Factorización de polinomios

ExMa-MA0125. Factorización de polinomios
W. Poveda 1
Factorización de polinomios
Objetivos
1. Factorizar completamente polinomios mediante los métodos de factor
común, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos,
inspección, agrupación y división sintética.
Temas
1. Ceros de un polinomio.
2. Factorización de polinomios. Métodos de factorización: factor común,
diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, inspección,
agrupación.
3. Teorema del factor y del residuo.
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La factorización de un polinomio consiste en expresarlo como un producto de
monomios o polinomios, llamados factores el polinomio original.
Con el propósito de que pueda estudiar y comprender la factorización de polinomios, a continuación le ofrecemos diversos ejemplos. Le recomendamos que
usted no asuma que ya lo sabe: lea, comprenda y efectúe por sí mismo cada
ejemplo cuando termine de comrpender esta sección.
Ejemplo 1 ¿Cuál es la factorización completa de 16ax2
Solución
16ax2 2ax5 + 8ax3
=
2a(x5
4x3
=
2a [(x5
=
2a [x3 (x2
=
2a(x2
=
2a(x + 2)(x
64a
8x2 + 32)
4x3 ) + ( 8x2 + 32)]
4)
4)(x3
8(x2
4)]
8)
2)2 (x2 + 2x + 4)
Ejemplo 2 Factorice completamente x8
Solución
x8 1 = (x4 + 1)(x4
1
1) = (x4 + 1)(x2 + 1)(x2
= (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x
1)
1)
Ejemplo 3 Factorice completamente x2 + 12xy + 32y 2
Solución
x2 + 12xy + 32y 2 = (x + 4y) (x + 8y)
2ax5 + 8ax3
64a?
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Ejemplo 4 Factorice completamente 2x2 + 24xy + 64y 2
Solución
2x2 + 24xy + 64y 2 = 2 (x + 4y) (x + 8y)
x2 + 12xy
Ejemplo 5 Factorice completamente
Solución
x2 + 12xy
32y 2 =
(x
8y) (x
32y 2
4y)
Ejemplo 6 Factorice completamente 25x2
(3x
1)2
Solución
25x2
(3x
1)2 = (5x + 3x
1)(5x
(3x
1)) = (8x
Ejemplo 7 Factorice completamente 2x3
Solución
2x3 24x2 + 40x = 2x (x
2) (x
1)(2x + 1)
24x2 + 40x
10)
Ejemplo 8 Factorice completamente (x + 1)2 + 5(x + 1) + 6
Solución
(x + 1)2 + 5(x + 1) + 6 = (x + 4) (x + 3)
Ejemplo 9 Factorice completamente 6x4
16x3 + 4x2
Solución
6x4
16x3 + 4x2 = 2x2 ( 8x + 3x2 + 2)
Ejemplo 10 Factorice completamente b2 m2
4(b + m)2
Solución
b2 m2 4(b + m)2 = (bm + 2(b + m))(bm
= (bm + 2b + 2m)(bm 2b 2m)
2(b + m))
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Ejemplo 11 Factorice completamente 25
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x2 + 4xy
4y 2
Solución
25
25
x2 + 4xy
(x 2y)2
= (5 + x
4y 2 = 25
2y)(5
(x2
4xy + 4y 2 )
x + 2y)
Ejemplo 12 Factorice completamente m2
n2
2m + 2n
Solución
m2
n2
2m + 2n = (m + n)(m
n)
2(m
Ejemplo 13 Factorice completamente x4
n) = (m
n)(m + n
27xy 3
Solución
x4
27xy 3 = x(x3
27y 3 ) = x (x
3y) (3xy + x2 + 9y 2 )
Ejemplo 14 Factorice completamente 4x2
y 2 + 2x(2x + y)
Solución
4x2 y 2 + 2x(2x + y) = (2x + y)(2x
= (2x + y)(2x y + 2x)
= (2x + y)(4x
y) + 2x(2x + y)
y)
Ejemplo 15 Factorice completamente (x + y)2
Solución
(x + y)2 x2 + y 2 = (x + y)2 + (y
= (x + y)(x + y + y x)
= (x + y)(2y)
x)(y + x)
x2 + y 2
2)
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Ejemplo 16 Factorice completamente (4x
W. Poveda 5
5y)2
2x2 + 5y 2
Solución
(4x 5y)2 16x2 + 25y 2 = (4x 5y)2
= (4x 5y)2 (4x 5y)(4x + 5y)
= (4x
=
5y)(4x
10x(4x
5y
4x
(16x2
25y 2 )
5y)
5y)
Ejemplo 17 Factorice completamente bmp
b2 m
b2 p + b3
Solución
bmp b2 m b2 p + b3 = (bmp
= bm(p b) b2 (p b)
= (bm
b2 )(p
= b(m
b)(p
b2 m)
(b2 p
b3 )
b)
b)
Ejemplo 18 Factorice completamente 2x(x
2y)
Solución: La respuesta es (a), pues
2x(x
= (x
2y) x + 2y = 2x(x
2y)(2x 1)
2y)
(x
2y)
1
2
Ejemplo 19 Factorice completamente x + 2x + 1
Solución
Sea u = x
1
2
1
p
2
x + 2x 2 + 1 = u2 + 2u + 1 = (u + 1)2 = ( x + 1)
x + 2y
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Ejemplo 20 Factorice completamente y 2m
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100
Solución
100 = (y m + 10)(y m
y 2m
10)
Ejemplo 21 Sea p; q; m; n 2 R, si pq = m y p + q = n
¿Cuál es la factorización de x2 nx + m ?
