FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 1. NOCIONES INTRODUCTORIAS 1.1. Concepto de función. Dominio e Imagen. Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x, le asocia un único valor de la variable dependiente y, que llamaremos imagen de x. Decimos que y es función de x y lo representamos por . En adelante usaremos la terminología función real de variable real, o sea, . Esta notación es necesario que quede muy claro lo que significa, vamos a explicarla con suficiente claridad: La primera que nos encontramos corresponde al espacio donde la toma sus valores, esto es donde va a estar incluido el dominio. La segunda nos indica el espacio a donde va la por , es decir, en este espacio están todos los valores “ ”, que es lo que venimos llamando el espacio imagen o recorrido. Vamos a recordar ahora dos conceptos ligados al de función, el dominio y la imagen aunque este último sea menos importante. El DOMINIO de una función es el conjunto de valores de para los cuales existe , esto es, La IMAGEN de una función es el conjunto de valores que puede tomar 1.2. Puntos de corte con los ejes Para hallar los puntos de corte con los ejes de una función de la siguiente manera: Puntos de corte con el eje de ordenadas, : , es decir, Puntos de corte con el eje de abscisas, : , es decir, 1.3. Monotonía de una función Diremos que una función es creciente si para cada dos valores , esto es, no hay más que igualar a cero en la ecuación en la ecuación , se cumple que Diremos que una función es decreciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que una función es estrictamente creciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que una función es estrictamente decreciente si para cada dos valores , se cumple que Diremos que la función posee un máximo relativo en x x0 si en el intervalo x0 , x0 f ( x0 ) f ( x) x x0 , x0 . Diremos que la función posee un mínimo relativo en x x0 si en el intervalo x0 , x0 f ( x0 ) f ( x) x x0 , x0 . Diremos que la función posee un máximo absoluto en x x0 si f ( x0 ) f ( x) x Dom f . Diremos que la función posee un mínimo absoluto en x x0 si f ( x0 ) f ( x) x Dom f . 1.4. Simetrías de una función Diremos que una función es simétrica respecto: a) Origen de coordenadas si se cumple que b) Eje si se cumple que 1.5. Periodicidad de una función Diremos que una función es periódica de período si se cumple que 1.6. Construcción de una función por transformaciones elementales Colegio La Presentación de Nuestra Señora . Página - 1 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez Consideremos una función y su representación gráfica. También consideremos una constante real positiva . Entonces: a) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del eje OX . b) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del eje OY . c) es una función cuya gráfica es justamente la simétrica de respecto del origen d) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia arriba unidades. e) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia abajo unidades. f) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia izquierda unidades. g) es una función cuya gráfica es la de desplazada hacia derecha unidades. 2. FUNCIONES POLINÓMICAS Son funciones de la forma Propiedades: a) b) Son CONTINUAS en todo su dominio c) Son DERIVABLES infinitas veces en todo su dominio 2.1. FUNCIONES LINEALES Son de la forma Propiedades: a) nos indica la pendiente, es decir, por cada +1 unidad en abscisa, se desplaza unidades en ordenada. También es el coeficiente líder, el cual nunca puede ser cero. b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto c) Si entonces es estrictamente creciente d) Si entonces es estrictamente decreciente e) Sus representaciones son rectas. 0.5 2 1 1 2 0.5 1.0 2.2. FUNCIONES CUADRÁTICAS Son de la forma Propiedades: a) nos indica la curvatura de la parábola. Si Convexa (Ramas hacia Arriba); Si Cóncava (Ramas hacia abajo). También es el coeficiente líder, el cual nunca puede ser cero. b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto c) Todas las parábolas tienen un vértice cuyas coordenadas son ( , )=( , ) indistintamente para una u otra notación. Dicho vértice es máximo si las ramas van hacia abajo, si es cóncavo o si . El vértice será mínimo si las ramas van hacia arriba, si es convexo o si Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 2 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez d) Su representación se realiza de manera rápida y eficaz sin más que seguir los siguientes pasos: Primer paso Hallar las raíces de y localizarlas en el plano sobre el eje OX. También los puntos de corte. Segundo paso Hallar las coordenadas del vértice y localizarlo en el plano Tercer paso Observar el signo del coeficiente líder y proceder a representar según la tabla Número de raíces de Ninguna Una Dos Observación: el segundo paso proviene del estudio de la monotonía. Con esto tenemos un esbozo. Para hacer una representación precisa hace falta una tabla de valores con más datos. 