Frecuentemente, la gente confunde a la matemática con la aritmética y la considera meramente como una ciencia que se ocupa de dar los procedimientos necesarios para realizar operaciones y cálculos. Sin embargo, la matemática es mucho más que eso. El diccionario de la Real Academia Española la define como: Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. El trabajo de un matemático no consiste en realizar cálculos complejísimos sino más bien, en buscar patrones, formular conjeturas e intentar probarlas mediante razonamientos deductivos. De este modo, el análisis de un juego, la resolución de un problema o un desafío forman parte del quehacer matemático. El conocer qué es la matemática nos puede acercar a definir cuál es el objetivo de enseñar matemáticas en la escuela y a determinar la mejor manera de hacerlo. La enseñanza de las matemáticas ocupa un lugar central en la currícula escolar dedicándole hasta un 20% del tiempo disponible. Pero, ¿cuáles son los objetivos de enseñar matemáticas a los estudiantes? Enseña a pensar: La matemática desempeña un rol importante en el desarrollo del intelecto. Enseña a observar con detenimiento, analizar una situación, realizar conjeturas, diseñar estrategias y utilizar un razonamiento deductivo para probarlas. En fin, enseña a pensar críticamente. Utilidad: Es bien sabido que las matemáticas son muy útiles y necesarias en la vida cotidiana así como en el campo laboral de la mayoría de las profesiones. Uno emplea las matemáticas cuando decide si comprar o no un electrodoméstico en cuotas, cuando calcula un descuento en el supermercado o cuando tiene que decidir cómo acomodar los muebles en su casa. Ni hablar de los usos que le pueden dar un ingeniero, un físico o un economista. Comprensión del entorno: Los modelos matemáticos permiten una mejor comprensión del entorno. Sea que se trate de interpretar información como los patrones de lluvia en una determinada región, los impuestos, el índice de inflación, la velocidad, los planos de una casa, la latitud y la longitud, el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra los modelos matemáticos permiten una mirada más profunda de la naturaleza y del entorno creado por el ser humano. Comprensión de otras áreas del conocimiento: La matemática se enseña también porque permite la comprensión y el desarrollo de otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la Física, la Química, la Biología, la Economía y las Ciencias Sociales. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 1 de 10 En nuestro sistema educativo, la enseñanza verbalista tiene una larga tradición y los estudiantes están acostumbrados a ella. Se pone mucho énfasis en aprender una determinada secuencia de procedimientos en vez de entender qué es lo que se está haciendo, por qué y para qué. Frecuentemente, las clases de matemáticas consisten en explicaciones impartidas por el maestro o profesor sobre los algoritmos necesarios para realizar cálculos, operaciones y otros ejercicios. Los estudiantes se limitan, en el mejor de los casos, a escuchar, tomar apuntes y luego estudiar de memoria los procedimientos para los exámenes. No hay tiempo para la resolución de problemas, para discutir estrategias. Un gran número de factores contribuyen a que esta situación se perpetúe en el tiempo: - con frecuencia el docente está acostumbrado a este estado de cosas y lo ve como natural; en última instancia, así fue como él aprendió. - debido a la extensión de los programas el docente decide cubrirlos en su totalidad y no se da tiempo para la resolución de verdaderos problemas, para fomentar las intervenciones de los estudiantes, para enseñarles a pensar. los maestros y profesores no ven como esencial el enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas y tampoco están formados para encarar una clase desde esta perspectiva. - La falta de tiempo y la escasa preparación de los docentes de matemáticas en otras disciplinas distintas a la suya resulta en la falta de ejemplos que muestren la relación de las matemáticas con otras áreas del conocimiento, en una escasa motivación de los estudiantes limitando su esfuerzo a estudiar para pasar los exámenes, luego de los cuales olvidan, en su mayor parte, el contenido “aprendido”. Como consecuencia, este modo de enseñar las matemáticas prácticamente no cumple con