Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas Bordcoch, Melina; Rojas, Teresita A. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. U.N.Ca. Av. Belgrano al 300. melina_bordcoch@hotmail.com Recepción: 04/09/2012 Aceptado para publicación: 01/03/2013 Resumen: El objetivo de este trabajo es estudiar las formulaciones KNT y de Nurowski de las ecuaciones conformes de Einstein de vacío a través de un esquema perturbativo. Luego, se traducen al Formalismo de Superficies Nulas y se comparan los resultados entre sí. Palabras clave: Transformaciones Conformes; Einstein; Formalismo de Superficies Nulas. Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 17 17 Espacios Bordcoch, M.; Rojas, T. A. de Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 Perturbative Scheme of Conformal Einstein Equations in the Null Surfaces Formalism. Abstract: The goal of this work is to study the KNT version and the Nurowski version of the conformal Einstein equations trough a perturbative scheme. Then, these are written in terms of the variables of the Null Surface Formulation and we compare the results thus obtained among them. Key words: Conformal Transformations; Einstein Spaces; Null Surfaces Formalism. Introducción: En el presente trabajo se estudiarán dos formulaciones que describen un espacio conforme de Einstein. La primera de ellas fue desarrollada por Kozameh, Newman y Tod y afirma que una métrica conforme Einstein es aquella que anula el tensor de Bach. La segunda formulación recientemente publicada por P. Nurowski, demuestra que para esta clase de métricas, es condición suficiente y necesaria la anulación de un cierto tensor, polinomial en términos del tensor de Weyl y sus derivadas covariantes. La idea principal de este trabajo es analizar los resultados obtenidos en las formulaciones antes mencionadas en el Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 18 18 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 contexto del formalismo de superficies nulas a través de un esquema perturbativo. En primer lugar se hará una breve descripción de la formulación tensorial de la teoría de la Relatividad General, donde el tensor métrico tiene un rol fundamental. Luego se estudiarán las propiedades conformes y las condiciones que deben cumplir los espacios de formulaciones Einstein. que En exponen este las punto, se condiciones analizarán suficientes las y necesarias para que un espaciotiempo esté relacionado con un espacio de Einstein por medio de una transformación conforme. Posteriormente, se realizará una breve revisión del Formalismo de Superficies Nulas (Null Surfaces Formulation-NSF), se escribirán las ecuaciones para Espacios Conformes de Einstein en el marco de este formalismo y seguidamente se analizarán a través de un esquema perturbativo. Se presentan cálculos auxiliares en el Apéndice. Relatividad General: El elemento geométrico básico para la descripción de un espaciotiempo en Relatividad General es el tensor métrico g , un tensor de dos índices, simétrico, no degenerado para el cual sus componentes g ab en una base coordenada específica se escriben de la siguiente manera: g = g ab dx a dxb Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 19 19 (1) Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 A partir del tensor métrica se definen los tensores fundamentales de la teoría. Por ejemplo, la curvatura de un espaciotiempo está representada