www.clasesalacarta.com 1 Tema 1.- Números Reales Clasificación de Números Reales Naturales N Negativos Decimales Exactos Fraccionarios Decimales Periódicos Puros Decimales Periódicos Mixtos Enteros Reales R Racionales Q Irracionales Ι Z Racionales (ℚ) Son todos los números que puede expresarse como el cociente de dos nº enteros, siendo el denominador distinto de cero Q= a b a ∈ Z ;b ∈ Z ; b ≠ 0 → Q= 5 1 2 ,- ,- ,… 4 2 2 Enteros (ℤ) Fraccionarios o Decimales Son los números sin parte decimal (positivos y negativos) Exacto 2,25 ℤ = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...} Periódico Puro Naturales (ℕ) 2,25252525… Son los números enteros positivos. Existen los cardinales (1, 2, 3,…) y los ordinales (1º, 2º, 3º,…) 2,25 Periódico Mixto 2,25813131313… ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} 2,25813 Irracionales (?)? Son números decimales con un nº ilimitado de cifras decimales no periódicas, es decir, no se pueden expresar como fracción 2 = 1,414213562… ϕ= 3= 1,732050808… 1+ 5 = 1.618033989… 2 e = 2,718281828459045… π = 3.141592654… Pasar de Decimal a Fracción Exacto Periódico Puro Periódico Mixto Método I Método II Método I Método II Método I Método II 2.38 N = 2.38 2.38 N = 2.38 2.38 N = 2.38 100 N = 238 238 119 = 100 50 238 N= 100 119 = 50 10 N = 23.8 100 N = 238.38 238-2 236 = 99 99 100N = - N = 238.38 2.38 99N = N= 236 236 99 238-23 215 = 90 90 = 43 18 10 ·10N = 238.8 100N = - 10N = 90N = N= 238.8 23.8 215 215 43 = 90 18 Bárbara Cánovas Conesa 2 Matemáticas _ B_ 4º ESO Concepto de Números Reales Es el conjunto de los números Racionales e Irracionales (son todos los nº!!!!!!) R Q Z I Nos permiten hacer todas las operaciones, menos PAR nº < 0 y la división por cero N Representación de Números Reales sobre la Recta Real Enteros o Decimales Exactos Decimales Periódicos 1.83 = 11 11 = 6 1 6 =1+ 5 5 6 Irracionales Cuadráticos 2 2 5 = 2 +1 1º 3º 3.4 0 1 2 3 Irracionales: Aproximación 2 = 1.414213562… 0 1 2 3 1.3 1.4 1.5 1.6 12 5 4 2º 1 4º 0 22 2 2 1.40 1.41 1.42 1.43 … Operaciones de Números Reales Suma: Propiedades 1. Interna: el resultado de sumar dos nº reales es otro número real: a + b ℝ 2. Asociativa: el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado: (a + b) + c = a + (b + c) 3. Conmutativa: el orden de los sumandos no varía el resultado : a + b = b + a 4. El elemento neutro de la suma es el 0 porque todo nº sumado con él da el mismo nº: a + 0 = a 5. Elemento opuesto: dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. Producto: Propiedades 1. Interna: el resultado de multiplicar dos números reales es otro número real: a · b ℝ 2. Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado: (a · b) · c = a · (b · c) 3. Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto: a · b = b · a 4. El elemento neutro de la multiplicación es el 1 porque todo nº multiplicado por él da el mismo nº: a ·1 = a 5. Elemento inverso: un nº es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad (1) : a · 1 a =1 6. Distributiva: el producto de un nº por una suma es igual a la suma de los productos de dicho nº por cada uno de los sumandos: a · (b + c) = a · b + a · c 7. Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor: a · b + a · c = a · (b + c) www.clasesalacarta.com 3 Tema 1.