ω πν γ τ γ τ α τ πντ α τ πντ γ τ τ ω

ÓPTICA ESTADÍSTICA
GRUPO PILOTO
CURSO 2008/2009
SOLUCIONARIO EJERCICIO No. 3
a) Magnitud del grado de coherencia espacial
La ley general de interferencias para campos ópticos estacionarios se expresa:
I ( Q ) = I (1) ( Q ) + I ( 2) ( Q ) + 2 I (1) ( Q ) I ( 2) ( Q )γ 12( r ) (τ )
Supondremos que la fuente de luz emite con una frecuencia media:
(1)
ω = 2πν , en la ec.(1) el grado
de coherencia complejo se puede rescribir:
(
)
γ 12 (τ ) = γ 12 (τ ) exp i α12 (τ ) − 2πντ 

(2)
donde:
α12 (τ ) = 2πντ + arg γ 12 (τ )
α12(τ) es una función lentamente variable en τ en intervalos de tiempo: τ
(3)
<<
1
.
∆ω
De acuerdo con la ec.(2), la ec.(1) es:
I ( Q ) = I (1) ( Q ) + I ( 2) ( Q ) + 2 I (1) ( Q ) I ( 2) ( Q ) γ 12 (τ ) cos α12 (τ ) − δ  (4)
donde: δ
= 2πντ = 2πν ( t2 − t1 ) =
2π
λ
( r2 − r1 ) , diferencia de camino óptico definido en el
interferómetro.
Supondremos que la detección realizada en el punto Q corresponde a un máximo interferencial (véase
Figura 1) o bien podremos suponer que el detector tiene un área en la que se integran un cierto número
de máximos. De acuerdo con los datos los valores dados para las intensidades
( potencia unidad de area ) son en mm2, que corresponde a la unidad del área del detector. Se puede
estimar que en un área de 1 mm2 detecte un máximo interferencial.
d sin θ = r2- r1
P1
Intensidad
d
θ
P2
θ
θ
r2
y
r1
Q
Z
Figura 1.- Esquema para la interpretación de la solución del apartado a).
Otro razonamiento estaría relacionado con la máxima probabilidad de detección. Si suponemos que la
intensidad es baja (de acuerdo con los datos), en consecuencia el número de fotones emitidos no es alto,
y la probabilidad de que los fotones sean absorbidos por el detector para generar una fotocorriente es:
(
P0 = exp −η a
2
)
(5)
donde η es la eficiencia del detector y a es la amplitud del campo asociado a una fuente de radiación
térmica. Se puede aproximar la ec.(5):
P1 ≈ η a
2
Y la probabilidad de detección es proporcional a la intensidad del campo:
(6)
P1 ∝ I ( Q ) .
En estas condiciones, de acuerdo con la ec.(4):
I max ( Q ) = I (1) ( Q ) + I ( 2) ( Q ) + 2 I (1) ( Q ) I ( 2) ( Q ) γ 12 (τ )
Por tanto:
(7)
I max ( Q ) −  I ( ) ( Q ) + I (
1
γ 12 (τ ) =
Sustituyendo con los datos del problema:
2)
( Q ) 
(8)
2 I (1) ( Q ) I ( 2) ( Q )
γ 12 (τ )
= 0,2. Donde se observa:
0 ≤ γ 12 (τ ) ≤ 1
b) Factor de visibilidad de las franjas de interferencia
De acuerdo con la definición:
()
( )
I max − I min 2 I ( Q ) I ( Q )
γ 12 (τ )
= (1)
V=
I max + I min
I ( Q ) + I ( 2) ( Q )
1
2
(9)
Sustituyendo de acuerdo con los datos y el valor obtenido para el modulo del grado de coherencia
complejo, obtenemos: V = 0,15. Donde observamos que:
0 ≤ V ≤ 1 y el fenómeno interferencial es
de baja calidad ya que V es un valor <<1.
c) Fuente cuasi-monocromática
En los resultados de los anteriores apartados debemos considerar que si la observación no es de calidad
(visibilidad baja) el método experimental de asociar I(Q) a un máximo interferencial puede contener
errores. Se puede considerar otro método basado en la estimación de
arg γ 12 (τ ) .
Para ello
suponemos ahora que la es fuente cuasi-monocromática. El resultado es equivalente a un
desplazamiento del sistema de franjas de interferencias una cantidad constante ∆x.
La diferencia de fase asociada a un experimento en el interferómetro de Young cuando se considera
iluminación estrictamente monocromática con longitud de onda λ0 es:
∆φ ( x ) = k0δ ( x ) =
2π xd
λ0 z
(10)
Donde, d es la distancia entre las dos rendijas del interferómetro, z es la distancia entre el plano del
interferómetro y el plano de observación como parámetro constante. Por tanto la posición de las franjas
es:
xmon = ∆φ
λ0 z
2π d
(11)
donde el subíndice mon indica luz monocromática.
Si el experimento se realiza con luz cuasi-monocromática será equivalente a la observación con un
incremento de camino óptico asociado:
δ ' = α12 (τ ) − δ ; ∆δ = α12 (τ )
(12)
Por tanto, la nueva posición de las franjas con luz cuasi-monocromática vendrá afectada de un
incremento con respecto a xmon:
∆x =
λ z
α12 (τ )
2π d
(13)
El desplazamiento de las franjas se produce en dirección paralela al plano del interferómetro (P1P2). En
condiciones de visibilidad máxima (que no corresponden a los datos dados en este problema), ∆x es un
valor muy próximo a cero.
2
Debe de cumplirse además:
λ
r2 − r1 <<
.
∆λ
La figura 2 muestra un ejemplo de distribución de la intensidad en el plano de observación.
El máximo corresponde al máximo de la distribución de intensidad de la luz difractada por las rendijas
puesto que se trata de fuentes no puntuales.
En la Figura 3a se observa un sistema de interferencias por división del frente de ondas obtenido con luz
blanca. La utilización de filtros espectrales (máscaras espectrales en las rendijas) permite la observación
del fenómeno para distintas longitudes de onda (véase Figura 3b).
La distribución de la intensidad para tres longitudes de onda se observa en la Figura 3c).
Rendijas
Máximo
central
Intensidad
Figura 2.- Observación de la figura de interferencias.
(a)
(b)
(c)
Figura 3.- Observación de franjas de interferencias con luz blanca (a) y con luz espectralmente filtrada (b), (c)