Parámetros
𝑘𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑖 𝑦 𝑗 (𝑖 = 1 … 4; 𝑗 = 2 … 5)
𝑚𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑖 𝑦 𝑗
𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑑 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑎𝑟 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑇𝑖 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 … 5)
𝐶𝑖 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 … 5)
3,5 puntos (0,5 puntos por cada parámetro)
Variables de decisión
𝑥𝑖 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5)
𝑦𝑖 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5)
𝑧𝑖 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5)
𝑣𝑖 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5)
𝑞𝑖 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑖 (𝑖 = 1 . . . 5)
𝑖 = 1: 𝐾𝑒𝑟𝑐ℎ; 2: 𝐹𝑒𝑜𝑑𝑜𝑠𝑖𝑦𝑎; 3: 𝐾𝑖𝑟𝑜𝑣𝑠𝑘𝑦; 4: 𝑆𝑖𝑚𝑓𝑒𝑟𝑜𝑝𝑜𝑙; 5: 𝐵𝑒𝑙𝑏𝑒𝑘
5 puntos (1 punto por cada variable)
Función objetivo (j=i-1)
5
5
5
Min 𝑧 = 𝑏 × 𝑥1 + 𝑑 × 𝑦1 + ∑ 𝑘(𝑖−1)𝑖 × 𝑥𝑖 + ∑ 𝑚(𝑖−1)𝑖 × 𝑣𝑖 + 𝑝 ∑ 𝑦𝑖
𝑖=2
𝑖=2
𝑖=1
2,5 puntos (0,5 puntos por cada parte de la FO)
Propuesta Problema Modelamiento – Prueba 1 – Investigación Operativa 1
Grace Maureira A.
Restricciones
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑜𝑝𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠] 𝒙𝒊 + 𝒚𝟏 ≥ 𝑻𝒊 ∀𝑖 = 1 … 5
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑖𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑] 𝒛𝒊 ≥ 𝑪𝒊 ∀𝑖 = 1 … 5
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑣𝑜𝑠] 𝒙𝒊 = 𝟎, 𝟗𝟓(𝒙𝒊−𝟏 + 𝒚𝒊−𝟏 ) − 𝒛𝒊−𝟏 ∀𝑖 = 2 … 5
𝟏
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜] 𝒗𝒊 ≥ (𝒙𝒊 + 𝒚𝒊 ) ∀𝑖 = 1 … 5
𝟏
𝟏𝟎
(1 punto)
(1 punto)
(1 punto)
(1 punto)
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑖𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜] 𝒒𝒊 ≥ 𝒛𝒊 ∀𝑖 = 1 … 5
(1 punto)
𝟏𝟎
[𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑒ℎí𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑] 𝒗𝒊 = 𝟎, 𝟗𝟖𝒗𝒊−𝟏 − 𝒒𝒊−𝟏 ∀𝑖 = 2 … 5 (1 punto)
𝒙𝒊 , 𝒚𝒊 , 𝒛𝒊 , 𝒗𝒊 , 𝒒𝒊 ≥ 𝟎 ∀𝑖 = 1 … 5
(1 punto)
b. Es necesario revisar los posibles resultados factibles que se tengan para el modelo, antes
de la solución óptima planteada. Intuitivamente se podría verificar si el valor anterior
(entero) a 8,5 es factible para el PPL y si entrega un óptimo adecuado (no muy alejado del
valor óptimo). Entonces, si es factible se recomendaría considerar 8 vehículos. (1 punto)
c. Posibles supuestos:
 El recurso persona es abundante, puede conseguir todo el que requiere.
 Lo mismo en el caso de los vehículos.
 Supone variables continuas siendo enteras.
 Supone comportamiento determinístico en los porcentajes de muerte y destrucción de
vehículos
 Supone linealidad en los costos.
(2 puntos)