NOTA : Esta práctica está diseñada para trabajar solamente con la versión 6.0 de Mathematica Gráficas paramétricas Antes de trabajar con el oscilador armónico, vamos a hacer unas gráficas paramétricas ya que trabajaremos en el espacio fase. Para hacer gráficas paramétricas se utiliza el comando ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,inicio,final}]. En donde debemos tener dos funciones que dependen de un mismo parámetro. En este ejemplo hemos usado a (x, y) que dependen del parámetro t. A continuación se tienen varios ejemplos para generar gráficas paramétricas ParametricPlot@8Cos@tetaD, Sin@tetaD<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D ParametricPlot@83 Cos@tetaD ^ 3, 3 Sin@tetaD ^ 3<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D ParametricPlot@8Cos@tetaD, Cos@tetaD Sin@tetaD<, 8teta, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1D La versión 6.0 de Mathematica permite realizar gráficas en donde se puede variar una variable y ver de manera instantánea su impacto sobre la gráfica. Para hacer esto se usa el comando Manipulate. A continuación haremos una gráfica donde la varible a representa el valor máximo que puede tomar el parámetro t. Manipulate@ParametricPlot@83 Ht - Sin@tDL, 3 H1 - Cos@tDL<, 8t, 0, a<, AspectRatio ® 0.4, PlotRange ® 880, 60<, 80, 6<<D, 8a, 0.01, 25<D Manipulate@ParametricPlot@8Exp@tD Cos@tD, Exp@tD Sin@tD<, 8t, 0, a<, PlotRange ® 88-40, 900<, 8-200, 1000<<D, 8a, .1, 8<D Oscilador Armónico Lo primero que haremos será resolver las ecuaciones de Newton cuando la fuerza es F = −k*x. A continuación usaremos el parámetro w0 que definimos en la clase de teoría solucion = DSolve@8x ’’@tD + w0 ^ 2 * x@tD 0, x@0D x0, x ’@0D == v0<, x@tD, tD Simplify@solucionD Con esta solcució definiremos una función, x, que por conveniencia dependerá del tiempo (t), la w0, la posición inicial(x0) y la velocidad inicial (v0) v0 Sin@t w0D x@t_, w0_, x0_, v0_D = x0 Cos@t w0D + w0 v0 Sin@t w0D x0 Cos@t w0D + w0 Por supuesto que la velocidad se obtiene directamente al derivar la posición con respecto al tiempo velocidad = D@x@t, w0, x0, v0D, tD y con esto definimos a la función que representa la velocidad del móvil v@t_, w0_, x0_, v0_D = v0 Cos@t w0D - w0 x0 Sin@t w0D v0 Cos@t w0D - w0 x0 Sin@t w0D Hagamos las gráficas de la posición y la velocidad suponiendo que k = 1, m = 1, x0=0.2 y v0=0 2 oscilador.nb k = 1.; m = 1.; Plot@x@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 3 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "x"<D Plot@v@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 3 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "v"<D Evidentemente el comportamiento de estas funciones dependerá de los diferentes valores que tenga w0 Manipulate@Plot@x@t, w0, x0, v0D, 8t, 0, 6 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "x"<, PlotRange ® 8-1, 1<D, 8w0, 0.1, 2<, 8x0, 0, 1<, 8v0, 0, 1<D Manipulate@Plot@v@t, w0, x0, v0D, 8t, 0, 6 Pi<, AxesLabel ® 8"t", "v"<, PlotRange ® 8-1, 1<D, 8w0, 0.1, 2<, 8x0, 0, 1<, 8v0, 0, 1<D Es claro que podemos estar interesados en una gráfica de v vs x, para lo cual el comando ParametricPlot es muy útil ParametricPlot@8x@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0.D, v@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0.D<, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio ® 1, AxesLabel ® 8"x", "v"<D De acuerdo a lo discutido en la clase de teoría podemos encontrar las componentes de la energía al multiplicar las ecuaciones de Newton por la velocidad e integrar el resultado con respecto al tiempo Clear@k, mD energia = Integrate@x ’@tD * Hm * x ’’@tD + k * x@tDL, tD De este resultado definimos a la función que representa a la energía cinética cinetica@t_, w0_, x0_, v0_D = H1 2L * m * v@t, w0, x0, v0D ^ 2 y a la que representa a la energía potencial potencial@t_, w0_, x0_, v0_D = H1 2L * k * x@t, w0, x0, v0D ^ 2 Con esto podemos ver cómo varian estas componentes de la energía con respecto al tiempo m = 1.; k = 1.; Plot@cinetica@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 2 * Pi<D Plot@potencial@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, 8t, 0, 2 * Pi<D Sin embargo, también podemos hacer un gráfico de cinética vs velocidad ParametricPlot@8v@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, cinetica@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® 0.4, AxesLabel ® 8"v", "E Cinetica"<D ParametricPlot@8x@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, potencial@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D<, 8t, 0, 2 * Pi<, AspectRatio ® 0.4, AxesLabel ® 8"x", "E Potencial"<D ParametricPlot@8cinetica@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D, potencial@t, Sqrt@k mD, 0.1, 0D<, 8t, 0, 2 * Pi<, AxesLabel ® 8"E Cinetica", "E Potencial"<D