ninguno de los objetivos que planteamos anteriormente. Ciertamente, este enfoque no enseña a pensar; con suerte enseña a repetir procedimientos que fácilmente son reemplazables por una computadora o un teléfono celular. Tampoco permite aprovechar la utilidad de las matemáticas en distintas situaciones de la vida cotidiana y profesional. Si los estudiantes no comprenden la matemática y aprenden a resolver problemas, difícilmente puedan hacer ellos mismos la transferencia de conocimientos cuando la situación lo requiera. Simplemente, no estarán disponibles en su bagaje de herramientas. Para que haya una comprensión del entorno y vinculación con otras áreas del conocimiento es necesario resolver algunos problemas y tratar situaciones que vayan más allá de los conocimientos puramente matemáticos. Esta vinculación debe ser explícita y no tácita. Aunque esta pregunta resulte un tanto obvia vale la pena responderla porque frecuentemente se confunde problema con ejercicio. Un problema implica una situación novedosa que no se resuelve aplicando metódicamente algún procedimiento, sino que requiere de análisis y diseño de estrategias. Podría decirse que si un problema se resuelve en menos de 15 minutos, entonces no es un problema sino un ejercicio. También en importante distinguir entre un problema propiamente dicho y un problema tipo. Este último no es un verdadero problema ya que no implica una situación novedosa que requiere el diseño de estrategias sino simplemente es un ejercicio con enunciado narrado con estrategias prediseñadas y aprendidas para ser repetidas. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 2 de 10 Básicamente, la resolución de problemas permite cumplir con los objetivos de enseñar matemáticas que planteamos anteriormente. Por un lado, ayuda a aprender a pensar que es el objetivo central de enseñar esta ciencia. Para resolver un problema los estudiantes debe analizar una situación no ordinaria con detenimiento, realizar conjeturas, diseñar una estrategia y llevarla a cabo utilizando el razonamiento deductivo. A su vez, deben evaluar su trabajo, determinar si el camino elegido es el correcto y si el problema está bien resuelto. Por otra parte, el comprender y aprender a emplear diversas estrategias permite aprovechar la utilidad de las matemáticas en situaciones de la vida cotidiana y en el campo profesional. Uno nunca, salvo en el contexto artificial de una clase de matemáticas tradicional, se encuentra con una formulación matemática ya digerida, sea una ecuación, una figura geométrica o una función. Al enfrentarse a una situación, primero se deben identificar los datos relevantes y separarlos de los irrelevantes, luego plantear matemáticamente el problema si correspondiera y finalmente encontrar la solución, si es que la hay. Todo esto debe ser enseñado y guiado por el docente ya que no se puede esperar que el estudiante haga la transferencia sólo, pues justamente es la parte más difícil. Es como si la formación de un mecánico de automóviles consistiera en una clasificación exhaustiva de las distintas piezas y herramientas con la descripción de sus tamaños y materiales; pero nunca lo enfrentáramos a un vehículo real. En su libro “Mathematical problem solving” publicado en 1985 Allan Schoenfeld identificó cuatro aspectos centrales que son necesarios considerar cuando se enseña a los estudiantes a resolver problemas de matemáticas: Recursos: Los recursos son los conocimientos previos que posee el individuo; se refiere, entre otros, a conceptos, fórmulas, algoritmos, y, en general, a todas las nociones que se considere necesario saber para enfrentarse a un determinado problema. El docente debe, no sólo tener en cuenta cuáles son las herramientas con las que cuenta el estudiante, sino que también debe ser conciente del inventario de recursos que dispone. Es decir, que necesita conocer cómo los estudiantes acceden a los conceptos que tienen. Por otra parte, también es necesario considerar los recursos defectuosos, es decir, aquellos procedimientos o fórmulas mal aprendidas o que el estudiante aplicar en situaciones que no son las apropiadas. Heurísticas: Las heurísticas son las estrategias que se emplean para resolver un problema. Puede ser razonar por el absurdo, hace un esquema, explorar simetrías, analizar el problema de atrás hacia adelante, etc. Estas estrategias varían de problema en problema, o al menos entre tipos de problemas. Es por esto, que tal vez la manera más conveniente para aprender diferentes heurísticas es a través de la resolución de problemas variados y no tanto mediante análisis teóricos de las mismas. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 3 de 10 Control: Se refiere a cómo un estudiante controla su trabajo. En primer lugar, debe asegurarse de comprender el problema y no abocarse a resolverlo antes de estar seguro de haberlo entendido. Luego debe considerar distintas posibilidades para resolverlo, es decir, debe diseñar una estrategia. Si el estudiante puede ver una serie de caminos posibles para resolver el problema, luego debe ser capaz de darse cuenta si el que seleccionó está funcionando o si va hacia un callejón sin salida. En otras palabras, tiene que darse cuenta a tiempo, retroceder e intentar de nuevo empleando otra estrategia. Es frecuente que un estudiante que escogió un camino para resolver un problema, se empecine con él y no lo abandone. Incluso puede aplicar recursos erróneos y llegar a una solución equivocada sin percatarse de ello. Todo esto debe ser controlado: la elección de una entre varias estrategias posibles, llevarla a cabo o abandonarla si no es útil, detectar si se empleó mal algún procedimiento y analizar si la respuesta es coherente con lo que pide el problema. El estudiante debe poder monitorear y evaluar constantemente el proceso de resolver el problema. Debe conocerse a sí mismo y saber qué es capaz de hacer, con qué herramientas cuenta y cómo reacciona frente a la resolución de un problema. Sistemas de creencias: Las creencias sobre la matemática inciden notablemente en la manera en la que los estudiantes, e incluso los profesores, abordan la resolución de un problema. Las creencias condicionan prácticamente todos los aspectos relacionados con el aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo: • Determinan el tiempo que le dedican los estudiantes a un problema antes de abandonarlo. • Determinan si el estudiante considera que debe aplicar conocimientos formales o no. • Determinan la manera en que los estudiantes tratan de aprender matemática, memorizando o no. De este modo, si los estudiantes creen que la matemática es simplemente una serie de reglas que deben memorizar, difícilmente tengan una buena predisposición para tratar de comprenderla, y menos para resolver un problema, pues no lo considerarán útil. Las creencias sobre las matemáticas más frecuentes entre los estudiantes incluyen: • Los problemas tienen una sola respuesta correcta. • Existe una única manera de resolver correctamente un problema, generalmente es la regla que profesor dio en clase. • Los estudiantes no pueden esperar comprender matemática, con suerte podrán memorizarla y aplicarla cuando la hayan aprendido mecánicamente. • En la matemática no hay trabajo en grupo, todo el trabajo es individual. - Los estudiantes que han entendido matemáticas podrán resolver cualquier problema que se les asigne en 5 minutos o menos. • Las matemáticas aprendidas en la escuela tienen poco o nada que ver con el mundo real y no son útiles para resolver situaciones cotidianas. - El razonamiento formal y deductivo sólo es necesario utilizarlo para demostrar algo que el profesor dice que se puede demostrar. • Sólo los genios pueden resolver verdaderos problemas de matemáticas. Estas son solo algunas de las creencias frecuentes en los estudiantes. Por otra parte, las creencias de los profesores también tienen mucho impacto en cómo se desarrollan las clases de matemáticas e incluso modelan algunas de las creencias de los alumnos que mencionamos anteriormente. Estas creencias están condicionadas por la forma en que los profesores mismos aprendieron matemáticas en la escuela y el profesorado. Algunas creencias frecuentes son: http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 4 de 10 • La matemática es fija y predeterminada, y los procesos generativos no son relevantes para enseñarla. Es un producto terminado que debe ser asimilado. • El docente debe impartir la información y el estudiante debe aprenderla. • Es más importante dedicar el tiempo a cumplir el programa que a actividades más entretenidas como la resolución de problemas, desafíos, etc. • Resolver