por el Tensor de Riemann Rabc d de manera tal que si R abcd = 0 el espacio tiempo que describe es plano. La Relatividad General es una teoría para la estructura del espacio y la gravitación. El espaciotiempo es una variedad g ab . La sobre la cual está definida una métrica de Lorentz curvatura de esta métrica está relacionada con la distribución de materia por medio de la ecuación de Einstein, que se escribe como: Gab = 8πTab (2) donde Tab es el tensor energía-momento que incluye la información de la fuente que origina la curvatura del espacio tiempo y Gab es el Tensor de Einstein, el cual contiene la información de la geometría y viene dado por: 1 Gab = R ab − Rg ab . 2 (3) Aquí, el Tensor de Ricci Rab = g cd Racbd es la traza del Tensor de Riemann mientras que el Escalar de Curvatura R = g ab Rab , es la traza del Tensor de Ricci. (Para ver las expresiones detalladas en términos de la métrica de cada uno de estos tensores, ver Apéndice) Si se fija Tab = 0 en la expresión (2), entonces G ab = 0 describe las ecuaciones de Einstein de vacío. En general, si Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 20 20 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 se descompone el tensor de Einstein en términos de la parte con traza y la parte sin traza G ab = G ab + 1 g ab G 4 y se somete a las identidades de Bianchi, ∇ a G ab = 0 , la constante de integración de esta ecuación es la constante cosmológica para el caso de ausencia de fuentes. Sin embargo, el interés de este trabajo reside en encontrar métricas que describen espaciotiempos de Einstein para los cuales, como se verá en el siguiente apartado, la parte con traza de las ecuaciones es redundante. Propiedades Conformes y Espacios de Einstein En esta sección se estudiarán las condiciones necesarias y suficientes para que espaciotiempos de Riemann estén conformemente relacionados con espacios de Einstein. Es decir, de todas las métricas conformes g~ ab posibles, son de especial interés aquellas que están relacionadas con métricas g ab que satisfacen la ecuación de Einstein sin traza de vacío. ~ Se dice que dos espacio tiempos V y V cuyos tensores métrica son ds 2 = g~ab dx a dx b y ds 2 = g ab dx a dx b respectivamente, están conformemente relacionados si se cumple que: g~ab = e 2ω g ab (4) donde ω es una función (suave) de x1 ,..., x 4 y e 2ω = Ω 2 se denomina Factor Conforme. Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 21 21 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 Por lo tanto, puede sustituirse g ab por g~ab en los tensores definidos en la sección anterior para obtener así la formulación conforme de los tensores en Relatividad General. ~ ~ Sean Rab el Tensor de Ricci y R el escalar curvatura ~ ~ pertenecientes a V . Se dice que V es un espacio de Einstein si y sólo si se cumple: 1~ ~ Rab − R g~ab = 0 4 (5) que corresponde a las ecuaciones de conformes de Einstein sin traza de vacío, donde: ( ~ Rab = Rab + 2∇ a ω b − 2ω a ωb + g ab 2ω c ω c + ∇ c ω c ) (6) y [ )] ( ~ R = e −2ω R + 6 ∇ c ω c + ω c ω c , con ω c = ∇ c ω . De esta manera, una métrica Conforme de Einstein es aquella que anula la parte sin traza del Tensor de Ricci y satisface además la ecuación (4). Aunque en la mayoría de los casos los tensores no preservan su forma en el proceso de rescaleo, existen tensores que son invariantes conformes. Un tensor T con cualquier número de índices covariantes y contravariantes, bajo un rescaleo conforme transforma como: ~ T = e kω T , Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 22 22 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 donde el número entero k se denomina peso conforme. Si k = 0 , el tensor T se dice que es invariante conforme. Un ejemplo de este tipo de tensores es el Tensor de Weyl. En este caso, bajo un rescaleo conforme se obtiene: ~ d d C abc = C abc , donde: 1 C abcd = Rabcd + g a [d Rc ]b + g b[c Rd ]a + g a [c g d ]b R . 