2.3. FUNCIONES CÚBICAS Son de la forma Propiedades: a) nos indica el sentido de la “S” tumbada. Si Las ramas van de ; Si Las ramas van de ;. También es el coeficiente líder, el cual nunca puede ser cero. b) nos indica la ordenada en el origen, es decir, pasa por el punto Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 3 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez Número de raíces de Una Dos Tres 2.4. FUNCIONES DE GRADO SUPERIOR Son funciones polinómicas de grado superior a 3. Sus gráficas tienen una construcción sencilla y a partir de ellas obtenemos propiedades varias, a parte de las ya básicas. Veamos algunos ejemplos en la pizarra y completemos el siguiente cuadro. Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 4 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 3. FUNCIONES RACIONALES Son de la forma: Donde son funciones polinómicas: Propiedades: a) b) Son continuas en todo su dominio c) Son derivables en todo su dominio . 3.1. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son de la forma: Donde es una constante es función polinómica Propiedades: a) Sus gráficas son hipérbolas de asíntotas horizontales y verticales b) Si y el coeficiente líder de ( ), es decir, , tienen ambos el mismo signo, entonces la función es creciente c) Si y el coeficiente líder de ( ), es decir, , tienen ambos distinto signo, entonces la función es decreciente 3.2. FUNCIONES RACIONALES REDUCIBLES A PROPORCIONACIDAD INVERSA Partimos de que el . Una de las propiedades más importantes y usadas en expresiones del tipo es la fórmula de la división: de donde Así una fracción de polinomios (con numerador de grado superior al denominador) la hemos transformado a una suma de un polinomio y una fracción cuyo numerador tiene grado inferior al denominador. Esta propiedad os será utilísima en este curso y posteriores. 4. FUNCIONES EXPONENCIALES Son de la forma Propiedades: a) para nosotros será generalmente una constante. Y partimos de esto para continuar con todas las propiedades 4.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL Son de la forma Propiedades: a) b) Es continua en su dominio c) Es derivable en su dominio d) es creciente cuando e) es decreciente cuando Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 5 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez f) Veamos algunas gráficas 4 5 5 4 4 3 2 1 3 2 1 4 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 4 4 5 5 4.2. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE CUALQUIERA Son de la forma Propiedades: a) b) Es continua en su dominio c) Es derivable en su dominio d) es creciente cuando e) es decreciente cuando f) Veamos alguna gráficas explicativas y y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2 1 Colegio La Presentación de Nuestra Señora 1 2 Página - 6 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 3.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 0.5 2.5 1.0 2.0 1.5 1.5 2.0 1.0 2.5 0.5 3.0 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 4 3 2 1 1 2.5 0.5 2.0 1.0 1.5 1.5 2.0 1.0 2.5 0.5 3.0 1 1 2 3 4 3.5 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Son de la forma Aunque ese tipo de funciones no las estudiaremos nosotros dada su complejidad. Propiedades: a) Dom f x / h( x) 0 b) La función logaritmo nace a partir de la inversa de la exponencial 5.1. FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO Son de la forma Propiedades: a) Dom f x / g ( x) 0 b) Son continuas en todo su dominio c) Son derivables en todo su dominio d) Su gráficas Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 7 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 1 1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 1 1 2 2 2.5 2.5 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 5.2. FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA Son de la forma Propiedades: a) Dom f x / g ( x) 0 b) Son continuas en todo su dominio c) Son derivables en todo su dominio Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 8 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Las funciones trigonométricas nacen del estudio y modelización de los problemas del calor y de ondas. Esto desembocó en asignaturas tales como Ecuaciones en derivadas parciales, que se estudiarán en los cursos próximos de carreras como Caminos, Canales y Puertos, Aeronáutica, Industriales, Físicas, Matemáticas, … 6.1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS 6.1.1. FUNCIÓN SENO f ( x) sen x