muchos ejercicios ayuda a aprender matemáticas. • Enseñar recetas es más eficiente para poder resolver ejercicios que explicar los fundamentos de los procedimientos, sobre todo en estudiantes de bajo rendimiento. • No es necesario dedicar tiempo de la clase a vincular la matemática con otras áreas del conocimiento. Eso es tarea de otras materias. • El alumno que entendió debería poder resolver todo lo que se le asigne. Cada problema o ejercicio no resuelto es una falla que debe ser corregida. Finalmente las creencias sociales, tienen un gran impacto en la enseñanza de las matemáticas pues determinan qué pueden aprender los estudiantes a diferentes edades, qué deben aprender en un determinado momento de la escolaridad y cuál es el mejor método para enseñar matemáticas. Experiencias realizadas por Schoenfeld en los años 80 mostraron que los estudiantes, al enfrentarse a un problema novedoso, lo leen e inmediatamente eligen un enfoque al cual se avocan. Continúan trabajando en el camino escogido, a pesar de existir claras evidencias de que no están progresando y cuando se les pregunta por la estrategia empleada generalmente no pueden justificar su elección. En cambio, cuando un matemático se enfrenta a la resolución de problemas dedica gran parte del tiempo a analizar el enunciado y escoger la estrategia más adecuada a implementar, sin perder tiempo en una exploración no estructurada. Además, es capaz de evaluar si un determinado camino es correcto o si debe abandonarlo en pos de otro más apropiado. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 5 de 10 Estas actitudes y mecanismos de control, pueden ser adquiridos por los estudiantes; pero deben ser activamente fomentados por los docentes a través de la resolución de problemas, el análisis de estrategias y demás. ¿Cómo podemos implementar la resolución de problemas en la escuela? Las acciones del docente en una clase de resolución de problemas pueden dividirse en 3 etapas: • Las acciones previas donde el docente comunica a los estudiantes el problema y se asegura de que lo hayan comprendido. • Las acciones durante la resolución por parte de los estudiantes, donde el docente los acompaña y sirve de apoyo. • Las acciones posteriores donde se discuten entre todos las distintas estrategias, extensiones del problema, etc. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 6 de 10 Hoy en día se le dedica un tiempo excesivo al tratamiento de los recursos en las clases de matemáticas en desmedro de la resolución de problemas y otras actividades que pueden ser muy fructíferas. Los motivos son varios: • Gran parte del tiempo se dedica a repasar contenido mal aprendido u olvidado por los estudiantes. • Algunos recursos que se enseñan son excesivamente complejos o rebuscados y muy difícilmente los estudiantes los empleen en un problema. Por ejemplo, una ecuación que ocupe un renglón completo puede aparecer en un problema al que se enfrente un ingeniero, un físico o un matemático, pero no un estudiante de 13 años de edad. • Erróneamente, se considera más importante que los estudiantes puedan resolver correctamente los ejercicios a que puedan resolver problemas que empleen recursos un poco más sencillos. • Se considera que los recursos enseñados como receta son más fáciles de asimilar y repetir por los estudiantes que explicándoles el porqué de cada paso. En primer lugar, es fundamental que los docentes realicen un análisis detallado de qué recursos consideran importantes y necesarios para la resolución de problemas o para aprender otros recursos más adelante en la escolaridad y que también les serán de utilidad. Por ejemplo, ¿vale la pena dedicar mucho tiempo a operaciones de ángulos en grados, minutos y segundos?, ¿tiene sentido realizar una operación combinada que ocupe un renglón entero?, ¿sirve de algo aplicar una fórmula de geometría sin entender para qué sirve o en qué condiciones es válido aplicarla? Es decir, el docente debe determinar cuál es el objetivo de enseñar un determinado tema y diseñar las clases en pos de ese objetivo. De este modo, si llegamos a la conclusión de que el objetivo de enseñar proporcionalidad y porcentajes es brindarles a los estudiantes herramientas para resolver situaciones cotidianas, las actividades y problemas deben estar orientados en este sentido. Otro aspecto importante es que los recursos no deben enseñarse de manera aislada y descontextualizada sino relacionando con los contenidos que los estudiantes aprendieron previamente. La matemática es una sola y el separarla categóricamente en distintos temas que se tratan de manera aislada no contribuye a la comprensión. Todo lo contrario. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 7 de 10 A su vez, se debe buscar motivar a los estudiantes de modo generarles interés en el tema ya sea relacionando con la vida cotidiana, con otras áreas del conocimiento, problemas, desafíos o juegos. La enseñanza tradicional de las matemáticas se ha ocupado de dar respuestas a preguntas que los estudiantes nunca se hicieron. No es de extrañar que no la comprendan, ni le encuentren utilidad, ni les interese. Por otra parte, la manera tradicional de enseñar los recursos como receta resulta insuficiente para el aprendizaje. Para una computadora, puede resultar óptimo un procedimiento secuencial para resolver una tarea porque disminuye el tiempo de procesamiento. Esto no funciona así en los ser humanos que somos más propensos al error y a los olvidos. Una secuencia lineal de pasos es la manera más lábil de construir un conocimiento ya que olvidarse un paso implica no poder resolver la situación. Por lo tanto, si nuestra intención es enseñarles matemáticas a seres humanos debemos crear relaciones y mecanismos de control que les permitan a los estudiantes moverse por distintos caminos hasta llegar a la solución. ¿Y cómo pueden los estudiantes con dificultades aprender los porqués de los procedimientos si ni siquiera pueden aprender las reglas empleadas? Justamente, no pueden aplicar las reglas porque no entienden qué están haciendo. Por otra parte, si comprenden los procedimientos no será necesario perder tanto tiempo repitiéndolos. A su vez, el explicar los porqués puede ayudar a desmitificar muchas de las creencias que poseen los estudiantes sobre las matemáticas. Existen varias maneras de encarar una clase de resolución de problemas para que los estudiantes aprendan diferentes heurísticos y desarrollen mecanismos de control apropiados. A) Se les propone a los estudiantes uno o dos problemas y se les da un tiempo para que lo piensen individualmente. Dependiendo de la duración de la clase pueden ser 30 minutos o se pueden dar de una clase a la otra. Luego el docente, junto con la participación activa de los estudiantes, va discutiendo las distintas estrategias empleadas. B) Se les propone a los estudiantes uno, dos o tres problemas. Se leen los enunciados entre todos y se discuten aquellos términos que presenten confusión. Luego los estudiantes resuelven los problemas individualmente o en grupos pequeños (para favorecer la colaboración y el desarrollo de mecanismos de control). El docente va pasando por los bancos interrogando a los estudiantes sobre su trabajo: ¿qué estás haciendo exactamente? ¿Por qué lo estás haciendo? ¿Cómo te ayuda a resolver el problema? Estas preguntas ayudan a que los estudiantes aprendan a desarrollar mecanismos de control. Cuando sea necesario proveer de sugerencias para ayudar a superar bloqueos. Luego discutir entre todas las distintas estrategias empleadas, relacionar con otros problemas vistos anteriormente, etc. C) Se les propone a los estudiantes un problema. Se lee el enunciado entre todos y se discuten aquellos términos que presenten confusión. Luego se discute entre todos diferentes estrategias para encarar el problema sin privilegiar una por sobre las demás, simplemente para mostrar diferentes caminos que podrán tomar. Luego los estudiantes resuelven el problema individualmente o en grupos pequeños. El docente va pasando por los bancos interrogando a los estudiantes sobre su trabajo: ¿qué estás haciendo exactamente? ¿Por qué lo estás haciendo? ¿Cómo te ayuda a resolver el problema? Cuando sea necesario proveer de sugerencias para ayudar a superar bloqueos. Luego discutir entre todas las distintas estrategias empleadas, relacionar con otros problemas vistos anteriormente, etc. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 8 de 10 D) Se les propone a los estudiantes un problema. Se lee el enunciado entre todos y se discuten aquellos términos que presenten confusión. Luego se discuten distintas estrategias para resolver el problema. El docente actúa como moderador de las propuestas de los estudiantes e incluso avanza por caminos que no son fructíferos. En caso de llegar a un punto sin salida, pregunta: ¿estamos en el camino correcto? ¿Cambiamos de rumbo? ¿Qué estrategia podemos emplear ahora?. El objetivo, es ayudar a los estudiantes a desarrollar mecanismos de control. Es importante notar, que los distintos heurísticos se aprenden resolviendo problemas variados. A pesar de que se han realizado numerosos intentos para generalizar los heurísticos para todo tipo de problemas, hoy se ha comprobado que cada tipo de disciplina y de problema emplea heurísticos particulares que no se pueden trasladar a otras áreas. • Para enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas el docente también debe tener la costumbre de resolver problemas él mismo. • Modelar el comportamiento frente a la resolución de problemas, explorando y experimentando junto con los estudiantes. • Crear una atmósfera en la que todos los estudiantes se sientan cómodos probando ideas. • Invitar a los estudiantes a explicar sus razonamientos en todas las instancias de la resolución de problemas. • Discutir más de una solución cuando el problema lo requiera y valorar el pensamiento creativo y las ideas originales. • Presentar problemas, cuando corresponda, en los que las situaciones se acerquen a situaciones reales en riqueza y complejidad. • Calidad de problemas y discusión es preferible a cantidad de ejercicios. • La mejor manera de aprender algo es descubriéndolo uno mismo. • Permitir a los estudiantes aprender a conjeturar y a comprobar. Cada capítulo del libro comienza con una sección denominada “Revista” que puede emplearse como disparador del tema a tratar en clase, junto con algunos problemas. El cuerpo del capítulo contiene diversas estrategias para resolver problemas, especialmente en los problemas resueltos. Para aprovecharlos mejor, se pueden discutir grupalmente en clase las estrategias para resolverlos, aprovechando el aporte de los estudiantes. Cabe aclarar, que las soluciones presentadas no son la únicas sino más bien las que me pareció más importante desatacar en ese momento, por lo que cualquier otra solución válida propuesta por los estudiantes debe ser más que bienvenida y alentada. http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 9 de 10 La lista de problemas que figura al final del capítulo contiene problemas con un grado de dificultad creciente. Generalmente los primeros presentan cierta guía para ayudar a los estudiantes que aún no están tan entrenados. A su vez al final del libro figuran algunas ideas y sugerencias que pueden ser de ayuda. Para estos problemas se pueden aprovechar algunas de las modalidades propuestas anteriormente donde los estudiantes resuelven los problemas en pequeños grupos (o individualmente) con distinto grado de intervención del docente. No se debe esperar que los alumnos resuelvan todos los problemas. Cualquier avance es positivo y debe alentarse, tanto en el desarrollo de estrategias, como de mecanismos de control, así como también en el cambio de actitudes hacia la matemática. En este sentido la actividad de resolución de problemas no debe evaluarse sólo por el resultado. Si algunos problemas no les salen, lo importante es que muestren el avance que realizaron e indiquen qué entendieron del problema, qué pudieron calcular y qué no, qué datos necesitarían hallar, etc. Finalmente, en la sección de “Recreación” encontrarán juegos, actividades y desafíos que sirven para distenderse y motivar a los estudiantes. No es necesario que su tratamiento quede para el final de la unidad, sino que es conveniente que se intercale con la resolución de problemas y el estudio de los recursos. Como complemento del libro, en esta página los estudiantes podrán encontrar material adicional y discutir en foros las soluciones a los problemas propuestos y otros que se publicarán periódicamente. El hacer matemáticas es una actividad colectiva, que requiere desarrollo individual, pero también la comunicación de los hallazgos y la discusión con pares y docentes. Al menos, esa es mi concepción de la educación 2.0 en el siglo XXI. Para Mayor información Puede visitar la página Web: http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html http://www.comunidadmatematica.com.ar/docentes.html Página 10 de 10