3 (7) En la década del ochenta, Kozameh, Newman y Tod (Kozameh, Newman y Tod, 1985), estudiaron transformaciones conformes en cuatro dimensiones. En principio, el interés de ese trabajo se enfocó en una clase especial de espaciotiempos, los denominados C-espacios, para los cuales se satisface que ∇ d C abcd = 0 . Un espaciotiempo puede ser transformado en un C- espacio por medio de una transformación conforme si existe un ω para el cual se cumple que ∇ d C abcd + ω d C abcd = 0 . Luego de resolver (8) algebraicamente para ωd , esta ecuación es una condición necesaria y suficiente para definir un espaciotiempo conformemente relacionado con un C-espacio. Tomando ∇ a a la ecuación (8) y usando además la parte sin traza de la expresión (6) igualada a cero, se puede demostrar que un espaciotiempo está conformemente relacionado con un espacio de Einstein si y sólo si: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 23 23 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 1 ⎛ ⎞ Bbc = ⎜ ∇ a ∇ d − R ad ⎟C abcd = 0 2 ⎝ ⎠ (9) donde B ab es el Tensor de Bach, un tensor de dos índices, simétrico y sin traza. Nota: Los espacios conformes de Einstein son una subclase particular de los C-espacios. Los resultados obtenidos por Kozameh, Newman y Tod en cuatro dimensiones fueron generalizados por R. Gover y P. Nurowski (Gover y Nurowski, 2004) para el caso n -dimensional. Fijando sus resultados para n = 4 , estos autores afirman que una métrica g es una métrica conforme de Einstein si y sólo si se satisface ⎡1 ⎤ E ab = Tracefree ⎢ Rab − ∇ a K b + K a K b ⎥ = 0 , ⎦ ⎣2 (10) 4C eabc ∇ d C dabc K =− , C2 (11) donde: e con 1 2 e C δ d = C eabc C dabc . 4 Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 24 24 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 El análisis hecho hasta aquí se lleva a cabo suponiendo que C 2 ≠ 0 ; esta restricción excluye soluciones más generales. Comparando ambos trabajos, las expresiones (9) y (10) describen el mismo tipo de espaciotiempos, es decir, ambos tensores se anulan para métricas conformes de Einstein. El propósito de este trabajo ahora es escribir estas ecuaciones en el contexto del Formalismo de Superficies Nulas. Formalismo de Superficies Nulas El tensor métrico juega un rol esencial en Relatividad General, ya que a partir de él se definen las cantidades más significativas de la teoría. Sin embargo, el Formalismo de Superficies Nulas (NSF - Null Surface Formalism) propone una reformulación de las ecuaciones de Einstein en términos de nuevas variables, que pueden ser consideradas más fundamentales incluso que la geometría del espacio-tiempo. De esta manera, la estructura del espaciotiempo pasa a ser un concepto derivado de una estructura más esencial aún, donde el tensor métrica aparece, pero como una idea secundaria. ( El formalismo introduce una función Z x a , ζ , ζ puntos del espacio-tiempo y (ζ , ζ que para cada (ζ , ζ ) ) ) con x a