Propiedades: a) Su dominio es todo b) Su imagen como ya recordareis es 1,1 c) Es una función continua d) Es una función derivable e) Es una función 2 periódica: sen x sen x 2 f) Su gráfica es 1.0 0.5 6 4 2 2 4 6 0.5 1.0 6.1.2. FUNCIÓN COSENO f ( x) cos x Propiedades: a) Su dominio es todo b) Su imagen es 1,1 c) Es una función continua d) Es una función derivable e) Es una función 2 -periódica: cos x cos x 2 f) Su gráfica es 1.0 0.5 6 4 2 2 4 6 0.5 1.0 Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 9 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6.1.3. FUNCIÓN TANGENTE f ( x) tg x sen x cos x Propiedades: a) Su dominio: Dom f 2k 1 , k 2 b) Su imagen es todo c) Es una función 2 -periódica d) Su gráfica es f ( x) tg x 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 10 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6.1.4. FUNCIÓN COSECANTE 1 sen x f ( x) cosec x Propiedades: k , k 2 a) Su dominio es el conjunto Dom f b) Su gráfica es 5 6 4 2 2 4 6 5 6.1.5. FUNCIÓN SECANTE f ( x) sec x 1 cos x Propiedades: 2k 1 , k 2 a) Su dominio es el conjunto Dom f b) Su gráfica 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 11 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6.1.6. FUNCIÓN COTANGENTE 1 f ( x) cotg x tg x Propiedades: a) Su dominio es el conjunto Dom f k , k 2 b) Su gráfica es 6 4 2 6 4 2 2 4 6 2 4 6 6.1.7. ALGUNAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS ÚTILES 1 tg 2 x sen 2 x cos2 x 1 cos 2 x cos2 x sen 2 x cos x 1 cos2 x 1 cos 2 x 2 sen 2 x 2sen x cos x sen x 1 cos 2 x 2 6.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Estas funciones nacen a partir de la curiosidad de querer saber qué ángulo engendra la razón trigonométrica tratada. Al componerlas obtenemos la identidad. sen arcsen x x arcsen sen x x cos arccos x x arccos cos x x tg arctg x x arctg tg x x Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 12 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6.2.1. FUNCIÓN ARCOSENO f ( x) arcsen x Propiedades: a) Su dominio es b) Su gráfica es 1.5 1.0 0.5 2 1 1 2 0.5 1.0 1.5 6.2.2. FUNCIÓN ARCOCOSENO f ( x) arccos x Propiedades: a) Su dominio es b) Su gráfica es 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 2 1 Colegio La Presentación de Nuestra Señora 1 2 Página - 13 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 6.2.3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE f ( x) arctg x Propiedades: a) Su dominio es todo b) Su gráfica es 1.0 0.5 4 2 2 4 0.5 1.0 7. FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Se define la función valor absoluto como x x x x0 x0 6 5 4 3 2 1 6 4 2 2 4 6 De aquí podremos directamente definir el valor absoluto de funciones de todo tipo. g ( x) 0 g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 0 g ( x) Veamos algunos ejemplos que puedan ayudarnos a dominar este tipo de funciones. Ejemplo 1 Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 14 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez Ejemplo 2 Imaginamos que sólo nos dan esto: “ ”, con esto no podemos hacer nada, primero hay que transformarla a una función a trozos. Una vez tenemos la función a trozos entonces estudiamos lo que nos pidan (continuidad, derivabilidad, …) Vamos a transformarla: Entonces nos quedaría esta función de la forma siguiente. Primero distinguimos y ordenamos los intervalos, éstos serían: . Ahora observando en la partición de valor absoluto que hemos hecho ahí arriba y al tener tres intervalos, obtenemos: Cuya representación gráfica quedaría así: 4 3 4 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 1 2 2 Colegio La Presentación de Nuestra Señora 1 1 2 3 Página - 15 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 8. FUNCION PARTE ENTERA La función parte entera tiene poco interés para nosotros, es aquella que hace corresponder a cada valor real su parte entera, se define así: : x x la parte entera del número dado Veamos algunos ejemplos y representaciones Sea la función f ( x) x , veamos qué valores toma, f 1'764 1, f ( ) 3, f (e) 2, f 5'001 5, f 2 1 , si nos fijamos, siempre es la parte entera 3 del número, representemos: 4 2 4 2 2 4 1 2 2 4 Representemos f ( x) x 1 2 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 Colegio La Presentación de Nuestra Señora 3 Página - 16 - FUNCIONES ELEMENTALES Y PROPIEDADES Departamento de Matemáticas Elías Robles Rodríguez 9. FUNCIONES A TROZOS Con la introducción vista en valor absoluto de lo que es una función a trozos. Vamos a definir lo que es una función a trozos y vamos a ver un ejemplo: g1 ( x) g ( x) f ( x) 2 g n ( x) x I1 x I2 x In Ejemplo 1 ln x 2 x 1 1 x 0 3x f ( x) 0'9375 2 x x 2 0 x 2'5 2'5 x 3 sen 3 sen x x3 2 1 2 2 4 6 8 10 1 2 3 Colegio La Presentación de Nuestra Señora Página - 17 -