EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA BÁSICA 2005 − I ( prueba resuelta ) PROGRAMA PROFESIONAL : Ingeniería Informática SEMESTRE : Primer Semestre _________________________________________________________________ 1.− ( 2 puntos ) • Enunciar los axiomas de orden de los números reales Existe un subconjunto de R, denotado por R+ que satisface los siguientes axiomas O1 Tricotomía: todo numero real a o bien esta en R+, es cero o −a esta en R+ O2 Clausura: para todo par de números a y b de R+ se cumple que a+b esta en R+ ab esta en R+ • Definir el valor absoluto de un número real |a| = a si a >0 |a| = 0 si a =0 |a| = −a si a<0 • Definir el supremo de un subconjunto de números reales Dada un subconjunto A de R se dice que S = Sup(A) si: S es cota superior de A S es la menor de las cotas superiores de A f) Definir función inyectiva Una función f A −> B se dice que es inyectiva si para u, v en A; f(u) = f(v) entonces u = v 2.− ( 2 puntos ) Si halle A " B A = ] −10, − sqrt(8) ] U [ sqrt(8) , 10[ ( sqrt = raiz cuadrada ) 1 B = ] −Inf , − 2/5 ] U [ 2 , Inf [ Respuesta: A " B = ] −10 , − 2/5 ] U [ 2 , Inf [ ( Inf = infinito ) 3.− ( 2 puntos ) Si , y x diferente de 0 simplifique Respuesta: 2/ (9 − x2) 4.− (2 puntos ) Halle el dominio de la función Respuesta: Dom f = ] −Inf , 0 [ U [ 3/2 , Inf [ 5.− (2 puntos ) Grafique la función 6.− ( 2 puntos) Si . Halle f(2) = 0.3745 Respuesta : f(f(2)) = 0.4334 7.− ( 2 puntos ) La gráfica de f ( x ) es la que se muestra, encuentre su regla de correspondencia La pendiente m = (k+2)/2 luego f(x) = (K+2)x/2 − 2 si x es menor o igual a 2 f(x) = K si x es mayor a 2 8.− ( 2 puntos ) Resuelva la ecuación cuadrática : x1 = (a+|a|sqrt(2)) x2 = (a−|a|sqrt(2)) 9.− ( 2 puntos ) Racionalice y simplifique: Respuesta: a (a)^(1/3) 2 10.− • ( 1 punto )Probar que ] 0 , Inf [ y R tienen la misma cardinalidad La funcion logaritmo es biyectiva Ln : ] 0, Inf [ R al ser biyectiva prueba que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad b) ( 1 puntos ) Halle Respuesta: x = − 7/3 Universidad Católica San Pablo −3 2 −2 X Y 3