parámetros sobre la esfera, tal fijo, Z = cte define una familia de superficies nulas sobre la variedad. La construcción de la estructura conforme ( a partir de Z x a , ζ , ζ ) se obtiene partiendo de esa propiedad. Es decir, que x a se sitúe sobre una hipersuperficie de Z = cte para Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 25 25 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 (ζ , ζ ) fijo, es equivalente a la condición de que x a está conectado ( ) (( ) al punto u, ζ , ζ = Z x, ζ , ζ , ζ , ζ ) en ℑ − por medio de una geodésica ( ) nula y así x a yace sobre el cono de luz del punto u, ζ , ζ en ℑ − , que es una superficie nula. Sea ∂ a = ∂ la derivada con respecto a las coordenadas. ∂x a Los argumentos expuestos en el párrafo anterior demuestran que el covector ∂ a Z debe ser nulo. Así, la métrica conforme viene determinada por: g ab ∂ a Z∂ b Z = 0 (12) En general, la función de corte Z (x a , ζ , ζ ) no corresponde a una estructura conforme y por lo tanto, es necesario el conocimiento de las condiciones que deben ser impuestas sobre Z = cte para que puedan ser pensadas como tales. En la búsqueda de estas condiciones surgen dos tipos de ecuaciones, el primero nos brinda las componentes de la métrica mientras que el segundo tipo identifica las ecuaciones a satisfacer por Z . Las componentes y las condiciones se expresan mejor al introducir un sistema de coordenadas nulo dado por un conjunto de cuatro escalares asociados con Z , denominados de la siguiente manera: θ i = (θ 0 ,θ + ,θ − ,θ 1 ) = (Z , ∂/Z , ∂/Z , ∂/∂/Z ) = (u, ω , ω , R ) . Introduciendo la base coordenada asociada θ ai = ∂ aθ i y su inversa θ ia (tal que θ iaθ aj = δ i j ), se puede probar que las condiciones se escriben en términos de dos escalares Λ ≡ ∂/ 2 Z Ω 2 ≡ g ab ∂ a Z∂ b (∂/∂/Z ) de la siguiente manera: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 26 26 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. y Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 1 ∂/Ω = WΩ 2 (mI) 1 ⎛ ⎞ ⎜ ∂ ω − ∂/∂ R ⎟Λ = −[W + ∂/ (ln q )]∂ R Λ 2 ⎝ ⎠ (mII) Donde: q = 1 − ∂ R Λ∂ R Λ (13) y 1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎞ 1 W ⎜1 − ∂ R Λ∂ R Λ ⎟ = ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ + ∂ R Λ⎜ ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ ⎟ − ∂/ ln q − ∂ R Λ∂/ ln q . (14) 2 2 2 4 ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ 2 Cuando el operador ∂/ y su complejo conjugado ∂/ se ( aplican sobre una función f x a , ζ , ζ ) actúan como las derivadas covariantes en la esfera con respecto a ζ y ζ , respectivamente. De ( ) todas maneras, si se escribe x a = x a θ i , ζ , ζ , en este sistema de coordenadas, el operador ∂/ adopta la siguiente forma: ( ) ∂/ = ∂/ '+ω∂ 0 + Λ∂ ω + R∂ ω + ∂/Λ − 2ω ∂ R También puede demostrarse que, como una consecuencia de las ecuaciones (mI) y (mII), es posible construir una métrica ( ) g~ ab (x ) , es decir, independiente de los parámetros ζ , ζ , como una función de Λ y Ω . La forma explícita de la métrica está dada por ( ) g~ ab = g~ ij Λ, Λ θ iaθ bj con Ω 2 g ij = g~ ij y: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 27 27 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 0 0 ⎛0 ⎜ −1 ⎜0 − ∂RΛ g ij = ⎜ 0 −1 − ∂R Λ ⎜ 1+ ⎜1 g g 1− ⎝ 1 ⎞ ⎟ g 1+ ⎟ g 1− ⎟ ⎟ 11 ⎟ g ⎠ (15) donde: g 1+ = g 1− = − ( 1 ∂/∂ R Λ + ∂ R ΛW 2 ) y g 11 = −2 − Hasta ahora ( ) 1 2 ∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ + O Λ2 2 la descripción de la teoría ha sido puramente cinemática. Hasta aquí, se ha expuesto que las variables Λ y Ω deben satisfacer las condiciones de metricidad (mI) y (mII) para definir métricas Lorentzianas. Ahora, se incorpora el problema de encontrar una métrica que además satisfaga la ecuación (5). Contrayendo (5) con θ1aθ1b y usando la forma explícita de la métrica en este sistema de coordenadas se obtiene: ∂ R Ω = QΩ (E) 1 3 1 2 2 Q = − ∂ 2R Λ∂ 2R Λ − (∂ R q ) + ∂RΛ . q 8q 4q (16) 2 donde: Así, las ecuaciones (E), (mI) y (mII) constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales equivalentes a las ecuaciones de vacío de Einstein. La ecuación (E) deja claro que si se la quiere Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 28 28 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 estudiar como una ecuación para la función de corte Z , es necesario el conocimiento del factor conforme Ω . Procediendo de la misma manera que con la ecuación (5), pueden escribirse las distintas formulaciones de las ecuaciones conformes de Einstein dentro de este formalismo. Analizando en principio el Tensor de Bach, es decir, contrayendo la ecuación (9) con θ1aθ1b , se obtiene: ( ) Babθ1aθ1b = B11 = ∇ c ∇ d + R cd C1c1d = 0 (17) Puede observarse que, en el contexto del NSF, el problema de resolver el sistema completo de las nueve ecuaciones de Bach se reduce a la resolución de una única ecuación, la componente B11 . Antes de escribir la expresión (17) en términos de las funciones Λ y Ω , se expresa la ecuación (10) en este formalismo. En primer lugar, sustituyendo la expresión (11) en la ecuación (10) y trabajando algebraicamente, se obtiene: ( ) 1 2 2 C Rab 2 + C 2 (∇ a Cbcde ) ∇ f C fcde + C 2 C bcde ∇ a ∇ f C fcde − 4 Cbcde ∇ f C fcde C fcde ∇ f C acde = 0 E ab = ( ) ( )( ) (18) Contrayendo ahora la ecuación (18) con θ1aθ1b , se obtiene: ( ) ) 1 2 2 C R11 2 + C 2 (∇1C1cde ) ∇ f C fcde + C 2 C1cde ∇1∇ f C fcde − 4 C1cde ∇ f C fcde C fcde ∇ f C1cde = 0 E abθ1aθ1b = E11 = ( ( )( ) 19) Con el fin de que B11 y E11 contengan la estructura conforme, el tensor de Weyl, el tensor de Ricci y los operadores derivadas covariantes que aparecen en las ecuaciones (17) y (19) deben estar definidos para una métrica como la que brinda la Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 29 29 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 ecuación (15). El hecho de que sólo sea necesario conocer las componentes B11 y E11 en lugar de los sistemas completos es cierto cuando la estructura conforme de estos tensores es independiente ( ) de los parámetros ζ , ζ . En otras palabras, si ( ) ( ) B11 = Bab (x )θ1a ζ , ζ θ1b ζ , ζ y ( ) ( ) E11 = Eab (x )θ1a ζ , ζ θ1b ζ , ζ , entonces pueden obtenerse todas las ecuaciones de Bach y todas las componentes del tensor E ab tomando ∂/ y ∂/ un número apropiado de veces a cada ecuación respectivamente. Hasta el momento, tanto B ab como E ab están expresados en términos de ciertas componentes del Tensor de Weyl y sus derivadas. En la siguiente sección, estas ecuaciones serán escritas en términos de Λ y Ω , donde se estudiará cada una de ellas dentro de un esquema perturbativo. Esquema Perturbativo En primer lugar se analizarán las ecuaciones conformes de Einstein en el contexto en el cual se asume que la métrica de la ecuación (15) difiere de la métrica para un espaciotiempo plano en un término h ij , que representa una