Funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas

Funciones exponencial, logarítmica e
hiperbólicas
Introducción
Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente unido
de las tablas logarítmicas. En la actualidad, con la creciente utilización de
las calculadoras en todos los niveles, el cálculo logarítmico se ha simplificado
enormemente.
La invención de los logaritmos (palabra de origen griego: logos (logos) =
tratado, arithmos (ariqmos) = números), se debe al matemático John Napier
(1550-1617), quien se interesó fundamentalmente por el cálculo numérico y la
trigonometría. En 1614, publicó su obra Logarithmorum canonis descriptio,
donde explica cómo se utilizan los logaritmos.
En 1615, el matemático inglés Henry Briggs (1561-1631), visitó a Napier
y le sugirió utilizar como base de los logaritmos el número 10. A Napier le
agradó la idea y se comprometieron a elaborar las tablas de los logaritmos
decimales. Napier muere y se queda Briggs con la tarea.
En 1618, Briggs publicó Logarithmorum Chiliaes prima, primer tratado
sobre los logaritmos vulgares o de Briggs, cuya base es el número 10.
En 1620, el hijo de Napier publicó la obra de su padre Mirifici logarithmorum canonis constructio (”Descripción de la maravillosa regla de los
,,
logaritmostt) donde ya se explica el proceso seguido por Napier, mediante
la comparación de progresiones y la utilización de unas varillas cifradas, llamadas varillas o regletas de Napier, para llegar a sus resultados sobre los
logaritmos.
Las tablas de los logaritmos decimales de Briggs fueron completadas de
1 a 100 000 en 1628 por el matemático Vlacq.
Estos resultados fueron muy bien acogidos por el mundo científico del
momento, que no dudó en utilizarlos para la resolución de cálculos numéricos.
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Función exponencial
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y
distinto de 1, a la función
f
: R→R
x → ax
En primer lugar recordaremos algunas propiedades de las potencias.
a0 = 1
a1 = a
1
a−n =
n
a√
n
m n
am =
a .
Para entender lo que significa ax siendo x un número real, notaremos
que siempre existe una sucesión xn de números racionales que converge a x.
Así, se define ax como limn→∞ axn . Se puede demostrar, que es una buena
definición, es decir, que no depende de la elección de xn , sólo de que converja
a x.
Por otra parte, si a > 1 la función es creciente y si a < 1 decreciente.
Figure 1: Izquierda a > 1, Derecha a < 1.
Otras propiedades a tener en cuenta son:
ax = ay → x = y
ax ay = ax+y
ax
= ax−y
ay
(ax )y = axy .
2
Usando las propiedades descritas podemos resolver ecuaciones exponenciales.
2
Ejemplo 1 Resolver 21−x = 18 .
En primer lugar debemos poner los términos de la igualdad en potencias
de 2.
2
21−x
2
21−x
2
21−x
1
8
1
= 3
2
= 2−3
=
1 − x2 = −3.
Así, debemos de resolver la ecuación:
x2 − 4 = 0
cuyas soluciones son x = ±2.
De forma análoga se pueden resolver sistemas de ecuaciones exponenciales.
Función logarítmica
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1 y un número N
positivo y no nulo, se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que
hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe
loga N = x
y se lee ńlogaritmo en base a de N es igual a xż.
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que
ax = N (notación exponencial).
La función logarítmica es una biyección de los números reales positivos
sin el cero en el conjunto de los números reales. Es la función inversa de la
función exponencial.
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Algunas de sus propiedades son:
loga 1
loga a
loga ax
aloga x
=
=
=
=
loga (uv) =
u
loga ( ) =
v
loga (un ) =
√
loga ( n u) =
0
1
x
x
loga u + loga v
loga u − loga v
nloga u
loga u + loga v
Representación gráfica
Figure 2: Izquierda a > 1, Derecha a < 1.
Para resolver ecuaciones logarítmicas se ha de tener en cuenta que al
tratarse de un función biyectiva se verifica que
loga u = loga v ⇐⇒ u = v
Ejemplo 2 Resolver la ecuación 2log10 x = 1 + log10 (x − 0.9).
log10 x2 = log10 10 + log10 (x − 0.9)
log10 x2 = log10 [10(x − 0.9)]
x2 = 10x − 9
x2 − 10x + 9 = 0
Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1.
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Definición 1 Se llaman logaritmos decimales a los que tienen como base el
número 10 y se llaman neperianos a los que tienen como base el número e.
Cambio de base
loga N =
logb N
logb a
loga b =
1
logb a
Cologaritmo
cologa N = loga
1
N
Funciones hiperbólicas
Se llaman funciones hiperbólicas a las funciones:
a) Seno hiperbólico Shx = 12 (ex − e−x ).
b) Coseno hiperbólico Chx = 12 (ex + e−x ).
x
−x
c) Tangente hiperbólica T hx = eex −e
.
+e−x
2
2
Se verifican las relaciones Ch x + Sh x = 1 y T hx = Shx/Chx.
Las funciones inversas son:
a) Argumento seno hiperbólico y = ArgShx.
b) Argumento coseno hiperbólico y = ArgChx.
c) Argumento tangente hiperbólico y = ArgT hx.
Se verifica que:
p
ArgSh(x) = loge (x + (x2 + 1)),
p
ArgCh(x) = loge (x + (x2 − 1)), x ≥ 1
1
1+x
ArgT h(x) =
loge
, −1 < x < 1.
2
1−x
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