Solución
Sea f (x) = x2
nx + m, f (x) es factorizable si existen p; q 2 R tal que
n = p + q ^ m = pq
así
x2
nx + m = x2
(p + q)x + pq = (x
1
Ejemplo 22 Factorice completamente 24x
Solución
Consideremos el cambio de variable u = x
) 24x 1 12x 2 9 = 24u 12u2 9
4u2
= 3 (8u
=
3 (2u
=
3(2x
=
3
=
3
=
3
(2
x2
=
3)
1) (2u
1
3)
1
1)(2x
3)
2
x
1
2
x
3
2
x
2
3x
3
(x
x2
= 3x 2 (x
x
x
x)(2
2)(2
2)(2
3x)
3x)
3x)
1
12x
p)(x
2
9
q)
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Ejemplo 23 Considere el polinomio P (x) = x3 + px2 + qx
r;con p; q; r 2 R:
Si P (1) = P ( 2) = P ( 3) = 0:¿Cuál es el valor numérico de p + q
Solución
r?
Como P (1) = P ( 2) = P ( 3) = 0, por el teorema del factor se tiene que
(x 1); (x + 2) y (x + 3) son factores de P (x)
) P (x) = (x 1)(x + 2)(x + 3)
si realizamos las operaciones obtenemos
P (x) = x3 + 4x2 + x 6
) p = 4; q = 1; r =
p+q
6
r = 4 + 1 + 6 = 11
Teorema del residuo
Teorema 1 Si un polinomio P (x) se divide por un monomio de la forma
(x
), 2 Q; entonces el residiuo de la división es P ( ):
Ejemplo 24 Calcular el residuo de
(3x4 + 2x2
x + 6)
(x
2)
Solución
Se aplica el teorema del residuo, P (2) = 3(2)4 + 2(2)2
Teorema del factor
2 + 6 = 60
Teorema 2 Un polinomio P (x) tiene un factor de la forma (x
sii P ( ) = 0:
División sintética
Ejemplo 25 Factorizar completamente el polinomio
4x4
20x3 + 51x2
57x + 18
),
2 Q;
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Solución
Sea P (x) = 4x4 20x3 +51x2 57x+18;se procede a obtener los posibles ceros
del polinomio, éstos son los divisores de la constante 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18;y
los posibles ceros racionales del polinomio, éstos son los divisores de la constante entre los divisores del coe…ciente principal, los factores del coe…ciente
principal son:
1; 2; 4:
2
;
2
2
;
4
3
;
2
3
;
4
6
;
2
6
;
4
9
;
2
1; 2; 3; 6; 9; 18;
1
;
2
1
;
4
3
;
2
3
;
4
9
;
2
9
4
1; 2; 3; 6; 9; 18;
1
;
2
1
;
4
9
;
4
18
;
2
18
4
eliminando los repetidos
aplicando el teorema del residuo y factor con los posobles ceros anteriores
como P (1) 6= 0 ) (x 1) no es factor de P (x)
como P ( 1) 6= 0 ) (x + 1) no es factor de P (x)
se continúa así hasta que
1
= 0 ) (2x 1) es factor de P (x); se aplica división sintética y se
2
obtiene un cociente de (4x3 18x2 + 42x 36)
) P (x) = (2x 1) (4x3 18x2 + 42x 36)
se continúa veri…cando hasta hallar otro cero
1
6= 0 ) (2x 1) no es factor de P (x)
como P
2
:
:
:
3
= 0 ) (2x 3) es factor de P (x)
P
2
se realiza otra división sintética pero ahora con (4x3 18x2 + 42x 36) (2x
P
3) para obtener el cociente (x2
3x + 6)
3)(x2
3x + 6)
) P (x) = (2x
1)(2x
se aplica inspección o fórmula general para factorizar x2 3x + 6; el cual no
es factorizable en R:
4x4 20x3 + 51x2 57x + 18 = (2x 1)(2x 3)(x2 3x + 6)