pequeña desviación en función de los términos de primer orden en Λ . De esta manera, (15) se escribe como g ij = η ij + h ij , es decir: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 30 30 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 0 0 0 ⎞ ⎛0 ⎟ ⎜ 1 0 0 0 1 ⎞ ⎜0 ⎛ 0 − ∂RΛ − ∂/∂ R Λ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜0 0 −1 0 ⎟ ⎜ ij 1 g =⎜ + ⎟ ⎜ 0 − ∂R Λ − ∂/∂ R Λ 0 −1 0 0 ⎟ ⎜0 ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜1 0 ⎟ 1 1 1 2 0 − 2 ⎟⎠ ⎜ ⎝ ⎜ 0 − ∂/∂ R Λ − ∂/∂ R Λ − ∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝ (20) y su inversa: ⎛2 ⎜ ⎜0 g ij = ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝ ⎛ 1 2 ⎜ − ∂/ ∂ R Λ + ∂/∂ ω Λ 0 0 1⎞ ⎜ 2 ⎟ 1 0 − 1 0⎟ ⎜ ∂/∂ R Λ +⎜ 2 ⎟ −1 0 0 ⎜ 1 ⎟ ∂/∂ R Λ 0 0 0 ⎟⎠ ⎜ 2 ⎜ 0 ⎝ 1 ∂/∂ R Λ 2 − ∂RΛ 0 0 1 ⎞ ∂/∂ R Λ 0 ⎟ 2 ⎟ 0 0⎟ ⎟ ⎟ − ∂ R Λ 0⎟ ⎟ 0 0⎠ (21) donde se utilizan η ij y η ij para levantar y bajar índices. En principio, se escriben la ecuación de Einstein de vacío y las condiciones de metricidad en el marco de esta aproximación tomando los términos de O (Λ ) de las expresiones (13), (14) y (16). La versión linealizada de las ecuaciones (E), (mI) y (mII) se denotan de la siguiente manera: ∂R Ω = 0 2 (E’) 1 ⎛ ⎞ ∂/Ω = ⎜ ∂ ω Λ + ∂/∂ R Λ ⎟Ω 2 ⎝ ⎠ (mI’) 1 ⎛ ⎞ ⎜ ∂ ω − ∂/∂ R ⎟Λ = 0 2 ⎝ ⎠ (mII’) De esta manera, al resolver la ecuación (E’) e imponer las condiciones (mI’) y (mII’), se obtiene como resultado la función Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 31 31 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 Λ , y en su defecto Z , a partir de la cual se define una métrica conforme de Einstein linealizada. Se analizan ahora las dos formulaciones para espacios conformes de Einstein estudiadas en la sección anterior. En primer lugar, como consecuencia de esta aproximación se hace ∇ a → ∂ a . Luego, es necesario notar que tanto el Tensor de Ricci como el Tensor de Weyl tienen la forma Rab = O(Λ ) + O(Λ2 ) + L y ( ) C abcd = O(Λ ) + O Λ2 + L , argumentos es permiten decir, despreciar son el al menos segundo O (Λ ) . término Estos de la expresión (17), obteniéndose: B11 = ∂ c ∂ d C1c1d = 0 (22) y utilizando explícitamente las componentes de la métrica que se muestran las ecuaciones (20) y (21), la expresión anterior queda: ∂ R ∂/ 2 Λ = 0 5 (23) (Ver el Apéndice para el detalle de los cálculos auxiliares). Aplicando las condiciones de borde apropiadas a las ecuaciones de vacío linealizadas, esta expresión puede ser integrada para dar como resultado: ∂/ 2 ∂/ 2 Z = ∂/ 2σ + ∂/ 2σ donde σ = σ (Z 0 , ζ , ζ ) es el shear asintótico linealizado, el cual es el dato libre para el campo. Observando ahora la ecuación (19), el primer término que allí aparece es O(Λ5 ) mientras que los restantes son O(Λ4 ) y por lo tanto puede ser despreciado. Por otro lado, el segundo y cuarto término están en función de productos de primeras derivadas Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 32 32 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 de C abcd , mientras que el tercer término contiene derivadas segundas de dicho tensor. Comparando las ecuaciones (22) y (19) es posible suponer que (22) está contenida en el tercer término de la ecuación (23). Trabajando específicamente con este término y después de un cálculo algebraico extenso, puede demostrarse que (Ver el Apéndice para el detalle de los cálculos auxiliares): [ )] ( ⎫ ⎧ 1 C 2 C1cde ∂ 1∂ f C fcde = C 2 ⎨− ∂ R ∂ ω ∂/∂ R Λ B11 + Otros términos⎬ ⎭ ⎩ 3 (24) donde el segundo término del lado derecho de la expresión anterior abarca componente B11 todos los términos que no contienen la del tensor de Bach. El cálculo explícito es prolongado y tedioso, pero se puede afirmar que esos términos se anulan entre sí, al igual que el segundo y cuarto término de (19). Conclusiones Se han analizado dos formulaciones para espacios conformes de Einstein; la primera de ellas expone como condición necesaria y suficiente la anulación del Tensor de Bach, mientras que la segunda afirma que debe anularse el tensor E ab de la ecuación (10). Ambas formulaciones brindan la misma información acerca del espaciotiempo que describen. Sin embargo, cuando se estudian en el marco del NSF y se expresan en términos de la función Λ, las ( ) = O(Λ ) + O(Λ ) + L . ecuaciones de Bach tienen la forma B11 = O(Λ ) + O Λ2 + L mientras que el tensor E ab se establece como E11 4 5 Este hecho permite afirmar que, en el contexto del Formalismo de Superficies Nulas es conveniente Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 33 33 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 estudiar las ecuaciones de Bach ya que el proceso de resolución de E11 = 0 es más dificultoso comparado con B11 = 0 . Apéndice Tensores en Relatividad General: Se exponen aquí los tensores más importantes de la teoría expresados en términos de las componentes de la métrica. El tensor de Riemann, también denominado Tensor de Curvatura es: ( ) Rabc = ∂ b Γ d ac − ∂ a Γ d bc + ∑ Γ e ac Γ d be + Γ e bc Γ d ae , d e el tensor de Ricci, correspondiente a la traza del Tensor de Riemann, se escribe del siguiente modo: ( ) Rac = g bd Rabcd = ∂ b Γ b ac − ∂ a Γ b bc + ∑ Γ e ac Γ b be + Γ e bc Γ b ae , e y el escalar de Curvatura, que corresponde a la traza del Tensor de Ricci, es: ⎡ R = g ac Rac = g ac ⎢∂ b Γ b ac − ∂ a Γ b bc + ⎣ ∑ (Γ e e b ac Γ be ⎤ + Γ e bc Γ b ae ⎥ ⎦ ) donde, los Símbolos de Christoffel Γabc están determinados por: c Γab = 1 cd g (∂ a g bd + ∂ b g ad − ∂ d g ab ) . 2 Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 34 34 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 La versión linealizada de cada una de estas expresiones y del tensor de Weyl, presentado en la ecuación (7) del texto principal, es: 1 Γ' cab = η cd (∂ a hbd + ∂ b had − ∂ d hab ) 2 d R' abc = ∂ b Γ' d ac −∂ a Γ' d bc R' ac = η bd R' abcd = ∂ b Γ' b ac −∂ a Γ' b bc [ R' = η ac R' ac = η ac ∂ b Γ' b ac −∂ a Γ' b bc ] 1 C ' abcd = R ' abcd +η a [d R ' c ]b +η b[c R ' d ]a + η a [cη d ]b R ' 3 Obtención de la expresión (23): Sumando sobre todos los valores posibles de los índices c y d de la ecuación (22), se obtiene: B11 = ∂ 0 ∂ 0 C1010 + ∂ + ∂ + C1+1+ + ∂ − ∂ − C1−1− + 2∂ + ∂ 0 C1+10 + 2∂ 0 ∂ − C101− + ∂ + ∂ − C1+1− Bajando los índices de las derivadas usando ∂ i = η ij ∂ j se llega a: B11 = ∂ 1 C1010 + ∂ − C1+1+ + ∂ + C1−1− − 2∂ − ∂ 1C1+10 − 2∂ 1∂ + C101− + ∂ + ∂ − C1+1− 2 2 2 (A.1) A continuación se detalla la versión linealizada de cada una de las componentes del Tensor de Weyl que aparecen en la expresión anterior: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 35 35 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 ( ) 1 2 1 2 C1+1+ = C1−1− = − ∂ 1 h+ + , C1+10 = C1−10 = − ∂ 1 h+ 0 + ∂ 1∂ − h+ + , 2 4 C1+1− = 0 y C1010 = − (A.2) ( ) 1 2 2 2 ∂ 1 h00 + ∂ + h− − + ∂ − h+ + + ∂ 1∂ − h0 + + ∂ 1∂ + h0 − . 