- Números Reales Diferencia División a − b = a + (−b) Es el producto del dividendo por el inverso del divisor 10 ÷ 5 = 10 · 1 10 = =2 5 5 Intervalo Conjunto de nº reales comprendidos entre otros dos nº: a y b (extremos del intervalo) Nombre Símbolo Significado Representación Intervalo Abierto (a, b) x/a < x < b a b Intervalo Cerrado [a, b] x/a ≤ x ≤ b a b Intervalo Semiabierto por la Izquierda (a, b] x/a < x ≤ b a b Intervalo Semiabierto por la Derecha [a, b] x/a ≤ x < b a b Semirrecta Está determinada por un nº. En una semirrecta se encuentran todos los nº mayores (o menores) que él Recta Real ℝ = -∞,+∞ Nombre Símbolo Significado x<a -∞, a {x R / - < x < a} xa -∞, a {x R / - < x a} x>a a, +∞ {x R / a < x < +} x a a, +∞ {x R / a x < +} Representación a a a a Valor Absoluto de un Nº Real a = -a +a si a<0 si a>0 3 =3 -3 = 3 x =3 x >3 x < -3 ó x>3 x = -3 x=3 (-, -3) (3, +) x < 3 -3 < x < 3 x - 3 < 7 -7 < x - 3 < 7 x (-3, 3) -7 + 3 < x < 7 + 3 -4 < x < 10 Bárbara Cánovas Conesa Matemáticas _ B_ 4º ESO Propiedades a·b = a · b a = -a a + b a + b Distancia d (a, b) = |b − a| Entornos: Er(a) E(a,r) Un entorno de centro a y radio r, es el intervalo abierto (a - r, a + r) -r a +r Er(a) = (a - r, a + r) |x - a|< r a - r < x < a + r Entornos laterales Por la izquierda Por la derecha Er(a-) = (a - r, a] Er(a+) = [a, a + r) a a-r a+r a Entorno reducido Se usa para saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto E r*(a) = {x (a - r, a + r), x ≠ a} -r a +r Potencias n a0 = 1 a×b n = an × b a1 = a a÷b n = an ÷ b am × an = am + n n a-m = am ÷ an = am - n m n a m×n =a a b -m = b a 1 am m m = b am 4 www.clasesalacarta.com 5 Tema 1.- Números Reales Notación Científica 2,75·10 12 -12 = 2.750.000.000.000 2,75·10 = 0,000000000275 Suma y Resta 9 12 5,83·10 + 6,932·10 - 7,5·10 10 9 9 9 9 12 = 5,83·10 + 6932·10 - 75·10 = 6862,83·10 = 6,86283·10 Multiplicación, División y Potencia 9 5,8·10 × 6,9·10 12 9 5,8·10 ÷ 6,9·10 5,8·10 9 2 = 5,8 × 6,9 ·10 12 9+12 = 5,8 ÷ 6,9 ·10 2 = 5,8 9 2 · 10 21 = 40,02·10 = 4,002·10 9-12 -3 = 0,84·10 = 33,64·10 18 22 -4 = 8,4·10 = 3,364·10 19 Raíces ÍNDICE n Radicando → +n a -n a a < 0 → ∃ raíz de índice impar a≥0→∃ a → Forma Exponencial a m n = n am Propiedades n×p ap = n a n n n a× n a m n a = b b n a = m × n a : Raíz n n b= a×b a p = n ap Suma o Diferencia 8 + 18 + 4 3 2 2500 = 2 + 2 × 3 + 4 5 4 2 × 5 = 2 2 + 3 2 + 5 2 = 10 2 Multiplicación y División Mismo Índice 3· 4 = 3·4 = 12 Reducción a índice común 3 2 2 ÷ 4 3 3 → m.c.m 3, 4 =12 → 12 2 2 12 3 12 ÷ 3 3 12 4 = 12 2 2 4 ÷ 12 3 3 3 = 12 2 8 ÷ 12 9 3 = 12 8 2 39 Bárbara Cánovas Conesa 6 Matemáticas _ B_ 4º ESO Racionalización de Denominadores a b a m b a b+ c → b a → c a → m c b a b+ c b · b a · m m-c b b- c · b- c 1 → 25 → → 1 3 25 1 5- 3 1 = 25 = = 1 3 5 25 × 2 1 5- 3 25 = · 3 1 3 5 25 5 = 2 · 5+ 3 5+ 3 3 = 3 𝟓3 - 2 = 𝟓3 - 2 5 5 5+ 3 5+ 3 = 25 - 3 22 Números Aproximados Cifras Significativas Son los dígitos de un número que consideramos no nulos. Son las que se saben con exactitud Norma Ejemplo Todos los dígitos 0 1.457 4 cifras significativas 1 Los 0 situados entre 2 cifras significativas (nº 0) 1.407 4 cifras significativas Los 0 a la izquierda de la primera cifra significativa (nº 0) 0.057 2 cifras significativas Para nº > 1, los 0 a la derecha de la coma 3.00 3 cifras significativas ¡OJO! Para nº sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra 3 · 102 1 cifra significativa 0, pueden o no considerarse significativos???? 3’0 · 102 2 cifras significativas Se evita con la notación científica Redondeo Redondeo con 3 cifras significativas o a las unidades: 123,421 ≅ 123,000 123,521 ≅ 124,000 123,721 ≅ 124,000 Control del Error Cometido Error Absoluto = Valor Rea l- Valor Aproximado Error Relativo = Error Absoluto Valor Real Las cotas de los errores son cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas www.clasesalacarta.com Tema 1.- Números Reales Logaritmos argumento log a x = y logaritmo base loga x = y → ay = x → a>0 a≠0 2 log2 4 = 2 → 2 = 4 Propiedades ∄ log -a x loga xn = n loga x loga a = 1 loga an = n ∄ loga -x ∄ loga 0 loga loga x · y = loga x + loga y loga 1 = 0 loga n x = 1 loga x n Cambio de base x = loga x - loga y y loga x = logb x logb a Logaritmos decimales Base 10 log10 x = log x Logaritmos neperianos Base nº e Lne x = Ln x Ln x · y = Ln x + Ln y Ln 1 = 0 Ln x = Ln x - Ln y Ln y Ln e = 1 n Ln e = n Ln xn = n · Ln x Ln n x= 1 Ln x n 7