6 Sustituyendo (A.2) en (A.1), se obtiene: B11 = − ( ) ( 1 4 1 ∂ 1 h00 + ∂ 12 ∂ 2+ h− − + ∂ 12 ∂ 2− h+ + + ∂ 13 ∂ + h0− + ∂ 13 ∂ − h0+ 6 3 ) (A.3) Reemplazando en (A.3) las componentes de la métrica que se detallan en la expresión (15), se obtiene: B11 = 1 5 ∂ R ∂/ 2 Λ 12 y a partir de aquí se llega a la ecuación (23) que figura en el texto principal. Obtención de la expresión (24): La idea es encontrar la componente B11 del Tensor de Bach en el tercer término de la expresión (19), es decir, en: ( C 2 C1cde ∂ 1∂ f C fcde = C 2 C1cde ∂ 1∂ 0 C 0cde + C1cde ∂ 1∂ + C + cde + C1cde ∂ 1∂ − C − cde + C1cde ∂ 1∂ 1C 1cde Si se analiza la expresión (A.1), es fácil visualizar que los términos C1cde ∂ 1∂ 0 C 0cde no contribuyen, ya que no se observa ∂ 0 de ninguna componente del Tensor de Weyl. También es posible afirmar que no todos los términos C1cde ∂ 1∂ i C icde (con i = +,−,1 ) aportan a la obtención de B11 , sino sólo aquellos que se detallan a continuación: Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 36 36 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. ) Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 (C1001∂1∂ + C +001 + C10+ − ∂1∂ + C +0+ − + C1−0+ ∂1∂ + C + −0+ + C1001∂1∂ − C −001 + C1+ 0− ∂1∂ − C − +0 − + C10 + − ∂1∂ − C −0 + − + C1001∂1 C 1001 + C10+ − ∂1 C 10 + − + C1+ 0− ∂1 C 1+ 0 − + C1−0+ ∂1 C 1−0 + 2 2 2 2 + Otros términos) Bajando índices con la métrica de Minkowski η ab y asociando convenientemente, se llega a: ( )+ C (∂ ) ( C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [C1010 ∂1 C0101 − ∂1∂ + C−101 − ∂1∂ − C+101 + C10+ − ∂1 C10+ − − ∂1∂ + C1− + − + ∂1∂ − C1+ − + 2 ( + C1+ 0− ∂1 C1+ 0− + ∂1∂ − C1+ − + 2 1− 0 + Notando que 2 1 ) 2 ) C1−0+ + ∂1∂ + C1− + − + Otros términos] 1 1 C1+ 0 − = C1−0 + = − C1010 + C10 + − , la expresión 2 2 anterior se puede reescribir como: ( ) ( 3 3 2 2 C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [ C1010 ∂1 C1010 − ∂1∂ + C−101 − ∂1∂ − C+101 + C10+ − ∂1 C10+ − − ∂1∂ + C−101 + ∂1∂ − C+101 2 2 + Otros términos] Reemplazando explícitamente las componentes correspondientes al Tensor de Weyl en esta expresión se obtiene: ( ) ( ) 1 1 ⎛ 1 ⎞ C 2C1cde ∂1∂ f C fcde = C 2 [ − ∂1∂ + ho − ⎜ − ∂14 h00 + ∂12 ∂ 2+ h− − + ∂12 ∂ 2− h+ + + ∂13∂ + h0− + ∂13∂ − h0+ ⎟ 2 4 2 ⎝ ⎠ + Otros términos] Por comparación con la expresión (A.3) se observa que el paréntesis en (A.4) es igual a 2 B11 , lo cual conduce a la expresión 3 (24) en el texto principal. Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 37 37 Bordcoch, M.; Rojas, T. A. ) Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455 Volumen 3, Julio 2013 Referencias Frittelli S., Kozameh, C. N. y Newman, E. T. (1995). GR via characteristic surfaces. Journal Mathematical Physics, 36, 9, 4984-5004. Gover, Rod A. y Nurowski, Pawel (2004). Obtructions to Conformal Einstein Metrics in n Dimensions, Recuperado el 1 de Agosto de 2008, de http://arxiv.org/abs/math/0405304. Iriondo, M.; Kozameh, C. N.; Rojas, T. A. (1997). Null surfaces and the Bach equations. Journal Mathematical Physics, 38, 9, 4714-4729. Kozameh, C. N.; Newman, E. T. y Tod, K. P. (1985). Conformal Einstein Spaces. General Relativity and Gravitation, 17, 4, 343-352. Mason, L. J. (1995). The vacuum and Bach equations in terms of light cone cuts. Journal Mathematical Physics, 36, 7, 3704-3721. Esquema Perturbativo de las Ecuaciones Conformes de Einstein en el Formalismo de Superficies Nulas 38 38 Bordcoch, M.; Rojas, T. A.